2025年中考数学复习：线段有关的动点 方法讲解及典例解析

线段有关的动点

类型一：线段和差的最值

动点最值问题的基础就是线段和差问题。线段和差问题是一个贯穿整个初中数学的问题,是一个难点问题.解决

这类问题，在于找出两个“量”：一是定点，二是动点或不定点所在的定直线；进而利用“两点之间线段最短”“垂线段

最短”“三角形的三边关系”等几何原理来求解；或者转化为函数关系，利用函数最值来求解.其中“垂线段最短”和“两

点间线段最短”是根本依据，“三点共线”“轴对称”“旋转”则是利用作图来实现“垂线段最短”和“两点间线段最短”的变

换方式；而通过函数表达式，进而利用函数最值来求线段和差的最大值或最小值，则是数形结合的体现.

【方法技巧】关于线段和差中的动点问题，我们从5个方面来学习.

（1）利用垂线段最短的性质解决最大（小）值的问题.

⑵利用三点共线的特征解决最大（小）值的问题.

（3）利用轴对称变换解决最大（小）值的问题.

⑷利用旋转变换解决最大（小）值的问题（旋转章节会介绍）.

（5）利用二次函数的最值性质解决最大（小）值的问题.

本质是根据“两点之间线段最短”，通过做轴对称点求线段之和最小值；根据“两点之间线段最短”，通过构造三

角形利用三角形三边关系求运动中某一条线段最值；求最值的实质都是几条线段共线时得到最大值或最小值。

1.常见类型

⑴已知：在直线1同侧有A,B两点，在1上找一点P,使得AP+PB最小.

•B

A»

-----------------------------------1

作法：如图，作点A关于直线1的对称点A1,连接A'B,与直线1的交点P就是所求的点.

⑵已知:在直线1同侧有A,B两点在1上找一点P,使得AP-PBI最小.

•B

A»

作法：如图，连接AB，作线段AB的垂直平分线，与直线1的交点P就是所求的点.

⑶已知:在直线1同侧有A.B两点，在1上找一点P,使得|AP-PB|最大.

•B

Au

作法：如图，连接BA并延长，与直线1的交点P就是所求的点.

⑷已知在直线1同侧有AB两点在1上找两点CD(其中CD的长度固定等于所给线段d),使得AC+CD+DB

最小.

•B

A»

3------------------------------/

作法:如图，先将点A向右平移a个单位长度到点AI使AA'=CD=a，作A关于直线1的对称点A“，连接A"B,

与直线1的交点D就是所求的点.连接A'D,过点A作AC〃AD,交直线1于点C,则此时AC+CD+DB最小.

(5)已知:在/MON内有一点P,在边ON,OM上分别找点Q,R,使得PQ+QR+RP最小.

作法:如图，分别作点P关于射线ON,OM的对称点P；P”,连接PP”与射线ON、OM的交点Q、R就是所求的

点

⑹已知在/MON内有一点P,在边OM,ON上分别找点R,Q,使得PR+QR最小.

作法：如图，作点P关于射线0M的对称点P,作P'QXON,垂足为Q,P'Q与射线0M的交点R,与ON

的交点Q就是所求的点.

⑺已知:在/MON内有两点P,Q,在边OM,ON上分别找点R,S.使得PR+RS+SQ最小.

作法：如图，作点P关于射线OM的对称点P,作点Q关于射线ON的对称点Q1,连接PQ,与射线OM,

ON的交点R、S就是所求的点.

(8)其他非基本图形类线段和差最值问题.

①求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中，在该三角形中，其他两边是已知的，则所求

线段的最大值为其他两线段之和，最小值为其他两线段之差.

②在转化较难进行时需要借助于三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线.

③线段之和的问题往往是将各条线段串联起来，再连接首尾端点，根据两点之间线段最短以及点到线的距离垂

线段最短的基本依据解决长

典例精析

【典型题1】★★如图，在RtAABC中2BAC=90o,AB=3,AC=4,P为BC边上一动点PE_LAB于点E,PF±AC

于点F,点M为EF的中点，则线段AM的最小值为.

