2025年中考数学几何模型归纳训练：全等三角形模型之奔驰模型解读与提分训练（解析版）

专题17全等三角形模型之奔驰模型

对于奔驰模型我们主要是可以通过一些几何变化，把其中的线段进行转移，以达到聚合条件，推出我

们想要的结论的目的。对于几何变化，目前学过的主要有：轴对称，平移，旋转，位似等。对于“奔驰模型”

我们主要采用旋转的方法进行变换。对于旋转处理，我们主要分为：旋转全等，旋转相似。今天的这主要

讲“奔驰模型”之旋转全等类型。

大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒

置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样

才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法

的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中

提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因

为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几

何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每

一个题型，做到活学活用！

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例题讲模型

模型1.奔驰模型1（点在等边三角形内）...............................................2

模型2.奔驰模型2（点在等腰直角三角形内）..........................................7

模型3.奔驰模型3（点在三角形外-鸡爪模型）.........................................13

习题练模型一

.........................................................................................................................................18

例题讲模型］

模型1.奔驰模型1（点在等边三角形内）

模型解读

此模型通常会和旋转一起来考查，还会综合勾股定理的知识来解题。为什么和旋转-起考查，因为旋转的特

征是:共顶点等线段。等边三角形，三边相等，每一个顶点出发都有两个相等线段，都符合共顶点等线段。

等边三角形三个顶点都可以作为旋转中心（如上图的旋转）。

条件：如图，已知正三角形内有一点P,^SzP^+PB-=PC-（常考数据：BP=3,AP=4,CP=5）,

结论：NAP8=150。。（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明）

AA

常用结论等边三角形的面积公式：5.「=心乂32（选填题非常适用）

△AoC4

模型证明

证明：以AP为边向左侧作等边三角形APP,连接PC。

•.•三角形ABC和三角形/尸产都为等边三角形；：.AB^AC,AP=AP'=PP',ZBAC=ZPAP=ZPP'A=60°；

,,

：.ZBAC-ZPAC=ZR4P-ZR\C,：.ZBAP=ZPAC,：.^ABP=^ACP\SASy：.BP=CP',NAPB=/AP'C；

,：PA2+PB-=PC1,；.PP-+PC2=PC',/./PP'C=90°,

：./4P'C=NPP'C+/PP'4=150°；：.ZAPB=150%

模型运用

注意：多线段共端点常考旋转。

例1.（23-24八年级下广东深圳•期中）如图，点P是等边三角形ABC内的一点，且PA=2,BB=1.5,PC=2.5,

则/APB的度数为0.

A

【答案】150

【分析】将绕点2逆时针旋转60。后得到的首先证明AP3C丝AEBA,推出PB=£B,

ZEBP=ZABC=60°,所以VBPQ为等边三角形，得NBQP=60°,可得PE=PB=1.5,ZEPB=60°,

AE=PC=2.5,PA=2,即可得到VAPE为直角三角形，则NAPE=90。，所以N4P8=90。+60。=150。；由此

即可解决问题.

【详解】解：如图，将ABPC绕点8逆时针旋转60。后得到的43瓦L.

:.APBC'EBA,：.PB=EB,ZEBP=ZABC=60°,

：.APBE为等边三角形，:.PE=PB=15,NEPB=60°,

VAE^PC=2.5,PA=2,：.PE5+AP2=AE2,，VAPE为直角三角形，

ZAPE=90°,：.ZAPS=90°+60°=150°；故答案为：150.

【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是勾股

定理逆定理的应用，属于中考常考题型.

例2.（2022・湖南・中考真题）如图，点。是等边三角形A3C内一点，OA=2,OB=1,OC=百，则AAOB

与ABOC的面积之和为（）

【答案】C

【分析】将AAO3绕点2顺时针旋转60。得ABCD,连接O。，得到ABOD是等边三角形，再利用勾股定理

的逆定理可得/COD=90。，从而求解.

【详解】解：将AAC®绕点8顺时针旋转60。得ABCD,连接0。，

4

:.OB=OD,400=60。，CD=OA=2,..ABOD是等边三角形，:.OD=OB=1,

•：OD2+OC2=12+(V3)2=4,CD2=22=4,:.OD2+OC2=CD2,:.ZDOC=90°,

.•.AAO3与ABOC的面积之和为SBOC+SBC»=SBOD+SCOD=*xF+Lxlx^=圭叵.故选：C.

△oC/C△2>C£z^tSUL)△CC/ZJ42,4

【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质等知识，利用旋转将

AAOB与NB0C的面积之和转化为S.BOC+S、BCD,是解题的关键.

