2025年新高考数学重难点突破：函数综合难题（复合函数、零点、高斯函数等）十二大题型（解析版）

重难点15函数综合难题(复合函数、零点、高斯函数等)十二大题型汇总

题型解读

题型5已知定义域值域问题题型11新定义函数

题型6定义域与值域相同问题题型12高斯函数

满分技巧!

技巧一.函数零点的方向有：直接法、零点存在性定理法、图象法.

L直接法即由f(久)=0求得函数的零点.

2.零点存在性定理法即利用;l(a)"(b)<0来判断零点所在区间.

3.图象法即利用图象来判断函数的零点

技巧二.关于复合函数的零点的判断问题，

1.先将零点问题转化为方程的解的问题；

2.解答时要采用换元的方法，利用数形结合法，先判断外层函数对应方程的解的个数问题，继而求解内层函

数对应方程的解.

技巧三.复合方程解的个数问题的解题策略为：

1.要能观察出复合的形式，分清内外层；

2.要能根据复合的特点进行分析，将方程问题转化为函数的交点问题；

3.通过数形结合的方式解决问题.

技巧四.求解复合函数零点问题的技巧：

1.数形结合法.分别作出的图象；

2.若已知零点个数求参数的范围，则先分析关于的方程的解的个数，再根据个数与的图象特点，分配每个函

数值被几个对应，从而确定每个函数值的取值范围，即方程的根的情况，进而求解参数的范围.

技巧五.利用二次函数的零点分布求参数，一般要分析以下几个要素：

1.二次项系数的符号；

2.判别式；

3.对称轴的位置；

4.区间端点函数值的符号.

5.结合图象得出关于参数的不等式组求解.

技巧六.复合函数y=/(g(x))单调性满足同增异减，

1.即若外层函数门。与内层函数g(x)均单调递增,则y=f(g(x))单调递增，

2.若外层函数/(t)与内层函数g(x)均单调递减，贝Uy=/(g(x))单调递增，

3.若外层函数f(t)单调递增，内层函数g(x)单调递减，贝3=f(g(x))单调递减，

4.若外层函数/⑴单调递减，内层函数g(x)单调递增，贝3=/(g(x))单调递减，

注意内层函数和外层函数的定义域的对应.

却*题型提分练

题型1抽象复合型零点个数问题

♦类型1中档难度

—%2+2%比>0

一一二二n，

{111(Jx/JIfyCU

则函数y=/(/(%)-1)的零点个数是()

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】先求/Xx)的零点，结合图象判断出函数y=/(/0)-1)的零点个数.

【详解】由尸2+孑=0解得X=0或X=2,

构造函数9(%)=ln(-x)+1(%<0),

。(%)在(一8,0)上单调递减，。(-3)=ln3-|>1-|=|>0,

g(-2)=ln2-1<0,所以g(%)存在唯一零点%oe(-3,-2),

所以对于［m(r)+i=0,有唯一解与e(-3,-2).

Ix<0

令y=mx)-1)=0,

得fO)-1=。或/'(久)-1=2或f(x)-l=x0,

得/'(x)=1或/(X)=3或/(x)=x0+1G(-2,-1),

x>0时，f(x)——x2+2x=—(x—l)2+1<1,

画出f(x)的大致图象如下图所示,

由图可知，函数y=-1)的零点个数是5.

故选：C

【点睛】求和函数的零点，可以考虑的方向有：直接法、零点存在性定理法、图象法.直接法即由/Xx)=0求

得函数的零点.零点存在性定理法即利用f(a)•f(m<0来判断零点所在区间.图象法即利用图象来判断函

数的零点.

【变式(2022上•陕西宝鸡•高一校考期末错函数/⑺=f2匕吗'：>n则函蜘⑺=f(f⑺)

IX十4%十三U,

的零点的个数为()

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【分析】应用换元法，令f(X)=t,将复合函数f(f(X))拆为f(x)与f(t),利用解方程和函数图像即可求解.

【详解】当x>0时，由1+Inx=0,得x=-,

e

当％<0时,由％2+4%+3=0,得％=—1或%=—3

/0)的零点为-3,-1,1,

令/(%)=t,则/X。=0的根分别为“=一3,4=一1,J=]

结合/")的图象可知，方程/(%)=h,/(%)=t2,/(%)=t3的根的个数分别为1,2,3,故g(x)=/(/(%))

的零点个数为6.