【思路分析】利用垂线段最短求线段最小值.易证四边形AEPF是矩形，连接AP,由矩形的性质可知，AP经

过点M,AM=^EF=所以当AP±BC时,AP的最小值=笔=”，AM的最小值：=[x?=*

zZDC5，55

【典型题2】★★如图在口ABCD中,AD=7,AB=2V3,ZB=60°.E是边BC上任意一点，沿AE剪开，将AABE沿

BC方向平移到ADCF的位置，得到四边形AEFD,则四边形AEFD周长的最小值为.

AD

BECF

【思路分析】从结论入手分析，四边形AEFD的周长等于2AD+2AE,AD长度固定,只有让AE取最小值，因此

当AE±BC时，四边形AEFD的周长最小，利用直角三角形的性质解答即可.

【答案解析】解：当AEXBC时，四边形AEFD的周长最小.

•••AE1BC,AB=2V3,4B=60AE=3,BE=V3,VAABE沿BC方向平移到ADCF的位置,二

EF=BC=AD=7,...四边形AEFD周长的最小值为:14+6=20,故答案为20.

【规律总结】线段之和的问题往往是将各条线段串联起来，再连接首尾端点，根据两点之间线段最短以及点到

线的距离垂线段最短的基本依据解决.

【典型题3】★★如图，已知直线RIHli、k之间的距离为8,点P到直线11的距离为6,点Q到直线L的距离

为4,PQ-在直线11上有一动点A,直线L上有一动点B,满足AB_L12」且PA+AB+BQ最小，此时PA

【思路分析】从题目条件入手分析，进行PA和BQ的等量代换.作PEA】于E交12于F,在PF上截取PC=8,连

接QC交％于B,作BA，。于A,此时PA+AB+BQ最短作QDXPF于D.首先证明四边形ABCP是平行四边

形,PA+BQ=CB+BQ=QC利用勾股定理即可解决问题.

【答案解析】解:作PEL】于E交b于F,在PF上截取PC=8,连接QC交L于B,作BAL1于A.此时PA+AB

+BQ最短作QDXPFTD.

在RtAPQD中,：ZD=90°,PQ=4V30PD=18,DQ=JPQ2-PD2.

'：AB=PC=8,AB//PC,.,.四边形ABCP是平行四边形,，PA=BC,PA+BQ=CB+BQ=QC=

y/DQ2+CD2yjPQ2+CD2-PD2=J(4同J+102-182=16.

【典型题4]★★如图，在等边三角形ABC中,BC边上的高AD=6,E是高AD上的一个动点，F是边AB上

的中点，在点E运动的过程中，存在EB+EF的最小值，则这个最小值是.

BDC

【思路分析】此题先从结论入手分析，明显不能直接得出EB+EF的最小值，因此需要将其中1条或者2条线

段等量转化为其他线段.再从题目条件分析，显然B和C关于AD对称，连接CE,此时求EB+EF的最小值就

转化为求EC+EF的最小值,故当点E为FC与AD的交点时（即当F、E、C三点共线时）,EC+EF的最小值为

FC,所求问题可解.

【答案解析】如图，连接CF.

BDC

•.•等边AABC中,AD是BC边上的中线,，AD是BC边上的高线,即AD垂直平分BC,；.EB=EC,当B、F、E

三点共线时,EF+EC=EF+BE=CF,Y等边AABC中,F是AB边的中点,，AD=CF=6,：.EF+BE的最小值为6.

【典型题5】★★★如图.在正方形ABCD中.E,F分别为AD,BC的中点,P为对角线BD上的一个动点，则下

列线段的长等于AP+EP最小值的是（）

_£

FC

B.DEC.BDD.AF

【思路分析】从结论入手分析，明显不能直接得出AP+EP的最小值，因此需要将其中1条或者2条线段等量

转化为其他线段.再从题目条件分析点E关于BD的对称点E，在线段CD上，可得E为CD中点，连接AE；它与BD

的交点即为点P,PA+PE的最小值就是线段AE的长度洞理，也可取A关于BD的对称点C,连接EC即可）.

【答案解析】过点E作关于BD的对称点E,连接AE,交BD于点P,PA+PE的最小值AE.

VE为AD的中点为CD的中点,；四边形ABCD是正方形,二易证AABF咨AADE,；.AE=AF.故选D.