例3.(2024.重庆沙坪坝.模拟预测)如图，VABC,ACDE都是等边三角形，将ACDE绕点C旋转，使得点

A,D,E在同一直线上，连接BE.若BE=2,AE=7,则CO的长是.

【答案】5

【分析】本题主要考查等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是

解题的关键.根据题意证明氯方£之ACW(SAS),即可求解.

【详解】解：VABC,ACDE都是等边三角形，.•.3C=AC,CE=r)C,ZACB=ZDCE=60°,

ZACD+ZDCB=ZACB=60°,ZDCB+NBCE=ZDCE=60°,/.ZACD=NBCE,

BC=AC

在ACBE和△C4D中，</BCE=ZACD,/.△CBE^AC4D(SAS),.,BE=AD,

CE=DC

■:BE=2,AE=7,:.BE=AD=2,DE=AE—AD=7—2=5,CD=5.故答案为：5.

例4.（2024•安徽・一模）如图，P是等边三角形ABC内的一点，且口=3,尸3=4,PC=5,以为边在AABC

外作△BQC/ABPA,连接PQ,则以下结论中不正确的是（）

A.ZPBQ=60°B.ZPQC=90°C.ZAPC=120°D.ZAPB=150°

【答案】C

【分析】根据AABC是等边三角形，Wt±SZABC=60°,m^BQC^ABPA,得出PB=QB=4,

PA=QC=3,ZBPA=ZBQC,求出/尸8。=60。，即可判断A；根据勾股定理的逆定理即可判断B；根据ABP。

是等边三角形，MC。是直角三角形即可判断D；求出NAPC=15C）o-NQPC,和PCr2QC,可得/。产小30。，

即可判断C.

【详解】解：:△ABC是等边三角形，.•.NABC=60。，

V/\BQC^/\BPA,：.ZCBQ=ZABP,PB=QB=4,PA=QC=3,ZBPA=ZBQC,

：.ZPBQ=ZPBC+ZCBQ=ZPBC+ZABP=ZABC=60°,所以A正确，不符合题意；

PQ=PB=4,PQ2+QC2=42+32=25,PC2=52=25,J.PQ^QC^PC2,

.../PQC=90。，所以B正确，不符合题意；

;PB=QB=4,ZPBQ=60°,；.ABP。是等边三角形，AZBPQ=60°,

：.ZAPB=ZBQC=ZBQP+ZPQC=6Q°+90°=150°,所以D正确，不符合题意；

ZAPC=360°-150°-60°-ZQPC=150°-ZQPC,；PC=5,QC=PA=?>,：.PC^2QC,

,/ZPQC=90°,：.ZQPC^30°,：.ZAPC^UO0.所以C不正确，符合题意.故选：C.

【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理，解决

本题的关键是综合应用以上知识.

例5.（24-25九年级上•广东广州•开学考试）如图，。是正VABC内一点，OA=3,OB=4,OC=5,将线

段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60。得到线段8。，下列结论，①△BO'A可以由ABOC绕点B逆时针旋

转60。得到；②点。与。'的距离为5；③NAO3=150。；④四边形AO8OC面积=6+4括；⑤

SAAG+SAAOB=6+；G，其中正确的结论是（）

A.①④⑤B.①③④C.①③④⑤D.①③⑤

【答案】C

【分析】根据正二角形性质，得AB=BC=AC,NABC=60°；根据旋转的性质，得NO8O=60。，BO=BO',

根据等边三角形的性质，可判断②，通过证明△3OA四△BOC,即可判断①；根据勾股定理逆定理，得

NAOO'=90。，结合等边三角形△030，，可判断③；根据等腰三角形三线合一和勾股定理的性质，可计算

得从而判断④；VAO3绕点A逆时针旋转60。得到AAMC,根据等腰三角形、勾股定理及其逆定理

的性质计算，可判断⑤，即可得到答案.

