2025年中考数学复习：几何探究题 专项训练（含答案）

中考数学专题复习：几何探究题专项训练

1.如图，在RdABC中，ZBAC=9O°,/A8C=30。，点。是平面内一动点（不与点C重合），连接C。，将线段

绕点。顺时针旋转60。，得到线段（点E不与点&重合），连接8E.取的中点P,连接4P.

⑴如图（1）,当点E落在线段AC上时，—=,直线AP与直线BE相交所成的较小角的度数为

⑵如图（2）,当点E落在平面内其他位置时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图（2）的情形给出证

明；若不成立，请说明理由.

⑶若AC=6,CP=3,当点8,D,E在同一条直线上时，请直接写出线段AP的长.

2.如图，点E为正方形ABC。边BC延长线上的一个点，连接AE交3。于点P、交CD于点G.

图2

FGFA

⑴求证:

FAFE

（2）如图2,连接AC交2。于点O,连接OE交于点X,连接切:

①若「G=l,FA=3,求tan/OEC的值;

②若FH//AC,求一.

HG

3.如图，在AABC、汨中，AB=AC,AD=AE,设NBAC=4ME=夕.连接以BC、8D为邻边作

口BDFC,连接EF.

⑴若a=60。，当AD、AE分别与A3、AC重合时（图1）,易得EF=CF.当AADE绕点A顺时针旋转到（图

2）位置时，请直接写出线段所、CT的数量关系；

（2）若。=90。，当AADE绕点A顺时针旋转到（图3）位置时，试判断线段EF、CF的数量关系，并证明你的结

论;

⑶若a为任意角度，AB=6,BC=4r,AD=3,△5E绕点A顺时针旋转一周（图4）,当A、E、尸三点共线

时，请直接写出针的长度.

4.已知，四边形A3CO是边长为4的正方形，点E在射线AD上运动，连结BE,在射线AD下方作以防为边的

矩形8EFG,且£F=5.

（2）如图②，当点E在线段AD上，且=1时、求点尸到直线AD的距离.

（3）当点尸或点G落在正方形ABCD的边所在的直线上时，求矩形BEFG的面积.

5.如图1,在等边AABC中，AB=2,过点C作CELA2,垂足为£,尸为CE上任意一点(点P与点C不重合),

把人尸绕点A顺时针旋转60。，点尸的对应点为点，分别连接8。、PD、ED.

⑴求证：BD=CP；

(2)当点尸与点E重合时，请你按照题干要求，在图2中作出图形，并延长CE交8D于点凡求出8尸的长;

(3)直接写出线段。E长度的最小值.

6.某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究:

(1)【观察与猜想】

DF

如图1,在正方形A8C。中，点E,尸分别是AB,上的两点，连接。E,CF,DELCF,则"的值为

⑵【类比探究】

CE

如图2,在矩形A8C。中，AD=7,8=4,点E是上的一点，连接CE,BD,日CD_LBD.求一的值；

BD

(3)【拓展延伸】

如图3,在四边形ABC。中，/A=/3=90。，点E为A8上一点，连接。E,过点C作。E的垂线交ED的延长线

于点G,交的延长线于点F且AD=2,DE=3,CF=4求AB的长；

7.已知在矩形ABC。中AB=4,AD=6,点£是边4。上的一个点(与点AQ不重合).连接CE,作NCEF=90。，交直

线8C点F,点G为线段EF的中点.

(1)如图1,若点E是A。的中点，四边形EHAB是矩形，求证：XHEFsNDCE；

(2)如图2,若将边A。向左平移1个单位得平行四边形48cO,当点G落在边48上时，求4E的长；

⑶如图3,连接。忆点反是。尸的中点，连接GH,EH,是否存在点E,使AEGH为等腰三角形？若存在，直接

写出OE的值.

8.如图，△ABC中，ZACB=90°,CB=CA,CE_LA8于E,点尸是CE上一点，连接A尸并延长交BC于点

CGLA。于点G,连接EG.

图1图2

⑴求证：CD2=DG-DA-,

(2)如图1,若点。是BC中点，求证：CF=2EF；

(3)如图2,若GC=2,GE=2网,求证：点F是CE中点.

9.感知发现：如图①，在正方形ABCD中，E为AB边上一点、,连接OE,过点石作£FDE交BC于点尸.易

类比探究：如图②，在矩形ABCD中，E为边上一点，连接OE,过点E作跖JLDE交BC于点尸.

⑴求证：AAED^ABFE.