故选：C

【变式1-1】2.(2023上•全国•高一专题练习圮知定义在(0,+8)上的/(久)是单调函数目对任意久e(0,+8)

恒有f(/(%)+logix)=3,则函数/■(>)的零点为()

A.-B.-C.2D.4

42

【答案】A

【分析】利用换元法，根据函数的单调性列方程，求得f0)的表达式，进而求得八支)的零点.

【详解】根据题意，对任意xe(0,+00),者隋/，(x)+log”)=3,

即/'(f(X)-log2x)=3.

因为/(x)是定义在(0,+8)上的单调函数，所以7•(%)-10g2%为定值，

令t=/(%)-log2x,t>0,则/(x)=log2x+t,

由/(t)=3，得log2t+t=3,t=2,

y=log2t+t在(0,+8)上单调递增，所以"2是唯一解，

则/(x)=log2x+2.

由/'(x)=log2x+2=。得x=i,即函数f(%)的零点为;.

故选：A

【变式1-1】3.(多选)(2023上•河北石家庄•高一石家庄二中校考阶段练习)已知函数人久)=

"广5°，下列关于函数V=/[/(x)]+1的零点个数的说法中，正确的是()

A.当k>1,有1个零点B.当k>1时，有3个零点

C.当k<0时，有9个零点D.当k=—4时，有7个零点

【答案】AD

【分析】设"%)=t,即有/Xt)=-1,再按k>1和k=-4讨论并作出函物(x)图象，数形结合即可判断得

解.

【详解】由y=0,得=-1,则函数y=/[/(x)]+1的零点个数即为/[/(%)]=—1解的个数,

设f(x)=t,则/(t)=-1,二次函数y=x2-kx+l,其图象开口向上，过点(0,1),对称轴为X=，

当k>1时，y=%2-kx+1在(-8,0]上单调递减，且y>1,如图，

由/(t)=-1，得10g2t=-1,解得t=|,由/'。)=t,得01g2%=|,解得X=V2,

因此函数y=/[/(%)]+1的零点个数是1,A正确，B错误;

当k=一4时，/(x)=/0,作出函数/(久)的图象如图，

由图象知/⑹=-1有3个根，当t>0时，log2t=-1,解得t=|;

当tW0时，/+g+1=-1,解得t=一2±&,

当t=5时,/(%)=；,^log%=，，则％,若/+轨+1=},贝卜=一2±孚，此时共有3个解;

当t=-2+/时，/'(X)=-2+V2,止匕时log2%=-2+四有1个解,

x2+4x+1=-2+V2,即(％+27=1+/有2个解，

当t=一2—&时，/'(%)=-2-V2,止匕时log?%=-2—迎有1个解,

%2+4%+1=-2—应即(x+2产=1-V2<0无解，

因此当k=—4时，函数y=/[/(%)]+1的零点个数是7,D正确，C错误.

故选：AD

【点睛】方法点睛：关于复合函数的零点的判断问题，首先将零点问题转化为方程的解的问题；解答时要

采用换元的方法，利用数形结合法，先判断外层函数对应方程的解的个数问题，继而求解内层函数对应方

程的解.

【变式1-1J4.(多选)(2023上•全国•高一专题练习)已知函数y=f(x)和y=g(x)在[-2,刀上的图象如

图所示，则下列结论正确的是()

A.方程/'(仪功)=0有且只有6个不同的解B.方程(切)=。有且只有3个不同的解

C.方程/(/(为)=。有且只有5个不同的解D.方程g(g(x))=。有且只有4个不同的解

【答案】ACD

【分析】令1=gO),结合图象可得/⑴=0有3个不同的解。,，打，不妨设G<t2<t3l则可知-2<

2

ti<-1,t2=0,1<ts<令巾=f(x)结合图象可得g(m)=0有2个不同的解小1不妨设<rn2,

贝U可知-2<m1<-l,0<m2<l,再数形结合求出复合函数的解的个数.