【详解】解：连接OO',如下图：：正VABC：.AB^BC=AC,ZABC=60°

•..线段8。以点8为旋转中心逆时针旋转60。得到线段30',

AZOB(y=60°,BO=BO'；.△03。为等边三角形。9'=。8=4,即②错误；

Z.OBO=ZABO+ZABO'=60°,ZABC=ZABO+ZOBC=60°；.AABCf=Z.OBC

AB=BC

△BOA和ABOC中<NABO'=ZOBC：.ABOgABOC

BO'=BO

/.O'A=OC=5,ABO'A可以由.BOC绕点B逆时针旋转60°得到，即①正确；

VOO'=OB=4,OA=3：.O'A2=OO'2+OA2，ZAOO'=90°

△030,为等边三角形，NBOO=60°/.ZAOB=ZAOO'+ZBOO'=150°,即③正确；

VZAOO'=90°：.S^AOO.=|AOXOO'=1X3X4=6过点3做BNLOO',交OO'于点N

AAA

12

•••AOBO'为等边三角形ZBNO=30°/.ON=；OB=2：.BN=4OB-ON=2百

•*.SROBO,=；OO'XBN=94X26=46，四边形AOBOC面积=S»oo,=6+4省,即④正确；

•.•正VABC...VAOB绕点A逆时针旋转60。得到AAMC,如下图：

VZOAM=60°,AO^AM=3,MC=OB=4,S^AOB=SlAMC，AAOM为等边三角形QW=AO=Al/=3

13

过点A做AGLOM,交OM于点G,如下图：T△AOM为等边三角形，NQ4G=30。AOG=-OM=-

22

•_/77A2―373,_14心CA/_13由9A/3

••AG—7OA—OG------••S——AGxQAf——x--Q----x3—-----

2△A2nM224

222

VMC=4,OM=3fOC=5：.OC=MC+OM：.ZOMC=90°

11

S^OMC=20MXMC=2X^X^=6SAAMC+SAA"=S.AOM+S&OMC+6

•••S.B+L℃=LMC+L℃=?+6,即⑤正确；故选：C

【点睛】本题考查了等边三角形、旋转、全等三角形、勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握旋

转、等边三角形、等腰三角形三线合一、勾股定理及其逆定理的性质，从而完成求解.

模型2.奔驰模型2（点在等腰直角三角形内）

模型解读

条件：如图，已知等腰直角三角形ABC内有一点P,满足尸4+（0PAy=PC?,

结论：ZCPB=135°.（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明）

A

BCBC

证明：以AP为边向左侧作等腰直角三角形ZPP',连接尸'C。

•..三角形ABC和三角形NPP'都为等腰直角三角形；

：.AB=AC,AP=AP',NBAC=NR4P'=90°,P,P=^PA,ZAP,P=45°；

,

：.ZBAC-ZPAC=ZR4P-ZR\C,：.ZPAB=ZP'AC,：.^ABP=^ACP(SASy：.BP=CP',NAPB=NAP'C；

PB2+=PC2，PC~+PP2=PC2,；.ZPP'C=90°,

：.NAP'C=/PP'C+NPP'A=135°；：.ZAPB=135°»

模型运用

例1.（23-24九年级上•湖北孝感阶段练习）如图，等腰直角人4。，AC=BC,点P在AACB内，PC=2,

PA=3,/F4D=NACP则P8的长为（）

V17B.413C.572

【答案】A

【分析】先利用等腰直角3CB,4。=3。,得到/。止=45。，再证明NAP£>=45。，接着把ACBP绕点C

顺时针旋转90。得到VC4E,连接PE,根据旋转的性质得到CE=PC=2,AE=BP,NPCE=90°,则可判

断△（7如为等腰直角三角形，仄而PE坨PC=2叵ZCPE=45。，然后计算/APE=90。，从而利用勾股

定理计算出AE即可.

【详解】解：：等腰直角AACB,AC=BC,ZCAB=45°,

ZPAD=ZACP,/.ZAPD=ZACP+APAC=ZPAD+ZPAC=ZDAC=45°,

如下图，把ACBP绕点C顺时针旋转90。得到VC4E,连接PE,

/.CE=PC=2,AE=BP,NPCE=90°,为等腰直角三角形,

:•PE=0PC=2&NCPE=45°，Z.ZAPE=180°-ZAPD-ZCPE=180°-45°-45°=90°,

PB=AE=sJPE2+PA2=7（2A/2）2+32.故选：A.

【点睛】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质以及旋转的性质，对应点到旋转中心的距离

相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.熟练掌握旋转的性质是解

题的关键.

例2.（2024•黑龙江绥化•模拟预测）如图，在正方形ABC3外取一点E,连接DE,AE,CE,过点。作DE

的垂线交AE于点P,若DE=DP=0PC=2括则下列结论：①△APD四△CEO；®AE±CE；③点C

到直线DE的距离为26；④S正方形ABCD=26其中结论正确的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

［分析］利用正方形性质即可证明①,利用全等三角形性质即可推出②,过点C作CF，DE的延长线于点F,

利用勾股定理求出尸E,CE,再利用解直角三角形即可判断③，利用勾股定理得到C。，进而得到正方形面

积，即可判断④.

