2025年中考数学分类复习：二次函数及其应用（解析版）

冷来17二法备懿及其盛用

■

5年考情•探规律

考点五年考情(2020-2024)命题趋势

2021•深圳卷：二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质

2024•广东卷：二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标

考点1二次函

特征等知识点

数的图象及性

2024•广州卷：二次函数以及反比例函数的图象和性质

质

2022•广州卷：二次函数图像的性质二次函数及其性

2023•广州卷：二次函数的增减性质是中考中重点

考点2待定系考查内容，包括：

数法求二次函2021•广州卷：待定系数法求抛物线解析式，和函数值二次函数的表达

数解析式式、待定系数法、

考点3二次函2021,广东卷、2020•广东卷：函数图像的平移对称轴公式、顶点

数图象的平移坐标、函数值的大

考点4二次函2023•广东卷：二次函数的图象与性质及正方形的性质小比较，在解题

数与几何求值2021,广东卷：二次函数的性质，圆的相关知识时，常需要自己画

考点5二次函2021,广东卷：面积最大值问题转化为二次函数的最大值问题出函数图辅助分

数最值应用2020•广州卷：二次函数模型的应用求最小值析,通过分类讨论

考点6二次函2020•深圳卷：抛物线的性质，抛物线的图象与点坐标，抛物线的及数形结合思想，

数图象与系数对称性寻找解题关键点。

的关系2020•广东卷：二次函数的图像和性质同学们，在复习

2024•广东卷：二次函数的实际应用-最大利润问题时,还需注意二次

2021•广东卷：分式方程的实际应用以及二次函数的实际应用函数背景的实际

2021•深圳卷：待定系数法求一次函数解析式，以及根据二次函数问题、以及一些综

的性质求最值合题也会涉及二

考点7二次函2022•广东卷：二次函数的面积最值问题，二次函数的图象与解析次函数的相关知

数的综合应用式间的关系，一次函数的解析式与图象识点。

2022•深圳卷：二次函数的图象及性质，二次函数图象的平移，理

解二次函数的性质，利用数形结合思想解决问题是解题的关键.

2021•广东广州二次函数的图象及性质，解题关键是注意数形结合

思想的运用

5年真题•分点精准练

考点1二次函数的图象及性质

1.（2021•广东深圳•中考真题）二次函数>=62+法+1的图象与一次函数y=2ox+6在同一平面直角坐标系

【分析】先分析二次函数>=办2+法+1的图像的开口方向即对称轴位置，而一次函数y=2ox+6的图像恒

h

过定点（-9,。），即可得出正确选项.

2a

hh

【详解】二次函数丁=以2+次+1的对称轴为x=-=,一次函数y=2"+b的图像恒过定点（-=,0）,所以

2a2a

b

次函数的图像与二次函数的对称轴的交点为（-丁,0），只有A选项符合题意.

2a

故选A.

【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质，解决本题的关键是能推出一次函数

b

y=2依+b的图像恒过定点（-白,0）,本题蕴含了数形结合的思想方法等.

2a

2.（2024・广东•中考真题）若点（0,、）,（1,丫2），（2,%）都在二次函数y=Y的图象上，则（）

A.%>%>%B.C.%>%>%D.%>%>%

【答案】A

【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解

析式得出函数图象的对称轴是y轴（直线尤=0）,图象的开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，

再比较即可.

【详解】解回二次函数y=Y的对称轴为y轴，开口向上，

回当x>0时，y随x的增大而增大，

回点（0,%）,。,％），（2,%）都在二次函数,=/的图象上，且。<1<2,

故选回A.

k

3.（2024•广东广州•中考真题）函数必=，/+以+。与%=—的图象如图所示，当（）时，%，内均随着工

A.x<-lB.-l<x<0C.0<x<2D.x>l

【答案】D

【分析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键.由函

数图象可知，当彳>1时，斗随着x的增大而减小；乃位于在一、三象限内，且％均随着x的增大而减小，

据此即可得到答案.

【详解】解：由函数图象可知，当X>1时，斗随着X的增大而减小；

为位于一、三象限内，且在每一象限内内均随着X的增大而减小，

・・・当X>1时，H,%均随着X的增大而减小，

故选：D.