【详解】A选项，令”5(x),结合图象可得f(t)=0有3个不同的解打,t2lt3,

不妨设。<12ct3,贝呵知—2<ti<-1,t2=0,1<t3<2,

由图可知gO)=匕有2个不同的解，g(x)=《2有2个不同的解，g(x)=G有2个不同的解，

即/(9(为)=0有6个不同的解，A正确；

B选项，令m=f(x),结合图象可得g(>n)=0有2个不同的解m1，m2,

不妨设7nl<m2,贝!I可知一2<<-1,0<m2<1,

由图可知f(%)=Mi有1个解,f(x)=巾2有3个不同的解，

即鼠打%))=0有4个不同的解，B错误；

C选项，令m=/(x),结合图象可得/(m)=0有3个不同的解?n1，，皿3

且一2<mi<-1,m2=0,1<m3<2,

由图可知/'(%)=队有1个解,f(x)=g有3个不同的解，/(%)=g有1个解，

即/(/(X))=o有5个不同的解，C正确；

D选项，令匕=g(x),结合图象可得g(t)=。有两个不同的解匕,t2

不妨设ti<t2,则可知-2<ti<-1,0<t2<1,

由图可知g(x)=。有2个不同的解，g(x)=4有2个不同的解，

即g(g(x))=0有4个不同的解，D正确.

故选:ACD.

「3久—1支v1

【变式1-1]5.(2023上•辽宁鞍山•高一鞍山一中校考期中)已知函数,则函数FQ)=

(।X)X

Ix-1

/[/(%)]+1/(%)-2的零点个数是()

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【分析】根据函数解析式，结合其单调性求其值域，利用分类讨论思想，结合零点存在性定理，可得答案.

【详解】当X<1时,易知f(X)=3>1单调递增,则/⑺<1；

当x>1时，/(x)=二=-1+工，贝此-1>00—>0今一1+->—1,

7x-1x-1x-1x-1

令三>1,解得1<|,令三W1,解得％,

x—12X—12

当*<1时，F(x)=331-1+13X-1-2,令[=3、Te(0,1],

令h(t)=+|-t-2,由函数y=与函数y=|t-2在(0,1]上单调递增，

则函数九。)在(0,1]上单调递增，所以似。Wh(l)=-|<0,

故函数F(x)在(-8,1]上无零点；

2—X

当1<%〈三时，F(x)=+1,^-2=—+--2,

2'—--13x-13-2x3X-3'

x-1

令F(x)=0,则当+芸—2=0,化简可得23/-58x+36=0,

3—ZXJX—J

△=(—58)2-4x23x36=52>0,由对称轴*=||e(1,|),

当x=1时，23—58+36=1>0,当x=|时，23X(|?-58xj+36=^>0,

所以方程23/一58%+36=。在(1,|)有两个不相等的实数根，

故函数尸0)在(1,|)上有两个零点；

当x>|时,F(x)=3二J-+1.三-2,令m=三,

ZoX—1X—1

整理可得爪=_i+£,易知该函数在[|,+8)上单调递减，则巾e(-1,1],

可得h(ni)=37nt+1m-2,由函数y=3久-】与函数y=|x-2在(一1,1]上单调递增，

则田山)在上单调递增，所以Mm)</i(l)=-|,

故F(x)在停,+8)上无零点.

综上所述，函数FQ)在其定义域内有两个零点.

故选：C.

♦类型2高档难度

【例题1-2](多选X2023上•山东烟台•高一校考期末)已知函数f⑺=右°，若。(久)=fV(无))+

1,则()

A.当a>0时，g(x)有4个零点B.当a>0时，g(x)有5个零点

C.当a<0时，gO)有1个零点D.当a<0时，gO)有2个零点

【答案】AC

【分析】先求得a>。时g(%)零点个数判断选项AB,再求得a<0时g(x)零点个数判断选项CD.

【详解】当a>0时,令/㈤=t,由f(t)+1=0,即/(t)=-1

解得t=L或t=e或t=-2,

ea

作出函数了㈤的图象，如图1所示，贝!It=海一解，t=e无解，t=-蕾三解，

故/。)=t有4个不同的实数解，

即当a>0时，g(久)有4个零点，故A正确，B错误；

当a<0时,令f(x)=t,所以/'(t)+1=0,即/'(t)=-1

解得t=(或t=e或t=-，由t=-1>0,故舍去,

作出函蜘⑺的图象，如图2所示，贝肚=十无解，t=e有一解,

故/(x)=t有1个实数解，

即当a<0时,g(x)有1个零点，故C正确，D错误.

