2025年中考第一次模拟考试数学（辽宁卷）（全解全析）

2025年中考第一次模拟考试（辽宁卷）

数学•全解全析

第I卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1.若零上UTC记作+10。（2,则零下5。（2可记作（）

A.5℃B.10℃C.-5℃D.-10℃

【答案】C

【分析】本题考查了相反意义的量，熟练掌握正负数的意义是解答本题的关键.在一对具有相反意义的量

中，规定其中一个为正，则另一个就用负表示.

【详解】解：：零上10℃记作+10。（2,

零下5七可记作-5。。.

故选C.

2.已知一个几何体如图所示，则该几何体的主视图是（）

【答案】B

【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图，根据主视图的概念即从正面看物体得到的图形求解可得.

【详解】解：该几何体的主视图是

3.中国“二十四节气”已被联合国教科文组织列入人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表

其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部

分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180。，如果旋转后的图形能

够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.

根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可.

【详解】解：A.不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意;

B.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意;

C.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意;

D.是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意.

故选D.

4.根据北京青年报2024年11月14日发布的数据显示：2023年北京人工智能产业核心产值突破2686亿元,

人工智能作为第四次工业革命的核心技术，正在释放科技革命和产业变革积蓄的巨大能量，对经济发展、

社会治理、国家安全将产生重大而深远的影响.数据“2686亿元”用科学记数法可表示为（）

A.268.6x109元B.2.686x10"元

C.0.2686x10"元D.2.686xl(y°元

【答案】B

【分析】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axl(T的形式，其中1<|a|<10,n

为整数，表示时关键要正确确定。的值以及"的值.确定w的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多

少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.

【详解】解：2686亿元=268600000000元=2.686*10"元，

故选：B.

5.若关于x的方程Y-X+相有实数根，则机的值可以是()

A.0.25B.0.5C.1D.2

【答案】A

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握△>(),方程有两个不相等的实数根；A=0,方程有两

个相等的实数根；A<0,方程没有实数根是解题关键.根据一元二次方程根的判别式列不等式求解即可.

【详解】解：.•关于x的方程Y-x+根=0有实数根，

.-.A=(-l)2-4m>0,

解得：m<0.25,

故选：A.

6.解分式方程三+勺=3时，去分母后变形正确的是()

x-1x-1

A.2+(x+2)=3(x—1)B.2-x+2=3(x—1)

C.2-(x+2)=3D.2-(x+2)=3(x-l)

【答案】A

【分析】本题考查了解分式方程，掌握去分母的方法，等式的性质是解题的关键.

根据题意，等式两边同时乘以(x-l)去分母即可，注意不能漏乘项.

【详解】解：分式方程，7+%=3去分母后变形2+(x+2)=3(x-l),

x—\x—1

故选：A.

7.已知一次函数>=丘+人(左。0,k、b是常数)的自变量％与函数y的几组对应值如表：

X-2-1012

y86420

则下列结论正确的是（）

A.y的值随x值的增大而增大B.图像不经过第一象限

C.当x<2时，y<0D.不等式依+bVO的解集是xN2

【答案】D

【分析】本题主要考查运用待定系数法示一次函数解析式，一次函数的图象与性质，先求出一次函数的解

析式，再根据函数的图象与性质求解即可.

10=4

【详解】解：把（0,4）,（2,0）代入y=依+、得,

所以，一次函数解析式为y=-2x+4,

'：k=-2<0,

的值随X值的增大而减小，故选项A不正确；

k--2<Q,b=4>0,

•••一次函数，=-2尤+4的图象经过第一、二、四象限，故选项B不正确；

由表格中数据可知，当尤<2时，y>0,故选项C不正确；

不等式履+/?〈0的解集是尤22,故选项D正确，

故选：D.

