2025年新高考数学复习突破讲义：三角函数概念与诱导公式（含解析）

专题18三角函数概念与诱导公式

【考点预测】

知识点一：三角函数基本概念

1、角的概念

(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形;

②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角.

(2)所有与角a终边相同的角，连同角a在内，构成的角的集合是S={尸忸=h360。+a,此Z}.

(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限,

就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.

(4)象限角的集合表示方法：

第一象限角：［a\2k7r<a<2kTr+^-,kEZ)

象

限第二象限角：{aM+3<a<2"+TT#eZ}

-角

的

m集第三象限角：{al2房+b<a<2"+要,AGZ}

\合

第四象限角：算<a<24F+2TTMeZ}

2、弧度制

(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度.正角

的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.

(2)角度制和弧度制的互化：180°=^rad,1°=—rad,lrad=—.

1807t

(3)扇形的弧长公式：/=,“，扇形的面积公式：S=^lr=^\a\-r2.

3、任意角的三角函数

(1)定义：任意角a的终边与单位圆交于点尸(x,y)时，贝！Jsine=y,cosa=x,tana=—(x^O).

(2)推广：三角函数坐标法定义中，若取点尸P(x,y)是角a终边上异于顶点的任一点，设点尸到原

点。的距离为r,贝!Jsine=2,cosa=—,tana=—(x0)

rrx

三角函数的性质如下表：

第一象第二象限第三象第四象

三角函数定义域

限符号符号限符号限符号

sinaR++一一

cosaR+一—+

71

tana{aaw左〃+万,女£Z}+—+—

记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦.

4、三角函数线

如下图，设角a的终边与单位圆交于点尸，过尸作轴，垂足为过/（1,0）作单位圆的切线

与a的终边或终边的反向延长线相交于点T.

孙（1,0）

*1,6)\oUx

三角函数线

(I)(D)(ID)(IV)

有向线段九。为正弦线；有向线段为余弦线；有向线段NT为正切线

知识点二：同角三角函数基本关系

1、同角三角函数的基本关系

（1）平方关系：sin2a+cos2a=1.

（2）商数关系：S^na=tana（a^—+kn）；

cosa2

知识点三：三角函数诱导公式

公式--二三四五六

7171

角2k1+a(keZ)7ia-an-a-----a—Fa

22

正弦sina一sina-sinasin。cosacosa

余弦COS6Z-COS6ZCOS6Z-COS6Zsina-sina

正切tanatana-tana一tana

口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限

【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作〃•工土e；（2）

2

无论有多大，一律视为锐角，判断"•王土a所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当〃为

2

奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当”为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可.

【典型例题】

例1.（2024•山东青岛•一模）2024年2月4日，“龙行中华——甲辰龙年生肖文物大联展”在山东孔子博物馆

举行，展览的多件文物都有“龙”的元素或图案.出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）就

是这样一件珍宝.玉璜璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，璜身外镂空雕饰“S，型双龙，造型精美.现要

3

计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图2）：4528cm,AD«2cm,5cm,若511137°穴丁

兀。3.14,则璜身（即曲边四边形45C。）面积近似为（）

水、、

O

图2

A.6.8cmB.9.8cmC.14.8cm,D.22.4cm'

【答案】C

—AR3

【解析】显然小05为等腰三角形，OA=OB=5,AB=8,则…_4,sinZ^=1,

COSZ_(_7/L£>=------------=—5

OA5

即NCM5P370,于是405=106°==

所以璜身的面积近似为|ZAOB（OA2-OZ）2）=1xx（52-32）«14.8（cn?）.

故选：C

例2.（2024•北京怀柔・模拟预测）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建

筑等，如图所示的亭子带有攒尖的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其底面积为16兀，屋顶的体积为现I兀，

算得侧面展开图的圆心角约为（）

【答案】C

【解析】底面圆的面积为16兀，得底面圆的半径为厂=4,

所以底面圆周长为8兀，即圆锥侧面展开图扇形的弧长为/=8兀，

屋顶的体积为必好无，由』xl6谛=2兀得圆锥的高〃=26，

所以圆锥母线长，即侧面展开图扇形半径R=病”^=6，

兀

得侧面展开图扇形的圆心角约为a=£7=¥8=：47r.

A63

故选：C.