⑵若AS=10,AD=6,E为AB的中点，求防的长.

(3)如图③，在AABC中，NACB=90。，AC=BC,AB=4.E为A3边上一点(点E不与点A、3重合)，连接

CE,过点E作/CEF=45。交8C于点当△CEF为等腰三角形时，8E的长为.

10.如图，已知AABC中，AB=AC,NB4C=a.点。是AABC所在平面内不与点A、C重合的任意一点，连接

CD,将线段CD绕点。顺时针旋转a得到线段。E,连接4。、BE.

(1)如图1,当a=60。时，线段3E与4。的数量关系是；直线BE与相交所成的锐角的度数是

(2)如图2,当。=90。时，

①(1)中的结论是否仍然成立，请说明理由；

②当3E〃AC,AB=6,AO=&时，请直接写出的面积.

11.已知正方形中，点E是边CD上一点(不与C、。重合)，将"DE绕点A顺时针旋转90。得到"3凡

如图1,连接跖分别交AC、AB于点P、G.

(1)请判断AAEF的形状；

⑵求证：PA2=PG»PF

(3)如图2,当点E是边C。的中点时，PE=1,求AG的长.

12.如图1,正三角形A3C中，D是BC边上的一点，以点。为顶点作血甲=60。，分别交AB,AC于点E,

F.

图1图2

(1)当防=C。时，3。与C/的关系是

(2)将NED产绕点。顺时针旋转，当5E=2CD时，求”的值;

CF

(3)如图2,若。在正三角形ABC中CB边的延长线上，点E与点A重合，点尸落在AC延长线上，AB=2,

qi

-ABD_求。厂长.

q4

°DCF

Ar

13.在AA8C中，ZACB=90°,——=m,。是边BC上一点，将△ABD沿折叠得到△AED,连接BE.

BC

(1)特例发现：如图1,当机=1,AE落在直线AC上时.求证：ZDAC^ZEBC；

⑵类比探究

如图2,当加力1,AE与边BC相交时，在4。上取一点G,使/ACG=N8CE,CG交AE于点儿探究孚的值

CE

(用含山的式子表示)，并写出探究过程;

(3)拓展运用

在(2)条件下，当7〃=克，。是8C的中点时，若EB・EH=6,直接写出CG的长.

2

14.如图1,RfAABC和RfAAOE中，ZACB=ZADE^90°,ABC=NAE£)=a°.

图1图2备用图1备用图2

⑴当a=30°时，

①当点。，£分别落在边AC,A8上，猜想BE和C。的数量关系是；

②当△AOE绕点A旋转到如图2的位置时(45°<ZCAD<90°).分别连接CD,BE,则①的结论是否仍然成立?

若成立，请给出证明；若不成立.请说明理由.

⑵当a=45。时，将△AOE绕点A旋转到/。£8=90。，若AC=10,AD=2非,直接写出线段C。的长.

15.小志同学在玩一副直角三角尺时发现：含45。角的直角三角尺的斜边可与含30。角的直角三角尺的较长直角边

完成重合(如图①)，即ACDA的顶点4,C分别与ABAC的顶点A,C重合现在，他让ACD4固定不动，将

A8AC通过变换使斜边经过△C/M的直角顶点D.

(1)如图②将ABAC绕点C按顺时针方向旋转。(0。＜。＜180。)，使边8C经过点D,则a

(2)如图③，将ABAC绕点A按逆时针方向旋转使边BC经过点。，求证：BC〃AC；

(3)如图④，若AB=2,将ABAC沿射线AC的方向平移机个单位长度使边BC经过点。，求机的值.

16.综合与探究

问题情境:

图3

探究发现:

⑴如图1,当3E=5时，连接AE,过点B作成，AE于点G,交CD于点、F,请直接写出线段BG和3尸的长

度;

⑵如图2,以8E为边作正方形并把正方形BEPG绕点2逆时针旋转，连接AG和。尸，发现。尸与AG之

间存在数量关系，请写出它们的数量关系并证明.

探究拓广：

⑶如图3,点E运动到与点C重合，连接AC,在A3上取点R使AF=8,以B为边作正方形CFMN,连接

AM,在图3中补全图形并直接写出AM的长.

17.如图，△ABC中，AC=BC,ZC=120°,。在BC边上、△BOE为等边三角形，连接AE,尸为AE中点，连

⑴请直接写出b、。下的数量关系，不必说明理由；

（2）将图1中的△QBE绕点8顺时针旋转。（0°<«<60°）,其它条件不变，如图2,试回答（1）中的结论是否成

立？并说明理由；

⑶若将图（1）中的AOBE绕点8顺时针旋转90。，其它条件不变，请完成图3,并直接给出结论，不必说明理

由.

