2025年中考数学复习压轴题：实际应用之隧道问题（含答案）

专题23实际应用之隧道问题

例1：（2024秋•中山市校级月考）

1.九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用

探究的过程

（1）实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的

路面宽为10米，隧道顶部最高处距地面6.25米，并画出了隧道截面图，建立了如图1所示

的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式

（2）应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖起方向上的高度差至少为

0.5米，为了确保安全，问该隧道能否让最宽3米，最高3.5米的两辆车居中并列行驶（不

考虑两车之间的空隙）？

（3）探究：该课题学习小组为进一步探究抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型,

提出了以下两个问题，请予解答:

①如图2,在抛物线内作矩形4BCD,使顶点C、。落在抛物线上，顶点/、2落在x轴上,

设矩形/BCD的周长为为/,求/的最大值

②如图3,过原点作一条直线尸，交抛物线于交抛物线的对称轴于N,尸为直线。M

上一动点，过点尸作x轴的垂线交抛物线于点。，问在直线上是否存在点尸，使以点

尸、N、。为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出点尸的坐标，若不存在，请说

明理由

图1

对应练习:

（2024•通榆县一模）

2.如图，一个横截面为抛物线的隧道，其底部的宽为8m,拱高为4m.该隧道为双向

车道，且两车之间有0.4m的隔离带，一辆宽为2m的货车要安全通过这条隧道，需保持其顶

部隧道有不少于0.5m的空隙，则该货车能够安全通行的最大高度是m.

试卷第1页，共14页

（2022秋•镇原县期中）

3.有一辆载有长方体形状集装箱的货车想通过横截面为抛物线的隧道，如图所示，已知隧

道的底部宽：为4m,高OC为3.2m,集装箱的宽与货车的宽都是2.4m,集装箱顶部离

地面2.1m,这辆货车通过这个隧道（填“能”或“不能”）.

4.某隧道的内拱横截面的轮廓线是一条抛物线，隧道地面宽为16米，顶端离地面的高度为

8米，当车辆宽度为10米时，车辆应限高在米内，才能确保隧道内行车安全.

（2023秋•农安县期末）

5.如图，有一个横截面边缘为抛物线的水泥门洞，门洞内的地面宽度为8加，两侧离地面4加

高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6〃z,则这个门洞的高度为加.（精确到

（2024秋•平山县期中）

6.如图是某隧道截面，由部分抛物线和矩形构成，以矩形的顶点N为坐标原点，42所在

直线为x轴，竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系，抛物线的解析式为y=-工f+2x+c,

顶点为尸，且40=2m.点C的坐标为.

试卷第2页，共14页

7.山西是一个多山的省份，大部分地区平均海拔在1000米以上，全省面积中80%以上是

山地和丘陵在公路建设中，过去的普遍做法是盘山绕行或深填高挖，现在则多沿着山脚打隧

道而过.如图，已知某隧道的截面是抛物线形，且该抛物线的解析式为＞=-《，+8,为增

加照明度，在该抛物线上距地面高为6米的点E,尸处要安装两盏灯，则这两盏灯的水

平距离E尸是米.

8.如图，一辆宽为2米的货车要通过跨度为8米，拱高为4米的单行抛物线隧道（从正中

通过），抛物线满足表达式y=-；N+4.保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有0.5米的距

离，求货车的限高应是多少.

9.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为16m,宽为6m,抛物线的最高

点C离地面工4的距离为8m.

试卷第3页，共14页

(1)按如图所示的直角坐标系，求该抛物线的函数表达式.

(2)一大型汽车装载某大型设备后，高为7m,宽为4m,如果该隧道内设双向行车道，那么

这辆货车能否安全通过?

(2013•武汉模拟)

10.有一抛物线形隧道跨度为8米，拱高为4米.

(1)建立适当的平面直角坐标系，使隧道的顶端坐标为(0,4)；隧道的地面所在直线为x轴，

求出此坐标系中抛物线形隧道对应的函数关系式；

(2)一辆装满货后宽度为2米的货车要通过隧道，为保证通车安全，车要从正中通过，车顶

离隧道顶部至少要有0.5米的距离，试求货车安全行驶装货的最大高度为多少米？

(2024•安康一模)

11.某山体的隧道截面近似于抛物线，隧道最高点A距离地面5m,隧道地面MN宽8m.如

图，以为x轴，初为坐标原点构建平面直角坐标系.

(1)求抛物线的函数表达式.

(2)现要在抛物线型隧道内安装一个矩形屏，乙£。屏长为2m,宽为50cm,若矩形工即

屏的两个顶点在抛物线上且长边需平行于求［即屏底边距离地面的最大高度.