4.（2022•广东广州•中考真题）如图，抛物线、=以2+加:+以。*0）的对称轴为工=-2,下列结论正确的是（）

A.a<0B.c>0

C.当x<-2时，y随x的增大而减小D.当x>-2时，y随X的增大而减小

【答案】C

【分析】由图像可知，抛物线开口向上，因此a>0.由图像与y轴的交点在y轴负半轴上得c<0.根据图

像可知，在对称轴左侧y随尤的增大而减小，在对称轴右侧y随尤的增大而增大.

【详解】抛物线开口向上，因此。>0,故A选项不符合题意.

抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，因此c<0,故B选项不符合题意.

抛物线开口向上，因此在对称轴左侧，y随尤的增大而减小，故C选项符合题意.

抛物线开口向上，因此在对称轴右侧y随x的增大而增大，故D选项不符合题意.

故选C

【点睛】本题考查了二次函数图像的性质，掌握二次函数图像的性质是解题的关键.

5.（2023,广东广州,中考真题）已知点A（x，%）,%）在抛物线V=必一3上，且。〈尤i〈尤2，则%

%•（填或或“=”）

【答案】<

【解析】

【分析】先求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质解决问题.

【详解】解：y=f-3的对称轴为y轴，

a=1>0,

开口向上，当x>0时，y随x的增大而增大，

*.*0<王<工2,

・•・X<%.

故答案为：<.

【点睛】本题主要考查了二次函数的增减性，解题的关键是根据抛物表达式得出函数的开口方向和对称轴，

从而分析函数的增减性.

考点2待定系数法求二次函数解析式

6.（2021•广东广州•中考真题）抛物线y=&+法+0经过点㈠⑼、（3,0）,且与y轴交于点（0,-5）,则当x=2

时，y的值为（）

A.-5B.-3C.-1D.5

【答案】A

【分析】解法一：先利用待定系数法求出抛物线解析式，再求函数值即可.

解法二：利用二次函数图象的对称性可知：x=2和x=0对应的函数值相等，从而得解.

【详解】解：回抛物线y=++6x+c经过点（一1,0）、（3,0）,且与y轴交于点（。,一5）,

c=-5

团＜a-b+c=O,

9〃+3Z?+c=0

c=-5

解方程组得＜a=g,

710

b=-----

[3

团抛物线解析式为y-1x2-yX-5,

当x=2时，=-x4-—x2-5=-5.

｝I33

故选择A.

解法二：抛物线,=奴2+法+。经过点（T,o）、（3,0）,

回抛物线的对称轴为：》=曰”=1,

回尤=2和x=0的函数值相等，即均为-5,

故选择A.

【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，和函数值，掌握系数法求抛物线解析式方法和函数值求法

是解题关键.同时利用数形结合思想和对称性解题会起到事半功倍的效果.

考点3二次函数图象的平移

7.（2021•广东•中考真题）把抛物线y=2f+l向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的

抛物线的解析式为

【答案】y=2尤2+4元

【分析】直接根据"上加下减，左加右减"进行计算即可.

【详解】解：抛物线y=2/+1向左平移1个单位长度，

再向下平移3个单位长度，

得到的抛物线的解析式为：y=2（x+l）2+1-3,

即：y=2x2+4x

故答案为：y=2x2+4x.

【点睛】本题主要考查函数图像的平移，熟记函数图像的平移方式"上加下减，左加右减"是解题的关键.

8.(2020•广东・中考真题)把函数y=(x-iy+2的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为

()

A._y=x2+2B.y=(x-1)2+1

C.y=(x—2)~+2D.y=(x—1)~—3

【答案】C

【分析】抛物线在平移时开口方向不变，a不变，根据图象平移的口诀“左加右减、上加下减"即可解答.

【详解】把函数、=。-1)2+2的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为

y=[(%-l)-l]2+2=(%-2)2+2,

故选：C.

【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解答的重点在于熟练掌握图象平移时函数表达式的变化特

点.

考点4二次函数与几何求值

9.(2023•广东・中考真题)如图，抛物线、=依2+。经过正方形Q4BC的三个顶点A,B,C,点B在V轴上,

C.-3D.-4

【答案】B

【分析】连接AC,交y轴于点。，根据正方形的性质可知AC=OB=24)=28,然后可得点A

进而代入求解即可.

【详解】解:连接AC,交y轴于点£),如图所示:

⑦AC=OB=2AD=2OD=c,ACLOB.

cc

团点A

Cc2

回一=〃X----FC,

24

解得：ac=-2，

故选B.