AE_r>

BF

【规律总结】利用轴对称解决最短路线问题.

【典型题6】★★★如图,R3ABC中,NBAC=9（T,AB=3,AC=6或点D,E分别是，边BC,AC上的动点则DA

+DE的最小值为

【思路分析】从结论入手分析，明显不能直接得出DA+DE的最小值，因此需要将其中1条或者2条线段等量

转化为其他线段.再从题目条件分析，如下图，作A关于BC的对称点A；连接AA：交BC于F,过A作A1E±AC于

点E,交BC于点D,则AD=AD,此时AD+DE的值最小，就是A'E的长.

%

【答案解析】解作A关于BC的对称点A；连接AA:交BC于F,过A作A'E±AC于E,交BC于D,则AD=AD,

此时AD+DE的值最小，就是A'E的长；

2

RtAABC中,NBAC=90°,AB=3,AC=6a,：.BC=Js+（6&）?=9,SABC=^AB-AC=•AF,•••3X

6V2=9AF.AF=2vx.•.AA'=2AF=4V2,v^A'FD=乙DEC=90°,ZA'DF=ZCDE,.\ZA'=ZC,

ZAEA'=ZBAC=90。,；.AAEA'sBAC,：.—==华,A'E=—,即AD+DE的最小值是—

BCAC96V233

【典型题7】★★★如图，在AABC中,AB=2,/ABC=6（T,NACB=45O,D是BC的中点，直线1经过点D,AE，

1,BFL,垂足分别为E,F,则AE+BF的最大值为.

【思路分析】此题先从结论入手分析，明显不能直接得出AE+BF的最大值，因此需要将其中1条或者2条线

段等量转化为其他线段.再从题目条件分析，做如下图的辅助线，将BF转化为CK,延长AE,过点C作CNXAE于

点N,可得AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN,止匕时求AE+BF的最大值就转化为求AN的最大值.

【答案解析】解：如图，过点C作CKL于点K,过点A作AHLBC于点H,

在RtAAHB中，

,//ABC=60。,AB=2,；.BH=1,AH=百，在RtAAHC中，ZACB=45°,.\AC=yjAH2+CH2=

J(V3)2+(V3)2=V6,

:点D为BC中点,；.BD=CD,

在ABFD与ACKD中.

ZBFD=/.CKD=90°,

乙BDF=4CDK,

BD=CD

：.ABFD^ACKD(AAS),BF=CK,

延长AE,过点C作CN±AE于点N,可得AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN,

在RtAACN中,AN<AC,当直线1J_AC时，最大值为限

综上所述，AE+BF的最大值为V6

【规律总结】求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中，在该三角形中，其他两边是已知

的，则所求线段的最大值为其他两线段之和，最小值为其他两线段之差.

【典型题8】★★如图，点P是/AOB内任意一点,OP=5cm,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，

△PMN周长的最小值是5cm,则/AOB的度数是().

【思路分析】此题从题目条件入手分析，抓住2PMN周长的最小值”，MN不变，需要将PN和OM根据对

称轴性质进行等量代换.分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD,分别交OA、OB于点M、N,连接OC、

OD、PM、PN、MN,由对称的性质得出PM=CM,OP=OC,ZCOA=/POA;PN=DN,OP=OD,/DOB=/POB,得出

^AOB=|ZCOD,TiEttiAOCD是等边三角形狷出/COD=60。,即可得出结果.

【答案解析】解:分别作点P关于OA、OB的对称点C、D,连接CD,

分别交OA、OB于点M、N,连接OC、OD、PM、PN、MN,如图所示:

丁点P关于OB的对称点为C,关于OA的对称点为D,；.PM=CM,OP=OC,NCOA=/POA;：点P关于OB

的对称点为D,，PN=DN,OP=OD,/DOB=ZPOB,.*.OC=OP=OD/AOB=[NC。。,•••PMN周长的最小值是5cm,

PM+PN+MN=5,CM+DN+MN=5,即CD=5=OP,OC=OD=CD,即ZkOCD是等边三角形.ZCOD=60°,Z

AOB=30°.

【典型题9】、★★★如图，正方形ABCD的边长为4,E在CD上,DE=1,点M,N在BC上，且MN=2,求四

边形AMNE周长的最小值.

