2025届高考数学专题十四外接球精准培优专练理

PAGEPAGE1培优点十四外接球一、墙角模型一、墙角模型例1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为，体积为，则这个球的表面积是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，．二、对棱相等模型二、对棱相等模型例2：如下图所示三棱锥，其中，，，则该三棱锥外接球的表面积为．【答案】【解析】对棱相等，补形为长方体，如图，设长宽高分别为，，，，．三、汉堡模型三、汉堡模型例3：一个正六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为，则这个球的体积为．【答案】【解析】设正六边形边长为，正六棱柱的高为，底面外接圆的半径为，则，正六棱柱的底面积为，则，∴，，也可，，设球的体积为，则．四、切瓜模型四、切瓜模型例4：正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，各顶点都在同一球面上，则此球体积为．【答案】【解析】方法一：找球心的位置，易知，，，故球心在正方形的中心处，，．方法二：大圆是轴截面所截的外接圆，即大圆是的外接圆，此处特别，的斜边是球半径，，，．五、垂面模型五、垂面模型例5：一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A． B． C． D．以上都不对【答案】C【解析】法一：（勾股定理）利用球心的位置求球半径，球心在圆锥的高线上，，，．法二：（大圆法求外接球直径）如图，球心在圆锥的高线上，故圆锥的轴截面三角形的外接圆是大圆，于是，下略．六、折叠模型六、折叠模型例6：三棱锥中，平面平面，和均为边长为的正三角形，则三棱锥外接球的半径为．【答案】【解析】如图，，，，，．法二：，，，，．七、两直角三角形拼接在一起七、两直角三角形拼接在一起例7：在矩形中，，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，故选C．对点对点增分集训一、选择题1．已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】依据正四棱柱的几何特征得：该球的直径为正四棱柱的体对角线，故，即得，所以该球的体积．2．已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，，则该三棱锥的外接球的半径为（）A．3 B．6 C． D．9【答案】A【解析】因为三棱锥的三条侧棱两两垂直，所以该三棱锥的外接球就是以三棱锥的三条侧棱为棱的长方体的外接球，长方体的外接球的直径等于长方体对角线；所以外接球的半径为．3．在半径为1的球面上有不共面的四个点，，，且，，，则等于（）A．2 B．4 C．8 D．【答案】C【解析】如图，构造长方体，设长方体的长，宽，高分别为，，，则，依据题意，，，则．4．正四面体的棱长为，顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】正四面体底面三角形的外接圆的半径，正四棱锥顶点究竟面的距离为，设正四棱锥的外接球的半径为，则有，即，解得．则所求球的表面积为．5．始终三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球的表面上，则球的半径为（）A． B． C． D．3【答案】A【解析】球的半径满意直三棱柱底面三角形外接圆半径．．6．已知直三棱柱的个顶点都在球的球面上，若，，，，则球的半径为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】可推断球心应在连接上下直角三角形斜边中点的线段的中点，那么半径，就是．7．已知三棱锥中，，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图所示，由已知，，，∴面，∴，∴，∴，∴，取的中点，由直角三角形的性质，到，，，的距离均为，其即为三棱锥的外接球球心，故三棱锥的外接球的表面积为．8．在三棱锥中，与都是边长为的正三角形，平面平面，则该三棱锥的外接球的体积为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】取的中点为，，分别是正三角形和正三角形的中心，是该三棱锥外接球的球心，连接，，，，，，则，分别在，上，平面，平面，，，，所以为二面角的平面角，因为平面平面，所以，又，所以，所以四边形为正方形，所以，在直角三角形中，球半径，所以外接球的体积为．9．在矩形中，，现将沿对角线折起，使点到达点的位置，得到三棱锥，则三棱锥的外接球的表面积为（）A． B．C． D．大小与点的位置有关【答案】C【解析】由题意，的中点为三棱锥的外接球的球心，∵，∴球的半径为，∴三棱锥的外接球的表面积为．二、填空题10．已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为，底面边长为，则该球的体积为．【答案】【解析】如图所示，正四棱锥的外接球的球心在它的高上，设球的半径为，底面边长为，所以，在中，，即，所以，所以球的体积．11．假如三棱锥的三条侧棱两两垂直，它们的面积分别为、、，那么它的外接球的表面积是．【答案】【解析】由已知得三条侧棱两两垂直，设三条侧棱长分别为（），则，∴，∴，，，，．12．在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的表面积为．【答案】【解析】设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为，则，，，∴，，，．13．在直三棱柱中，，，，，则直三棱柱的外接球的表面积为．【答案】【解析】，，，，，．14．已知三棱锥的全部顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为．【答案】【解析】，，．15．在直角梯形中，，，，，沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为．