18.如图，在等边AABC的AC,3c边上各取一点E,。，使AE=a>,Ar>,BE相交于点O.

AAA

AAA

BDCBQDCBDCnr

图1图2备用图

（1）求证：AD=BE；

Q）若BO=6OE=%2,求CO的长.

7

⑶在（2）的条件下，动点P在CE从点C向终点E匀速运动，点。在8C上,连结ORPQ,满足/OPQ=60。，记

PC为x,。。的长为》求y关于尤的函数表达式，并写出x的取值范围.

19.问题提出:

如图①所示，在矩形A0C5和矩形。的中，益=寸点A,O,。不在同一直线上，连接A£>,b.HO

是”前的中线，那么HO,CF之间存在怎样的关系？

F

图③

⑴问题探究：先将问题特殊化，如图②所示，当％=1且ZAOD=90。时，〃。,庭的数量关系是，位置关系

是.

(2)问题拓展：再探究一般情形如图③所示，当左=1,NA8W90。时，证明(1)中的结论仍然成立.

(3)问题解决：回归图①所示，探究M9,CF之间存在怎样的关系(数量关系用上表示)？

20.已知矩形ABC。的一条边AD=8,将矩形ABCD折叠，使得顶点2落在边上的P点处.

(1)若图1中的点尸恰好是C£>边的中点，求NOAB的度数；

(2)如图1,已知折痕与边BC交于点。，连结AP、OP、OA.

①求证：△OCPs&DA；

②若△OCP与"YM的面积比为1:4,求边A3的长；

⑶如图2,(2)的条件下，擦去折痕A。、线段。尸，连结8P.动点M在线段AP上(点M与点尸、A不重合)，

动点N在线段的延长线上，且BN=PM,连结MN交网于点E作ME,3尸于点E.试问当点M、N在移动

过程中，线段E尸的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段取的长度.

(2025年)

参考答案：

1.

(1)

解：①如图所示，延长3万交AP于尸，取8E中点G,8。中点"，连接AH,AG,GH,

•・•在RtZXABC中，ABAC=90°,NABC=30。，”是8C的中点，

AAC=-BC,BH=CH=AH=-BC,ZACB=60°,

22

：.AC=AH=BH=CH,

同理可得AG=-BE=BG

2f

・・,将线段CD绕点。顺时针旋转60度得到线段DE,

：.ZD=60°,DE=DC,

•••△OCE是等边三角形，

ZEC£>=60°,CE=CD,

•・,尸是8的中点，

・・・CP=-CD=-CE,

22

•・・G、H分别是5E,5C的中点，

:・GH是工ACE的中位线，

：,GH=-CE.HG//CE,

2

AZBHG=ZACB=60°,HG=CP,

在△AGH和△BGH中

AG=BG

<AH=BH,

GH=GH

•••△AGH丝△BGH(SSS),

：・NAHG=NBHG=60。,ZHBG=ZHAG；

VZECZ)=60°,点E在AC上，

・•・ZAHG=ZECD=60°,

在△AHG和△AC尸中，

HG=CP

<ZAHG=ZACP,

AH=AC

：.AAHG^AACP(SAS),

：.AG=AP,

（2025年）

.-G_1

*BE-2

②;△A”G之△ACP

：.ZHAG=ZCAP

•：/HBG=/HAG,

：.ZHBG=ZCAPf

VZAFB=1SQ°-ZCAP-ZAEF,ZACB=180°-ZHBG-ZBEC,NBEC=/AEF,

：.ZAFB=ZACB=60°,

・,・直线AP与直线BE相交所成的较小角的度数为60°；

⑵

解：（1）中结论仍然成立，理由如下:

如图所示，连接CE,延长A尸交延长线于G,

同理可得。斤CO,ZDCE=60°,

ZACB=90°-ZABC=60°,

JZACP=ZBCE,

..CPCP1AC

CECD2BC

：.AACP^ABCE,

嚏嚏4ZCAP=ZCBE,

：.ZCAP+ZACB=ZCBE+NG,

・•・ZG=ZACB=60°,即直线AP与直线BE相交所成的较小角的度数为60°；

G

⑶

（2025年）

解：如图（3）所示，当点E在线段8。上时，过点C作于N,

,:CP=3,尸是CO的中点，

：.CD=6,

由（2）知AOCE是等边三角形，

CE=DE=CD=6,EN=DN=gDE=3,

CN=y/CE2-NE2=343，

在RtZXABC中，ABAC=90°,ZABC=30°,

：.BC=2AC=12,

BN=飞BC。-CN。=3V13，

，BE=BN-NE=35-3,

.1n,3V13-3

••AP=—BEt=-----------;

22

如图（4）所示，当点£在线段5。的延长线上时，过点。作CNLDE于N,

同理可得EN=ON=；OE=3,BN=3713,

BE=BN+NE=3岳+3,

.13旧+3

22

综上所述，A尸二3万一3或A尸二3万+3

22

2.