【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及正方形

的性质是解题的关键.

10.（2021・广东・中考真题）设。为坐标原点，点A、8为抛物线y=Y上的两个动点，且连接点

A、B,过。作OCLAB于点C,则点C到y轴距离的最大值（）

A.-B.—C.—D.1

222

【答案】A

【分析】设Ag，曲，B（b,b2）,求出A8的解析式为y=（a-，）x+l,进而得到由回OCB=90。可知，C

a

点在以。。的中点E为圆心，以r=[OD==为半径的圆上运动，当S为圆E半径时最大，由此即可求解.

22

【详解】解：如下图所示：过C点作y轴垂线，垂足为“，与无轴的交点为。,

设A(a,a2),B(b,b2),其中4工0,b/0,

团OA团08,

团^OA,koB=T，

即M=—1,

a1-b21

k7AB=-----=a+b1=a-

a-ba

设A5的解析式为：y=（a--）x+m,代入A（〃，a2）,

a

解得：m=l,

团OD=1,

0OC±AB,BPZOCB=90°,

EIC点在以。。的中点E为圆心，以厂=,。。='为半径的圆上运动，

22

当CH为圆£的半径时，此时C8的长度最大，

故C8的最大值为厂=；,

故选：A.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，圆的相关知识等，本题的关键是求出A2与y轴交点的纵坐标始终为

1,结合NOC8=90。，由此确定点E的轨迹为圆进而求解.

考点5二次函数最值应用

11.（2021•广东・中考真题）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古

希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a,b,c,t己0=上2'则其面积

S=1p（p-a）（p-b）（p-c）.这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.若o=5,c=4,则此三角形面积的最大值

为（）

A.百B.4C.2百D.5

【答案】C

【分析】由已知可得“+0=6,S=J5（5-。）（5-/?）而-5,把。=6-4代入S的表达式中得：

S=+6a-5，由被开方数是二次函数可得其最大值，从而可求得S的最大值.

a

【详解】助9=5,c=4,p=+7°

回S="5（5-a）（5-颂5-4）:^y/ab-5

由〃+。=6,得6=6-〃，代入上式，得：S=6・Ja（6-a）-5=耶-a2+6〃-5

设y=_〃2+6〃—5,当y=-〃+6〃_5取得最大值时，S也取得最大值

回y=一。一+6。一5=一（。-3）~+4

团当。=3时，y取得最大值4

EIS的最大值为右x4=26

故选：C.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，关键是由已知得出。+6=6,把面积最大值问题转化为二次函数的最大

值问题.

12.（2020•广东广州•中考真题）对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位：mm）9.9,W,1,

10.0,若用。作为这条线段长度的近以值，当。=7〃机时，（。-9.9）2+（4-10.1）2+（4-10.0）2最小.对另

一条线段的长度进行了〃次测量，得到〃个结果（单位：7”〃7）王，尤2,若用X作为这条线段长度的近

似值，当工="Z机时，（％―尤1）一+（尤_9）2+…+最小.

【答案】10,0；+…+%.

n

【分析】（1）把（4一9.9）2+3-10.1）2+（。-10.0）2整理得：3«2-60.0a+300.02,设y=3〃一60.0a+300.02,

利用二次函数性质求出当a=10.0时有最小值；

2x

（2）把（x—西）~+（x—xjH-----尤“）2整理得：nx—2（X1+x2H------------尤+（无；+尤—„）>设

y=wc—2（%1+x2-\---+々~—X,：）,利用二次函数的性质即可求出当V取最小值时x的值.

【详解】解：（1）整理3-9.9）2+3-10.Ip+3-10.0）2得:3a2_60.0a+300.02,

设y=3/-60.0a+300.02,

由二次函数的性质可知：当a=-Ff=10.0时，函数有最小值,

2x3

即：当a=10.0时，（a—9.9>+（々—10.1）2+3—10.0）2的值最小，

故答案为：10.0；

（2）整理（X—玉）2+（%_4）2---得：加2―2（%+%2~1+%）兀+（玉2+/2_（

22

设y=nx—2（x）+x2H---）%+（%；+x2H—xj）,由二次函数性质可知：

当％=一-2（项+々+…+%〃）=%+元2+…+Z时,丁=依2-2（玉+%2+—+天卜+（菁2+%22+-乙2）有最小值,

2xnn

即：当无二%+%：..+匕时,（X-西）2+（尤一9丫+…+（十一匕）2的值最小，

故答案为：…什••+玉.

n

【点睛】本题考查了二次函数模型的应用，关键是设y=（x-xj2+（x-w）2+…+（x-%）2，整理成二次函数，

利用二次函数的性质一何时取最小值来解决即可.

