2025年中考数学二轮复习：二次函数的特殊三角形存在性问题 压轴练习题（含答案）

2025年中考数学二轮复习：二次函数的特殊三角形存在性问题压轴练习题

一'二次函数的特殊三角形存在性问题

1.如图，已知抛物线Li：y=-/与直线y=-1相交于/、B.

(1)AB=；

(2)抛物线灯随其顶点沿直线y=向上平移，得到抛物线人，抛物线⑦与直线y=-1相交于C，D

(点。在点。左边)，已知抛物线左顶点/的横坐标为加•

①当机=6时，求抛物线人的解析式及的值；

②连接MC,MD,当△MCD为等边三角形时，求点M的坐标.

2.已知抛物线与x轴交于点4(一2,0)、5(3,0),与y轴交于点C(0,4).

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,点P是抛物线上位于第一象限内的一点，请连接BC,求出ABPC的面积最大值及此时

(3)如图2,将抛物线向右平移4个单位，再向下平移2个单位.记平移后的抛物线为y‘，若抛物线y'

与原抛物线对称轴交于点Q.点E是新抛物线y'对称轴上一动点，在(2)的条件下，当APQE是等腰三

角形时，求点E的坐标.

图2

3.如图、已知直线、=玄久+4与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=a/+bx+c经过A,C两

点，且与x轴的另一个交点为B,对称轴为直线x=-1.

(1)求抛物线的表达式;

(2)抛物线对称轴上的点P,使得以点B,C,P为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点P称为“圣

和点”、此题中，是否存在“圣和点”、若存在，请求出“圣和点”P的坐标：若不存在，请说明理由.

4.如图，抛物线y=a/+汝+。的图象与x轴交于A(-1.0),B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,

-3),顶点为D.

(1)求此抛物线的解析式.

(2)求此抛物线顶点D的坐标和对称轴.

(3)探究对称轴上是否存在一点P,使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请

求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由.

（1）若该二次函数的图象与久轴仅有一个公共点4求实数zn的值.

（2）在（1）的条件下，若直线y=kx-1的图象与二次函数的图象交于两点以乙,月）（（久2，为），且的＜

利•请直接写出当k的值为多少时，AABC为直角三角形.

6.如图，已知二次函数y=aN+2x+c的图象与x轴交于4,B两点、,/点坐标为（-1,0）,与〉轴交于

点C（0,3）,点M为抛物线顶点，点E为N3中点.

（1）求二次函数的表达式；

（2）在直线8C上方的抛物线上存在点0.使得口。。8=2口/3。，求点。的坐标；

（3）已知。，尸为抛物线上不与8重合的相异两点.

①若点尸与点C重合，D（%，-12）,且相＞1,求证：D,E,尸三点共线；

②若直线/D,BF交于点、P,则无论D,尸在抛物线上如何运动，只要D,E,尸三点共线，口/儿0,

DMEP,口/8尸中必存在面积为定值的三角形，请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明

理由.

7.已知四个不同的点4（久1，丫1）,8（久2，丫2）（（久3，丫3），。（久4,3/4）都在关于久的函数丫=a/+bx+c（a,b,c是常

数，aH0）的图象上.

（1）当A,B两点的坐标分别为（-1,一4）,（3,4）时，求代数式2024a+1012b+&的值；

（2）当A,B两点的坐标满足。2+2（为+%）。+4%%=°时，请你判断此函数图象与久轴的公共点

的个数，并说明理由；

（3）当a>0时，该函数图象与％轴交于E,F两点，且A,B,C,D四点的坐标满足：2a2+2（先+

2a22

y2）a+y/+y22=o,2a-2（y3+y^+73+74=0.请问是否存在实数血（血>1）,使得ZB,CD,m-

EF这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3?若存在，求出m的值和

此时函数的最小值；若不存在，请说明理由（注：表示一条长度等于EF的小倍的线段）.

