2025年新高考数学专项复习：棱台相关解答题十大题型（原卷版）

专题1-4棱台相关解答题十大题型汇总

6常考题型目录

题型1平行关系......................................................................1

题型2垂直关系......................................................................2

题型3长度面积高度问题.............................................................2

题型4距离体积问题.................................................................5

题型5线线、线面角问题.............................................................7

题型6二面角问题..................................................................10

题型7线面角与动点问题............................................................12

题型8二面角与动点问题............................................................14

题型9体积与动点问题..............................................................17

题型10最值取值范围问题...........................................................18

U题型分类

题型1平行关系

【例题1】（2023•全国•高三专题练习）如图，四棱台48CD-EFGH的底面是菱形，且nBAD=

T,DH，平面ABC。,EH=2,DH=3,AD=4.

（1）求证：4E〃平面BDG；

⑵求三棱锥F-BDG的体积

【变式1-1]（2023•全国•高三专题练习）如图，已知四棱台4BCD-ABiGA中,AB//CD,

AD1AB,

是的中点.证明：||平面。.

CG=CB=CD=2AB=2C1A,EBCAXECC/i

题型2垂直关系

【例题2]（2023秋•高二课时练习）在三棱台4/iG—ABC中“BAC=90。,4A，平面

ABC.A^A=V3,AB=AC=2ale1=2,D为BC的中点.证明：平面1平面BCC/i.

【变式2-1]（2023・全国•高一专题练习）如图，在三棱台ABC-DEF中，CF,平面DEF,

AB±BC.

（1）设平面ACECI平面DEF=a,求证:DFlIa;

⑵若EF=CF=2BC试问在线段BE上是否存在点G使得平面DFG，平面CDE?若存在，

请确定G点的位置；若不存在，请说明理由.

题型3长度面积高度问题

【例题3]（2022秋・河南溪河•高二校考阶段练习）如图，四棱台ABCD-AiBiJDi的底面

是矩形，平面ABCD,平面ABBiAi,AB=2AiBi=2,AAi=2,8%=愿.

B

(1)求证：DC±AAi;

(2)若二面角B-CCi-D的二面角的余弦值为-察,求AD的长.

【变式(2023・全国•高二假期作业)如图，在三棱台DEF-力BC中,AB=BC^CA=

2DF=2.FC=\,AACF=Z.BCF=90°,G为线段AC中点，H为线段8c上的点,BD〃平

面FGH.

(1)求证：点”为线段BC的中点；

(2)求三棱台DEF-4BC的表面积.

【变式3-1]2.(2022・上海•高二专题练习)如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器I和正

四棱台形(正四棱锥被平行于底面的平面截去一个小正四棱锥后剩下的多面体)玻璃容器n

的高均为32cm，容器工的底面对角线AC的长为10V7cm，容器口的两底面对角线EG、

的长分别为14cm和62cm.分别在容器I和容器口中注入水，水深均为12cm.现有一根玻

璃棒I,其长度为40cm.(容器厚度，玻璃棒粗细均忽略不计)

容器II

(1)求容器工、容器口的容积；

(2)①将I放在容器I中，I的一端置于点A处，另一端置于侧棱CG上,求I没入水中部分

(水面以下)的长度；

②将I放在容器口中,I的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG]上,求I没入水中部分(水

面以下)的长度.

【变式3-1]3.(2023秋•四川成都・高三树德中学校考期末)如图，在四棱台4BCD-

4出6。1中,底面四边形ABC。为菱形，44==1,Z.ABC=600.1平面

ABCD.

(1)若点M是力。的中点，求证：GM1ArC；

(2)棱BC上是否存在一点E，使得二面角E-AD1-。的余弦值为I?若存在，求线段CE的

长；若不存在，请说明理由.

【变式3-1]4.(2020•全国•高三专题练习)如图所示，正四棱台2C'的高是17cm,两底

面的边长分别是4cm和16cm.

(1)求这个棱台的侧棱长和斜高.

(2)求该棱台的侧面积与表面积.

题型4距离体积问题

【例题4](2022秋•全国•高三统考阶段练习)在四棱台4BCD-4/停/1中，底面ABCD是

正方形，且侧棱BBi1底面ABCQBBi=BC=2B©=8,。,乙尸分别是8。,。名,。6的中点.

⑵求直线股到平面481cl的距离.

【变式4-1】L(2023•全国•高三专题练习)如图，四棱台4BCD-力/iC/i的上、下底面

分别是边长为1和2的正方形，=2,且1底面ABCD,点P,Q分别在棱，

BC上,PQ〃平面28B14，点M在棱A4上,PM//AD.

⑴证明：PQ//BM；

⑵若平面PDQ与平面AQD所成的锐二面角的余弦值为等,求三棱锥A-QDP的体积.

【变式4-1]2.（2023秋•湖北随州•高三随州市曾都区第一中学校考开学考试）在三棱台

ABC-DEF中，G为AC中点，AC=2DF,AB1BC,BC1CF.

B

（1）求证：BC，平面DEG；

⑵若ZB=BC=21AB，平面EFG与平面ZCFD所成二面角大小为:，求三棱锥E-DFG

的体积.