考点6二次函数图象与系数的关系

13.（2020•广东深圳•中考真题）二次函数y="2+bx+c（g0）的图象如图所示，下列说法错误的是（）

A.ubc>0B.^ac-b2>0

C.3a+c=0D.ax2+bx+c-n+l无实数根

【答案】B

【分析】根据函数图象确定a、b、c的符号判断A；根据抛物线与x轴的交点判断B；利用抛物线的对称轴

得到b=2a,再根据抛物线的对称性求得c=-3a即可判断C；利用抛物线的顶点坐标判断抛物线与直线y=n+1

即可判断D.

【详解】由函数图象知a<0,c>0,由对称轴在y轴左侧，a与b同号，得6<0,故abc>0,选项A正确；

二次函数与无轴有两个交点，故A=62-4ac>0,则选项B错误，

由图可知二次函数对称轴为无=；,得6=2°,

根据对称性可得函数与X轴的另一交点坐标为(1,0),

代入解析式y=aN+bx+c可得c=-3a,

03a+c=O,选项C正确；

回二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为(-1,n),

回抛物线与直线丫刃+1没有交点，故D正确；

故选：B.

【点睛】此题考查抛物线的性质，抛物线的图象与点坐标，抛物线的对称性，正确理解和掌握y=ax2+bx+c

型抛物线的性质及特征是解题的关键.

14.(2020广东•中考真题)如图，抛物线>=办2+法+。的对称轴是x=l.下列结论：①而c>0；②

b1-4ac>0;(3)8a+c<0；@5a+b+2c>0,正确的有()

【答案】B

【分析】由抛物线的性质和对称轴是x=l,分别判断a、b、c的符号，即可判断①；抛物线与x轴有两个

交点，可判断②；由》=-丁=1,得b=—2a,令x=-2,求函数值，即可判断③；令x=2时，贝IJ

y=4a+2b+c>0,令x=T时，y^a-b+oO,即可判断④；然后得到答案.

【详解】解：根据题意，则a<0,c>0,

b,

回％=---=1,

2a

助=一2〃>0,

0abc<0,故①错误；

由抛物线与X轴有两个交点，则力2-4双>0,故②正确；

团b=—2a,

令龙二一2时，y=4a-2b+c<0,

团8a+cv0,故③正确；

在y=ax2+bx+c中，

令x=2时，贝!Jy=4a+2Z?+c>0,

令％=-1时，y=a-b+c>Q,

由两式相加，得5a+6+2c>0,故④正确；

回正确的结论有：②③④，共3个；

故选：B.

【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，熟练判断各个式子

的符号.

考点7二次函数的综合应用

15.（2024•广东,中考真题）广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程"，2023年农产品进出口总额居全

国首位，其中荔枝鲜果远销欧美.某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外.若按每吨5万元

出售，平均每天可售出100吨.市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨.该果商

如何定价才能使每天的"利润"或"销售收入"最大？并求出其最大值.（题中"元"为人民币）

【答案】当定价为4.5万元每吨时，利润最大，最大值为312.5万元

【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设每吨降价x万元，每天的利润为w万元，根据利润=每吨

的利润x销售量列出w关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可.

【详解】解：设每吨降价x万元，每天的利润为w万元，

由题意得，w=（5-X-2）（100+50x）

=-50尤2+50x+300

=一5（）［一£|+312.5,

0-50<0,

回当x时，w有最大值，最大值为312.5,

2

团5—九=4.5,

答：当定价为4.5万元每吨时，利润最大，最大值为312.5万元.

16.（2021・广东•中考真题）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的

传统习俗.市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000

元购进的豆沙粽盒数相同.在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价

提高1元时，每天少售出2盒.

（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；

（2）设猪肉粽每盒售价尤元（504x465）,y表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于尤的

函数解析式并求最大利润.