(2017秋•蜀山区校级期中)

试卷第4页，共14页

12.有一辆载有长方体形状集装箱的货车想通横截面为抛物线的隧道，如图所示，已知隧道

底部宽为4m,高。。为3.2m,集装箱的宽与货车的宽都是2.4m,集装箱顶部离地面

2.1m.这辆货车能通过这个隧道吗？请说明理由.

13.（1）一辆宽2m的货车要通过跨度为8m、拱高为4m的单行抛物线隧道（从正中通过）,

为了保证安全，车顶离隧道顶部至少要0.5m的距离，货车的限高为多少？

（2）若将（1）中的单行道改为双行道，即货车必须从隧道中线的右侧通过，货车的限高应

14.如图是大广高速路上单向双车道某隧道的横截面，其形状是抛物线型，有关尺寸如图所

示，现有一辆车身宽为2.5m的货车准备装一批货物途过此隧道前往某地，（根据高速公路管

理规定：机动车在通过隧道时只能在一条道上行驶）.

（1）建立适当的平面直角坐标系并求出此抛物线的解析式；

（2）这辆货车满载货物时限高为多少？

（2024秋•福州期中）

15.施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点P距离地面高度为8米，宽度

为16米.现以点。为原点，O河所在直线为x轴建立直角坐标系（如图所示）.

试卷第5页，共14页

(1)求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量X的取值范围；

(2)隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为2米，该双车道能否同时并行

两辆宽2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明；

(2024秋•大连期中)

16.如图，一条单向通行且一排道的隧道，它的截面由抛物线和长方形构成.在长方形。CA4

中，OC长为6tn,/。长为2m,隧道最高点尸位于AS的中央且距地面5m,以OC为x轴,

OA为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)若一辆货车高4m,宽3m,这辆货车能否从该条隧道通过？为什么？

(2024秋•苏州期中)

17.

试卷第6页，共14页

货车司机长时间在隧道内行车容易疲劳驾驶，

为了安全，拟在隧道顶部安装上下长度为

20cm的警示灯带，沿抛物线安装.（如图隧道顶剪/灯带’

素20cm

2）.为了实效，相邻两条灯带的水平间距均为/

利安全距离

0.8m（灯带宽度可忽略）；普通货车的高度大

2/

约为2.5m（载货后高度），货车顶部与警示灯货车

带底部的距离应不少于50cm.灯带安装好后

图2

成轴对称分布.

问题解决

任

在图1中建立合适的直角坐标系，求抛

务确定隧道形状

物线的函数表达式.

1

任在你建立的坐标系中，在安全的前提下，

务探究安装范围确定灯带安装点的横、纵坐标的取值范

2围.

任求出同一个横截面下，最多能安装几条

务拟定设计方案灯带，并根据你所建立的坐标系，求出

3最右边一条灯带安装点的横坐标.

（2024秋•昭通月考）

18.近年来，云南在公路与隧道建设方面成绩显著，已建成通车的公路隧道数量及长度均居

全国第一.现有一座隧道的截面由抛物线和长方形构成.在长方形OC8N中，OC长为6m,

长为2m,隧道最高点尸位于48的中央且距地面5m,以OC为x轴，0/为了轴建立如

图所示的坐标系，若一辆货车高4m,宽3m,能否从隧道通过？为什么？

试卷第7页，共14页

(2024秋•杭州月考)

19.施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度为12米，现

在。点为原点，加所在直线为x轴建立直角坐标系(如图所示).

(1)求出这条抛物线的函数解析式；

(2)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”/BCD,使A、。点在抛物线上，B、C

点在地面0河上，设A的横坐标为求48=,AD=.(用含/的代数式

表示)

(3)为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆/8、AD.DC的长度之和的最大值是多少？

(2023秋•莱西市校级期中)

20.如图，有一条双向隧道，其横断面由抛物线和矩形48co的三边组成，隧道的最大高度

为4.9米；/3=10米，2C=2.4米，

(1)在如图所示的坐标系中，求抛物线的解析式.

(2)若有一辆高为4米，宽为2米装有集装箱的汽车要通过隧道，则汽车靠近隧道的一侧离

开隧道壁根米，才不会碰到隧道的顶部，又不违反交通规则，问加的取值范围是多少？

(2024秋•东港区校级月考)

21.如图，隧道的截面由抛物线DEC和矩形ABC。构成，矩形的长为4m,宽BC为

3m,以。C所在的直线为x轴，线段CA的中垂线为了轴，建立平面直角坐标系，》轴是抛

物线的对称轴，最高点£到地面的距离为4m.

试卷第8页，共14页

(1)求出抛物线的解析式；

(2)在距离地面高处，隧道的宽度是多少？

(3)如果该隧道为单行道(只能朝一个方向行驶)，现有一辆货运卡车高3.4m、宽2.4m,这

辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论.