【变式4-1]3.（2022•全国•模拟预测）如图所示，四棱台ABC。-a/iG%的上下底面均

为正方形，侧面与底面垂直，BB]=CC1-BQ=38c.

(1)求证：平面4。。送11平面ABBMi；

(2)已知四棱台ABCD-a/QDi的体积为26W.给出以下两个问题：

①求异面直线BC和的距离

②求41到平面CDD1G的距离.

请从以上两个问题中选取一道进行求解.

注：若两个问题均求解，则按第一个问题计分.

【变式4-1]4.(2022•全国•高三专题练习)已知四棱台力BCD-A/iG5的下底面是边长

为4的正方形,^i=4,S.AA1l^ABCD，点P为。。i的中点,点Q在BC上,BQ=3QC,

与面4BCD所成角的正切值为2.

(1)证明：PQ//^ArABB1；

(2)求证：ABr1面PBC,并求三棱锥Q-PBZ的体积

题型5线线、线面角问题

【例题5】(2023•全国•高三专题练习)如图,在四棱台4BCD-4/16必中,底面ABCD

为平行四边形，平面力1平面ABCD,DD]=DA=4祖==2,ABAD=去

若求直线与平面所成角的正弦值.

(2)=BrC,8GA/C

【变式5-1]1.(2023•全国•高二专题练习)如图，在三棱台2BC-A/iG中,BALBC,

平面平面，二面角的大小为

4//A_LABCBi-BC-245°,AB=2,BC=ArBr=AA1=1.

(2)求异面直线与所成角的余弦值.

【变式5-1]2.(2023•全国•高三专题练习)如图，在正四棱台ABC。-&B1GA中，AB=

(1)求正四棱台的高；

(2)求直线BA与平面BCG%所成角的正弦值.

【变式5-1]3.(2023春•高二课时练习)如图，在三棱台力8c-DEF中，平面BCFE1平

面ABC,^ACB=90°,BE==FC=1,BC=2,4C=3.

(1)求直线BD与平面ABC所成角的正弦值；

(2)求点E到平面BCD的距离.

【变式5-1J4.(2023秋•高二单元测试应三棱台ABC—A/G中,BBi1平面ABC,乙4BC=

90°,48=BC=4,4/1=2,BB1=242.

(1)证明:BCi1ArC.

(2)求直线与平面4CC14所成角的正弦值.

【变式5-1]5.(2022•全国•高三专题练习)如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，MBC为

等边三角形，AA1,平面ABC,将梯形AA1C1C绕AA1旋转至AA1D1D位置，二面角

D1-AA1-C1的大小为30°.

A

D

⑴证明:Al,Bl,Cl,DI四点共面，目A1D1L平面ABB1A1;

⑵若AA1=A1C1=2AB=4，设G为DD1的中点，求直线BB1与平面AB1G所成角的正

弦值.

题型6二面角问题

【例题6】(2023•河北保定・河北省唐县第一中学校考二模)如图，在三棱台ABC-DEF中，

侧面ABED与ACFD均为梯形，ABllDE,ACllDF,AB±BE,且平面ABED,平面ABC,

AC±DE.已知AB=BE=AC=1,DE=DF=2.

BE

(1)证明：平面ABED,平面ACFD;

(2)求平面BEFC与平面FCAD的夹角的大小.

【变式6-1]1.(2022•全国模拟预测)如图,在三棱台ABC-DEF中，侧面ABEO与4CFD

均为梯形,4B||DE,AC||DF,AB1BE，且平面ABED1平面ABC,AC1DE.已知AB=BE=

AC=1,DE=DF=2.

F

(1)证明：平面2BED1平面ACFD；

(2)求锐二面角B—FC—4的值.

【变式6-1J2.(2022秋•全国•高二专题练习及口图，在四棱台4BCD—A/iGA中=2,

AZ=1,四边形ABCD为平行四边形，点E为棱BC的中点.

(2)若四边形ABCD为正方形,AA.1平面ABCD,ArA=AB=2,求二面角41一DE—C的

余弦值.

【变式6-1]3..(2022•全国•高三专题练习)如图，在四棱台力BCD-4/164中，底面四

边形ABCD为菱形,AABC=60°,AA1=人向=^AB=1,AA11平面4BCD.

(1)若点M是4。的中点，求证：CW〃平面488出

(2)求直线GM与平面2。道所成角的余弦值；

⑶棱BC上存在点E，使得CE=1-f,求平面应4。1与平面4。道的夹角的正弦值.

【变式6-1]4.(2022・湖北武汉•校联考模拟预测)如图所示,在三棱台ABC-4当前中,

出，分别为瓦的中点.

BC1BB1,AB1BBr,AB=BC=BBr=24D,EC),4

(2)型ABC=120°,求平面4/C和平面4/iC所成锐二面角的余弦值.

【变式6-1]5.(2021・全国•校联考模拟预测)在棱台ABC。-a/iGDi中，侧面44氏41

底面,四边形与四边形都是正方形，且=由当=

4BCD4BCD/B42,=BB1=

yJ17.