8.有这样一个问题：“今有五人共车，一车空；四人共车，七人步.问人与车各几何？”意思是：有若干人

坐车，每车坐5人，则空1辆车；每车坐4人，则7人无车坐.问人数和车数各多少？设有x辆车，根据题

意，可列出方程（）

A.5x-l=4x+7B.5（x-l）=4（x+7）

C.5（x—l）=4x+7D.5x—l=4x—7

【答案】C

【分析】本题两种乘车方式中，车的数量与人的数量都是相等的，可以将车的数量设为x辆，根据人数相等

列出方程即可.

本题考查一元一次方程的应用，设出恰当的未知数，准确抓住数量关系列出关系式是解题的关键.

【详解】解：设车有X辆，

若每车坐五人，则人数为5（尤-1）人

若每车坐四人，则人数为（4元+7））人

故5(x—l)=4x+7

故选C.

9.如图，在VABC中，ZCAB=20°,ZABC=30°,将VABC绕点A按逆时针方向旋转50。得到△AB'C'.有

以下结论：®BC=B'C；②AC〃C'g〃；③CB'IBB；@ZABB'=ZACC.其中正确的有（)

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

【答案】B

【分析】本题主要考查了旋转性质、等腰三角形的性质、平行线的判定等知识点，掌握图形的旋转只改变

图形的位置，不改变图形的形状与大小是解题的关键.

根据旋转的性质可得：3c=»C、/。奶'=/。〃=20。,加'仁=加。=30。，再根据旋转角的度数为50。,

然后通过推理证明对①②③④四个结论进行判断即可.

【详解】解：①：将VABC绕点A按逆时针方向旋转50。得到△AB'C',

ABC=B'C,故①正确；

②将VABC绕点A按逆时针方向旋转50°得到△AB'C',

ZBABr^50°.

,?ZCAB=20°,

ZB'AC=ZBAB'-Z.CAB=30°,

"/ZAB'C'=ZABC=30°,

ZAB'C'=ZB'AC=30°.

：.AC//CB',故②正确;

③在..BAB'中，AB=AB',ZBAB'^50°,

ZABB'=ZAB'B=1(180°-50°)=65°.

ZBB'C=ZAB'B+ZAB'C'=65O+30°=95°.

C'B'lBB'不成立，故③不正确；

④在AACC中，AC=AC',ACAC=50°,

.'.ZACC^1(180°-50°)=65°

ZABB'^ZACC,故④正确.

二①②④这三个结论正确.

故选B.

10.如图，P为。外一点，过点P分别作。。的割线和切线PC（割线R45和切线PC不重合），C为

A.NPBC=NPCA

B.当弦A3最长时，NPCB-NPBC=90。

C.ZPCB-ZOBC=90°

cwAC1-PA2

D.当一=一时，——=-

BC2AB3

【答案】D

【分析】结合图形，对四个选项的说法依次进行判断即可.

【详解】解：A.；PC为：。的切线，是1。的割线,

ZPCA+ZACO=ZPCO=90°,

,/2OC和NABC所对的弧是AC，

NAOC=2NABC,

OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA=1(180°-ZAOC)=(180°-2ZABC)=90°-ZABC,

：.ZPCA+90°-ZABC=90°,

ZABC=ZPCA,

即NP5C=NPC4,原说法正确，故此选项不符合题意;

B.当弦最长时，即A3为:。的直径，如图，

，ZACB=90°,

：.ZPCB-ZPCA=90°

由A知：ZPBC=ZPCAf

：.ZPCB-ZPBC=90°,原说法正确，故此选项不符合题意；

C.・・,PC为〔。的切线，是「。的割线，

：.ZPCO=9Q°f

：.ZPCB-ZOCB=ZPCO=90°,

•：OB=OC,

：.ZOBC=ZOCB,

:./PCB—/OBC=/PCB—NOCB=9伊,原说法正确，故此选项不符合题意;

D.延长AO交。于点。，连接C。，如图，

*/AD是:。的直径，

・•・/ACD=90。，

・•・ZOAC-^-ZODC=90°,

〈PC是。的切线，

：.ZPCO=9Q°,

：.ZPC4+ZACO=90°,

*：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

：./PCA=/ODC,

又,AC=AC，

:.ZABC=ZADC,

：./PCA=/PBC,

又「ZP=NP,

・•・，PAC^PCB,

.Ph_?CAC

,EPC-PF-cF?