(2023秋•滁州校级月考)

22.如图1,某高速路有一段隧道，隧道的横截面如图2,横截面的上边缘是一段抛物线，

以抛物线的对称轴作为丁轴，以水平地面作为x轴建立平面直角坐标系.已知该抛物线的顶

点坐标为C(0,6),抛物线与x轴的交点分别为点A和点8,抛物线的表达式为

⑴求N8的长；

(2)若每个隧道都是双向车道，中间是实线(车辆不能压实线，实线的宽度忽略不计)，现有

一辆高4m,宽3m的货车次通过此隧道，请你判断该货车能否通过该隧道，并说明理由.

23.鄂西某高速公路上的一特长隧道是鄂西内设计施工难度最大、风险最高的公路隧道之

一.如图是隧道施工时的截面图，其轮廓线可近似看作抛物线的一部分，按照如图所示的方

式建立平面直角坐标系，已知其跨度ON为16米，且抛物线过点(4,4.5).

(1)求抛物线对应的函数解析式;

试卷第9页，共14页

(2)若两辆车在该隧道内并排行驶时，需沿中心黄线两侧行驶并间隔2.4米(中心线宽度不

计)，则两辆宽为2.4米，高为2.6米的货车是否能并排行驶？请判断并说明理由.

(2024•龙亭区一模)

24.现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以。为

坐标原点，以所在的直线为x轴，以过点。作垂直于x轴的直线为了轴，建立平面直角

坐标系.根据设计要求OE=12m,该抛物线的顶点产到OE的距离为9m.

(1)求满足设计要求的抛物线的函数解析式；

⑵现需在这一隧道内壁的同样高度的42处安装上照明灯，如图所示，若要求42两个

照明灯之间的水平距离为8m,求出此时4、8两个照明灯距离地面的高度.

(2024•平顶山三模)

25.小明发现有一处隧道的截面由抛物线的一部分和矩形构成，他对此展开研究：测得矩形

的宽为OC=2m,长为。4=8m,最高处点P到地面的距离尸。为6m,建立如图所示的平面

直角坐标系，并设抛物线的表达式为y=a{x-hy+k,其中y(m)表示抛物线上任一点到

地面0/的高度，x(m)表示抛物线上任一点到隧道一边0c的距离.

(1)求抛物线的解析式.

(2)为了保障货车在道路上的通行能力及行车安全，根据我国交通运输部的相关规定，普通

货车的宽度应在2m-2.55m之间，高度应在3.8m-4.2m之间，小明发现隧道为单行道，一

货车EFGH沿隧道中线行驶，宽FG为2.4m,货车的最高处与隧道上部的竖直距离DE约为

1.3m,通过计算，判断这辆货车的高度是否符合规定.

(2024•柘城县校级模拟)

试卷第10页，共14页

26.如图1,在物体运动的速度v关于时间/的函数图象中，函数图象与横轴以及直线

f=*f=芍所围成的图形（阴影部分）面积等于物体从4到这个时间段的运动路程.现

某车以30m/s的速度驶向隧道，到达限速标志位置（隧道前500m）时开始减速，从开始减

速到车头进入隧道用了20s,其速度v关于时间f的函数图象如图2所示，4和灰是两次雷

达测速的时刻，已知第一次雷达测速仪闪光时，车速已经降到了25m/s,第二次雷达测速仪

闪光时，车速已经降到了22m/s,则下列说法不正确的是（）

图1图2

［雷达测速仪安装在车辆前进方向的路上，根据短时间的两次测速（均有闪光提示），测出

两个时刻车辆和测速仪之间的距离，再用距离差除以两次测速的时间差，算出这段路程的平

均车速］

A.该车进入隧道时的速度为20m/s

B.%=12s

C.「16s

D.472时间段内该车的平均速度为23.5向$

（2024•盘州市一模）

27.如图①，桐梓隧道位于遵义市桐梓县境内，是贵州省高速公路第一长隧道.如图②是

桐梓隧道的部分截面，图③是其截面简化示意图，由矩形/BCD和抛物线的一部分CED构

成，矩形4B8的边/3=12m,AD=2m,抛物线的最高点E离地面8m.以N8的中点为

原点、48所在直线为x轴.建立平面直角坐标系xQy.

试卷第11页，共14页

(1)求抛物线的解析式，并注明自变量的取值范围；

(2)为了行驶安全，现要在隧道洞口处贴上黄黑立面标记.已知将该抛物线向上平移hn所扫

过的区域即为贴黄黑立面标记的区域，则贴黄黑立面标记的区域的面积为m2;

(3)该隧道为单向双车道，且规定车辆必须在距离隧道边缘大于等于2m范围内行驶，并保持

车辆顶部与隧道有不少于g7的空隙，请利用二次函数的知识确定该隧道车辆的限制高度.

