2025年新高考数学复习突破讲义：圆的方程快速基础能力提升（含解析）

专题35圆的方程快速基础能力提升

【考点预测】

一、基本概念

平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆.

二、基本性质、定理与公式

1、圆的四种方程

(1)圆的标准方程：(x+S-6)2=/，圆心坐标为(a,6),半径为r(r>0)

(2)圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),圆心坐标为(一段■，4)，半径

yjD2+E2-4F

r=--------------

2

(3)圆的直径式方程：若43*),83,为)，则以线段AB为直径的圆的方程是

(x_/)(x_4)+G-yJCv-y2)=o

(4)圆的参数方程：

X—rCC1Sf)

①尤2+y2=厂20>0)的参数方程为1(。为参数)；

y=rsin，

Y——zy_i_yCCS(/

②(x-a)2+(j-b)2=/(厂>0)的参数方程为1.(。为参数).

注：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为(a+rcos，,Z?+rsin0(0为参

数，(。,力为圆心，r为半径)，以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后

利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值.

2、点与圆的位置关系判断

(1)点尸(%,〉0)与圆(x-fl)2+(J=r-的位置关系：

①(x-a)2+(y-b)2>r-o点尸在圆外；

②(x-a)2+(y-b)2=r2o点尸在圆上；

③(x-a)2+(y-6)2<r2O点尸在圆内.

(2)点尸@。,几)与圆/+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系：

①尤：+y：+Dx0+孙)+尸>0O点尸在圆外；

②尤:+y；+Dx0+Ey0+尸=0=点尸在圆上；

③温+货+5+5+/<。=点尸在圆内.

三、直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交

四、直线与圆的位置关系判断

1、几何法(圆心到直线的距离和半径关系)

圆心3,份到直线Ax+3y+C=0的距离，则.JA二丝0：

>JA2+B~

则d<ro直线与圆相交，交于两点尸,Q,|PQ|=2slr2-d2；

d=rO直线与圆相切；

d>rO直线与圆相离

2、代数方法(几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数)

Ax+By+C=0一一

由1221,消元得到一元二次方程。X。+qx+1=0,p/+qx+r=0判别式为A,贝U：

(x-a)"+(y-b)=r

则A>0o直线与圆相交；

A=0o直线与圆相切；

A<0o直线与圆相离.

五、两圆位置关系的判断

用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：

设两圆亿,。2的半径分别是R/，(不妨设R>r),且两圆的圆心距为d,贝U：

则d<R+ro两圆相交；

d=R+ro两圆外切；

两圆相离

d=R—r<=>两圆内切；

两圆内含(d=0时两圆为同心圆)

【典型例题】

例L(2024・高二・安徽六安・期末)圆心在,轴上，半径为1,且过点(1,2)的圆的方程是()

A.x2+(y-2)2=lB.x2+(y+2)2=l

C.(x-l)2+(y-3)2=lD.X2+(J-3)2=1

【答案】A

【解析】因为圆心在y轴上，所以可设所求圆的圆心坐标为(0/),

则圆的方程为/+(广6)2=1,又点(1,2)在圆上，

所以1+(2-32=1,解得力=2,

所以所求圆的方程为尤2+(y-2)2=1.

故选：A

例2.(2024・高三•全国・专题练习)在平面直角坐标系xOy中，以。为圆心的圆与直线x-百y-4=0相

切，则圆。的方程为()

A.x2+y2=4B.x2+y2=3

C.x2+y2=2D.x2+y2=l

【答案】A

【解析】依题意，圆。的半径r等于原点。到直线x-gy-4=0的距离,

所以圆。的方程为一+丁=4.

故选：A.

例3.(2024・高三•全国•专题练习)己知圆C:(x-6『+(y+8)2=4,。为坐标原点，则以0C为直径的圆的

方程为()

A.(X-3)2+(^+4)2=100B.(尤+3『+(>-4)2=100

C.(x-3)2+(y+4)2=25D.(x+3)2+(y-4)2=25

【答案】C

【解析】由圆C:(无一6『+(y+8)2=4,可得圆心C(6,—8),

又由0(0,0),在以0c为直径的圆的圆心为(3,T),半径为r=J|0C|=5,

则所求圆的方程为(x-3)2+(y+4)2=25.

故选：C.