（y

例3.（2024•高一・四川内江,期末）已知sina>0,cosa<0,则§的终边在（）

A.第一、二、三象限B.第二、三、四象限

C.第一、三、四象限D.第一、二、四象限

【答案】D

【解析】因为sina>0,cosa<0,

TT

所以。为第二象限角，即一+2也<1<兀+2析，左EZ,

2

兀2klia兀2kli"

所以7+一7-<工<；+二_次7£2，

63333

nIa,./t,\Ir-r->/m、r/兀兀）/571||3715兀Arrrt

则可的终边所在象限为［k，,兀LJ所在象限，

即］的终边在第一、二、四象限.

故选：D.

例4.（2024・高三・海南省直辖县级单位•阶段练习）若。是第一象限角，则下列各角为第四象限角的是（）

A.90°-aB.90°+«C.360°-aD.3600+a

【答案】C

【解析】因为。是第一象限角，所以-e是第四象限角，

则90°-a是第一象限角，故A错误；90°+a是第二象限角，故B错误；

360。-a是第四象限角，故C正确；360。+a是第一象限角，故D错误.

故选：C.

Of

例5.⑵24・高三上海静安・期末）设。是第一象限的角，则”在的象限为（）

A.第一象限B.第三象限

C.第一象限或第三象限D.第二象限或第四象限

【答案】c

【解析】因为a是第一象限的角,

兀

所以2左兀<a<2ku+—,k£Z,

2

ait

所以一<kn+—,kGZ,

24

OfTTCH

当左=2%〃EZ时，2〃兀<一<2〃兀+—,〃EZ,—为第一象限角；

242

（yyrci

当无=2〃+L〃eZ时，2/77t+it<—<2nn+Tt+—,neZ,——为第三象限角.

242

故选：C

例6.（2024・高一•全国•课后作业）下列与角9?7的T终边相同的角的表达式中正确的是（）

4

97r

A.2ht+45°（^eZ）B.人360。+彳（左eZ）

57r

C.^-360°-315°（^eZ）D.kn+~（keZ）

【答案】C

9元

【解析】对于A,B,2阮+45。（左eZ）,h360。+彳（左eZ）中角度和弧度混用，不正确；

对于C,因为?97r=2兀+7；T与-315。是终边相同的角，

44

Qjr

故与角子的终边相同的角可表示为左BGO。-315。,eZ）,C正确；

对于D,br+y（^eZ）,不妨取4=0,则表示的角手与深终边不相同，D错误，

故选：C

例7.（2024・高三・安徽•阶段练习）《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强

健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间（如图）.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”,

掷铁饼者的手臂长约为fm,肩宽约为gm,，，弓，，所在圆的半径约为。m,则掷铁饼者双手之间的距离约为

484

(参考数据：VI=L414,V3-1.732)()

A.1.012mB.1.768mC.2.043mD.2.945m

【答案】B

5万

【解析】如图所示，由题意知“弓”所在的弧初的长/=£+£+£=苧，其所对圆心角。=-|-=彳，

44oo^2

4

5TT

则两手之间的距离\AB\=2|4必=2xjsinj«1.768（m）.

故选：B.

例8.（2024・高三•全国•阶段练习）tan2400sin660°的值为（）

133

A・7B.—C.一D.——

222

【答案】D

3

【解析】tan240°sin660°=tan（180°+60°}in（720°-60°）=tan60°

2

故选：D.

例9.（2024・辽宁•一模）若tan2cz=3,则2+2cos2a：sin2a=（）

3l—cos2a

A.—或2B.-2或;C.2D.—

222

【答案】C

42tana41-

【解析】tan2a二§n=—=>tana=一或一2,

l-tan2a32

2+2cos2a-3sin2a

l-cos2a

2+2(2COS2a-l)-6sinacosa

l-(l-2sin*2a]

4.cos2a—6/s•lnacosa

2sin2a

2-Stance

tan2a

代入tana求得值均为：2.

故选：C.

什-m।.2sin2a/

例10.（2024•全国,一模）右tana=2,则sina+--------=()

tana

136

AB.C.D.

-t355

【答案】A

。2

sin2.22sinacosa.232sina+2cos2a

【解析】5由2a+---si-n-aH------------：---------------=sina+2cosrv=---------------------

tanasmaJsi•n2a+cos2a-

cosa

esina贝।sin2a+2cos2a_tan2a+2_6

因tana二----

cosasin2a+cos2atan2a+15

故选：A

例11.⑵24•全国・模拟预测）已知sin嗯，则sin26

tan。

715715

A.-B.—C.D.——

81648

【答案】D

sin26_2sin6cos。15

【解析】因为皿。j=2cos之。=2(1-sin?。)=2x

所以tan。sin。~8•

cos。

故选：D.