【思路分析】四边形AMNE的边长AE和MN是定值，于是转化为求AM+EN的最小值.

【答案解析】如图，在AD上取一点A1使得AA，=MN=2,作A关于BC的对称点A",连接A”E交BC于N.

四边形AMNE的周长=AM+MN+EN+AE,其中MN=2,AE=y/AD2+DE2=V17,AM+EN=A'N+EN=

A'N+EN=AEE为AM+EN的最小值，A"E=A/72+22=宿,四边形AMNE的周长的最小值为V53+2+

V17.

【规律总结】求四边形周长的最值，或者求三条线段和的最值，两动点间距离一定，另两点为定点，将两动点

进行平移，再作一定点的对称点，将问题转化成两线段和的问题，然后求解.

【典型题10]★★★如图，矩形ABCD中,AB=3,BC=4,E为直线BC上一点

⑴如图①，当E在线段BC上且DE=AD时，求BE的长

⑵如图②，当E为BC边延长线上一点，且BD=BE时，连接DE,M为DE的中点，连接AM,CM.求证:AM，CM;

图①图②

（3）如图③，在⑵的条件下，点P,Q为AD边上的两个动点，且PQ=接连接PB,MQ,则四边形PBMQ周长的最

小值为.

图③

【思路分析】（3）四边形PBMQ的边长PQ和MB是定值，于是转化为求PB+QM的最小值.

【答案解析】(1)DE=AD,ABCD为矩形,AD=BC=4=DE,DC=AB=3,

在RtADCE中，CE=<DE2-DC2=V7,BE=4一巾;

⑵如图，连接BM.

VBD=BE,M为DE的中点ADBE为等腰三角形,.,.BM_LDE,；.ZBMD=90°,

易证AADM名△BCM（SAS）（这里略去证明过程）；.NAMD=/BMC,

ZAMD+ZAMB=/BMC+/AMB=NBMD=90。,；.AM_LCM.

(3)四边形PBMQ的周长=PB+BM+MQ+PQ,PQ=j,MB=字(此处略去求解过程).PBMQ的周长最小

时,PB+QM值最小.

如图，作MN〃PQ,且MN=PQ作点B关于AD对称点B：连接B'N交于AD于P.

则PN=QM,PB'=PB,PB+QM=PB'+PN>B'N=等此处略去求解过程）.

四边形PBMQ周长的最小值为1+?+蜉.

【典型题II】★★★如图，菱形ABCD的边长为l,NABC=60。,点E是边AB上任意一点（端点除外），线段CE

的垂直平分线交BD,CE分别于点F,G,AE,EF的中点分别为M,N.

⑴求证:AF=EF;

⑵求MN+NG的最小值；

⑶当点E在AB上运动时,NCEF的大小是否变化？为什么?

【思路分析】(1)连接CF,可得CF=EF,又由菱形的对称性可得和CF=AF,通过等量代换即可证明AF=EF.

⑵要求出MN+NG的最小值，根据题目条件，MN和NG均为三角形中位线，因此等量代换为求AF+CF的最

小值.连接CF.当A、F、C三点共线时，AF+CF有最小值.

(3)ZCEF不变.这道题有多种思路解法.

解法1“延长EF,交DC于H”,利用外角的性质推导证明.

解法2：AFGE为直角三角形，点N为EF中点,.・.GN=FN=EN.

VAF=CF=EF,N为EF中点,MN=GN=FN=EN,.\F、M、E、G四点在以N为圆心、EF为直径的圆上.

,/圆周角ZEFG和/GME对着同一条圆弧,ZEFG=ZGME.

又可得出ZGME=ZCAB=60°,ZEFG=60°,NCEF=NFGE-NEFG=90。-60。=30。(为定值).

【答案解析】⑴如图连接CF.

DC

,/FG垂直平分CE,.\CF=EF,：四边形ABCD为菱形,.•.点A和点C关于对角线BD对称,CF=AF,

AF=EF;

(2)如图，连接AC、CF.