例4.(2024・高二・四川成都•期末)圆。:(》-1)2+(丁-1)2=2关于直线/：尸尤-1对称后的方程为()

A.(x-2)2+y2=2B.(x+2)2+y2=2C.x2+(y-2)2=2

D.x2+(y+l)2=2

【答案】A

【解析】因为圆C：(x-l)2+(y-l)2=2,所以圆C的圆心为(1,1),半径为一板，

设点(U)关于直线l：y=x-l对称的点为(为,%),

l+y0_l+x01

2一2=2

所以1，解得：°八，

比二义1=-1〔为=°

所以所求圆的圆心为(2,0),半径为厂=0,

故所求圆的方程为：(X-2)2+/=2.

故选：A.

例5.(2024・广东•一模)过A(—1,O),8(0,3),C(9,0)三点的圆与y轴交于M,N两点，则|MN|=(

A.3B.4C.8D.6

【答案】D

【解析】设圆的方程为“2+y2+nx+磔+尸=0,代入点A(-l,0),B(0,3),C(9,0),

l-D+F=0

贝U9+3E+B=0,解得O=—8,E=0,尸=一9,

81+9。+尸=0

可得f+丁-8x-9=0,整理得(x-4)2+9=25符合题意，

所以圆的方程为/+)/一8尤-9=。，

令x=0,可得丁_9=0,解得y=±3,所以河=6.

故选：D.

例6.(2024•陕西西安•二模)设直线尤+广2=0与圆Y+y2=4交于A,B两点，则|即|=()

A.垃B.272C.4D.4夜

【答案】B

【解析】圆尤?+)?=4的圆心为0(0,0),半径为r=2,

|-2|L

•.•圆心O到直线X+>-2=0的距离d=1=V2,

V1+1

:.\AB\=24一/=2.一(何1=20.

故选：B.

例7.(2024・河南•一模)已知圆M:(x-2y+y2=i,则下列说法错误的是()

A.点(3,2)在圆外B.直线2x+y-4=0平分圆M

C.圆的周长为2兀D.直线x+Wy=0与圆相离

【答案】D

【解析】由瓮-2)2+9=1可知圆心坐标为“(2,0),圆的半径为1.

对于选项A：由点(3,2)到圆心的距离d='(3-2)2+2?=旧>1

所以点(3,2)在圆外，故A正确；

对于选项B：因为圆心加(2,0)在直线2x+y-4=0上，

所以圆“关于直线2x+y-4=0对称，故B正确；

对于选项C,圆/的周长为2兀厂=2兀，故C正确；

对于选项D,因为圆心“（2,0）到直线x+Gy=0的距离为d="岛=1，

所以直线x+由y=0与圆M相切，故D错误.

故选：D.

例8.（2024・高三•云南昆明•阶段练习）若点A（0,l）在圆。V+y2一2x+4的+2川-1=0外，则实数机的

取值范围为（）

A.B,（-2,0）

C.（-00,-1）u^-p+oo^D.（-co,-2）u（0,+co）

【答案】D

【解析】圆。化成标准方程为（x-疗+（y+27疗=2m2+2,

点A（0,l）在圆。外，则有（0-1）2+0+2相了>2历+2,

即2/+49>0,解得相<-2或机>0.

故选：D.

例9.（2024局二•陕西西安•阶段练习）已知G：*++2x+8y-8=0,〔）。2:Y+,2+4x—4y-1=0,则

两圆的位置关系为（）

A.相切B.外离C.内含D.相交

【答案】D

【解析】因为CG：Y+y2+2x+8y-8=0可化为（x+iy+（y+4）2=25

则6（-l,T）,半径4=5,

因为CC：尤2+>2+4x-4y-l=0可化为（x+2/+（y-2『=9,

则G（—2,2）,半径4=3,

则|C©=,1+36,因为？;一弓=2<\/§7<4+々=8,

所以两圆相交.

故选：D.