【答案】（］）猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元；（2）y=-2x2+280x-8000（50<x<65）,最大

利润为1750元

【分析】（1）设猪肉粽每盒进价。元，则豆沙粽每盒进价元，根据某商家用8000元购进的猪肉粽和

用6000元购进的豆沙粽盒数相同列方程计算即可；

（2）根据题意当x=50时，每天可售100盒，猪肉粽每盒售x元时，每天可售［100-2（犬-50）］盒，列出二

次函数关系式，根据二次函数的性质计算最大值即可.

【详解】解：（1）设猪肉粽每盒进价。元，则豆沙粽每盒进价元.

解得：a=40,经检验a=40是方程的解.

团猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元.

答：猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元.

（2）由题意得，当x=50时，每天可售100盒.

当猪肉粽每盒售x元时，每天可售［100-2（x-50）］盒.每盒的利润为（x-40）

回y=（X_40）.［100-2（%-50）］,

=—2%2+280%—8000

配方得：y=-2（x-70尸+1800

当x=65时，y取最大值为1750元.

0y=-2x2+280%-8000（50<x<65）,最大禾!J润为1750元.

答：y关于x的函数解析式为>=-2f+280万-8000（504》m65）,且最大利润为1750元.

【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用以及二次函数的实际应用，根据题意列出相应的函数解析式是

解决本题的关键.

17.（2021•广东深圳,中考真题）某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为8万元，销售单价无（万元）

与销售量y（件）的关系如下表所示：

无（万元）10121416

y（件）40302010

（1）求y与x的函数关系式；

（2）当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少？

【答案】（1）、=-5尤+90；（2）单价为13元时，利润最大为125万元

【分析】（1）直接利用图表上的点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可;

（2）设总销售利润为W,则列出W与x的函数关系式，即可得出函数最值.

【详解】解：（1）设y与尤的函数关系式为：y=kx+b,

U0=10k+b

*30=12左+6'

故y与尤的函数关系式为：y=-5x+90；

(2)设总销售利润为W,

贝I］有：W=(x-8).(-5%+90)=-5(x-13)2+125,

当x=13,销售利润%=125万,

即单价为13万时，最大获利125万元.

【点睛】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，以及根据二次函数的性质求最值，解题的关键是列

出总销售利润与销售单价之间的函数关系.

18.(2022•广东•中考真题)如图，抛物线＞=/+云+。(6,。是常数)的顶点为C,与x轴交于A,8两点,

A(l,0),AB=4,点尸为线段AB上的动点，过尸作尸。〃交AC于点0.

⑴求该抛物线的解析式；

(2)求ACP。面积的最大值，并求此时尸点坐标.

【答案】⑴"+2尤-3

(2)2；P(-1,0)

【分析】(1)用待定系数法将48的坐标代入函数一般式中，即可求出函数的解析式；

(2)分别求出C点坐标，直线AC,的解析式，尸。的解析式为：y=-2x+n,进而求出尸，。的坐标以及“

的取值范围，由S&CPQ=SACPA-S*列出函数式求解即可.

【详解】(1)解：团点A(1,0),AB=4,

回点B的坐标为(-3,0),

将点A(1,0),B(-3,0)代入函数解析式中得：

JO=l+Z?+c

\Q=9-3b+c"

解得：b=2,c=-3,

回抛物线的解析式为y=/+2元-3；

(2)解:由(1)得抛物线的解析式为y=/+2x-3,

顶点式为：y=(x+l)2-4,

则C点坐标为：(-1,-4),

由8(-3,0),C(-1,-4)可求直线2C的解析式为：y=-2x-6,

由A(1,0),C(-1,-4)可求直线AC的解析式为：y=2x-2,

^\PQS\BC,

设直线PQ的解析式为：y=-2x+〃，与x轴交点pfpO

；y=二—2一2x+n解得"n+2n-2

由

4'2

EIP在线段AB上,

团一3<一<1,

2

团"的取值范围为-6V〃V2,

则S/\cp0=CPA~^/\APQ

1

=­X

2

--8

团当行-2时，即尸(-1,0)时，S^CPQ最大，最大值为2.

【点睛】本题考查二次函数的面积最值问题，二次函数的图象与解析式间的关系，一次函数的解析式与图

象，熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键.