例12.（2024•海南省直辖县级单位•一模）已知直线/：2x+3厂1=0的倾斜角为则cos（0+7i）-sin3一e

()

9976

A.—B.——D.——

131313

【答案】B

【解析】由题意可知，tan8=-g,

・A2V13…2Vl3

sin。_2sine=-------

1313

则,cos。3解得或,(舍),

A35，A3V13

sin2^+cos20=1cose=---------cos8=-------

1313

所以cos(0+7i)*sin1--0j=-cos20=-----.

故选：B

例13.(2024・广东江门•一模)已知角a的终边上有一点尸(-则cos[5+a)=(

【答案】A

【解析】由题意知角a的终边上有一点尸1,

4[71।4

故sina二—,贝Ucos—+a\=-sma=一一,

故选：A

例14.(2024・河北•一模)已知x是第二象限角，若cos(x-7()o)=：,贝ijsin(x+l10。)=

【答案】-孚

【解析】sin(x+l10°)=sin[(x-70°)+180°]二—sin(x-70°),

因为X是第二象限角，若cos(x-70°)=g,所以X-70。是第一象限角，

所以sin(x_70。)=Jl-cos2(x-70)=~~，

所以sin(x+110。)=-2个.

故答案为：-半

例15.(2024・高三广东云浮•开学考试)已知sin(cz+m]=-g,贝I]cos,-1]=

3

【答案】一0-6

3

故答案为：

【过关测试】

一、单选题

1.（2024・陕西安康•模拟预测）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐

音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇

的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧DE,ZC所在圆的半径分别

是6和12,且N48c=120。，则该圆台的体积为（）

图1图2

A.H2V2nB.也c.基D.金

333

【答案】D

【解析】设圆台上下底面的半径分别为0由题意可知兀x6=2跖，解得。=2,

；X2TTX12=2M，解得4=4,作出圆台的轴截面，如图所示：

过点。向/尸作垂线，垂足为7,贝一八=2,

所以圆台的高〃=一=&2_2?=472>

则圆台上下底面面积为H=71x2?=4兀,邑=71x4?=16兀,

由圆台的体积计算公式可得：厂=g（S]+心.邑+邑）X〃=gX28兀X472="2产.

故选：D.

2.（2024・高三•山东青岛•开学考试）中国传统折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形环（扇形环是一个圆环

被扇形截得的一部分）制作而成.若一把折扇完全打开时，其扇形环扇面尺寸（单位：cm）如图所示，则该

扇面的面积为（）

--120

3500cm2C.4300cm2D.4800cm2

【答案】A

【解析】设福字下面的小扇形所在圆的半径为R,

则£；=手，解得：R=3Q,

30+RR

所以扇形环的面积为工xl20x60-，x60x30=2700cm2.

22

故选：A

3.（2024・高一•山东枣庄•期末）已知集合/=｛钝角｝,3=｛第二象限角｝,。=｛小于180。的角｝,则（）

A.A=BB.B=C

C.ABD.B）^C

【答案】C

【解析】因为钝角大于90。，且小于180。的角，一定是第二象限角，所以4=故选项C正确,

又第二象限角的范围为｛£[90。+八360。<夕<180。+上360。,标2｝,

不妨取£=480。，此时夕是第二象限角，但480。>180。，所以选项ABD均错误，

故选：C.

aaci

4.（2024・全国•模拟预测）已知角a第二象限角，且cos,=COS],则角^是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

【答案】A

【解析】因为角夕第二象限角，所以]+2E<a<ji+2E（左eZ）,

所以:+阮<?<]+阮（左eZ）,所以角晟是第一象限角或第三象限角.

又因为COSa^=COCSL7,即co（s11>0,所以角（三7是第一象限角，

2222

故选：A.