例10.（2024・高三・全国・专题练习）若方程N+y2—2Q+3）尤+2（1—4f2）y+16/+9=0«GR）表示圆，则实数t

的取值范围是（）

A.{4-

B.{t\~^<t<\]

C.{t\~l<t<^}

D.W<t<2]

【答案】B

【解析】由。2+¥—4/>0,得7f2—6f—1<0,解得一

例11.(2024・辽宁・二模)已知圆尤2+^=4与圆x2+y2-8x+4y+16=0关于直线/对称，则直线/的方程为

()

A.2x+y—3=0B.x—2y—8=0

C.2x-y-5=0D.x+2y=0

【答案】C

【解析】圆G：尤?+y2=4,圆心£(0,0),半径12,

22

C2:x+y-8,r+4y+16=0,圆心C?(4,-2),半径弓=2,

由题意知，/是圆C1和圆Cc圆心连线的垂直平分线，

C,(0,0),C2(4,-2),CC2的中点(2,-1),

圆心C©连线的斜率为七q=-1，则直线I的斜率为2,

故/的方程：y+l=2(x-2),即y=2尤-5,故C正确.

故选：C.

例12.(2024•北京朝阳•一模)已知直线x-J^y+6=0和圆元2+/=，什>0)相交于A,8两点.若

|AB|=6,贝什=()

A.2B.26C.4D.372

【答案】D

【解析】圆d+y2=，(r>0)的圆心为：(0,0),半径为小

则圆心到直线x-6y+6=0的距离为〃=曹==3,

-J1+3

由垂径定理可得r=卜+1用=732+32=3夜.

故选：D.

例13.(2024・四川•模拟预测)若两条直线4：y=x+a，：y=x+6与圆龙?+y2-4x-2y+〃z=0(m<5)的四个

交点能构成矩形，则。+6=()

A.-1B.1C.2D.-2

【答案】D

【解析】由题意，直线4,平行，且与圆的四个交点构成矩形，则可知圆心到两直线的距离相等且Jb,

由圆J+J-4%-2y=0的圆心为（2,1）,

|2-l+tz||1+«|

圆心到4：y=x+〃的距离为4=&-夜

|2-1+向_|1+〃

圆心到4:y=x+Z?的距离为人

0一点

11+al

所以一Mn|l+H=|l+H，整理得到(a-A)(a+6+2)=0,

V2

由a1b•,用f以a+Z?=—2.

故选：D.

例14.（2024.全国.模拟预测）若直线/和圆C的方程分别为＞=尤+犯（无-1）2+（,-2）2=5-m，则

“3＜相＜5”是“直线/和圆C没有公共点”的（）

A.充要条件B.既不充分也不必要条件

C.充分不必要条件D.必要不充分条件

【答案】C

【解析】因为（x-l）2+（y-2）2=5-m表示圆，所以5-机＞0,即机＜5.

若圆C与直线、=尤+a没有公共点，则圆心C（L2）到直线y=x+7〃的距离大于半径,

11—2+777|G

BR---7=一->yj5-m,解得m<-3^3<m<5.

J2

所以“3〈加＜5”是“直线/和圆C没有公共点”的充分不必要条件.

故选：C

例15.（2024・广东韶关.二模）过点尸（-2,3）作斜率为—2的直线，若光线沿该直线传播经x轴反射后与圆

（7:。-3）2+（＞-2）2=/（厂＞0）相切，贝|]/=（）

A.5/2B.y/3C.2D.5/5

【答案】D

【解析】如图，设经过点尸的直线交x轴于点A,反射直线与圆C相切于点8,

直线PA:y_3==2(x+2),即y—,

11

令y=0,解得％=-不即A（-不0）,

22

又即4+以=。，所以&4=2,

所以直线BA:y-0=2（x+f,即2尤->+1=0,

|6-2+1|

则点（）到直线直线的距离为〃=

C3,2BA:2x-y+l=0~1T

即r=yfi.

故选：D

例16.（2024・新疆・二模）从直线尤->+2=0上的点向圆f+y2-4x-4y+7=0引切线，则切线长的最小

值为（）

A.立B.1C.变D.叵-1

242

【答案】B

【解析】圆f—4x—4y+7=。化为（x—2）-+（y—2）~=1,圆心为C（2,2）,半径为1,

直线%-丁+2=0上的点尸向圆/+,2-4工-4〉+7=0引切线，设切点为A,

要使切线长的最小，则|PC|最小，即直线上的点与圆心的距离最小,

由点到直线的距离公式可得，|PCL.=

所以切线长的最小值为/点y-1=1.

故选：B.