又•就-5，

PA=-PC,PC=-PB,

22

pApA17

:“In」占，原说法错误，故此选项符合题意・

ABPB-PA33

故选：D.

【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，等边对等角，相似三角形的判定

与性质等知识点.能根据选项中的描述，画出相应的图形是解题的关键.

第n卷

二、填空题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分)

11.当彳=褥-1时，代数式尤?+2x+2020的值是.

【答案】2024

【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，代数式求值等知识点，运用配方法是解题

的关键.本题也可以直接代入，但使用配方法更为简便.

先将尤2+2元+2020变形为(x+丁+2019,然后将x=6-1代入求值即可.

【详解】解:当片石-1时，

尤2+2x+2020=Y+2X+1+2019=(x+lp+2019=(拓-1+1J+2019=(⑹2+2019=5+2019=2024,

故答案为：2024.

12.如图，点A,B的坐标分别为(2,0),(0,1),若将线段平移至44的位置，则6的值是.

【分析】本题主要考查了坐标与图形变化一平移，熟练掌握以上知识是解题的关键.

根据平移前后对应点的坐标可知平移方式为向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，再由“上加下

减，左减右加”的平移规律求解即可.

【详解】解：：点A,B的坐标分别为（2,0）,（0,1）,A（0⑼,4（。,2）

...将线段A8平移至A片时的平移方式为向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，

:・々=0+1=1,人=0+1=1,

a+b=1+1=2,

故答案为：2.

13.一个不透明布箱子里只装有机个红球和3个白球（除颜色外其余都相同），从中任意摸出一个球是红球

的概率为3:，则根的值为_____.

4

【答案】9

【分析】本题考查了概率的计算，分式方程的运用，掌握随机事件概率的计算公式是解题的关键.确定红

球的数量，总的数量，根据任意摸出一个球是红球的概率为3:，列式求解即可.

4

3

【详解】解：有机个红球和3个白球（除颜色外其余都相同），任意摸出一个球是红球的概率为

4

.m3

.•----二—，

m+34

解得，m=9,

经检验，根=9是原方程的解，且原分式方程有意义，

・••加的值为9,

故答案为：9.

14.如图，点A（a,3）,B（b,l）在反比例函数＞=［的图像上，点C,。分别是x轴、y轴上的动点（C,。不同

时与原点重合），则四边形ABC。的周长的最小值为.

【分析】首先求出A。,3),3(3,1),再作A点关于y轴的对称点P,B点关于x轴的对称点0,根据对称的性

质得到尸(T,3),2(3,-1),尸。分别交x轴、y轴于C点、。点，根据两点之间线段最短，此时四边形AB8

的周长最小，然后利用两点间的距离公式求解可得.

【详解】•••点4。,3)产(81)在反比例函数尸］的图像上，

33

/.a=—=l,Z?=—=3,

31

/.A(1,3),B(3,1)

如图，作A点关于y轴的对称点P,B点关于无轴的对称点。

AP(-l,3),2(3-1),

连接PQ分别交x轴、y轴于C点、。点，

四边形ABC。的周长=A3+AD+a>+BC=A8+Pr>+r>C+CQ2A5+PQ

当点P,D,C,。四点共线时，四边形ABC。的周长最小，即4B+PQ的长度

AB+PQ=7(-1-3)2+(3+1)2+7(1-3)2+(3-1)2=6后.

四边形ABC。的周长的最小值为6行.

故答案为：6夜.

【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，轴对称性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、熟练运用

两点之间线段最短解决有关几何图形周长最短的问题是解题的关键.