28.九(1)班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践到应用的

(1)实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得一隧道的

路面宽为10m.隧道顶部最高处距地面6.25m,并画出了隧道截面图.建立了如图所示的直

角坐标系，请你求出抛物线的解析式；

(2)应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为

0.5m.为了确保安全，问该隧道能否让最宽3m,最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶

(两车并列行驶时不考虑两车间的空隙)？并说明理由.

(2024•西安校级模拟)

29.如图①，是某高速公路正在修建的隧道.图②是其中一个隧道截面示意图，由矩形04cB

和抛物线的一部分CD8构成，矩形CMC8的边O/=12m,AC=2m,抛物线的最高点。离

地面8m.

试卷第12页，共14页

(1)以点。为原点、04所在直线为X轴，建立平面直角坐标系》切.求抛物线的表达式；

(2)为了行驶安全，现要在隧道洞口处贴上黄黑立面标记.已知将该抛物线向上平移1m所扫

过的区域即为贴黄黑立面标记的区域，则贴黄黑立面标记的区域的面积为_n?；

(3)该隧道为单向双车道，且规定车辆必须在距离隧道边缘大于等于2m范围内行驶，并保持

车辆顶部与隧道有不少于;m的空隙，请利用二次函数的知识确定该隧道车辆的限制高度.

(2024秋•大连期中)

30.如图，一条单向通行且一排道的隧道，它的截面由抛物线和长方形构成.在长方形。CA4

中，OC长为6m,4。长为2m,隧道最高点尸位于48的中央且距地面5m,以OC为x轴,

04为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)若一辆货车高4m,宽3m,这辆货车能否从该条隧道通过？为什么？

(2024秋•红塔区校级月考)

31.如图，某市一条高速公路的隧道口在平面直角坐标系上的示意图，隧道的截面由抛物线

和长方形构成，长方形的长是16加，宽是6根，隧道顶距地面8加.

(1)求出隧道上部抛物线的解析式;

试卷第13页，共14页

(2)现有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4机，车载大型设备的顶站与路面的距

离均为7加，它能否完全通过这个隧道？请说明理由.

(3)如果该隧道内设双行道，那么这辆运货汽车沿隧道中线右侧行驶能否完全通过这个隧道？

说明理由.

试卷第14页，共14页

1.(1)y=-0.25(x-5)2+6.25；(2)隧道能让最宽3加,最高3.5加的两辆厢式货车居中并列

行驶；理由见解析；(3)(I)20.5；(IDP点的坐标为：(5-返5-行)或(5+亚5+行)

或(4,4)或(10,10).

【详解】解：(1)根据坐标系可知此函数顶点坐标为(5,6.25),且图象过(10,0)点，

代入顶点式得：y=a(x-5)2+6.25,

:0=。(10-5)2+6.25,解得：a=-0.25,

•>•,y=-0.25(x-5)2+6.25；

(2)当最宽3加，最高3.5〃?的两辆厢式货车居中并列行驶时，

•••10-3x2=4,4+2=2,

；.x=2代入解析式得：y=-0.25(2-5)2+6.25；y=4,4-3.5=0.5,

••・隧道能让最宽3m,最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶；

(3)I.假设NO=x,可得4B=10-2x,.-.AD=-0.25(x-5)2+6.25；

矩形4BCD的周长为I为：

/=2卜0.25(x-5)2+6.25]+2(10-2x)=-0.5x2+x+20,

・•・/的取大值为：4ac-b_y2)_9n.

4。-2

〃当以尸、N、。为顶点的三角形是等腰直角三角形，

・・,尸在尸x的图象上，过尸点作x轴的垂线交抛物线于点Q.

.・・4PO4=tOP4=45。,

•••0点的纵坐标为5,

-5=~m2+10m4,

答案第1页，共25页

解得：m=5±V5,

所以P（5-技5-6）或（5+百5+6）

当乙匕N。3=90°时，过点色作03K小对称轴，

当△N03&为等腰直角三角形时，△川尸3。3为等腰直角三角形,

0点在0M的上方时，

尸3。3=2。3&,PSQ3=~~X2+~X~X>Q3Kj=5-X,

0点在。M的下方时，

P4。4=2。4K2,P404=---^2,Q4K2=X-5,

P3（4,4）,P4（10,10）

••・使以P、N、。为顶点的三角形是等腰直角三角形，P点的坐标为：

（5,5-或（5+6,5+6）或（4,4）或（10,10）.

2.2.29.

【分析】本题考查二次函数的应用.建立坐标系，利用待定系数法求得该抛物线对应的函数

解析式；求出x=2.2时，y的值，根据货车顶部与隧道间有不少于0.5m的空隙即可求解.