例17.（2024・高三•河南•阶段练习）已知直线y="+l与圆尤2+y=4相交于M,N两点，若削削=旧,

则网=（）

A.—B.1C.72D.2

【答案】B

【解析】如图所示：

|0-^-0+1|1

设坐标原点。到直线区-y+1=0的距离为d,则1=

J/+1

设线段祢V的中点为P,则脑VLOP,根据勾股定理，有4=|OM「=。尸「+忙闾2=1+：睦叱

由|脑V|=E,得4=屋+：|必寸=必匕+?，故产9=：，解得公=1，故阳=L

故选：B.

例18.（2024・广东广州.二模）若直线5+勿=i与圆O:/+y2=i相切，则圆。-。＞+⑶-6产二；与圆o

（）

A.外切B.相交C.内切D.没有公共点

【答案】B

【解析】直线口+卯=1与圆。：d+y2=1相切，

则圆心0（0,0）到直线方+吁1的距离等于圆O的半径1,

即'=-——7=1,得/+〃=1.

，a~+b-

圆（x-a）2+（y-6）2=：的圆心坐标为（a,6）,半径为：,

其圆心在圆。上，所以两圆相交.

故选：B

例19.（2024•高三•山东青岛・期末）圆O:f+y2-4=0与圆C:x2+y2-4x+4y-12=0相交于A、B两点,

则&ACB=（）

A.2B.2夜C.372D.6

【答案】D

［解析］两圆方程相减得直线AB的方程为x-y+2=0,

圆C:x2+y2-4x+4y-12=0化为标准方程(x-2)2+(y+2)2=20,

所以圆C的圆心为C（2,-2）,半径r=2百，

|2—（―2）+2］

圆心C到直线AB的距离为d="（］）2=3.2,

弦长|=2〃一屋=2,20-18=2A/2,

所以四|以=：又3应X2应=6.

故选：D

例20.（2024・高三•全国•专题练习）过点”3,1）作曲线C：尤2+/一2尤=0的两条切线，切点分别为则

直线AB的方程为()

A.2x+y-3=0B,2x—y-3=0C.4%—y—3=0D.4%+y—3=0

【答案】A

【解析】由曲线C:元2+/一2x=0,可化为(尤-l)2+y2=i,可得圆心C(l,0),半径为厂=1,

因为PA、9分别切圆C于A、3,所以P,AB,C四点在以尸C为直径的圆半径为厂=四=更，

I2；22

故圆的方程为：C':(x-2)2+[y-g]=撩，即/+/_叙7+3=0上，

两圆的方程相减，可得两圆公共弦所在直线的方程为2x+y-3=0,

即直线AB的方程为2x+y-3=0.

故选：A.

例21.(2024•山西・模拟预测)写出一个过点(3,4)且与圆C:x2+y2-4x+3=0相切的直线方程.

【答案】x=3或15元-8y-13=0(答案不唯一，写出一个即可)

【解析】依题意，将圆C化为标准方程可得(x-2)?+y2=i,则圆C表示以C(2,0)为圆心，半径厂=1的

圆，

当切线的斜率不存在时，过(3,4)的直线x=3正好与圆C相切；

,\2k+4-3k\,15

当切线的斜率存在时，设切线方程为丫-4=左原-3),则仁病丁=1，解得左=]，此时切线方程

为15x—8y—13=0.

由于只需写出一个过点(3,4)且与圆C:d+y2-4x+3=0相切的直线方程，

故答案为：》=3或15尤-8>-13=0(答案不唯一，写出一个即可)

例22.(2024・高三・北京顺义・阶段练习)已知直线产质+，〃(机为常数)与圆尤?+>2=2交于点M,N,当

上变化时，若的最小值为2,则加=.

【答案】±1

【解析】"+尸=2可知圆心为(0,0),半径

圆心到直线的距离：d=-r=T.

yjl+k

由垂径定理可知：|MN|=2j户-/=2.2--4，

V1+k

当左=0时，|MN|取得最小值，并且|MN1mm=2,2-加=2nm=±l,

故答案为：±1.

例23.（2024•天津•一模）已知圆G：V+y2=4与圆G：元2+,2一8工+6>+机=。外切，此时直线

/:x+y+l=0被圆。2所截的弦长为.

【答案】2a

【解析】由G：f+y2=4得G（0,0）,石=2,

将G：f+y2—8x+6y+根=0化为标准方程，得G：（%-4）?+（丁+3）2=25-机（m<25）,

。2（4,-3）,弓=^/25-m,

因为两圆外切，所以|CJG|=4+2，即小（0-4）2+（0+3）2=2+，25-相,解得，”=16,弓=3.