（1）

（2025年）

证明：・・•四边形ABC。是正方形，

:.AD〃BC,AB||CD,

AD//BC,

AZDAF=ZBEA,ZADF=ZEBF,

：・AADFS正BF,

,FADF

FEBF

：AB\\CD,

•・/DGF=/BAF,/GDF=AABF,

•・ADGFSABAF,

.DFFG

BFFA

FGFA

FAFE

..FGFA

①解:FG=1,FA=3

FA~FEf

：.FE=9,

：・GE=FE—FG=8,AG=AF+bG=4,

•：AD\\BE,

；・/DAG=/CEG,ZAGD=ZEGCf

:.ADAGS卫EG,

.DGAG_4_l

**CG-EG-8-2?

/.CG=2DG,CD=3DG,

•；AD=CD,

AG=J3+DG2，

解得OG=3地

如图1,作a于M,

（2025年）

图1

由题意知OM〃CD,OM=CM=-CD=^^-,EM=CM+CE=^^-

255

*.•NEHC=/EOMNHEC=/OEM,

：.AEHCSAEOM,

12vHi

•HC_ECWHC

,,OMEM3而15Vw

55

解得「嘤

12而

一

tanZO£C=—251

EC12师25

5

tan/OEC的值为'.

②解：如图2,延长FH交CE于N,

图2

由正方形的性质可知NBOC=90°,/BDC=45。,OB=OB,

:FH//AC,

：.ZNFB=ZNFD=90°,BF=FN,

设。尸=〃，OD=b,贝UCD=AZ）=，AC=BD=2b,FN=BF=2b—a,

（2025年）

DHfa，CN=CH=CD-DH=^2（b-a）,

'：FH//AC,

：.ZEFN=ZEAC,

又•：/FEN=ZAEC,

：.AEFNSAEAC,

.ENFNEN_2b-a

,,耘一就即EN+0（6-a）2b'

...EN=0（j）（2EC=6（b-a）（2b-a）+插2y[lb[b-a）

aaa

•：AD\\BEf

：./DAG=/CEG,ZAGD=ZEGC,

:・ADAGS^EG,

DGAD同_a

^~CG~~EC~2回.-a）-2{b-a），

a

,**DG+CG=回，

・八厂垃ab

••Ukj=--------

2b-a

*：FH//AC,

：.ZEFH=ZEAO,

XVNFEH=ZAEO,

工小EFHs小EAO,

.EF_FH_a_EF

^~AE~~AO~^~AF+EF9

同理AADF^AEBF,

FA_AD_Cb_a

**•FEBE®2y[2b（b—2b—a

a

：.AF=—^—FE,

2b-a

EF_2b-a_a

aFE+EF2bb，

2b-a

整理得（2）-a））=2"，

2b=3a,

(2025年)

'：GH=DH-DG=^2a-^^~

2b-a

CHy[2[b-a)2b—a3a-a

---------=2

・・GH缶一飙aa

2b-a

.CH_

的值为2.

-GH

3.

(1)

解：如图2,连接EC,

VZBAC=ZDAE=a,ZBAC=ZBAD+ADAC,ZDAE=ZDAC+ZCAE,

：.ZBAD=ZCAE,

又・.・AB=AC,AD^AE,

：.AADB^AAEC(SAS),

:・BD=EC,ZABD=ZACE,

：.AABC+AACB=ZDBC+/ECB,

•・,四边形ADR?是平行四边形,

：.BC//DF,BD=CF

；・NDBC+NBCF=NDBC+NECB+NECF=180。,CF=EC,

：.ZABC+ZACB+NEC5=180。，

又•:ZABC+ZACB+ZBAC=180°,

・•・ZECF=ZBAC=a,

当a=60。时，CF=EC,

・•・△氐〕「是等边三角形,

:・EF=CF；

(2025年)

(2)

解：同理(1)可得：CF=EC,NECF=NBAC=a,

当夕=90°时，CF=EC,

△ECF是等腰直角三角形，

EF=V2CF;

(3)

解：分两种情况进行讨论：

如图31：AF=AE+EF,

同理1可得：CF=EC,NECF=NBAC=a,

XVAB=AC,AD=AE,ABAC=Z.DAE=a.