【详解】解：建立如图的平面直角坐标系，

答案第2页，共25页

8(4,0),抛物线顶点坐标(0,4),

设抛物线的解析式为：y=ax2+k,

[16Q+左=0

依题意得：，)，

[K=4

解得v”4,

左=4

•,・抛物线的解析式为：y=-^x2+4.

v2d——=2.2,

2

1°

当x=2.2时，y=——X2.22+4=2.79,

"4

当y=2.79时，2.79-0.5=2.29（m）.

故答案为：2.29.

3.不能

【分析】以。点为原点所在直线为x轴，建立直角坐标系，利用待定系数法求出函数解

析式，继而求得x=1.2时y的值，据此即可判断.

【详解】解：如图，以。点为原点为x轴，建立直角坐标系,

根据题意知点4-2,0)、夙2,0)、C(0,3.2),

设抛物线解析式为＞=a(x+2)(x-2),

将(0,3.2)代入，得：-4a=3.2,

解得：a=—0.8,

则抛物线解析式为y=-0.8x2+3.2,

答案第3页，共25页

当x=1.2时，y=2.048<2.1,

所以货车不能通过隧道.

故答案为：不能.

【点睛】本题考查二次函数的应用，涉及了待定系数法求二次函数解析式得知识，解答本题

的关键是建立直角坐标系，将实际问题转化为数学模型.

39

4.——

8

【分析】本题考查了二次函数的应用.正确的建立坐标系，利用待定系数法求得函数解析式,

利用二次函数的性质解答即可.

【详解】解：建立如图所示的坐标系，虚线矩形为车辆最大通行时的位置，

设抛物线的顶点为。，由题意得，点顶点。(8,8),

设抛物线的表达式为>=a(x-8『+8,

将点(0,0)点入上式得：O=a(O-8y+8,解得a=

O

1

故抛物线的表达式为y=q(X-8)29+8,

O

设车辆的最右端为点4(13,0),

将点/的横坐标代入抛物线的表达式得：J^=--(13-8)2+8=^(米)，

OO

39

故答案为：--.

O

5.9.1

【分析】建立直角坐标系，得到二次函数，门洞高度即为二次函数的顶点的纵坐标

【详解】如图，以地面为x轴，门洞中点为O点，画出y轴，建立直角坐标系

由题意可知各点坐标为A(-4,0)B(4,0)D(-3,4)

设抛物线解析式为y=ax2+c(a#0)把B、D两点带入解析式

46464

可得解析式为y=+亍，则C(0,y)

答案第4页，共25页

所以门洞高度为亍mu9.1m

【点睛】本题考查二次函数的简单应用，能够建立直角坐标系解出二次函数解析式是本题关

键

6.（8,2）

【分析】本题考查了二次函数的应用、矩形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关

键.先根据矩形的性质可得=从而可得点。与点。关于抛物线的对称轴对称，且

点C的纵坐标与点。的纵坐标相等，即为2,再求出抛物线的对称轴，根据对称性可求出点

。的横坐标，由此即可得.

【详解】解:由题意可知，0（0,2）,

•.•在矩形48CZ）中，AD=BC,

.・•点C与点。关于抛物线的对称轴对称，且点C的纵坐标与点。的纵坐标相等，即为2,

119

,•,抛物线V=-1/+2》+。=-^（》-4）~+c+4的对称轴是直线x=4,

二点C的横坐标为4x2-0=8,

.••点C的坐标为（8,2）,

故答案为：（8,2）.

7.4石

【分析】令＞=6得到-、/+8=6,求得方程的两个根，计算两根之间的距离即可.

本题考查了根据函数值求自变量的值，两根之间的距离计算，熟练掌握函数的性质是解题的

关键.

【详解】解：令了=6,

答案第5页，共25页

10

解得芯=2A/5,X2=-2A/5,

故£尸=玉_々=2石-卜2灼二4病,

故答案为：4后.

8.3.25m

【分析】根据题意，货车的宽度为2米，从正中通过，则当无=1或x=—1时，货车车顶离

隧道顶部最近，据此将x=l代入解析式即可求得顶部与底部的距离减去限高，即可求得货

车的限高.

【详解】根据题意可得，当x=l或x=—1时，货车车顶离隧道顶部最近.

当元=1时，y=—7+4=3y,

44

3

•••货车的限局为3--0.5=3.25m.

4

【点睛】本题考查了二次函数的应用，求得当x=l或x=—1时，货车车顶离隧道顶部最近

是解题的关键.

1,

9.⑴y=一豆尤+8

(2)这辆货车能安全通过

【分析】本题考查了利用待定系数法确定二次函数解析式和二次函数在实际生活中的应用,

掌握待定系数法求解析式是解题的关键.

(1)用待定系数法求出函数解析式即可；

(2)把苫=±4代入求出函数值和车的高度作比较即可解题.