G（4,-3）到直线/:x+y+l=0的距离d=修驾=应，如下图：

VI2+12

？

则直线/：x+y+l=0被圆C2所截的弦长|A同=2疟工=2^/^^=2甘.

故答案为：2币.

【过关测试】

一、单选题

1.（2024•云南昆明•模拟预测）已知24是圆C:x2+（y-l）2=l的切线，点A为切点，若|网=2,则点P的

轨迹方程是（）

A.（x-l）2+y2=5B.x2+（y-l）2=5C.;/=2尤D.无2=2y

【答案】B

【解析】因为|胡卜2,所以P点到圆心的距离恒为厅方=若，

所以点尸的轨迹方程是以（0,1）为圆心，君为半径的圆，即V+（y_l）2=5,

故选：B

2.（2024•辽宁大连.一模）过点和（L3）,且圆心在x轴上的圆的方程为（）

A.x2+y2=4B.(x-2)2+y2=8

C.(x-l)2+y2=5D.(x-2)2+y2=10

【答案】D

【解析】令该圆圆心为（a,0），半径为则该圆方程为（x-a『+y2=

22

(-l-a)+l=r，解得|a=2

则有/

r=屈'

故该圆方程为（x-2『+y2=10.

故选：D.

3.（2024•浙江.一模）圆C:/+y2一2尤+4>=。的圆心C坐标和半径『分别为（）

A.C（l,-2）,r=V5B.C（l,-2）,r=5

C.C（-l,2）,r=V5D.C（-1,2）/=5

【答案】A

【解析】圆C:x2+y2_2x+4y=0,BPC:（x-1）2+（y+2）2=5,

它的圆心C坐标和半径r分别为C（l,-2）,r=6.

故选：A.

4.（2024.高二.河北沧州.期末）已知点A为直线2x+y-10=0上任意一点，。为坐标原点.则以Q4为直

径的圆除过定点（0,0）外还过定点（）

A.（10,0）B.（0,10）C.（2,4）D.（4,2）

【答案】D

【解析】设垂直于直线2x+y-10=0,垂足为3,则直线方程为：V=gx，

由圆的性质可知：以Q4为直径的圆恒过点8,

'2%+y-10=0r=4

由y=\得：9=2，二以04为直径的圆恒过定点（42）・

、2

故选：D.

5.（2024・高二•全国•课时练习）点P（5,〃z）与圆x?+y2=24的位置关系是（）

A.点在圆上B.点在圆内C.点在圆外D.不确定

【答案】C

【解析】因为52+m2=25+7/>24,所以点在圆外,

故选：C

6.（2024.高三.北京西城.开学考试）已知圆Y+产=/+4经过点（。一2,“，且点尸（。㈤到点。（1,0）的距离

为3,则（）

A.a=-4B.a=2C.6=20D.6=4

【答案】B

【解析】由题意知：（。-2）2+〃=/+4,整理得：〃=4a①

又由点尸（。力）到点。（L0）的距离为3可得：（.-1）2+廿=9②

a=2a=2

联立①②，解得：或«

b—2\/2b=-2A/2

故a=2.

故选：B.

7.（2024・四川南充•二模）已知圆C:Y+2x+y2-l=0,直线/：尤+”（y—1）=0与圆C（）

A.相离B.相切C.相交D.相交或相切

【答案】D

【解析】根据题意，直线/的方程为/：x+〃（y-l）=0,恒过定点（0,1）,

设P为(0,1),又由圆C:x?+2x+y2—1=0,即(x+1)~+=2,

其圆心为（T0）,半径-0,

由|PC|2=『+『=2=r2,则尸在圆C上,

则直线/与圆C相交或相切.

故选：D.

8.（2024・高三•重庆九龙坡•阶段练习）若直线尤->+加=0（耀>0）与圆（x-1）?+（y-1）?=3相交所得的弦长

为优，则机=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】圆（x-iy+（y-l）2=3的圆心坐标为（1,1）,半径为后,

|l-l+m|_m

圆心到直线x-y+机=0（机>0）的距离为二/^二正'

2

由勾股定理得=3,m>0,解得m=2.

故选：B.