VM和N分别是AE和EF的中点，点G为CE中点，:MN=^AF,NG=[CF,即MN+NG=^AF+CF),

当点F与菱形ABCD对角线交点O重合时,AF+CF最小，即此时MN+NG最小,•菱形ABCD边长为1,ZABC

=60。,...△ABC为等边三角形,AC=AB=1,即MN+NG的最小值为

⑶不变，理由是:延长EF,交DC于H.

ZCFH=ZFCE+ZFEC,ZAFH=ZFAE+ZFEA,.\/AFC=/FCE+/FEC+/FAE+NFEA,：点F在

菱形ABCD对角线BD上，根据菱形的对称性可得：ZAFD=ZCFD=|zAFC,•/AF=CF=EF,ZFAE=ZFEA,Z

FEC=ZFCE,.\/AFD=/FAE+ZABF=ZFAE+ZCEF,/.ZABF=ZCEF,V/ABC=60°,；.ZABF=Z

CEF=30。为定值.

【说明】本节重点是本题第(1)(2)小题，第(3)小题的外接圆后面会继续介绍.

【典型题12]★★★★如图,正方形ABCD的边长为6,M为AB的中点,AMBE为等边三角形，过点E作ME

的垂线分别与边AD、BC相交于点F、G,点P、Q分别在线段EF、BC上运动，目满足/PMQ=60。,连接PQ.

(1)求证:AMEP^AMBQ.

(2)当点Q在线段GC上时,试判断PF+GQ的值是否变化？如果不变，求出这个值，如果变化，请说明理由.

⑶设/QMB=o^B关于QM的对称点为B；若点B落在AMPQ的内部，试写出a的范围，并说明理由.

【思路分析】(2)PF和GQ不在同一条线段上，但是PF在线段FG上，通过作辅助线求得FG,再利用第(1)

小题结论,AMEP三AMBQ,可得PE=BG+GQ,使得PF和GQ“取得联系”，再作辅助线将BG转换成FD上的线段

GE.

⑶点B关于QM的对称点为B1寻求B的边界点，依题意画出示意图，按照B，落在PQ上时和当点B，落在MP

上时分别求解，得出a的范围.

【答案解析】证明：(1)：正方形ABCD的边长为6,M为AB的中点，

ZA=ZABC=90°,AB=BC=6,

AM=BM=3,VAMBE是等边三角形，

/.MB=ME=BE,ZBME=ZPMQ=60°,

/.ZBMQ=ZPME,

又：ZABC=ZMEP=90°,

AMBQ=AMEP(ASA).

⑵PF+GQ的值不变，理由如下:如图，连接MG,过点F作FHLBC于H,

,.・ME=MB,MG=MG,

RtAMBG=RtAMEG(HL),

.*.BG=GE,ZBMG=ZEMG=30°,

NBG"NEGM—器*,BG=b,

ZBGM=ZEGM=60°,GE=V3

ZFGH=60°,

•・・FH=CD=6,

.，厂「口FH^36

•••smZ.FGH=——=—=——，

FG2FG

：.FG=4V3,VAMBQaAMEP,

BQ=PE,・•・PE=BQ=BG+GQ,

FG=EG+PE+FP=EG+BG+GQ+PF=2V3+GQ+PF,.•・GQ+PF=2A/3.

⑶如图.当点B落在PQ上时,

△MBQ乌△MEP,

MQ=MP,：ZQMP=60°,

AMPQ是等边三角形，当点B，落在PQ上时.点B关于QM的对称点为B；

AMBQaAMB'Q,

/.ZMBQ=ZMB'Q=90°

/.ZQME=30°.

点B与点E重合，点Q与点G重合,

“MB=乙QMB'=a=30°.

如图，当点B落在MP上时,

AF,D

M

B/GQC

同理可求："MB=4QMB'=a=60°,

.•.当30。＜”60。时点B落在AMPQ的内部.

类型二：线段的最值

典例精析

【典型题1】★★如图，在RtAAOB中QB=2V3,ZA=30°,OO的半径为1,点P是AB边上的动点，过点P作

©0的一条切线PQ（其中点Q为切点），则线段PQ长度的最小值为

【思路分析】PQ=70P2-1,根据垂线段最短得到当OPLAB时,0P最小.