【详解】(1)解：由题意得：设该抛物线的表达式为>=a/+8,又知抛物线过点耳(8,6),

所以6=64。+8,

解得a=--，

1,

V=-----x+8；

32

(2)根据题意，把x=±4代入解析式，得歹=7.5m.

v7.5m>7m,

.•.这辆货车能安全通过.

答案第6页，共25页

124

10.⑴尸——X2+4

4

⑵1/3(米)

【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键.

(1)建立坐标系，运用待定系数法求解即可；

(2)根据车的宽度为2米，求出x=l时的函数值，再根据限高求出可装货物的最大高度即

可.

【详解】(1)解：建立平面直角坐标系如图所示：

•••隧道跨度为8米，隧道的顶端坐标为(0,4),

以、8两点关于y轴对称，

.-.OA=O£=-AB=-x8=4,

22

二点B的坐标为(4,0),

设抛物线的顶点式为y=ax?+4,

把点8坐标代入得，16a+4=0,

解得a=一:，

4

•,・抛物线的解析式为V=-!/+4；

4

(2)解：•••车的宽度为2米，车从正中通过,

货车安全行驶装货的最大高度为一米.

4

5,

11.(l)j^=-—(x-4)-+5

(2)4.1875m

【分析】本题考查了二次函数的实际应用.

(1)根据坐标系确定A点坐标为(4,5),M(0,0),N(8,0),再利用待定系数法求解即可;

答案第7页，共25页

（2）由题意可知，由抛物线和矩形的轴对称性质确定点C的横坐标为3,由此确定点C的

纵坐标为4.6875,由此确定屏底边距离地面的最大高度.

【详解】（1）解：根据题意，A为抛物线的顶点，A点坐标为（4,5）,“（0,0）,N（8,0）

设抛物线解析式为y=a（x-盯+5,

把“（0,0）代入解析式得：16a+5=0,

解得。=-±，

16

••・抛物线的函数表达式为y=-三（x-4）2+5；

16

（2）解：如图所示：

由题意可知，EF//MN,CD=EF=2m,CE=DF=50cm=0.5m,

由（1）知，抛物线的对称轴为直线x=4,

・••点。的横坐标为4-1=3,

5、

・•.当x=3时，y=——x（3—4）2+5=4.6875,

16

4.6875-0.5=4.1875（m）,

LED屏底边距离地面的最大高度为4.1875m.

12.货车不能通过隧道.

【分析】以。点为原点N2为x轴，建立直角坐标系，利用待定系数法求出函数解析式，继

而求得x=1.2时了的值，据此即可判断.

【详解】解：如图，以。点为原点为x轴，建立直角坐标系，

答案第8页，共25页

根据题意知点/(-2,0)、3(2,0)、C(0,3.2),

设抛物线解析式为J=a(x+2)(x-2),

将(0,3.2)代入,得：-4a=3.2,

解得：a=—0.8,

则抛物线解析式为>=-0.8x2+3.2,

当x=1.2时，y=2.048<2.1,

所以货车不能通过隧道.

【点睛】本题考查了二次函数的应用，涉及了待定系数法求二次函数解析式得知识，解题的

关键是建立直角坐标系，将实际问题转化为数学模型.

13

13.(1)—m；(2)2.5m

4

【分析】本题考查了二次函数的应用，主要利用了二次函数的图象的对称性，待定系数法求

二次函数解析式，以及求二次函数值等知识.

(1)根据跨度求出点B的坐标，然后设抛物线顶点式形式了="2+4,然后把点8的坐标代

入求出〃的值，即可得解；再根据车的宽度为2,求出x=l时的函数值，再根据限高求出可

装货物的最大高度即可;

(2)利用x=2时，代入表达式求出了的值，进而得出答案.

【详解】解：(1)建立平面直角坐标系，如图所示:

,•・隧道跨度为8米，隧道的顶端坐标为(0,4),

答案第9页，共25页

：.OA=OB=-AB=-x.?,=A,

22

•••点3的坐标为（4,0）,

设抛物线顶点式为了=«^+4,

把点B（4,0）坐标代入得16。+4=0,解得。

4

「•抛物线解析式为歹=-!*+4（—4<x<4）,

丁车的宽度为2m,车从正中通过，

115

x=l时，y=—x19"+4=——,

44

货车安全行驶装货的最大高15度1为：13（米），即货车的限高为1?3m；

4244

（2）若将（1）中的单行道改为双行道，即货车必须从隧道中线的右侧通过，如图所示:

由题意可得：当元=2时，^=--^X22+4=3,

故货车限高为3-05=2.5（米）.

14.⑴图见解析，y=Y（-54x45）；

（2）4.5m.

【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质

是关键.

（1）依据同意，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为》轴，建立直角坐标系，依据抛物

线经过8（5,-6）,即可得到该抛物线的解析式；

（2）依据题意，由车身宽为2.5m,从而可令x=2.5,则y=-2xZS=-1.5,进而可以判

断得解.