9.（2024・辽宁•模拟预测）已知圆G：X2+>2=]6与圆C?：/+"+>+加_16=0交于A,B两点，当

上变化时，|锄|的最小值为4TL则加=（）

A.0B.±1C.±2D.±V3

【答案】C

【解析】两圆的公共弦所在线的方程为：kx+y+m=O,圆心G到直线的距离为d=,

gk2

\AB\—2^16—>因为1+4221,所以J16—J]22416-m。，

所以2d16-病=4百，解得m=±2.

故选：C

10.(2024・高三・重庆•阶段练习)已知圆C:(x-iy+(y-2)2=2,直线/：丫=履-1与圆C相离，点/是直

线/上的动点，过点”作圆C的两条切线，切点分别为A,B,若四边形ACBM的面积最小值为26，则

()

A.k=-lB.k=-2

C.左=一1或左=工D.k=-l或k=-

72

【答案】C

【解析】圆C:(x-iy+(y-2)2=2的圆心为C(l,2),半径r=0,

由题意可知：SCBM=2SA®=2X|X|AM|XV2=A/2|AM|>2A/3,

解得IAM2遥，即恒凹的最小值为指，可知|CM|的最小值为20,

11.(2024・高三.河南周口・开学考试)过圆O:/+y2=4外一点p(3,4)作圆。的切线，切点分别为A,B,

则阳=()

A4721口2V2Tr475n2V5

5555

【答案】A

如图，由题意知|。4|=|。却=2,PALOA,PB1OB,|OP|=V32+42=5,

所以|=1OP?-0解=0T,根据圆的对称性易知0P1AB,

则;X|0P|X|AM=；X|0A|X|AP|X2,解得体同=生旦.

225

故选：A.

12.(2024・云南昆明•一模)过点尸(-2,0)作圆C：尤2+/-4尤-4=0的两条切线，切点分别为A,B,则

四边形B4cB的面积为()

A.4B.40C.8D.8近

【答案】C

【解析】由f+/一4彳一4=0,得解-2>+,2=8,则圆心(2,0)/=2痣,

贝”PC|=4,贝1]|尸<=J16-8=2及,

则四边形R4CB的面积为2sPBC=2X；X20X2立=8.

故选：C

13.(2024・高二・全国・专题练习)已知圆C]：x2+y2+2x+8y-8=0和圆C2：(x-5y+(y-4)2=25,则圆G

与圆C2的公切线有()

A.1条B.2条C.3条D.4条

【答案】C

【解析】根据题意，圆G：1+/+2x+8y-8=。，即(x+l)~+(y+4)?=25,

其圆心G半径R=5,

22

|S|C2:(x-5)+(y-4)=25,其圆心G(5,4),半径r=5,

两圆的圆心距|C；C2|=J(5+1『+(4+W=I。=厂+尺，

因此两圆外切；

则圆G与圆的公切线有3条.

故选：C.

2

14.(2024.高三.山东枣庄.期末)已知圆C：(x+l)2+(y+1>=1,0]C2:x+-4x-4y-1=0,则两圆的

公切线条数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】由题意圆G：（x+iy+（y+i）2=i是以（TT）为圆心1为半径的圆；

22

C2:x+y-4x-4y—1=0即（x-2）-+（y-2y=9是以（2,2）为圆心3为半径的圆；

圆心距满足d=J9+9=3A/^>1+3=4,所以两圆相离，

所以两圆的公切线条数为4.

故选：D.

15.（2024・高三•河北衡水•阶段练习）圆C|：（x-3）2+y2=9与圆C2：/+y2+8y=o的公切线条数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】由6：5-3）2+丁=9可知圆心为（3,0）,半径a=3,

6：/+/+22

由8>=0,BPC2:x+（y+4）=16,

则圆心为（0,-4）,半径4=4,

则两圆圆心距离为d=J32+42=5,6+4=7,r^-r2=-l,

故作-目+弓，即两圆相交，故公切线条数为2条.

故选：B.

16.（2024・高三・江苏苏州•期中）圆尤2+V-6x+4y+12=0与圆/+y?一14了一2>+14=0的公切线的条数是

（）.

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】圆/+y?-6x+4y+12=0化成标准方程为（%-3）2+（,+2）2=1,知Q（3,-2）,4=1

圆fV_14x-2y+14=0化成标准方程为（x-7）2+（y-l）2=36,知O2（7,1）,^=6

圆心距|O|Q|=J。-7『+（-2-=5=4_）,可知两圆内切，则两圆有1条公切线.