.ABADEC

"AC-A£-FC

•*,AABC~AADE~ACEF,

.DEEFBC

ZADE=NCEF,

"~AD~~CE~~AB

VAB=6,BC=4,AD=3,

:.DE=2,EF=-EC,

3

由(1)得：△ADBFAAEC(SAS),

ZADB=ZAEC,

：.ZADE+ZADB=ZAEC+ZCEF

...当A、E、尸三点共线时，ZADE+ZADB=ZAEC+ZCEF,

.•.当A、E、尸三点共线时，D、B、E三点共线，

如图4-1,过A点作AHLOE,

\'AD=AE,

(2025年)

/.DH=-DE=1,

2

AH=y/AD2-3DH2=V32-l2=20，

HB=JAB。-AH?=而-(20)2=277，

，BD=HB-HD=2y/y-l

EC=BD=2小-I,

：.EF=*C=/币—D,

：.AF=AE+EF=3+-(2y/l=+1,

33

如图4-2,AF=EF-AE,

2

同理可得：HB=277,EF=-EC,

BD=HB+HD=2A/7+1

EC=BD=2/j-l,

：.EF=|^=|(2^+1),

/•AF=EF-AE=：Q6+D一3=,

综上所述：A尸长为巫1Z或巫2.

33

4.

⑴

解：在正方形A3CD中，AB=AD=4,ZA=90°,

在RtAABD中，BD=0AB=4应，

•・,点£与点D重合，

BE=BD=4>/2,

故答案为：4也;

（2025年）

(2)

解：如图，过点尸作9_LAD,交AD的延长线于点M,

•/DE=1,AD=4,

AE=3,

在凡AA8E中，AB=A,

二.BE=5,

♦：EF=5,

:.BE=EF,

•.­ZA=ZBEF=ZM=90。，

二ZABE+ZAEB=ZAEB+/MEF=90。,^ZABE=ZMEF,

:.MBE^^MEF（AAS）,

.-.MF^AE^3,

即点/到直线AD的距离为3；

（3）

解：分三种情况讨论：

①如图，当点P落在AD的延长线上时，

则S矩形EBFG=AB,E尸=4x5=20；

②如图，当点尸落在3c的延长线上时，过点E作由，3c于点H,

（2025年）

,.EH=AB=4,/EHF=/G=9伊,

在及AEHF中,EF=5,

:.HF=3,

♦:EFIIBG,

:"EFH=/FBG,

:.NEHF\\FGB,

EHHF

"FG-BG?

♦.・BG=EF=5,

.4_3

,FG"5?

.Fr_20

3

,$s_20.100

••S矩形5EFG=^G•石尸二§X5=亍；

③如图，当点G落在OC延长线上时,

G

-.•ZA=ZBCG=9Q°,

ZABE=900-ZEBC=ZGBC,

\-AB=BC,

/.AABE^ACBG（A4S）,

;.BE=BG=5,

S矩形时G=BE・BG=5x5=25.

(2025年)

综上，矩形HEFG的面积为20或或25.

5.

(1)

证明：・・・△ABC是等边三角形，

：.AB=AC,ZBAC=60°,

由旋转知，

：.AD=APfZDAP=60°,

：.ZDAB+ZBAP=ZBAP+ZCAP,

・•・ZDAB=ZCAPf

：.ADAB^APAC(SAS),

：.BD=CP；

(2)

解：如图如

由旋转知，AD=APfND4P=60。，

・・・尸是等边三角形，

・•・当点尸与点E重合时，^AE=DEfNA即=60。,

・.•CE±ABf

：.AE=BE=DE,ZBCE=-NACB=30。,

2

・\ZEBD=30°,

NDBC=9。。,

在R也BCF中,

,BF

・；BC=2,tanNBC斤——,

BC

・・・5尸=2tan300=述；

2

(3)

解：山长度的最小值号,

（2025年）

理由是：如图3,

图3

由(1)知：ADAB^/\PAC,

.•.取AC的中点“，连接PH,则PH=OE,

PH长度的最小值就是。E长的最小值，

过点尸作"GLCE于G,垂足G就是PH最小时点尸的位置，此时尸

故。E长度的最小值是;.