（1）求抛物线Ci的表达式;

（2）将抛物线的向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线C2,求抛物线C2的表达式，并

判断点。是否在抛物线C2上；

（3）在％轴上方的抛物线C2上，是否存在点P，使是等腰直角三角形.若存在，请求出点P的坐

标；若不存在，请说明理由.

（2）当点。在第二象限内，且△4CD的面积为3时，求点。的坐标;

(3)在直线BC上是否存在点P,使△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P

的坐标；若不存在，请说明理由.

10.如图，二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A(1,0)和点B(3,0),交y轴于点C,抛物线上一点

D的坐标为(4,3)

(1)求该二次函数所对应的函数解析式；

(2)如图1,点P是直线BC下方抛物线上的一个动点，PE//X轴，PF//y轴，求线段EF的最大值；

(3)如图2,点M是线段CD上的一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点N,当DCBN是

直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标.

答案解析部分

L【答案】(1)2

(2)解：①对于y=聂,

当％=6时,y=5x6=3,

••.抛物线必的顶点坐标为(6,3),

二抛物线乙2的解析式为y=-(X-6)2+3,

当y=-1时,-1=—(x—6)2+3,

解得：%=8或4,

：.CD=4；

故答案为：y=—(x—6)2+3；4

②解：：点M在直线y=上，

・1

・'・抛物线乙2的解析式为y=—(%—m)2+

1

当y=-1时，_]=_Q—m)2+^租，

解得：％=驾女+7n或％=—立驶+小，

+皿T),+7nL1),

**•CD-72m+4,

如图，过点M作MD_LCE于点E,则ME=/m+l,CE=勺+%

/z

,••△”CD是等边三角形,

:.(MCE=60°,

ME_翅+1

/.tanzMCE

CEJ27H+4-V3,

-2-

解得：m=4或—2(不合题意，舍去),

.•.点M的坐标为(4,2)

2.【答案】(1)解：••・抛物线与％轴交于点力(—2,0)、5(3,0),

二设抛物线的解析式为：y=a(x+2)(%-3)(a丰0),

把C(0,4)代入y=。(％+2)(%-3)(0。0)中，得

4=—6a,

2

.•・"二一9

二抛物线的解析式为：y=-1(%+2)(%-3),

即y=久2+-%+4；

⑵解：设P点的坐标为(t,—|七2+|t+4),过点P作PN1久轴于点N,与BC交于点M,如图1,

图1

设直线BC的解析式为y=+H0),则

(3k+b=0

tb=4'

解得卜=_g,

(b=4

・•.直线BC的解析式为：y=—红+4,

4

:.M(t,—W1+4)，

2

PM——+2t,

Ill

•S^BPC=S"Me+S>PMB=2PM-ON+2PM-BN=2PM-OB,

[2/3、29

:.S.pc=2(-W’2+2t)X3=_《2+3t=_(t_2J+不

Va=-1<0,

当"纲，S"pc的最大值为摄，

Z4

・•・此时P点的坐标为(|,今；

(3)解：r抛物线y=—枭2+聂+4=—宗久—》2+磊

.•.将抛物线向右平移/个单位，再向下平移2个单位.记平移后的抛物线为y',

y'的解析式为y'=_■!(%_；_}+^—2=—|(%—I)2+卷，

••・抛物线y'的对称轴为直线％=1,

；抛物线y=—|x2+|x+4=—|(x—扔+字

二抛物线y=—|x2+|x+4的对称轴为直线无=

把久=义代入y'=一,久2+g%+4中，得y'=2,

Q点的坐标为8,2),

设E的坐标为(1,冗)；

①当PE=QE时，贝UPE2=QE2,

Q2212„

即(2-1)+(2-n)=(1-2)+5—2产

解得，n=孚，

②当PQ=QE时，则PQ2=Q£"2,

q127212

即(2-2)+([-2)=(1-2)+(=-2)2,

解得，n—2+V3>

E点的坐标为(1,2+遍)或(1,2-V3);

③当PQ=PE时，贝I」PQ2=PE2,

n-12r-j2Q272

即6+)+(介2)=(|-1)+(£—")，

解得，n=-|+V3,

•••点E的坐标为(1，+g)或(1；-V3).