故选：A

二、多选题

17.（2024.广东韶关•一模）已知圆加：％2+》2_6%一8'=0,点尸（2,2）,下列命题正确的是（）

A.圆M的圆心为（3,4）

B.过点P的直线可能与圆加相切

C.圆加上的点到点尸距离的最大值为5+逐

D.若以P为圆心的圆和圆加内切，则圆P的半径为5-6

【答案】ACD

【解析】选项A：/+/-6%-8»=0变形为（x-3『+（y-4）匕25,

圆心为（3,4）,r=5,A正确；

选项B：22+22-6X2-8X2<0,故P点在圆内，

故过户点的直线不可能与圆相切，B错误

选项C：圆加上的点到点尸距离的最大值为圆心（3,4）到P（2,2）的距离加上半径，

即|PM|+r=J（3-2『+（4-2）+5=5+小,C正确；

选项D：两圆的位置关系为内切，且点P在圆M的内部，则圆P的半径为厂-|口⑷=5-岔，D正确.

故选：ACD

18.（2024・高三•湖南邵阳•阶段练习）已知圆C:/+y2-2x=0,则下列命题正确的是（）

A.圆C的圆心是（0,1）B.点（1,0）在圆C内

C.圆C的最大弦长为2D.过原点可以作圆C的两条切线

【答案】BC

【解析】将圆的方程化为标准方程可得（彳-1）2+丁=1,则圆C的圆心坐标为（LO）,半径为1,

则圆C的最大弦长为2,

因为（0-1）2+。2=1,则原点在圆C上，则过原点可以作圆C的一条直线，

BC对，AD错.

故选：BC.

19.（2024•辽宁葫芦岛.二模）过四点（0,0）,（4,0）,（-1,1）,（4,2）中的三点的圆的方程为（）

A.（X-2）2+（J-1）2=5B.（X-2）2+（J-3）2=13

C.（尤一寺+（y_gy=22D.（工_1）2+（y-l）2=:

【答案】AB

【解析】对于A,点（0,0）,（4,0）,（4,2）在圆（尤-2）2+（）；-1）2=5上，故A正确；

对于B,点（0,0）,（4,0）,（-1,1）在圆。-2户+（y-3）2=13上,故B正确；

对于C,点（0,0）,都不在圆（彳-寺+（y—）2=22上，故C错误；

对于D,点（4,0）,（-1,1）都不在圆。一『+"-1）2=：上，故D错误；

故选：AB.

20.（2024•云南红河・二模）若圆Q:，+/+2x-3=0与圆。2：/+；/-2>-1=0交于A3两点，则下列选

项中正确的是（）

A.点（1,-1）在圆。2内

B.直线A8的方程为x+y-l=O

C.圆。|上的点到直线A3距离的最大值为2+应

D.圆Q上存在两点P,。，使得|尸。|>|/明

【答案】BC

【解析】对于A,因为f+（-1）2-2x（T）_l=3>0,所以点（1，-1）在圆外，故A错误；

对于B,因为圆J和圆。2相交，将两圆方程作差可得：2x+2y-2=0,

即公共弦AB所在直线的方程为无+丫-1=0,故B正确；

对于C,圆J的圆心坐标为（T，0）,半径为2,

圆心。।到直线AB：龙+>—1=0的距离为"=耳』=应，

所以圆。1上的点到直线A3距离的最大值为2+0,故C正确；

对于D,直线经过圆。2的圆心（。，1），而0+1-1=0,

所以线段是圆5的直径，故圆。2中不存在比长的弦，故D错误.

故选：BC.

21.（2024•河北沧州•模拟预测）已知圆和：/+》2—2x—2y—2=。，圆C?:厂+/—8尤—10y+32=。，则下

列选项正确的是（）

A.直线GQ的方程为4》一3y一1=。

B.圆G和圆C?共有4条公切线

C.若P,。分别是圆C1和圆C。上的动点，则|PQ|的最大值为10

25

D.经过点C—C2的所有圆中面积最小的圆的面积为9兀

【答案】ACD

【解析】由题意得，圆C|：（x-l）2+（y-l）2=4的圆心半径12,

圆C2：（x-4y+（y—5）2=9的圆心G（4,5）,半径4=3,

对于A,直线Ge。的方程为p=gp4x-3y-l=0,所以A正确；

5-14-1

对于B,因为|C£|=J（4T）2+（5-1）2=5且［+==2+3=5,可得|。£|={+马，

所以圆G与圆外切，所以两圆的公切线共有3条，所以B错误；

对于C,因为《。21=5,所以|P9的最大值为《。2|+4+4=1°，所以C正确；

对于D,当为圆的直径时，该圆在经过点C-C2的所有圆中面积最小，

此时圆的面积为7T0=%，所以D正确.