【答案解析】如图，连接OP、OQ作OP」AB于P,

•••PQ是。O的切线,•♦•OQLPQ,

PQ=[OP?_0Q2=70P2_i,

当OP最小时，线段PQ长度最小,

当OPLAB时,OP最小，

在RtAAOB中,NA=30°,

0B/

OCAA=---=6,

tan/

在R3AOP，中,NA=30。，

1

・•・OP'=-0A=3,

2

二・线段PQ长度的最小值=V32-1=2V2.

【典型题2】★★★如图.在=ABCD中,/B=6(F,AB=10,BC=8点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长

至点F,使得DF=：DE以EC、EF为邻边构造口EFGC,连接EG则EG的最小值为_______.

4

【思路分析】利用垂线段最短求最值.如解析中图，EG的最小值即EP的最小值，当EPXCD时,EP取得最

小值.

【答案解析】解:如图，作CHXAB于点H,EG与CD交于点P.

•.•在口ABCD中,NB=6(T,BC=8,

CH=4V3.

四边形ECGF是平行四边形，

；.EF〃CG,

AEPDAGPC,—=—=

GPPCGC

CLDE4ED4

DF=-DE,•••—=一，，一=

4EF5GC5

当EP取得最小值时，EG即可取得最小值,

当EPXCD时,EP取得最小值,

CH=EP,,­.EP=4V3,GP=5V3,

:.EG的最小值是9V3

【典型题3】★★★如图，已知直线丫=-旧久+4与x、y轴交于A、B两点,。O的半径为1,P为AB上一动

点,PQ切。。于Q点.当线段PQ长取最小值时，直线PQ交y轴于M点，a为过点M的一条直线，则点P到

直线a的距离的最大值为.

【思路分析】当OP最小时PQ长取最小值，此时OPLAB，若使点P到直线a的距离最大，则最大值为PM,

且M位于x轴下方.

【答案解析】解：如图，

在直线y——V3x+4_b,x=0时,y=4,当y=0时，x=——,•••OB=4,OA=——■tanZ-OBA=一=一,/.Z,OBA=

330B3

30。，由PQ切。O于Q点可知:OQ，PQ,PQ=^OP2-OQ2,

当OP最小时PQ长取最小值，止匕时OP1AB,：.OP=^OB=2,

止匕时PQ=V22-I2=®BP=V42-22=2V3,OQ=^OP,即NOPQ=30。，

若使点P到直线a的距离最大，则最大值为PM,且M位于x轴下方,

过点P作PELy轴于点E,

EP=\BP=V3,

BE=J(2V3)2-(V3)2=3,

.•.OE=4-3=1,

VOE=|OP,.\ZOPE=30°,

.­.乙EPM=30°+30°=60°,

即ZEMP=30°,PM=2EP=2V3

【典型题4]★★★如图，边长为6的等边AABC，点E是对称轴AD上的一个动点，连接EC,将线段EC绕

点C逆时针旋转60。得到FC,连接DF,则在点E的运动过程中，求DF的最小值

4

B5K~/^C

F

【思路分析】本题采用两种方法，相同之处是构造全等三角形，将DF转化为另一条线段.其本质是利用垂线段

最短求最值.

【答案解析】方法1：取AC的中点F1,连接EF.

易证AFCE丝4DCF（这里略去证明过程）,F,E=DF,

,/F'EBAADC的中位线时FE最小，

.•.当FE〃BC时,FE最小，此时FE=|

方法2:连接BF,易证AAEC丝ABFC（这里略去证明过程）,

ZCBF=ZDAC=30°,

作DHJ_BF于点H,由垂线段最短DFNDH,

ADF的最小值=DH=^BD=1-BC=1

242

【典型题5】★★★如图,/ACB=9（F,BC=8,AC=6j^P为AC上一动点，连接BP,CM，BP于点M,求AM的最

小值.

Bi

\M\

【思路分析】已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线（见辅助线章节）.因此连接直角三角形斜边中线

求最值.取BC的中点。，则MO,A0为定值.其本质是利用三角形的三边关系求最值.

【答案解析】解：如图，取CB中点O,连接AO,MO.

,--AM+MO>AO,

AM>2V13-4,

.,.AM的最小值为一4.