综上，当APQE是等腰三角形时，点E的坐标为(1写)或(1,2+圾或(1,2-何或(1；+圾或(1；一V3).

3.【答案】(1)解：•.•一次函数的表达式为：y=g%+4,

...当y=0时，0=*x+4,解得：x--3,当久=0时，y-4,

；.4(一3,0),C(0,4),

,二次函数称轴为直线％=-1,

设二次函数表达式为：y=a(x+3)(%-1),

把C(0,4)代入得：4=晨0+3)(0-1),解得：a=

二次函数表达式为：y=-1(x+3)(x-l),

整理得：y=+4.

(2)解：存在，理由如下

VB(l,0),C(0,4),

***BC=BP=Vl2+42=yJ17,

令对称轴与x轴交于点Q,

•对称轴为直线X=-1,

：.BQ=1-(-1)=2,

-'-PQ=717—22=V13，

,

..P2(-I,VT3),P3(-I--VT3);

③当BP=CP时，过点C作CM垂直于对称轴，垂足为点M,

:对称轴为直线％=-1,

.•.点P横坐标为—1,CM=1,BQ=2,

设点P(—l,a),

/.PM=4—a,PQ=a,

：.CP2=CM2+PM2=1+(4-a)2,BP2=BQ2+PQ2=4+a2,

;BP=CP,

**-1+(4—a)2=4+a2,解得：a=呈，

，P4(-4)・

综上存在“圣和点”，点p坐标为：(-1,0)或(-1,履)或(-1,-履)或(-1,豹

4.【答案】解：(1)因为抛物线y=a/+bx+c的图象与x轴交于A(-1.0),B(3,0)两点，与y轴

a—b+c=0(a=1

交于点C(0,-3),所以9a+3b+c=0,解得：b=—2,

、c=—31c=—3

即此抛物线的解析式是y=/_2%-3；

(2)因为一次函数可化为y=/-2久一3=(久-I)2-4,

所以此抛物线顶点D的坐标是(1,-4),对称轴是直线x=l；

(3)存在一点P,使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形，

设点P的坐标为(1,y),分三种情况讨论：

①当PA=PDHtJ(-l-l)2+(0-y)2=J(l-l)2+(-4-y)2-

解得，y=-|，即点P的坐标为(1,-f)；

②当DA=DP时,J(-l-I)2+[0-(-4)]2=J(1-l)2+(-4-y)2-

解得，y=—4±即点P的坐标为(1,—4—2A/5)或(1,—4+2V^);

③当AD=AP时,J(-l-I)2+[0-(-4)]2=J(-l-l)2+(0-y)2-

解得，y=±4,即点P的坐标是(1,4)或(1,-4),

当点P为(1,-4)时与点D重合，故不符合题意.

由上可得，以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为(1,—|)或(1,-4-

2V5)或(1,-4+2V5)或(1,4).

5.【答案】(1)解：二•二次函数的图象与久轴仅有一个公共点4

.\n=22-4-m'(-l)=0,

m=-l.

(2)解：由⑴知：y=-x2+2x-l=-(x-l)2,

AA(1,0),

,/直线y=kx-1的图象与二次函数的图象交于两点BQi，%),。(久2，刈)，且、=kx-i过定点(0,-

1),x1<x2,

AB(0,-1),

；.yAB=x-l,

•••□ABC为直角三角形，

□BAC=90°^□ABC=90°,

当□ABCn%。时，即直线AB□直线y=上久一1,则KABK=-1,

k=-l,

当□BAC=90。时，即直线AB□直线AC,

/.yAC=-x+l,

联立F；二意「解得｛『1或口，

AC(2,-1)

.".yBc=-l,

k=0,

综上可知：当k=0或k=-l时，△ABC为直角三角形.