【详解】解：,四边形为正方形，，AD=Cr>,ZADC=90°=ZADP+ZPDC,

:DEYDP,：.ZEDP=90°=ZCDE+ZPDC,:.ZADP=ZCDE,

-：DE=DP=&,AAPD^ACED(SAS),故①正确；

ZEDP=90°,DE=DP=C，ZDEP=ZDPE=45°,

•••Z\APD也△CEDZ.DEC=ZDPA=180°-ZDPE=135°,

ZAEC=ZDEC-ZDEP=90°,:.AE±CE,故②正确；

过点C作CF,DE的延长线于点尸，如图所示，

C

1•,/EDP=90°,DE=DP=0，;.PE=^DE2+DP2=2，

VZAEC=90°,PC=2A/5,:.CE=qPC?-PE?=4,

■■ZDEP=ZDPE=45。，/.ZFEC=180°-ZAEC-ZDEP=45°,

•：NF=90。，：.NFCE=45o=NFEC,；.CF=CE.cos45o=2及,故③错误；

CF=2A/2，EF=2V2，DF=EF+DE=3>/2，/.CD=\lCF2+DF~=J26>

；•S正方形衿8=。。2=26,故④正确；综上所述，正确的有3个，故选：C.

【点睛】本题考查了全等三角形性质和判定，正方形性质，勾股定理，解直角三角形，垂直的判定，正方

形面积，解题的关键在于熟练掌握相关知识并灵活运用.

例3.（2023年湖北省武汉市中考一模）如图，中，ZACB=90°,AC=473,3C=6.点尸为AABC

内一点，且满足当PB的长度最小时，则的面积是.

【答案】6指

【分析】取AC中点O,连接。P,BO,由PA2+PC2=AC2即可得到NAPC=90。，再由3尸N3O-OP,可

得当点P在线段3。上时，BP有最小值，然后利用直角三角形的性质可得尸。=4。=。。=（4。=2百，即

可推出ZfiOC=60°,贝UACOP是等边三角形，求得ACOP的面积，根据OA=OC可得人心=25对”=6君.

【详解】解：如图，取AC的中点。，连接OP,BO,

•.•pe+Pc2=Ac2,，NAPC=90。，.•.点P在以AC为直径的圆上运动，

在中，BP>BO-OP,；.当点尸在线段30上时，3尸有最小值，

:点。是AC的中点，ZAPC=90°,/.PO=AO=CO=-AC=2y/3,

2

tanZBOC=—=5/3,AZBOC=60°,ACOP是等边三角形，

，SAC”=¥OC2=¥X12=3百，VOA=OC,：.S^ACP=2S^COP=6y/3,故答案为：6也.

【点睛】本题主要考查了正切的定义与特殊角的三角函数值，勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，直

角三角形斜边上的中线，等边三角形的性质与判定，解题的关键在于能够综合应用各种性质解题.

例4.(2024・河北•校考一模)如图1,在正方形内有一点P,PA=45,PB=M，PC=1,求NBPC

的度数.

图1图2图3

【分析问题】根据已知条件比较分散的特点，我们可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是

将ABPC绕点8逆时针旋转90。，得到了ABPA(如图2),然后连结PP,

【解决问题】请你通过计算求出图2中/3PC的度数；

【比类问题】如图3,若在正六边形ABCD跖内有一点P,且PA=2而，PB=4,PC=2.

(1)/3PC的度数为；(2)直接写出正六边形ABCDE厂的边长为—.

【答案】(1)135°；(2)120°；2币.

【分析】解决问题：由旋转的性质可得3P=5P=忘，/PBP=90。,ZBP'A=ZBPC,AP'=PC=1，然

后证明PA2=P4+PR?得至UZAP'P=9Q°,则ZBPC=ZBP'A=ZAPP+ZBP'P=135°；

(1)仿照【分析】中的思路，将ABPC绕点2逆时针旋转120。，得到了ABPA,连接PP<如图所示，根

据旋转的性质可得：APBC'PBA,从而得出尸尸为等腰三角形，

PB=PB=4,PC=P'A=2,ZBPC=ZBP'A,,由NP3P=120°,得到4PP=30°,可以求得「尸'=4-，

由勾股定理的逆定理就可以求出/APP=90。，从而得出结论;

(2)延长AP,作5GLAP于点G,在RUP'BG中，PB=4,/BPG=60。，就可以得出PG=2,BG=2&,,

则AG=P'G+PA=2+2=4,在Rt^ABG中，根据勾股定理得AB=4AG?+BG2=2a.