【详解】（1）解：如图，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为了轴，建立直角坐标系，

答案第10页，共25页

则0（0,0）,5（5,-6）,

设抛物线的解析式为>=依2,

•••抛物线经过（5,-6）,

**•—6=25。，

6

/.ci------,

25

••・抛物线的解析式为k->（-5VXW5）；

（2）解：由题意，

・・,车身宽为2.5m,

...令X=2.5,贝Uy=_^X2.52=—1.5,

・••点。到CD距离为1.5m,

・・.这辆货车满载货物时限高为6-1.5=4.5m.

15.（l）y=--x2+2x（0<x<16）

8

（2）能同时并行两辆宽2.5米、高5米的特种车辆

【分析】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的实际应用.

（1）根据题意，可得点M及抛物线顶点尸的坐标，待定系数法求解析式即可求解；

（2）由题知，当x=g时，>=舞，而要>5,即可得出结论.

【详解】（1）解：依题意：抛物线形的公路隧道，其高度为8米，宽度为16米，现在。

点为原点，

.•.点M（16,0）,顶点P（8,8）,

设抛物线的解析式为y=ox?+区，

/、/、[64。+86=8

把点M（16,0）,点P（8,8）代入得：,

[236。+16。—U

答案第11页，共25页

1

a——

解得,8,

b=2

••・抛物线的解析式为y=-^x2+2x,

O

■.-OM=16,M(16,0),

•••自变量x的取值范围为：04x416.

(2)解：当x=8_2.5_l=2时，j；=-lxf-Y+2x-=—>5,

28232

故能同时并行两辆宽2.5米、高5米的特种车辆.

1,

16.(1)y=-+2x+2

(2)该货车能通过，原因见解析

【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数解析式，是解题的关键：

(1)根据题意，求出4尸两点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；

(2)求出y=4时的自变量的值，求出两点间的距离与货车的宽进行比较即可.

【详解】(1)解：由题意得，点/(0,2),抛物线的顶点坐标为尸(3,5),

设抛物线的表达式为尸。(A3)，5,

•.•点4(0,2)在抛物线上，

.'.2=a(0-3)2+5,

解得。=-；，

.-.>>=-1(X-3)2+5=-1X2+2X+2；

(2)这辆货车能从这条隧道通过.

根据题意得，令歹=4,则4=一;(X—3)2+5,

/.玉=3+VJ,x2=3—V3,

xx-x2=2V3>3,

・•.该货车能通过.

17.任务1：片-任务2：-3-43,歹"1.8；任务3：最多挂8条灯带，最右边

答案第12页，共25页

一条灯带的横坐标为2.8.

【分析】任务1：以抛物线的定点为原点建立平面直角坐标系，利用待定系数法可得抛物线

的函数表达式；

任务2：根据普通货车的高度大约为2.5m,货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于

50cm,货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于50cm,计算悬挂点的纵坐标的最小值是

3.2m；

任务3：画出数轴，利用数形结合解答..

【详解】解：【任务1】以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，则顶点为(0,0),且

过点8(5,-5),

设抛物线的解析式为：了="2,

把点8(5,-5)代入得：25°=-5,

1

•'Q=一9

••・抛物线的函数表达式为：y=~^x^

【任务2】

•••普通货车的高度大约为2.5m,灯带底部距离货车顶部不小于0.5m,灯带长0.2m,

・•・当安装点的纵坐标了2-5+2.5+0.5+0.2=-1.8,即安装点的纵坐标的最小值是-1.8m,

当y=—1.8时，_,工2=_18,

•••x=±3,

二安装点的横坐标的取值范围是：-3<.r<3；

【任务3】

如图2,

-I2I._8_-_2I_.0___-1I.2-0i.4ll0_._4__1|_.2___2|_.0___2I.i8»x

-303

•••若顶点一侧悬挂5条灯带时,0.4+0.8x(5-l)>3,

若顶点一侧悬挂4条灯带时，04+0.8x(4-1)<3,

答案第13页，共25页

・•・顶点一侧最多悬挂4条灯带，

•••灯带挂满后成轴对称分布，

•••共可挂8条灯带，

・•・最右边一条灯带的横坐标为：0.4+3x0.8=2.8.

【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握不同坐标系中求解析式，能把实际问题转化

为抛物线是解题的关键.

18.能，理由见解析

【分析】本题主要考查了二次函数的应用，理解题意，确定抛物线解析式为解题关键.设抛

物线的方程为了="尤-37+5,利用待定系数法解得该抛物线解析式，令y=4,解得x的

值，即可获得答案.