6.【答案】(1)解：将A(-1,0),C(0,3)代入y=ax2+2x+c,

彳日(CL—2+c=0,

1c=3

解得：尸;1,

抛物线解析式为y=-x2+2x+3；

(2)解：对于y=-x2+2x+3,令y=0,

-x2+2x+3=0,

解得：Xl=-1,X2=3,

AB(3,0),

；.OB=OC=3,

AOOBC是等腰直角三角形，

.♦.□ABC=45。，

,.,□QCB=2DABC,

.•.□QCB=90。，

如图所示，过点C作CQDBC交抛物线于点Q,过点Q作QGDy轴于点G,

aGCQ是等腰直角三角形，

VCG=QG,

设Q(q,-q2+2q+3),则G(0,-q2+2q+3),

CG=-q2+2q,GQ=q,

-q2+2q=q,

解得：q=0(舍去)或q=l,

；.Q(1,4)；

(3)解：①证明：点F与点C重合，则F(0,3),

•.•点E为AB中点，A(-1,0),B(3,0),

：.E(1,0),

设直线EF的解析式为y=kx+b(k网)，代入E(1,0),F(0,3),

(k+b=0

"Ib=3J

解得:仁3

・•・y=-3x+3,

联W二二%3,

解得:以网yX

；.D(5,-12),在直线EF上，即D,E,F三点共线；

②解：DABP的面积为16是定值.

7.【答案】(1)解：将4(—1,—4),B(3,4)代入y=a/+b；c+c得

(a—b+c=—4,①

19a+3b+c=4.②

②-①得8a+4b=8,即2a+b=2.

所以2024a+1012b=1012(2a+b)+,=2024H.

(2)解：此函数图象与％轴的公共点个数为两个.

由+2(y1+y2)a+4yly?=°>得(a+2%)(a+2y2)=0.

可得当=一号或丫2=

当a>0时，-号<0,此抛物线开口向上，而A,B两点之中至少有一个点在％轴的下方，此时该函数图

象与久轴有两个公共点；

当a<0时，-1>0,此抛物线开口向下，而A,B两点之中至少有一个点在x轴的上方，此时该函数图

象与久轴也有两个公共点.

综上所述，此函数图象与久轴必有两个公共点.

(3)解：因为a>0,所以该函数图象开口向上.

222—a

由2a?+2(%+为)。+yi+V2=。，得(a+yj2+(a+y2)=0,可得以=%=-

222

由2a2—2(y3+、4)a+y3+=。，得(a—y3)+(a—y4)=0,可得当=

所以直线AB,CD均与久轴平行.

2

由(2)可知该函数图象与x轴必有两个公共点，设E(%,O),F(久6,0).由图象可知.a>4a。一.，即产一4ac>

4a

4a2.

所以a/+必+。=一a的两根为％i，%2，可得48<|X1-%2|=-4a(c+a)

I可

同理a%2+ftx+c=。的两根为％3，冗4，可得CD-|x3_%4|-Jba).

同理a/+bx+c=°的两根为期,％6,可得租-EF=m-\xs-x6\=m-旧-产.

1b|a|

由于zn>1,结合图象与计算可得AB<EF<m-EF,AB<CD.

若存在实数7n(m>1),使得AB,CD,这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之

比为1：2：3,则此三角形必定为两锐角分别为30°,60°的直角三角形，所以线段AB不可能是该直角三

角形的斜边.

①当以线段CD为斜边，且两锐角分别为30°,60°时，因为所以必须同时满足：AB2+(m.

EF)2=CD2,m-EF=P>AB.

将上述各式代入化简可得62=粤上〈譬=2,且笳=3(吃4al吟,联立解之得必―4ac=

b-4ac4ab2-4ac

孚，/=要—=髀2,解得7n=粤>1符合要求.