【详解】解决问题：由旋转的性质可得”=2尸=&,NPBP=90。,/BPA=NBPC,AP'=PC=i，

:.ZBPP=ZBPP=45。,p*[BP?+BP°=2，VPA2=(75)2=5,pfA2=l2=l-PP'2=22=4,

：.PA2=P'A2+PP'2，/.ZAPP=90°,；.ZBPC=ZBPA=ZAP'P+NBPP=135°；

(1)仿照【分析】中的思路，将ABPC绕点2逆时针旋转120。，得到了尸N,连接PP'.如图5,

:.APBC'P'BA,P'B=PB=4,PC=PA=2,ZBPC=NBPA,ABPP为等腰三角形，

：/PBP=120°,ZBP'P=3Q°,作3G_LPP于G,；.NPG3=90°,PP=2PG.

'：P'B=PB=4,ZBP'P=30°,：.BG=2,：.p'G=273?.PP'=473,

在AAPP中，PA=2V13,PP'=4A/3,P'A=2,APA2=52,PP'2=48,P'A2=4>

PA2=PP'2+P'A1•••△尸口4是直角三角形，，//止'尸=90。.

ZBPC=ZBP'A=30°+90°=120°.故答案为：120°

(2)延长AP"作3GJ_AP于点G,如图6,

在Rt△尸'3G中，P'B=4,ZBP'G=180°-ZAP'B=60°,AZP'BG=30°,

：.P'G=2,BG=2y/3,AG=PG+PA=2+2=4,

在RtAABG中，根据勾股定理得AB=+BG=2币.故答案为：2币

【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，多边形内角和，等腰三角形的性质与判定，含30度

角的直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握旋转的性质.

模型3.奔驰模型3（点在三角形外-鸡爪模型）

模型解读

模型1）条件：如图1,点尸在等边三角形ABC外，CP2+AP2=BP2,结论：ZCE4=30°o

模型2）条件：如图2,点P在等腰直角三角形ABC外，若C产+（714尸『=3尸2,结论：ZAPC=45°o

（注意：上述两个模型结论和条件互换也成立）

鸡爪就是模型本质就是通过旋转构造“手拉手”，构造出全等三角形，实现边的转化，结合勾股定理，非常有

意思。连完辅助线往往会产生新的直角三角形、等边三角形等。

模型证明

模型1）证明：以AP为边向右侧作等边三角形ADP,连接。C。

•三角形ABC和三角形AD尸都为等边三角形；：.AB=AC,AP=AD=DP,ZBAC=ZR\D^ZAPD=60°；

：.ZBAC+ZPAC=ZPAD+ZPAC,：,ZBAP=ZCAD,：.ABAP=^CAD（5A5）,；.BP=CD；

'：CP2+AP-=BP',；.PC2+DP2=CD2,：.ZDPC=90°,ZCB4=ZDPC-ZAPD=30°。

模型2）证明：以AP为边向上方作等腰直角三角形NPP',且/B4O=90。，连接PC。

•..三角形48c和三角形AP。都为等腰直角三角形；

：.AB=AC,AP=AD,ZBAC=ZRiD=90°,DP=-J2PA,NAPD=45°；

AZBAC+ZPAC=ZR\D+ZPAC,：.ZPAB=ZDAC,：,AABP=AACD（SAS），:.BP=CD；

CP。+（也AP『=BP2，CP2+DP2=CD2,：.ZDPC=90°,：.ZAPC=ZDPC-ZAPD=45°□

模型运用

例1.（2024九年级上.重庆・专题练习）如图，P是等边三角形A3C外一点，PA=3,PB=4,PC=5,求

的度数.

【答案】30°

【分析】由等边三角形的性质可知，BA=BC,ZACB=60。；将绕点C顺时针旋转60。得△BCD,

连PO,首先证明△产□）为等边三角形，可确定尸。=△7=5,由勾股定理的逆定理可证明"3。为直角三

角形，且/P3D=90。，然后计算"％的度数即可.

【详解】解：：VABC为等边三角形，.•.3A=3C,ZACB=60°,

可将绕点C顺时针旋转60。得△BCD,连尸£）,如下图，

/.BD=AP=4,CD=PC=5,ZPCD=60°,ZDBC=ZPAC,△PCD为等边三角形，PD=PC=5,

在△P3D中，PD=5,BD=3,尸3=4,：.PD2=PB2+,；.AP5D为直角三角形，且/尸应）=90。，

ZPBC+ZCBD=ZPBC+ZPAC=360°-ZPBD=270°,

ZBPA=360°-（ZPBC+APAC）-ZACB=360°-270°-60°=30°.

【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理、四边形内角和等知

识，正确作出辅助线，构建直角三角形和等边三角形是解题关键.

例2.（2023•广西贺州•二模）如图，点尸为等边三角形A3C外一点，连接PA,PC,若上4=7,尸3=9,

ZAPB=30°,则尸C的长是.