6.

(1)

解：设。石与C尸的交点为G,

・・•四边形ABC。是正方形，

AZA=ZFDC=90°,AD=CD,

VDE±CFf

ZDGF=90°,

：.ZADE+CFD=90°,ZADE+ZAED=90°,

：.ZCFD=ZAED,

在△人瓦）与4。尸C中，

ZA=ZFDC

</CFD=/AED,

AD=CD

：.AAED^ADFC（A4S）,

：.DE=CF,

（2025年）

故答案为：1;

⑵

解：如图2,设。8与CE交于点G,

・・•四边形A5CD是矩形,

：.ZA=ZEDC=90°,

VCE1BD,

：.ZDGC=90°,

：.ZCDG^-ZECD=90°,ZADB+ZCDG=90°,

：./ECD=ZADB,

・・•ZCDE=ZA,

/\DEC^/\ABD,

.CEDC4

9BD~AD~1

⑶

解：如图3,过点。作CH,AT交A厂的延长线于点H,

图3

CG工EG,

ZG=ZH=ZA=ZB=90°,

四边形ABC"为矩形,

AB=CH,ZFCH+ZCFH=ZDFG+ZFDG=90°,

ZFCH=ZFDG=ZADE9ZA=ZH=90°,

.DEAD.DEAD

△DEAs/\CFH,..=----,..=,

CFCHCFAB

AD=2,DE=3,CF=4,

3_2

4-ABJ

(2025年)

7.

(1)

NQ=ZH=90。，FH=AB=4,AE=DE=3,

.•.NCED+NOCE=90。，

•/ZCEF=90°,

:./CED+ZHEF=9U。,

:"HEF=/DCE,

.-.AHEF^ADCE,

(2)

作。于H,作CD_LAD于O,

:.DD=1,

由(1)得：AEG4FAFGB,

,^EA!=BF=x,

:.ED=6-x,

:.EH=DH-DE=CF-DE=(6^-x)-(l^-6-x)=2x-lf

由(1)知：ACDE^^EHF,

,DECD

,•~~一~~,

FHEH

•7-兀—4

(2025年)

15士ar

X二-------,

4

A,E=15±回；

4

(3)

如图3,

作用_L4D于R,HQJ_AD于Q,

设DE=a,则AE=6—a,

•••G是E尸的中点，”是的中点,

是DFD0的中位线，

.-.GH=-DE=-a,

22

由(1)可得，

Q_4

%—RE'

RE=—

a

EF=y/RF2+RE2=.16+(―)2,

Va

・•・EGIEF]・后加，

•/DR=DE+ER=a-\,

a

DQ=-DR=-{a+—),

22Q

:.EQ=DE-DQ=a--(a+—)=-(a--),

2a2a

EH2=EQ2+QH2=[--(a--)]2+4,

2a

当EG=G”时，

；[16+(竺力=JQ2,

4Q4

(2025年)

.•./=8+8岔或。2=8一8行(舍去),

当EG=EH时，

^-[16+(—)2]=^-(a-—)2+4,

4Q44

a2=32,

当GH=EH时,

/.a2=16>

综上所述：OE?=8+86或32或16.

8.

(1)

证明：,/CG±AD,ZACB=90°,

：.ZCGD^ZACB^90°,

■:/CDA=NCDG,

：./\ACD^/\CGD,

：.CD：DG=DA：CD,

：.CD2=DG^DA；

(2)

如图1,过E作EH〃AD交BC于点H,

,JHE//AD,

：.BH：HD=BE-.EA,CD：HD=CF：EF,

'：CB=CA,ZACB=90°,CE±AB,

为A8的中点，

；.BE：EA=lf

：.BH：HD=BE：EA=1

ID为3D的中点

CD=BD,

:.CD：HD=2,

9：EH//AD

：.CD：HD=CF：EF=2

.CF=2EF.

(2025年)

图1

(3)

'：CB=CA,ZACB=90°,

：.ZBAC=45°,

VCEXAB,CG±ADf

：.ZAGC=ZAEC=90°,NACE=45。,

・・・A、C、G、E四点共圆，

:・/EGF=ZACF=45°,

图2

4EGM是等腰直角三角形，

EM=GE・sin450=2后x也=2,

2

VCG=2,

：.CG=EM,

VZCFG=ZEFMfNCGF=NEMF=90。,

：.ACGF^AEMFf

：.CF=EF,

即点尸是CE中点.

9.