(1)过点儿作平面a，使得平面a〃平面GCDDi,确定平面a与直线BC的交点M的位置，

并说明理由；

(2)若点0为棱力B的中点，求平面4OC与平面DCG,所成锐二面角的余弦值.

题型7线面角与动点问题

【例题7](2023•全国•高二专题练习)如图，在四棱台2BCD-4/iGDi中，底面4BCD是

菱形，梯形底面.设。为。的

/.BAD=j,14BCD,CD=CQ=DD1=3,CR=1C

中占

I八、、•

（2）DDI上是否存在一点M，使得4M与平面BDD/i所成角余弦为（,请说明理由.

【变式7-1]1.（2023春・全国•高一专题练习）如图，在三棱台ABC-&B1G中，4祖与

、都垂直，已知

&C/C]48=3,ArA=AC=5.

（1）求证：平面//C1平面ABC；

⑵直线与底面力BC所成的角的大小。为多少时，二面角4-AC-B的余弦值为答?

14

⑶在（2）的条件下，求点C到平面为48%的距离.

【变式7-1]2.（2022秋•辽宁沈阳・高二沈阳市第十中学校考阶段练习）如图，在四棱台

力中,底面为矩形，平面必。平面。,且

BCD4411CC/iCG=CD=DD1=

1

5c也=L

(1)证明：AD1平面CCiA。；

(2)若&C与平面CC/i。所成角为T,求点。到平面4&C的距离.

【变式7-1]3.(2023・全国•高三专题练习)四棱台被过点。的平面截去一部分后得

到如图所示的几何体，其下底面四边形A8C。是边长为2的菱形/BAD=60°,BB1，平面

ABCD,BB]=2.

⑴求证：平面ABiC_L平面BBi。；

(2)若与底面48CD所成角的正切值为2,求二面角4-BD-G的余弦值.

【变式7-1]4.(2023•全国•高三专题练习)如图，已知四棱台2BCD-a/iG4的上、下

底面分别是边长为2和4的正方形，&4=4,且1底面A8CD，点P,Q分别在棱。必、

(1)若P是。劣的中点，证明：4%1PQ；

(2)若PQ〃平面ABB14,二面角P-QD—4的余弦值为],求四面体ADPQ的体积.

题型8二面角与动点问题

【例题8](2023•广东惠州统考一模)如图，在四棱台2BCD—&&。也中，底面4BCD是

菱形，AA±=&Bi=1,2B=2,4ABe=60°,，平面ABC。.

Bk--------------

(1)若点M是4。的中点，求证：CW||平面A4//；

(2)棱BC上是否存在一点E，使得二面角E-。的余弦值为：?若存在，求线段CE的长；

若不存在，请说明理由.

【变式8-1]1.(2023•全国模拟预测)如图，在三棱台ABC-DEF中，平面DEBA,平

面ABC,平面DFCA,平面ABC,AB:BE:DE=4:5:1.

(1)求证：AD^BC;

⑵若AABC是等边三角形，试问：棱BE上是否存在一点H，使得二面角H-AC-B的平

面角为gD?若存在tlD，求出器的值；若不存在，请说明理由.

【变式8-1]2.(2022•全国•高三专题练习)如图，在四棱台力BCD-4当心必中，底面四

边形力是矢巨形,平面。平面。,平面，平

BCDAB=2BC=2A1B1=2,A11fMJ_ABCAiBiBA

面4BCD.

4A

⑴求证：AA11平面ABCD；

(2)若二面角力-BBi—。的大小为7,求四棱台4BCD-的高.

O

【变式8-1]3.(2022秋・湖南郴州•高二湖南省资兴市立中学校考期末)如图，在四棱台

ABCD-中,底面ABCD是正方形,DDr_L平面ABCD,A1B1=DDr=AAB,Ae

⑵若二面角B-ADr-。的大小为30°,求4的值

【变式8-1]4.(2023秋•黑龙江绥化•高二校考开学考试)在四棱台ABCD-&B1G/中，

AA1，平面ABCD,AB"CD,AACD=90°,BC=y[2,AC=y/6,CD=1,AM1CCX,垂足

为M.

(1)证明：平面28MJ_平面CDDLG；

(2)若二面角B-AM-。正弦值为手，求直线力C与平面CDAG所成角的余弦.

题型9体积与动点问题

【例题9】（2023•全国•高二专题练习）如图，在四棱台4BCD-4B1G4中,AB〃CD，DA=

DC=2,AB=CR=1,/.ADC=120°,皿£M=ABrBA=90°.

（1）证明：平面AGCD1平面ABC。；

⑵若四棱台4BCD-的体积为学,求直线叫与平面48心所成角的正弦值.

4

【变式9-1]1.（2023・全国•高三专题练习）如图，在三棱台ABC-DEF中，AC=4,8C=

2,EF=1,DE=V5,AD=BE=CF.

（1）求证：平面4BEDJ_平面ABC；

⑵若四面体BCDF的体积为2,求二面角E-BD-尸的余弦值.