7

15.如图，在平行四边形ABCD中,E为43延长线上一点，/为AO上一点，NDEF=NC,若DE=4,AF,

则4）的长是.

【答案】y

【分析】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，由平行四边形的性质得出

AD=BC,ZA=ZC,结合已知得出ADFE^ADE4,利用相似三角形的性质结合题意求出AD的长度即可.

【详解】解：：四边形ABC。是平行四边形，

AAD=BC,ZA=NC,

•：/DEF=/C,

ZDEF=ZA,

•:/EDF=AADE,

：.ZxDFEs^DEA,

.DEAD

…而一5P

7

•：DE=4,AF=-,

3

7

.・.DF=AD-AF=AD一一,

3

4AD

*,•AD--4'

3

J42=|^AD-1^AD,

・・・AO*或AD=—3（舍去），

「・的长是了，

故答案为：—.

三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

-2

16.（10分）（1）计算：-p»4+（5-万）°一［!

+2d!+16Z+1

【答案】（1）-9（2）-

a

【分析】本题主要考查实数的混合运算和分式的除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

（1）原式分别进行乘方、零指数塞和负整数指数幕运算，然后再进行加减运算即可得到答案;

（2）原式分子与分母先进行因式分解，再把除法转换为乘法，约分后即可得到结果.

【详解】解：（1）-l2004+（5-^）°-I

=-1+1-9

=-9；

/八、〃2-1〃2_&

(2)-----------4---------

a+2〃+1Q+1

(Q+1)(Q—1)—

(a+1)2a+1

(a+l)(a-1)a+1

(a+1)-a(a—l)

1

=a-

17.（8分）某教育科技公司销售A,8两种多媒体，这两种多媒体的进价与售价如表所示:

AB

进价（万元/套）32.4

售价（万元/套）3.32.8

（1）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，共需资金132万元，该教育科技公司计划购进两种

多媒体各多少套？

（2）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，其中购进A种多媒体加套（10〈加420）,当把购进的

两种多媒体全部售出，求总利润w（元）与根之间的函数关系，并说明当购进A种多媒体多少套时，能获

得最大利润，最大利润是多少万元？

【答案】⑴购进A种多媒体20套，8种多媒体30套

（2）购进A种多媒体10套时，能获得最大利润，最大利润是19万元

【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方

程组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值.

（1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；

（2）根据题意可以写出利润与加的函数关系式，然后根据机的取值范围和一次函数的性质，可以求得利润

的最大值.

【详解】（1）设A种多媒体。套，8种多媒体6套，

[a+b=50[a=20

由题意可得：.「47解得,/

[3a+2.4。=132也=30

答：购进A种多媒体20套，8种多媒体30套；

（2）由题意可得：w=（3.3-3）m+（2.8-2.4）x（50-/n）=-0.1m+20,

，w随/的增大而减小，

Q10<m<20,

.,.当加=10时，w取得最大值，此时w=19,

答：购进A种多媒体10套时，能获得最大利润，最大利润是19万元.

18.（8分）某校七年级计划组织一次一分钟跳绳比赛.为了解学生一分钟跳绳个数的情况，抽取部分学生

进行了一次一分钟跳绳测试，并将测试的成绩绘制成了如图所示的统计图表:

成绩X个/分频数

60<x<1006

100<x<140m

140d8018

180<x<2204

请根据以上信息，解答下列问题：

(1)统计表中的根=，频数直方图中的组距是;

(2)补全频数直方图，并求出扇形统计图中180Wx<220部分对应的圆心角度数是。；

(3)若每分钟跳绳140个以上(包括140个)的为“优秀”，七年级共有1350名学生，请估计该年级有多少名

学生可以获得“优秀”.