B

【答案］V130

【分析】把尸8绕点8顺时针旋转60°，连接尸。，AQ,可证“PBQ是等边三角形，利用SAS证明APBC^QBA,

得出PC=0A,在Rt^APQ中，利用勾股定理求出A。，即可求解.

【详解】解：把PB绕点2顺时针旋转60。，连接尸3AQ,如图所示:

则尸B=NPBQ=60°,是等边三角形，.•.NQPB=60°,PQ=PB,

：VABC是等边三角形，：.AB=CB,NABC=60。，ZPBC=ZQBA=60°+ZPBA,

APBC丝AQBA（SAS）,/.PC=QA,;NQPB=60°,：.ZAPQ=90°,

又AP=7,PB=PQ=9,：.pc=AQ^^AP2+PQ2=772+92=V130.故答案为：V130.

【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质，直角三角形，勾股定理，旋转的性质的综合，三角形全

等的判定和性质，掌握旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理是解题的关键.

例3.（23-24八年级上•江苏无锡・期中）如图，在四边形ABCD中,AD=5,CD=3,ZABC=ZACB=ZADC=45°,

则BD的长为（）

A.V34B.屈C.743D.V59

【答案】D

【详解】作AD，_LAD,AD，=AD,连接CD,DD\如图:

,/ZBAC+ZCAD=ZDAD,+ZCAD,即NBAD=/CAD，，

BA=CA

在ABAD与ACAD'中，＜ZBAD=ZCAD',AABAD^ACAD1(SAS),

AD=AD'

；.BD=CD.NDAD=90。由勾股定理得DD・JA4+AD，。=5也，ZD,DA+ZADC=90°

由勾股定理得CD，=Jf）c2+Z）Zy2=13?+50=病，故选D.

例4.（23-24九年级上•湖北武汉•阶段练习）【问题情境】在数学课上，老师出了这样一个问题：“如图1,

在四边形ABCZ）中，AB^AC,ZABC=60°,ZADC=30°,AD=4,BD=5,求CD的长.”经过小组合作

交流，找到了解决方法：构造旋转全等.将△3。绕点8逆时针旋转60。到A54E,连接DE.贝UABDE是等

边三角形，所以DE=BD=5,导角可得NZME=90。，所以8=AE=JB万二^5r=3.

（1）请补全图形；

【探究应用】（2）如图2,在VABC中，AB=AC,ABAC=120。.D为VABC外一点,且ZADB=50°,—=^,

BD3

求一ADC的度数；

【拓展延伸】（3）如图3,在VABC中，AB^AC,ZS4C=120°,AD/3C于DM为4D上一点，连接BM,

N为BM上一点，若4V=&,BN=6N54N-NCBN=30。，连接CN,请直接写出线段CN的长.

【分析】本题主要考查了三角形的综合，灵活运用旋转构造相似三角形，利用相似三角形的判定和性质是

本题解题的关键.（1）题意补全图形即可;（2）将AABD绕点A逆时针旋转得到AACE，连接即，作AF，ED

于R根据含30度的直角三角形的性质及勾股定理求得42=",推出ED=50=C£,据此求解即可；

DE3

（3）延长AN构造等边三角形，然后利用两组三角形相似求出AB,最后利用勾股定理求解.

【详解】解：（1）补全图形，如图,

(2)将△ABD绕点A逆时针旋转得到AACE,连接ED,作AF，ED于F,

由旋转的性质知=ZCAE=ZBAD,BD=CE,NCEA=NBD4=50。，

AB^AC,ABAC=120°,ZDAE=ZDAC+ZEAC=ADAC+ABAD=120°,

Z.ZADF=ZAEF=30°,：.ZCED=50°-30°=20°,AD=2AF,

由勾股定理得，DF=6AF,DE=2^AF,.•.丝=手^=虫，

DE2y[3AF3

...些=立，:.ED=BD=CE,；./EDC=NECD=80°,/.ZADC=30°+80°=110°；

BD3

(3)延长交AC于尸，延长AN到E,使NE=3N,连接BE,如图，

ZBAN-ZCBN=30°,/.ZBAN=ZCBN+30°,ZBNE=ZBAN+ZABN=NCBN+ZABN+30°=60°,

•：NE=BN,「.△BEN是等边三角形，.•./£=60。,

・.・ZANB=180°-ZBNE=120°=ABAC,,

ABBNANABBE_AE

ZBAE=ZAFB,/.ZWVF^ABEA,

BF-AB-AF赤一菽一丽

过尸作FG_L3c于尸，过N作NH_LBC于H,•.•NACB=30。，

:.FG=-FC=-(AB-AF)=3~^AB,CG=

写AB,3…=国3一下”=『钻’

226

NHBNBH33-^630+3出

•:NH//GF,：.4BNHs&BFG,Dri-i—I\D,

GFBFBG5+&10+2^10+2V6

:.CH=BC-BH=逑*AB.\CN2=CH2+NH2=9,：.CN=3.故答案为：3.