(1)

证明：•・,四边形ABCD是矩形，

：.ZA=ZB=90°f

：.ZADE+ZAED=90°,

•:DE±EF,

・•・ZDEF=90。，

（2025年）

ZBEF+ZAED=90°,

：.ZADE=ZBEF,

AAED^ABFE.

（2）

解：为AB中点，

AE=BE=5,

由（1）知人4£»/48庄,

.ADAE6_5

••一，艮HI」n一—,

BEBF5BF

(3)

解：如图,

①如果CE=CF,则NCEF=/CFE=45。，NECF=90°,

则点E1与点A重合，点厂与点8重合，不符合题意.

1800-45°

②如果CE=EF,则NEFC=/ECF=-------------=67.5。，

2

・・・/EFC为△班下的外角，

ZEFC=AB+ZBEF,

VZACB=90°,AC=BC,

・・・ZA=NB=45。，

・・・ZBEF=/EFC-ZB=67.5°-45°=22.5°,

ZACE=90°-ZECF=90°-67.5°=22.5°,

JZACF=NBEF,

又・・・ZA=N5,CE=EF,

：.AAEC冬4BFE,

：.BE=AC,

VZACB=90°,AC=BC,AB=4,

・•・AC=—AB=—x4=2V2,

22

BE=2V2.

(2025年)

③如果=EF,则ZCEF=NECF=45°,

：.ZCFE=90°,

在△■BEC中，NB=/BCE=45。,

：.NBEC=90。,

：.CELAB,

又：AC=BC,

.•.点E为AB中点,

BE=-AB=2.

2

综上所述，8E的长为2&或2.

10.

(1)

解：由题意A8=AC,44c=60。；DC=DE,/CDE=6。。,

“8C和AOCE是等边三角形，

AC=BCCD=CE,

•/ZACD-^-ZDCB=ZACB=60°,ABCE+^DCB=ZDCE=60°,

:.ZACD=ZBCE,

:.MDC=ABEC,

:.AD=BE,ZCBE=ZCAD

如图1,延长AO交BE的延长线于尸，N尸即为直线5E与AO相交所成的锐角,

:.ZCBE-^ZBAF=ZCAD^ZBAF=ZBAC=60°

（2025年）

ZF=180°-NBAF-ZABF

=180°-(ZBAF+/CBE)-ZABC

=180°-60°-60°

=60。，

故答案为：BE=AD,60°；

(2)

解：①不成立，BE=AD,直线BE与AO相交所成的锐角的度数是45。.

理由如下：如图2,

设直线2E交于点N,AD交EC于点当。=90。时,

'：AB=AC,

：.ZABC=ZACB=45°,

A—=sin45°=—,

BC2

2£=sin45-亚

同理可得,

EC2

・DCAC0

*EC-BC

,/ZACB=ZACE+ZECB=45°,/DCE=ZACE+ZJDCA=45°,

：・/ECB=/DCA,

：.△DCA^AECB,

・ADAC直

**BE~BC~2'

BE=y/2AD，/CDA=NCEB.

9

：ZDMC=ZEMNf

：.ZDNE=ZDCE=45°,

・•・直线BE与直线AD相交所成的锐角的度数是45°.

②ADCE的面积是13或25.

解：当点。在aABC外时，作EGLCB交的延长线于点G,

（2025年）

•.♦AO=0，BE=y/2AD,

:.BE=2,

•：BE//AC,

ZEBG^ZACB^45°,

・•・AEBG是等腰直角三角形，

BG=GE=近,

ABAC=9Q°,AB=AC=6,

BC=6垃,

.•.CG=60+应=70，

在RtACGE中，CE=y/CG2+EG2=10-

DE=CD=5应,

S.nCF=-DE-CD=-x542x5y[2=25；

点。在AABC内时，如下图所示，

图4

同理可得SgcE=13,

故^QCE的面积是13或25.

(2025年)

11.

(1)

由旋转的性质可知，AF=AE,ZDAE=ZBAF,

:四边形A3CD是正方形，

：.ZDAB=90°,

：.ZDAE+ZBAE^90°,

：.NBAF+/BAE=90。,

：.ZFAE=90°,

：.4AEF是等腰直角三角形。

(2)

证明：：四边形ABCQ是正方形，ZCAB=45°,即/B4G=45°

由(1)可得乙4厂£=45。，

ZPAG=ZAFP=45°,

又：ZAPG^ZFPA,

：.AAPG^AFBA,

.PAPG

••一■~,

PFPA

PA2=PGgPF;

(3)

解：设正方形的边长为2a.