【答案】(1)17,40

(2)32

(3)660名

【分析】本题考查统计图表，从统计图表中有效的获取信息，是解题的关键：

(1)用140Wx<180的人数除以所占的比例求出样本容量，用样本容量减去其他组的频数，求出加的值，

用一个范围的端点值之差求出组距即可；

(2)根据机的值，补全直方图即可，用360度乘以180<x<220的人数所占的比例求出圆心角的度数即可；

(3)利用样本估计总体的思想，进行求解即可.

【详解】(1)解：18—40%=45；

加=45—6-18—4=17：

组足巨为：100-60=40；

故答案为：17,40.

(2)补全直方图如图:

（3）1350义更以=660（名）；

45

答：估计该年级有660名学生可以获得“优秀”.

19.（8分）为了扶持大学生自主创业，市政府提供80万元无息贷款用于某大学生开办公司，生产并销售自

主研发的一款电子产品，并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款.已知该产品的生产成本为每件40

元，员工每人每月的工资为2500元，公司每月需支付其他费用15万元.该产品每月销量了（万件）与销售

单价x（元）之间的函数关系如图所示.

（1）求月销量丫（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）当销售单价定为50元时，为保证公司每月利润达到5万元（利润=销售额-生产成本-员工工资-其他

费用），该公司可安排员工多少人？

（3）若该公司有80名员工，销售单价定为70元时，则该公司可在几个月后偿还无息贷款？

【答案】（l）j=-^x+8（40<x<60）,j=-^x+5（60<x<100）；

⑵40人

（3）该公司可在8个月后偿还无息贷款.

【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用；

(1)分两种情况：当40VxV60时，令>=履+6,当60Vx时，设>=尔+〃，再利用待定系数法求解解析

式即可；

(2)设公司可安排员工。人，定价50元时，利用利润=销售额-生产成本-员工工资-其他费用再建立方

程求解即可；

(3)先求解当销售单价为x=70时，该公司有80名员工时每月的利润，再建立不等式求解即可.

【详解】(1)解：当404XW60时，^y=kx+b,

60%+6=2

40左+6=4

解得

••y=----x+8；

10

当60Kx<100时,

设y=mx+n,

60m+〃=2

80m+n=l

解得：,

(2)解：设公司可安排员工。人，定价50元时,

由5=(--)-x50+8]x(50-40)-15-0.25°,

解得：a=40(人)；

(3)解：当销售单价为x=70时，该公司有80名员工,

,此时利润为：

|^-^x70+5^x(70-40)-15-80x0.25

=1.5x30-15-20

=10；

设该公司，个月后还清贷款，则10”280,

n>8,

，该公司可在8个月后偿还无息贷款.

20.（8分）为弘扬革命传统精神，某校组织学生前往渡江战役纪念馆缅怀革命先烈.初到纪念馆，数学兴

趣小组的同学们就发现广场上有一座雄伟壮观的胜利塔（如图1）,想知道胜利塔的高度（塔顶到水平地

面的距离），于是他们进行了测量.如图2,他们在地面上的点A处用测角仪测得塔顶。的仰角为30。，在

点B处测得塔顶。的仰角为60°.已知AB=112m,测角仪的高度是L6m（点A,民C在同一条直线上）.根

据以上测量数据求胜利塔的高度CD.（结果保留整数，1,732）

图1图2

【答案】99m

【分析】本题考查了解直角三角形的应用用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.

根据题意可得AM=NB=CE=1.6m,MN=AB=H2m,ZDEM=9Q°,ZDNE=60°,ZDME=30°,先利用三角

形的外角性质可得NZMW=NMDN=3O。，从而可得£>N=MN=112m,然后在中，利用锐角三角

函数的定义求出OE的长，然后再加上CE即可解答.

【详解】解：由题意得：AM=NB=CE=1.6m,MN=AB=112m,ZDEM=90°,ZDNE=60°,ZDME=30°,

NDNE是,.DAW的外角，

ZMDN=ZDNE-ZDMN=30°,

：.ZDMN=ZMDN=30°,

：.DN=AdN=U2m,

在RtAOVE中，DE=DN-sm600=112xJ^=56y/3（m）,

2

DC=DE+CE=56^+1.6»56xl.732+1.6«99m.