【详解】解：由题意可知抛物线的顶点坐标（3,5）,设抛物线的方程为y=a（x-3y+5,

又•.•点/（0,2）在抛物线上，

91

二可有2=°（0-3）~+5,解得

10

•••该抛物线的解析式为y=-］（x-3）~+5,

1?

令V=4,则有4=-§（工-3）-+5,

解得再=3+G,x2=3—,

xx-x2=243>3,

・・・该货车可以通过.

1

19.（1）>=—x?+2x

6

1

（2）—t9+21,12—2z

6

⑶15

【分析】本题考查了二次函数的应用、矩形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此

答案第14页，共25页

题的关键.

(1)由题意得M(12,0),P(6,6),再利用待定系数法求解即可；

(2)由题意得出+即可得出=l由二次函数的性质求出

D\\2-t,--t2+2t^,即可得出40的长；

(3)由矩形的性质可得。。=/3=-9/+2人表示出N2+ND+B。，结合二次函数的性质

6

即可得解.

【详解】(1)解：由题意得M(12,0),尸(6,6),

•.・顶点坐标尸(6,6),

•••设抛物线的解析式为y=a(x-6)2+6(a/0),

将河(12,0)代入解析式得出°乂(12-6)2+6=0,

解得：。=-3，

6

11

72

••・抛物线的解析式为y=-l(x-6)-+6,gpj=--x+2x;

(2)解：设A的横坐标为,,贝

•.・四边形/BCD为矩形，

1

A,B=—t9+2t,

6

•­•^=--1(x-6)2+6,

••・抛物线的对称轴为直线x=6,

•••点D的横坐标为6-/+6=12-Z,即+2/1,

***AD=12—，一，=12—2f；

(3)解：•••四边形ABC。为矩形,

1,

CD=AB=t2+2t,

6

.-.AB+AD+CD=--t2+2t+12-2t+\--t2+2.t\=--t2+2t+12=--(t-3Y+15,

6(6133V7

.---<0

3

.•.当t=3时，43+NO+CD的值最大，为15.

答案第15页，共25页

20.(1)y=-0.l(x-5)2+2.5

(2)2<m<3

【分析】本题主要考查二次函数的应用，包括待定系数法求解析式等知识；

(1)设抛物线解析式为歹="2+反，根据题意解出〃、b,抛物线顶点坐标为(5,2.5)且过

。0,0)点，设抛物线的解析式为y=a(x-5)2+2.5,可求出〃的值，确定表达式.

(2)由(1)得抛物线解析式，若汽车的右侧离开隧道右壁不至于碰到隧道的顶部,则令夕=L6,

解得x,然后根据题意得解；

灵活运用二次函数性质解决实际问题是解题的关键.

【详解】(1)解：设抛物线解析式为>=办2+外，

由题意知，隧道的最大高度为4.9米；43=10米，8c=2.4米，

由题意可知，抛物线的顶点坐标为(5,2.5),且过(10,0)点，

则有4,

[100。+106=0

a=—0.1,b=1,

•••抛物线的解析式为y--0.1(x-5)2+2.5,

(2)由题意得，y=-0.1(x-5)2+2.5

当y=4-24=1.6时，-0.1(X-5)2+2.5=1.6,

..X]=2,x,=8.

当x=2或8时，集装箱刚好碰到隧道的顶部，此时加=2,

当机=3时，此时刚好违反交通规则，

・•・汽车靠近隧道的一侧离开隧道壁心米，才不会碰到隧道的顶部，又不违反交通规则，

2Vm<3

,加的取值范围是2<沉<3.

1,

21.(l)y=--x2+l

⑵2月m

(3)能,说明见解析

【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：

答案第16页，共25页

(1)根据题意可以设出抛物线的顶点式，然后根据题目中的信息可以求得抛物线的解析式;

13|

(2)把了=丁-3=:代入解析式，即可求得；

(3)根据题意可以求得当x=1.2时的y的值然后与3.4比较，即可解答本题.

【详解】⑴解:根据题意，得点。(-2,0),C(2,0),£(0,1).

设抛物线的解析式为y=⑪2+1.

把点。(-2,0)代入＞=办2+1,得4a+l=0.

解得“=二.

4

•.・抛物线的解析式为歹=-+1.

(2)解：在尸一中，令尸:一3=；得;=_；尤2+].

44444

解得再=V3,x2=-.

他-(-6)=2^3(m),

13

在距离地面彳m高处，隧道的宽度是2百m.

(3)解：这辆货运卡车能通过该隧道.

2.4+2=1.2(m).

将x=1.2代入〉=一~-x2+1,得＞=0.64.

4

•••3+0.64=3.64＞3.4,

这辆货运卡车能通过该隧道.

22.(l)12m

⑵高4m,宽3m的货车能通过该隧道，理由见解析

【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数解析式，抛物线与x轴的交点坐标.