5.（2024•高三・贵州•阶段练习）已知数列｛%｝满足a〃=sinm（〃£N*）,则。7+/-（）

A.0B.1C.V3D.2

【答案】A

【解析】因为%=sin『"eN"）,

.7兀.8兀.兀.2兀

以％+/—%—〃2=sin-----l-sin-----sin-----sin——

3333

.兀'2兀、.兀.2兀

=sin271+—+sm27rH------sin------sin——

I3jI3j33

.兀.2兀.7T.2兀_

=sin—+sm-----sin-----sm——=0.

3333

故选：A

6.（2024・高三・全国・专题练习）若。是第二象限角，则（）

A.cos（-6r）>0B.tan—>0

C.sin（兀+a）>0D.cos（兀-a）<0

【答案】B

【解析】若a是第二象限角，则cos（-a）=cosc<0,故A错误；

?为第一、三象限角，则tan1X）,故B正确；

22

sin（兀+a）=—sina<0,故C错误；

cos（兀—a）=—cosa〉0,故D错误.

故选：B.

7.（2024・高三•四川•阶段练习）若角々的终边位于第二象限，且sina=g,则sin[]+c]=（）

A.yB.--C.—

2222

【答案】D

【解析】由诱导公式有：sin[]+ej=cosa,

因为角«的终边位于第二象限，贝hosa=-Vl-sin2a=-业，

2

所以sin]/+a]=cosa=.

故选：D.

8.（2024・高三・内蒙古赤峰•开学考试）sin165°cos5250=（）

D.--

【答案】C

【解析】sin165°cos525°=sin(180°-15°)cos(540°-15°)=sin15°(-cosl5")=-；sin30°=-：.

故选：C.

9.(2024•高三•河南•专题练习)若sin("2)=g,则5皿</+当=()

636

A.；B.-C.--D.--

2333

【答案】C

【解析】因为sin(a-=)=《，sin(a+^)=sin[7t+(a-^)]=-sin(a--

636663

故选:C.

二、填空题

10.(2024・全国•模拟预测)已知a是第二象限角，且其终边经过点(-3,4),贝ljtan?=.

【答案】2

【解析】因为々是第二象限角，可得a€[5+2所，兀+2版，左eZ,

则言祈,]+标;左eZ,所以tan]>0,

42ta吟

又因为。的终边经过点(-3,4),可得tanc=-2,可得tana=------二=：,

31-tan2-3

2

ry(y

解得ta吟=2或tan^=V1(舍去).

222

故答案为：2.

11.(2024•高三・浙江金华・期末)已知一圆锥的侧面展开图是圆心角为2q兀且半径为1的扇形，则该圆锥的侧

面积为.

【答案】

33

【解析】圆锥的侧面积即是侧面展开图对应的扇形的面积，

11177r7T

所以侧面积S=—lr=—r2a=—xl2x—=—.

22233

故答案为：y.

12.(2024•高三•全国•专题练习)已知扇形的周长为7cm,则这个扇形的面积为3cm?,则该扇形圆心角的弧

度数为

oq

【答案】I或1

【解析】设扇形半径为，•＞（）,

由题意可知：扇形的弧长为7-2厂＞0,

13

则扇形的面积为S=-xrx（7-2r）=3cm2,解得或2,

48。

可得扇形的弧长为4或3,所以该扇形圆心角的弧度数为3-3或a=/

22

Qq

故答案为：;或:

13.（2024•云南昆明•一模）已知cosa=等，则tan2a=

【答案】-2V2

sina/T-

/.tana=-------=72

cosa

2tana上乌=一2行

tan2a=

1-tan2a「（何

故答案为：-2A/2.

14.（2024•高三・江苏连云港•阶段练习）已知tanc=e,则sin2a

2

【答案】浮千

【解析】因为tana=Y2

2

23

2sinacosa2tana2/2

所以sin2a=2sinacosa=2

cos2a+sin2a1+tan2a(42\23.

1+

2J

故答案为：平

sina

15.（2024•陕西渭南•模拟预测）已知tana=4,则1

sma+cosa

4

【答案】1/0.8

smatana_4_4

【解析】由tana=4,所以

sina+cosatana+14+15

_,4

故答案为：—.

3

16.（2024•高三•上海・专题练习）角a的终边在直线上，贝"osa的值是

【答案】土噜

3

【解析】・・•角。的终边在直线

.3

..tana=—

29

si•n7a+cos2a=1I

根据<sina3，解得cosa=±J^,

、cosa2

当角a的终边在第一象限时，cosa=£2,

13

当角。的终边在第三象限时，cosa=-2姮，