10+2^6

习题练模型

1.（2024九年级.重庆・期中）如图，在等边AABC内有一点P,使得NAPC:NAPS:N3PC=7:8:9,那么以

AP,BP,CP的长度为边长的三角形的三个内角的大小之比为.

【分析】本题考查了图形的旋转，等边三角形的判定与性质，利用图形的旋转添加辅助线是解答本题的关

键.将△BAP绕点8顺时针旋转60。得到△BC。，连结PQ,可证得APB。是等边三角形，从而得到

2BPQ?BQP60?,BP=PQ,所以△PQC就是以AP,BP,CP的长度为边长的三角形，进一步求出

△尸。C的内角度数，即得答案.

【详解】将△BAP绕点B顺时针旋转60°得到LBCQ,连结PQ,

则=ZPBQ=60°,AP=CQ,是等边三角形，

\1BPQ?BQP60?,=二△尸QC就是以AP,BP,CP的长度为边长的三角形，

7」

\-ZAPC:ZAPB:ZBPC=7:8:9,\2Ape一窗360=105?,

24

«o

2APB—窗360=120?,?BPC—窗360=135?,

2424

\2CPQ135?60?75?,2PQC2BQC?BQP?APB60?60?,

\?PCQ180?2CPQ2PQC45?,

••・以w，BP,CP的长度为边长的三角形的三个内角的大小之比为

NC尸Q:N尸。。：/尸。。=75。：45。：60。=5:3:4.故答案为：5:3:4.

A

2.（23-24九年级下•吉林•阶段练习）旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件

相对集中，以达到解决问题的目的.

图③

【发现问题】如图①，在等边三角形A3c内部有一点P,24=2,PB=6PC=1,求N3PC的度数.

解：如图①，将线段绕点8逆时针旋转60P得到线段8P,连接AP',PP'.

•;BP=BP,ZP'BP=6O°,.“尸8尸是等边三角形，:.ZBP'P=60°,PP=PB=拒,

△ABC是等边二角形，二Z.ABC=60P,BC=BA,

ZABC-ZABP=NPBP-ZABP,即NPBC=ZP'BA.请你补充完整解答过程.

【应用问题】如图②，在正方形ABCD内有一点P,若PA=a?，PB=4,PC=3,则_°.

【拓展问题】如图③，在正方形A3。中，对角线AC,BO相交于点。，在直线AP上方（包括直线AD）

有一点P,B4=4,PD=2,连接尸0,则线段尸。的最大值为_.

【答案】发现问题：150。，应用问题：135,拓展问题：3a

【分析】发现问题：由SAS可判定AABPNACBP,由全等三角形的性质得AP'=CP=1,/BPA=/BPC,

由勾股定理的逆定理得是直角三角形，即可求解；

应用问题：将8°逆时针旋转90。，连接AP'、PP',由勾股定理得PP=08P=4应，同理可证△AP'P是

直角三角形，即可求解；拓展问题：将OP顺时针旋转90。得。P,连接。尸、PP,同理可证△AORADOP,

由全等三角形的性质得AP=DP=4,PPWPD+DP即可求解.

【详解】发现问题：证明：补充如下：如图，

BA=BC

在AABP和ACBP中<NP'BA=ZPBC,AABP'^ACBP(SAS),:.AP'^CP=1,ZBP'A=ZBPC,

BP'=BP

•■•12+(若『=22,...针，2+尸尸，2=川2,.飞叱2是直角三角形，.•./AP'P=90°,

ZBPA=ZB^P+ZAPP=150°,:.NBPC=150°：

应用问题：解:如图，将BP逆时针旋转90。，连接AP'、PP,

ZABP1+ZABP=90°,BP=BP=4,ZBP'P=45°,尸尸'=忘2尸=40,

,四边形ABCD是正方形，:.ZABC=9Q°,AB=CB,ZABP+ZCBP=90°,ZABP'=ZCBP,

BA=BC

在AABP和ACBP中<ZP'BA=ZPBC,^ABP'^CBP(SAS),:.AP'=CP=3,NBP'A=ZBPC,

BP'=BP

・二心卜忘^^国工二转门+^^泊二人^^/心^是直角三角形，

:.ZAP'P=90°,ZBPA=ZBP'P+ZAP'P=135°,/.ZBPC=1350；故答案：135；

拓展问题：解：如图，将OP顺时针旋转90。得OP,连接OP、PP',

■.ZDOP+ZDOP'=90°,OP=OP',PP'=V2OP,

,•,四边形A3。是正方形，:.OA=OD,AC1BD,ZAOP+ZDOP=90°,ZAOP=ZDOP',

OA=OD

在AAOP和ADOP中尸=/。。尸'，:.^AOP^ADOP'(SAS),:.AP=DP=^,

OP=OP'

•1-PP<PD+DPPP'<6,；.y[2OP<6>OP<3y/2.二。尸的最大值为3立，故答案：30.