,/AADE绕点A顺时针旋转90。得到△ABR

AZABF=ZD=9Q°,DE=BF,

"：ZABC=90°,

：.ZFBC=180°,

：.F,B,C共线，

*.*DE=EC=BF=a,BC=2a,

:・CF=3a,EF=《CF?+EC?=,(3十『+〃2=Ma,

■:BG//EC,

：.BG:EC=FB:CF=FG:FE=1:3,

：.BG=-a,AG=-a,GE=^^~a,

333

•・•ZGAP=ZAEG=45°,ZAGP=AEGA,

：.AAGP^AEGA,

・AGGP

・・茄一前‘

(2025年)

AG2=GP辞E，

52A/102回

AG=—X------------

353

12.

(1)

解：相等，

理由：・・・△A3C是等边三角形，

：.ZB=ZC=60°,

VZEDF=60°,

・・・ZBDE+ZBED=ZBDE+ZCDF=120°,

:./BED=/CDF,

•：BE=CD,

:•△BDE"ACFD(AAS),

：.BD=CF,

故答案为：相等；

(2)

解：•・・△ABC为正三角形，

：.ZB=ZC=60°,

•.・ZEDC=ZEDF+ZFDC=ZDEB+/B,

又NEDb=60。，

：.ZFDC=ZDEBf

：.ABDEsACFD,

,BDBE

••一，

CFCD

■:BE=2CD,

.BD2CDc

••-----=2；

CFCD

(3)

解：*.*ZADC=ZADB+ZFDC=60°,

ZABC=ZADB+ZDAB=60°,

:・/DAB=/FDC,

(2025年)

ZABC=ZACBf

：.NABD=NDCF,

:.丛BDAs^CFD,

.AO=ABS^DABT\

"DF~DC'S9cF~DC?~4，

.ADAB_1

""1)F~1)C~2'

VAB=2,

：.CD=4,

：.BD=2,

作△ABC的高AH,则8H=1,DH=3,

在△ABH中，由勾股定理得，BH=拒,

在△ABH中，由勾股定理得，

AD=y/BH2+DH2=J(@2+3?=2百,

:.DF=2AD=4G

A(E)

（D

解：如图1,延长A£）交BE于F,

图1

由折叠知，AB=AE,ZBAF=ZEAF,

：.AF±BE,

(2025年)

ZAFB=90°=ZACB,

：.ZDAC+ZADC=ZBDF+ZEBC=90°,

・・・NADC=/BDF,

：.ZDAC=ZEBC；

(2)

解：如图2,延长AZ)交BE于尸，

由(1)①知，/DAC=/EBC,

ZACG=ZBCE,

：.△ACGsdBCE,

(3)

(3)由折叠知，NA尸5=90。，BF=FE,

•・•点。是5C的中点，

：.BD=CD,

：・DF是△8CE的中位线，

：.DF//CE,

：.ZBEC=ZBFD=90°,ZAGC=ZECG,NGAH=NCEA,

由(2)知，△ACG^ABCE,

AC_AC

：.ZAGC=ZBEC=90°,而=J^二2加二行,

2

CGDC1

・・=tanZGAC=_77=~f=,

AGACV2

设CG=x,则AG=五x,BE=2x,

：.AG=CEf

：.AAGH^AECH(AAS),

:.AH=EH,GH=CH,

GH=-x,

2

(2025年)

在中，根据勾股定理得，AH=-S/AG2+GH2=-x,

2

:EB・EH=6,

••x—o,

2

・,.x=0或x=_0(舍)，

即CG=0.

14.

(1)

①解：*/ZACB=ZADE=90,ZABC=ZAED=30°,

：.AB=2ACfAE=2AD,.

，BE=AB-AE=2(AC-AD),

CD=AC-CD,

..BE=2CD,

故答案为：BE=2CD；

②解：BE=2CD仍然成立,理由如下：

•・,ZACB=ZADE=90fZABC=ZAED=30°,

二.AB=2AC,AE=2AD,

.AEAD

,耘一就'

•••ZBAC=ZDAE,

NCAD=/BAE,

ACAD^ABAE,

BEAEc

——=——=2,

CDAD

，BE=2CD；

⑵

当点E在A3右侧时，如图3,过点A作A厂，3E,交BE的延长线于凡

A，\

快

CB

图3

（2025年）

1,■ZABC=ZAED=a=45°,

AACB,AADE是等腰直角三角形，

"■-AC=10,AD