【典型题6】如图，在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,E,F分别为AB,CD边的中点动点P从点E出发沿EA向

点A运动，同时，动点Q从点F出发沿FC向点C运动，连接PQ,过点B作BH_LPQ于点H,连接DH.若点P的

速度是点Q速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段PQ长度的最大值为线段DH

长度的最小值为.

【思路分析】连接EF交PQ于M,连接BM取BM的中点O,连接OHQD,过点O作ONLCD于N.当点P与

A重合时,PQ的值最大；要求线段DH的最小值，将DH放在AODH中，利用三角形的三边关系求最值.求出OD,

OH即可解决问题.

【答案解析】解:连接EF交PQ于M,连接BM,取BM的中点O,连接OHQD.过点。作ONLCD于N.

,/四边形ABCD是矩形,DF=CF,AE=EB,...四边形ADFE是矩形,EF=AD=3,

FQ//PE,ZkMFQs△MEP,MF=FPPE,

".,PE=2FQ,.\EM=2MF,

.*.EM=2,FM=1,

当点P与A重合时，PQ的值最大，此时

PM=>JAE2+ME2=V22+22=2&,

MQ=y/FQ2+MF2=Vl2+l2=V2,

PQ=3V2,

MF〃ON〃BC,MO=OB,

；.FN=CN=1,DN=DF+FN=3,ON=|(FM+BC)=2,

：.OD=y/DN2+ON2=V32+22=V13,

VBH±PQ,.\ZBHM=90°,

VOM=OB,

OH=-BM=ixV22+22=V2,

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VDH>OD-OH,.*.DH>V13-V2

ADH的最小值为V13-V2.

【典型题7】★★★如图，在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,E是AB边的中点,F是线段BC上的动点，将AEBF沿

EF所在直线折叠得到AEBF连接BD,则BD的最小值是（）.

C.2V13-2D.4

【思路分析】当/BFE=NDEF,点B，在DE上时，此时BD的值最小，根据勾股定理求出DE,根据折叠的性质

可知B'E=BE=2,DE-B'E即为所求.

【答案解析】解:如图，当NBFE=/DEF,点B在DE上时,此时BD的值最小.

根据折叠的性质,AEBF0AEB'F,

.•.FB'±ED,.\EB'=EB,

：E是AB边的中点,AB=4,

AE=EB'=2,

•••AD=6,：.DE=V62+22=2”U,

DB'=2V10-2.

【规律总结】翻折变换，两点之间线段最短的综合运用，确定点B，在何位置时，BD的值最小，是解决问题的

关键.

【典型题8】★★★如图,AABC是等边三角形,AB=4,E是AC的中点,D是直线BC上一动点，线段ED绕

点E逆时针旋转90。，得到线段EF,当点D运动时，求AF的最小值.

【思路分析】构造全等三角形，设未知数，根据勾股定理列方程，利用二次函数性质求最值.注意D是直线BC

上的动点.

【答案解析】如图，作DM_LAC于M,FN_LAC于N.设DM=x.

在ACDM中，CM=日。用=?居则EM=2-yx.

•易证AEDM0△FEN（证明过程略）,

・•.DM=EN=x,EM=NF=2——x,AN=2+x.

在RtAAFN中,AF2=（2-yx）+（2+x）2=+萼）+4+2V3,

此时.A户没有最小值.

当D在BC的延长线上时，设DM=EN=y,

EM=2+Ry,EN=2-y.（此时可理解为y=-x）

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.•.在RtAAFN中，AF2=（2+乎%）+（2-y）2=^（y-等）+4+2b，当y=时小产有最小值4+

2V3,AF的最小值=V4+2V3=V3+1.

【规律总结】设未知数，根据题目条件列方程，利用二次函数性质求最值.此方法在第三部分会重点讲解，是解

压轴题的基本方法.

【典型题9】★★★如图,圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为32cm,在杯内壁离杯底5cm的点B处有一

滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最

短距离为cm（杯壁厚度不计）.

【思路分析】平面展开——最短路径问题.将圆柱体侧面展开，过B作BQLEF于Q,作A关于EH的对称点

A：连接AB交EH于P,连接AP,则AP+PB就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出AQ,BQ,根据勾股定理求出AB

即可.

【答案解析】解：如图，沿过A的圆柱形的高剪开，得到矩形EFGH过B作BQXEF于Q,作