【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理及其逆定理，等边三角形的判定及

性质，正方形的性质等，能利用旋转的性质构建全等三角形是解题的关键.

3.(23-24九年级上.山西吕梁.期末)阅读下面材料：张明同学遇到这样一个问题：如图1,在正三角形ABC

内有一点P,且尸A=3,尸3=4,PC=5,求的度数.

张明同学是这样思考的：如图2,利用旋转和全等的知识构造△APT,连接PP,得到两个特殊的三角形，

从而将问题解决.

(1)请你计算图1中的度数;(2)参考张明同学思考问题的方法,解决下列问题:如图3,在正方形

内有一点P,且尸4=20，PB=1,PD=V17,求ZAPB的度数.

【答案】(1)150°(2)135°

【分析】(1)将及4尸8逆时针旋转60。得到A/PC,根据旋转的性质可知AABPGA/CP,求证A/PP为等边

三角形，再根据勾股定理的逆定理得出/PPC=90。，即可求出N/PC=NAPB=150。；

(2)将AAPB绕点A顺时针旋转90。，根据旋转的性质可知AAPP’是等腰直角三角形，求证N/PP=45。，用

勾股定理逆定理求出/尸'依=90°,最后求出入4尸2=/尸尸2+乙4尸尸'=135°即可.

【详解】(1)(1)如图2,把“PB绕点A逆时针旋转60。得到△ACP,

由旋转的性质，P'A=PA=?>,P'C=PB=4,NR1P=6O。，ZAPB=ZAP'C,

；•AAPP'是等边三角形，APP'=PA=3,NAPP=60。，

VPP,2+P,C2=32+42=25,PC2=52=25)PP'2+P'C2=PC2,：.ZPP'C=90°,

：.ZAPC=ZAP'P+ZPP'C=60°+90°=150°；；.ZAPB=ZAP,C=150°；

(2)如图3,把△4PB绕点A逆时针旋转90。得到AADP,

由旋转的性质，FA=PA=26，PD=PB=1,ZPAP1^90°,

AAPP是等腰直角三角形，，PP=0PA=4，ZAPP=45。,

222222221

'：PP'+P'D=4+l=n,PD=(A/17)=17,pp'+p'D=PD，AZPP'D=90°,

，TAP'D=ZAPFLAPP'D=45°+90°=135°,ZAPB=TAP'D=135°.

【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，勾股定理及其逆定理的运用，全等

三角形的判定与性质，做辅助线构造直角三角形是解答的关键.

4.（23-24九年级上•重庆沙坪坝•期末）（1）已知如图1,在VABC中，AB=BC,NABC=90。，点。在VABC

内部，点E在VABC外部，满足皮）_L3E,且BD=BE.求证：^ABD^CBE.

（2）已知如图2,在等边VABC内有一点P,满足PA=5,尸8=4,PC=3,求—3PC的度数.

【答案】⑴详见解析;⑵150°

【分析】（1）先证NABD=NCBE,根据SAS可证AABD丝ACBE；

（2）把线段PC以点C为中心顺时针旋转60。到线段CQ处，连结AQ.根据旋转性质得APCQ是等边三角

形，根据等边三角形性质证ABCPg/iACQ（SAS）,得BP=AQ=4,ZBPC=ZAQC,根据勾股定理逆定理

可得NAQP=90。，进一步推出ZBPC=ZAQC=ZAQP+ZPQC=90°+60°.

【详解】（1）证明：VZABC=90°,BD±BE

...ZABC=ZDBE=90°gpZABD+ZDBC=ZDBC+ZCBE.\ZABD=ZCBE.

又：AB=CB,BD=BE/.△ABD△CBE（SAS）.

（2）如图，把线段PC以点C为中心顺时针旋转60。到线段CQ处，连结AQ.

由旋转知识可得：ZPCQ=60°,CP=CQ=3,...△PCQ是等边三角形，；.CP=CQ=PQ=3.

又「△ABC是等边三角形，AZACB=60°=ZPCQ,BC=AC,

ZBCP+ZPCA=ZPCA+ZACQ,即NBCP=/ACQ.