19.(2022・广东深圳•中考真题)二次函数>=；必,先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲

线画在平面直角坐标系上.

y八

(2)在坐标系中画出平移后的图象并求出y=-3/+5与＞=：/的交点坐标；

⑶点网4乂),。(9,％)在新的函数图象上，且P,Q两点均在对称轴的同一侧，若兀＞/，则

X]%（填">"或或"="）

【答案】⑴加=6

⑵图见解析，［君］］和

⑶<或>

【分析】（1）把点（3,〃?）代入y=2（x-3『+6即可求解.

（2）根据描点法画函数图象可得平移后的图象，在根据交点坐标的特点得一元二次方程，解出方程即可求

解.

（3）根据新函数的图象及性质可得：当P,。两点均在对称轴的左侧时，若%>%，则玉<%，当P，。

两点均在对称轴的右侧时，若%>%，则%>%，进而可求解.

【详解】⑴解：当x=3时，77?=2（3-3）2+6=6,

回根=6.

（2）平移后的图象如图所示：

解得x=±^5,

当天=6时，y=则交点坐标为:

当兄=-括时，y=g，则交点坐标为：]—0]

综上所述：丫=-3》2+5与〉=；彳的交点坐标分别为和

（3）由平移后的二次函数可得：对称轴x=3,。=2>0,

团当x<3时，y随X的增大而减小，当X23时，y随X的增大而增大，

国当尸，。两点均在对称轴的左侧时，若%>%,则玉<%,

当P,。两点均在对称轴的右侧时，若芳>内,则占>%,

综上所述：点2（玉,％）,。（々,％）在新函数图象上，且P,。两点均在对称轴同一侧，若%>%,则占</或

\>x2,

故答案为：<或>.

【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，二次函数图象的平移，理解二次函数的性质，利用数形结合

思想解决问题是解题的关键.

20.（2021・广东广州•中考真题）已知抛物线y=*—（m+l）x+2机+3

（1）当机=0时，请判断点（2,4）是否在该抛物线上；

（2）该抛物线的顶点随着根的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；

（3）己知点F（3,7）,若该抛物线与线段跖只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围.

13

【答案】（1）不在；（2）（2,5）；（3）x顶点<一5或x项点〉,或x脱点=1

【分析】（1）先求出函数关系式，再把（2,4）代入进行判断即可；

（2）根据二次函数的顶点坐标公式求出抛物线顶点纵坐标，最大值即为顶点最高点的纵坐标，代入求解即

可；

（3）运用待定系数法求出直线律的解析式，代入二次函数解析式，求出交点坐标，再根据题意分类讨论，

求出m的值即可.

【详解】解：（1）把m=0代入y=f—（阴+1）l+2机+3得，

y=x1-x+3

当时，y=2?—2+3=5。4

所以，点（2,4）不在该抛物线上；

（2）y=x1-（m+l）x+2m+3

/加+1、2CC（m+1）2

=（%-----）2+2m+3--....—

24

团抛物线尸犬一（加+1卜+2冽+3的顶点坐标为（必，2加+3」“'+1匚）

24

团纵坐标为2m+3-（加+1）

4

^y=2m+3-^m+1）2=--（m-3）2+5

44

[?]--<0

4

团抛物线有最高点，

团当m=3时，y=2加+3-（一+D有最大值,

4

将加二3代入顶点坐标得（2,5）；

（3）团E（-1,-1）,F（3,7）

设直线EF的解析式为y=kx+b

[-k+b=-\

把点点尸的坐标代入得

[3k+b=7

%=2

解得,

团直线EF的解析式为y=2x+l

将y=2%+1代入y=f一（机+1）%+2加+3得，

%2—（m+l）x+2m+3=2x+l

整理，得：x2-（m+3）x+2m+2=0

角犁得玉=2,々=m+1

则交点为：（2,5）和（m+1,2m+3）,

而（2,5）在线段£尸上，

团若该抛物线与线段所只有一个交点，则（机+1，2m+3）不在线段Eb上，或（2,5）与（m+1,2m+3）重

合，

回加+1V-1或9+1>3或加+1=2（此时2m+3=5）,

团此时抛物线顶点横坐标x顶点=--—<或x顶点〒—~—>$或％顶斤—--=1

乙乙乙乙乙

【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，解题关键是注意数形结合思想的运用.