答：胜利塔的高CO约为99m.

21.（8分）如图，AB为:，。的直径，。为圆心，ME切，。于点C,与的延长线交于点MDLEO

交石。延长线于点£）,ZDMA=ZAED.

(1)求证：E4是的切线；

(2)若E4=6,M4=8,求一。的半径.

【答案】(1)见解析

⑵3

【分析】此题考查了切线的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键.

(1)由得到？D90?,再由已知角相等及对顶角相等，得到/Q4E=/D=90。，利用切线的判定

方法判断即可得证；

(2)在中，利用勾股定理求出R0的长，利用切线长定理得到EC=E4=6,由EM-EC即可求

出MC的长，在Rt^CMO中，设OC=r,则有MO=8-r,利用勾股定理列出关于r的方程求解即可.

【详解】(1)解：,/MDYED,

?D90?,

VZDMA=ZDEA,ZMOD=ZEOA,

：.ZDMA+ZMOD=NDEA+ZEOA,

ZOAE=ZD=90°,

为圆的半径，

为圆。的切线；

(2)解：连接OC,

B

D

在RtE4M中，EA=6,MA=8,

根据勾股定理得：ME=A/62+82=10>

EM与E4都为圆的切线，

，EC=EA=6,

：.MC=EM—EC=10—6=4.

E4为圆。的切线，

ZOCAf=90°,

在Rt/XCMO中，设OC=r,则有MO=8—r,

根据勾股定理得:(8-厅=/+42,

解得：r-3,

则圆的半径为3.

22.(12分)【概念感知】

在平面直角坐标系中，关于点尸和函数图象L,给出如下定义：过点尸作x轴的垂线交函数图象工于点Q,

点尸与点。的纵坐标之差力-y。称为点尸到函数图象L的有画掌.

【概念理解】

(1)如图1,点尸在直线y=-x+3上，函数图像L对应的解析式为y=-2.

X

①若点尸的横坐标是2,则点尸到函数图像£的有向量等于；

②若点P到函数图像L的有向量等于1,求点P的坐标；

【概念应用】

(2)如图2,函数图像七对应的解析式为y=x2-3x+3；函数图像4对应的解析式为y=f+3，点尸的坐标

为(，”,〃)，其中+若点尸到函数图像4的有向量与点尸到函数图像右有向量之和等于0，且〃的

最大值为9,求。的值.

（2）a=—2或a=4

【分析】（1）①根据“有向量”的定义计算即可求解；

②设尸&T+3）,过点P作无轴的垂线交函数图像L于点Q,则。，然后根据“有向量''的定义计算即

可求解；

（2）由题意得：点尸到函数图像七的有向量为加+3）,点尸到函数图像4的有向量为〃-（力+3）,

因为点P到函数图像乙的有向量与点尸到函数图像乙有向量之和等于0,所以得到

〃一（加一3根+3）+〃一（一相+3）=0,化简得根一2）?+1,分两种情况讨论：①当a+2<2时，即a<0时,

〃随机的增大而减小；②当aN2时，〃随加的增大而增大；即可解答.