§b-4ac55

2

所以加=蛰，此时该函数的最小值为4ac-j——限—5a.

54a4a3

②当以线段m为斜边时，必有力B?+CD2=(m•EF)2,同理代入化简可得2(庐—4ac)=m2(b2—

4ac),解得m=V2.

因为以线段鱼E尸为斜边，且有一个内角为60°,而CD>48,所以CD=ZB・tan60°,即

Jb^—4a(c—a)=V3•—4a(c+a)，化简得/-4ac=8a2>4a2符合要求.

所以租=鱼，此时该函数的最小值为4ac->：=_2a.

4a4a

综上所述，存在两个小的值符合题意；

当加=等时，此时该函数的最小值为-苧；

当加=四时，此时该函数的最小值为-2a.

8.【答案】(1)解：：抛物线的:、=。%2+3%—4的图象经过点。(1,—1)

/.a+^-4=-l

解得a=|

54

2

-X+-X-4

抛物线Ci的表达式为y33

(2)解：点D在抛物线C2上;

5452264

24

y--X+-X---+---

333515

将抛物线C1向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线C2，

抛物线的表达式为y=|r%-|;2-g

；•x=i,y=|2-1|=-1

.♦.点D(l,-1)在抛物线C2上.

(3)解：存在点P,使APB。是等腰直角三角形

①当口PiBD=90。，PiB=BD,如图所示，过点B作直线Ey轴，过点P1作1＞正口1于E,过点D作DFW

于F,贝IJ□EP1B+□EBP1=9O°

.□PiEB=OBFD=90°,□EBPi+DFDB=90°,

.□EPiB=DFDB

•△EP]BSRFBD(AAS)

.EPi=FB=l,EB=FD=3

.点Pi的横坐标为-1,点Pi的纵坐标为3,

.把-1代入抛物线。2的表达式y=jr%-|；2-苣得y=3=EB,则Pl在抛物线C2上

.•.点Pi存在，坐标为(-1,3).

②当□P2DB=90。，P2D=BD,如图所示，过点D作直线Ex轴，过点P2作PiFDl于F,过点B作BE?

于E,

(AAS)

FD=EB=1,P2F=DE=3

.•.点PI的横坐标为2,点P2的纵坐标为P2F-BE=3-1=2

2

把2代入抛物线C2的表达式y=|Cx-l)-叫得y=2,则P2在抛物线C2上

...点P2存在，坐标为(2,2).

③当口：6「3口=90。，P3D=P3B,如图所示，过点P3作直线Ex轴，过点B作BEE于E,过点D作DFE

(AAS)

BE=P3F=1,EP3=FD

设点P3(m,n)

m+2=n+l,l-m=l

解得：m=0,n=l

・•・P3(0,1)

则m=0时，y=jro-!?2

则P3不存在

综上，在％轴上方的抛物线C2上，存在点P,使△PBD是等腰直角三角形，点P的坐标为Pi(-1,3)或

P2(2,2).

9.【答案】(1)解：把4(一3,0),。(0,3)代入丫=一/+/?%+。得：

—9—3b+c=0

c=3

解得F=?，

lc=3

••・抛物线的解析式为y=-x2-2x+3；

(2)解：过。作DK||y轴交4c于K,如图:

由4(—3,0),。(0,3)得直线力(7解析式为了=%+3,

设0。一”一2t+3),则K(t,t+3),

DK=—严—2t+3—(t+3)=-t?—3t>

•••△ZCD的面积为3,

11

1DK,—%。1=3，即2(—t—3t)X3=3,

解得t=-1或七二—2,

・・・。的坐标为(一1,4)或(―2,3)；

(3)解：P的坐标为(0,3)或律-屈,-7+回、或(25+7T无-7-VI%或号厂务.

18'6186V3

10.【答案】(1)解：设二次函数的解析式为y=a(x-b)(x-c),

y=ax?+bx+与x轴r的两个交点A、B的坐标分别为(1,0)和(3,0),