故选：ACD.

22.(2024・高二・湖南郴州•期末)已知圆C:x2+y2-4x-2y-13=0,则下列命题正确的是()

A.圆心坐标为(2,1)

B.直线-1=。与圆C相交所得的弦长为8

C.圆C与圆。:/+9=8有三条公切线.

D.圆C上恰有三个点到直线y=x+b的距离为血，贝|b=3或-5

【答案】ABD

【解析】对于A中，由圆C:x2+y2-4x-2y-I3=0,可化为(无一2丫+(y—l)2=18,

可得圆心C(2,l),半径为「=3直，所以A正确；

对于B中，由圆心C(2,l)到直线/:x+y—l=。的距离为一=击=应，

则相交弦长为2/2一筋=2后句口可=8,所以B正确；

对于C中，由圆0:/+y=8,可得圆心。(0,0),半径弓=2亚，

可得|0。|=有，且厂_々=也升+4=5近，则—q<|OC|<r+/;,

所以圆。与圆C相交，可得两圆有两条公共切线，所以C错误；

对于D中，由圆C上恰有三个点到直线y=尤+6的距离为0,

―—l\2-l+b\I-

则满足圆心C(2,1)到直线x-y+方=0的距离为20，即J~X=2垃,

解得人=3或6=-5,所以D正确.

故选：ABD.

23.(2024•黑龙江齐齐哈尔•一模)已知圆C|：(x-3)2+y2=i,C2：/+(y-a)2=16,则下列结论正确的有

()

A.若圆G和圆C?外离，则。>4

B.若圆C1和圆C?外切，则a=±4

c.当a=0时，圆G和圆C?有且仅有一条公切线

D.当。=-2时，圆G和圆C2相交

【答案】BCD

(解析1G(3,0),Q(0⑷,|CC|=y/9+a2,.=1,4=4.

若C1和C2外离，则|CC|=j9+q2>j+弓=5,解得。>4或。<-4,故A错误；

若C1和G外切，|C©=j9+a2=5,解得a=±4,故B正确；

当。=0时，]£。2|=3=4一小G和内切，故C正确；

当a=-2时，3<|。02|=巫<5,£和G相交，故D正确.

故选：BCD

三、填空题

24.（2024・高三•河北•阶段练习）已知圆C满足以下两个条件：①圆C的半径为若；②直线/:x-y+3=0

被圆C所截得的弦长为2.写出一个符合以上条件的圆C的标准方程为.

【答案】（*+1）2+产=3（答案不唯一）

【解析】设圆C的圆心坐标为（。力），因为直线/：》->+3=0被圆C所截得的弦长为2,圆的半径为

所以谭31]+『=（有了，整理得q—匕+3=2或°一人+3=—2,所以a—8=—1或=-5.

可取4=-1力=0,止匕时圆C:（x+l）2+y2=3.

故答案为：（x+iy+y2=3（答案不唯一）

25.（2024高三.浙江湖州•期末）已知圆C的圆心在直线y=x+l上且与y轴相切，请写出一个同时满足上

述条件的圆的标准方程：.

【答案】6+1）2+丁=1（答案不唯一，（x-a）2+（y-a-l）2=a2（aeR））

【解析】因为圆C的圆心在直线尸x+1上，不妨设其圆心C（a,a+l）（aeR）,

又因为圆C与V轴相切，则半径为r=同，

所以圆C的标准方程为（尤―of+（y-a-l）2=a2（aeR）,

取。=—1,则一个同时满足上述条件的圆的标准方程为（x+1）?+/=1.

故答案为：（x+l『+y2=l（答案不唯一，（x-a）2+（y-a-l）2=a2（aeR））

26.（2024・高三•全国・专题练习）圆心在直线2尸丁-7=0上的圆后与丁轴交于4（0,-4）,巩0,-2）两点，

则圆E的方程为.

【答案】（x-2）2+（y+3）2=5

【解析】由题意设圆心E（a,2a-7）,因为|网=|明=乙