【详解】（1）解：①将点P的横坐标2代入y=-x+3,得%=1,

33

将点尸的横坐标2代入>=-1,得"=-；，

x2

点尸到函数图像L的有向量等于%72=1]-|）=，

故答案为：—；

②；点尸在直线y=-尤+3上，

可设P&T+3）,过点P作X轴的垂线交函数图像工于点Q,贝

「点尸到函数图象L的有向量等于1,

.1+3一卜，=1,

解得方=-1或，=3,

.•.尸（—1,4）或尸（3,0）；

(2)解：由题意得：点P到函数图像L的有向量为〃-(疗-3根+3)，点尸到函数图像4的有向量为

n-(-m+3),

.点尸到函数图像乙的有向量与点尸到函数图像4有向量之和等于0,

/.n—^m2—3m+3)+〃—(一机+3)=0,

/.2n=2一3机+3)+(—机+3)=m2—4m+6,

当。+2v2时，即a<0时，〃随加的增大而减小,

当加二。时，〃的最大值等于9,

1

/.-(«-2)9+1=9,

解得a=6或Q=—2,

.a=6>0(舍去)，

当m=。+2时，〃的最大值等于9,

1

.•.-(tz+2-2)9+1=9,

2

解得a=4或〃=T，

a=-4<2(舍去),

Q=4,

综上所述a=-2或。=4.

【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数图像上点的坐标特征、二次函数的图像和性质、解一元一次方

程、解一元二次方程等知识点，根据题意理解“有向量”的定义以及掌握以上知识点是解答本题的关键.

23.(13分)【背景提出】

(1)如图1,等腰Rt^ABC中，ZACB=90°,CB=CA,直线EO经过点C,过点A作AD,ED于点O,

过点B作BEJLED于点E,求证：BEC部*CDA.

【迁移应用】

(2)如图2,已知直线4：y=gx+5与x轴交于点A,与丁轴交于点3,将直线《绕点A逆时针旋转45°

至直线3求直线4的函数表达式.

(3)如图3,将图1四边形放到平面直角坐标系中，点E与。重合，边ED放到x轴上，若03=2,OC=1,

过线段42的中点Q,作直线。以垂直线段BC交无轴于点直线Q尸垂直线段AC交x轴于点P,求线段

的长.

(4)如图4,平面直角坐标系内有一点3(3,T),过点5作瓦轴于点A,8cLy轴于点C,点尸是线

段A5上的动点，点。是直线、=-2尤+1上的动点且在第四象限内.若△CPD是等腰直角三角形.请直接写

【答案】(1)见解析；⑵y=-412；(3)FH=*(4)点。的坐标为g,号)或(4,-7)或||,-三

【分析】(1)根据同角的余角相等可证N3CE=NCAD,从而利用AAS可证BECyCDA；

(2)过点B作2尸，/1,交0于F,过尸作尸7/，y轴于则A/W尸是等腰直角三角形，由(1)同理可得

AOAB=AHBF,则尸(T5),利用待定系数法即可求得函数解析式；

(3)由(1)得ABOC咨ACDA,得A(3,l),再根据中点坐标公式求出。［，|)待定系数法求出直线BC

的解析式为>=-2尤+2,直线AC的解析式为y=根据直线平移，求出直线Q"的解析式为

y=1x+|,直线Q尸的解析式为y=得出/g，o］，最后求出结果即可；

(4)分点尸为直角顶点或点C为直角顶点时或点。为直角顶点三种情况，分别画出图形，利用(1)中型

全等可得点D的坐标，即可解决问题.

【详解】证明：(1)ADLED,BE1ED,

ZBEC=ZADC=90°,

:.ZACD+ZDAC=90°,

ZACB=9Q°,

:.ZBCE+ZACD=90°,

,\ZBCE=ZCAD,

在VHEC和CO4中，

/BEC=/ADC

<ZBCE=ZDACf

BC=AC

.•二BEC-CDA(AAS)；

(2)过点3作3尸，4，交4于尸，过尸作轴于H,如图所示：

图2

则NFBA=90。，

根据旋转可知：ZFAB=45°f

・•・△的是等腰直角三角形，

・•・AB=BF,

由（1）同理可证.。TffiF（AAS）,

:.OA=BH,OB=FH,

把x=0代入y="|工+5得：y=5,把y=0代入y=|^+5得：0=1x+5,

解得：x=—3,

/.A（-3,0）,3（0,5）,

OA=3,OB=5,

:.OH=S,FH=5,

.•.F（-5,8）,

设4的函数解析式为>=辰+匕，

f—3左+b=0

将点A