1年模拟•精选模考题

21.（2024・广东深圳•三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=or+6与二次函数>=62+汝的图像可

能是（）

y

【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数图像的识别，熟练掌握二次函数图像与一次函数图像的性质

是解题关键.根据图像分别判断二次函数解析式中。、6的符合以及一次函数解析式中。、匕的符合，判断是

否一致，即可获得答案.

b

【详解】解：A、由抛物线可知，x=----->0,得〃vO,由直线可知，。<0,b>0,故本选项不

2a

符合题意;

B、由抛物线可知,a>0,尤得b>0,由直线可知,a>0,b>0,故本选项符合题意;

C、

由抛物线可知,a<0f得b>0,由直线可知,a>0,b<0f故本选项不符合题意;

D、由直线可知,故本选项不符合题意.

由抛物线可知,a<0,得b<0,a>09b>Q,

故选：B.

22.（2024•广东广州•二模）已知二次函数丁=%2+（。-4卜+々-5（〃为常数）的图象经过（一帆〃）和（帆小两

点，则二次函数与y轴的交点坐标为（）

A.（0,1）B.（0,-1）C.（0,-5）D.（0,4）

【答案】B

【分析】本题考查了二次函数图象上的坐标特征，二次函数的对称性，关键是利用对称轴公式解题;

a-4

由抛物线的对称性求得对称轴为直线X=0,即可得到一=0,求得。=4,即可求得=从而求

2x1

得二次函数与y轴的交点坐标为（0T）.

【详解】解：和（加,〃）两点关于抛物线对称轴对称,

抛物线对称轴为直线x=0,

=o,

解得a=4,

ci—5=-1,

•••二次函数与y轴的交点坐标为（0,-1）.

故选：B.

23.（2024•广东汕头•二模）若函数y+2x-l的图象与直线y=l有交点，则实数加的取值范围是（

A.m<—B.m>—C.加（工且根wlD.mwl

222

【答案】B

【分析】本题主要考查了函数图象的交点，分两组情况讨论，当（机-1）=0时，两条直线不平行，有交点,

当（机-1）。0时，抛物线和直线有交点，联立函数得方程有实数解.即AN0,求解即可.

2

【详解】解：当（m―1）=0时，即加=1,y=（m-l）x+2x-l=2x-lf与直线y=l不平行，故有交点，

当（机-1）。0时，函数y=（M-l）/+2x-1的图象与直线y=l有交点，

即y=（加一I）/+2%—1=1时，A>0

（m—1）f+2%—2—0,

A=22-4x（-2）（m-l）>0

1

m>—

2

综上所述：实数机的取值范围是m2；,

故选：B.

24.（2024•广东三模）在平面直角坐标系中，抛物线y=-Y+2依+c（“>0）的顶点至Ijx轴的距离为6,与x

轴两个交点之间的距离为4〃，则该抛物线与y轴的交点坐标为（）

A.（0,1）B.（0,乎）c.（0普）D.（0,|）

【答案】D

【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与一元二次方程的综合，熟练掌握二次函数的图象和

性质是解题的关键.

先确定抛物线的顶点坐标（4，/+c）,于是有Y+C=6,再确定物线与X轴的交点坐标为（-4,0）,（34,0）,

再代入解析式求解即可.

【详解】解：Ely=-x2+2ax+c,

团抛物线的对称轴为直线X=-3-=a,

-1x2

X等x=ci彳弋^<y——炉+2QX+c中，y——/+2〃+0=+0,

团抛物线顶点坐标为（a,/+c）.

团抛物线开口向下，顶点到x轴的距离为6,

回Q2+C=6,BPc=6—a2,

团y=-+2ar+6—".

又回抛物线与x轴两个交点之间的距离为4〃，

国抛物线经过点（3a,0）,将点（-a,0）代入y=-x2+2ax+6-〃中，

得0=一〃-2"+6—〃，

整理得4〃=6,

解得/=不

「29

团c=6—a=一,

2

回抛物线与y轴的交点坐标为（0，T）,

故选：D.

25.（2024・广东广州•三模）已知二次函数y="+3x+c（aw0）的图像经过（1,0）,下列结论：①若图像对称

轴在y轴左侧，贝Uac<0；②x=2是方程。（3-力+36=法一。的一个根；③若图像与x轴的另一个交点在

（4,0）和（5,0）之间,则仅+3a）（b-3a）>4ac；④点巩%，%）在抛物线上，若0<c<“，则当

项<马<1时，其中正确结论的序号为（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

【答案】A

【分析】本题以二次函数为背景，考查了二次函数图象与系数的关系，难度适中，利用特殊点解决字母系

数的范围是解决本题的关键.

①利用特殊点和对称轴在y轴左侧分类讨论字母系数的正负，得出结论；

②将3-x看成一个整体，那么x=l是关于3-x方程的一个根，令3-彳=1得出结论；

③利用抛物线与x轴两交点之间的距离，得出/、4“c、9/之间的关系；

④根据已知条件判断'随x的变化规律，得出结论.

【详解】解：.•・图象经过（1,0）,

.,.a+b+c=0,

若对称轴在丁轴的左侧则ab>0,

当a>0时，/?>0,贝!JcvO,止匕时acvO；

当avO时，b<0,贝!Jc>0,止匕时acvO.

①正确.

a(3-x)2+3bRZzx-c,

a(3—x)2+b(3—x)+c=0,

•・・依2+笈+。=0的一个根为％=1,

.•々(3—X了+优3—九)+c=O的一个根为：3-x=l,

即x=2.

②正确.

抛物线与尤轴两交点之间的距离为：1再-91=)(上)2-竺二业>3,

Vaa|aU\"，

:.b2-4ac>9a2,

即b2-9a2>4ac,

(b+3a)(b-3a)>4ac,

③正确.

若0<。<。，

开口向上，与y轴交于正半轴，

a+b+c=O,

/.b=—u~c,

财•称轴x=Y=罕<1，

2a2a

当玉<%<1时，月、%的大小关系不确定.

④错误.

综上①②③正确，

故选:A.

26.(2024•广东佛山•三模)己知二次函数丫=加+云+。("0)的部分图象如图所示，图象经过点(0,2),其

对称轴为直线尤=-1.下列结论：①。<0;②若点(-45%),(3,%)均在二次函数图象上，则③

关于x的一■元二次方程分2+6无+c+l=0没有实数根;④满足ox?+6x+c>2的x的取值范围为-2<x<0.其

中正确结论的个数为()

【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与X轴的交点

等，熟练掌握二次函数的相关知识是解决本题的关键.根据抛物线开口向下即可判断①，找出(T.5,yJ关

于直线x=T对称的点，再根据二次函数的性质可判断②，方程+法+C+1=o的解可看作抛物线向上平

移一个单位与x轴的交点，找出交点个数可判断③，不等式依2+"+C>2的解集可看作抛物线

好加+法+c的图象在直线y=2上方的部分，可判断④.

【详解】解：,•・抛物线开口向下，

/.a<0,

故①正确，

・•・对称轴为直线％=-1,抛物线开口向下，

•••在对称轴的右侧y随工的增大而减小，

(-4.5,%)关于直线X=-1对称的点为(2.5,%),

X-.-2.5O,

故②正确，

方程加+6x+c+l=0的解可看作抛物线y=^+a+c向上平移一个单位，

由图象可知抛物线丁=依2+版+。+1与x轴有两个交点，

；・关于x的一元二次方程依2+6尤+°+1=0有两个不相等的实数根，故③错误，

不等式加+"+c>2的解集可看作抛物线、=加+厩+。的图象在直线>=2上方的部分，

1•1(0,2)关于直线x=-1对称的点为(-2,2),

的取值范围为-2<x<0,故④正确.

故正确的有①②④；

故选：C.

27.(2024•广东深圳•二模)在中，ZC=90°,D为AC上一点,CD=g,动点尸以每秒1个单

位的速度从C点出发,在三角形边上沿C7BfA匀速运动,到达点A时停止，以。尸为边作正方形DPEF.设

点尸的运动时间为ts,正方形APEF的面积为S,当点P由点8运动到点A时，经探究发现S是关于t的二

次函数，并绘制成如图2所示的图象.由图象可知线段的长为（

A.7B.6C.5D.4

【答案】B

【分析】本题考查了求二次函数解析式.在RtAPCD中，8=应，尸C=f，贝小=阳2=r+（夜『=产+2,

求得2C的长，用顶点法，设函数解析式，用待定系数法，求出函数表达式，即可求解，

【详解】解：在Rt^PCD中，CD=亚,PC=t,则5=尸。2=〃+（0『=〃+2,

当S=6时，6=产+2,解得：t=2（负值已舍去），

0BC=2,

团抛物线经过点（2