故选：AC.

【变式1-2】1.(多选)(2023上•四川绵阳•高一绵阳中学校考期末)已知函数/(%)=产：函

IC"T"乙,JCU

数9(久)=m,则下列结论正确的是()

A.若x=0,贝(]f(f(x))=0B.若f(/(%))=0,贝女=0

C.若m=4，则gQr)有3个零点D.若3<机<4,则g(久)有5个零点

【答案】ACD

【分析】对A：直接计算即可；对B：先求得f⑺=0或f(x)=4,再求无值；对CD：先由/(/(%))=m求

得/O)=G,i=1,2,3,-,再依次求/O)=匕的解.

【详解】对A:/(0)=0,/(/(0))=/(0)=0,故A正确；

图1

对B：若/■(/■(»)=0,贝Uf(x)=。或f(x)=4,

当/(x)=0时,%i=。或%2=4,

当/(%)=4时,由图1可知X3=匕或%4=2,故B错误；

对C：若/•(/(£))=4,由图1可知则/0)=h或/Q)=2,

当/(x)=七时,由々<0知只有一解,

当;"(X)=2时，由图可知有两解，

故9(%)有3个零点，故C正确；

对D：若3<m<4,/'(/'(%))=m,由图2知/'CO=t2<0或/(%)=t3&(1,2)或/(刀)=t4E(2,3),

当f(X)=[2<0时,只有一根,

当/(x)=t36(1,2)时,只有两根,

当/(X)=t4e(2,3)时,只有两根，

所以(为)=小共有5根，故D正确.

故选：ACD

【点睛】方法点睛:求/(gO))=m解个数方法:先/'(gO))=加得g(x)==1,2,3,…，再进一步由g(x)=

码分别求出x的个数，所有x的个数总和为方程f(g(x))=加解个数.

【变式1-2】2.(多选)(2023上•河北石家庄•高一石家庄二中校考阶段练习)已知函数/Xx)=

/0-下列关于函数V=/[/(x)]+1的零点个数的说法中，正确的是()

10g2%,%>U

A.当k>1,有1个零点B.当k>1时，有3个零点

C.当k<0时，有9个零点D.当k=—4时，有7个零点

【答案】AD

【分析】设/(%)=t,即有｛)=-1,再按k>1和k=-4讨论并作出函数/Xx)图象，数形结合即可判断得

【详解】由y=0,得/W)]=-1,则函数y=/[/(%)]+1的零点个数即为用(明=—1解的个数，

设f(X)=t,则/'(t)=-1,二次函数y=x2-kx+l,其图象开口向上，过点(0,1),对称轴为久=1,

当k>1时，y=/-fee+1在(-8,0]上单调递减，且y21,如图，

由/(t)=-1，得10g21=-1,解得t=|,由/'0)=t，得log?%=|,解得久=V2,

因此函数y=/[/(%)]+1的零点个数是1,A正确，B错误;

当k=-4时，/(%)=1。，作出函数f(x)的图象如图，

由图象知/⑹=一1有3个根，当t>0时,log2t=-1,解得t=|；

当t<0时，/+g+1=-1,解得t=-2±V2,

当"泄，/(%)=1/若log2%=J贝卜=鱼，若%2+4%+1=(，贝！]%=-2土，，此时共有3个解;

当t=一2+鱼时，/(%)=-2+&,止匕时log2%=-2+鱼有1个解，

x2+4x+1=—2+V2,即(x+2)2=1+或有2个角军,

当t=-2-应时，/(%)=-2-V2,止匕时log2%=-2-也有1个解,

x2+4x+1=-2—&即(x+2)2=1—V2<0无解，

因此当k=-4时，函数y=/[/(%)]+1的零点个数是7,D正确，C错误.

故选：AD

【点睛】方法点睛：关于复合函数的零点的判断问题，首先将零点问题转化为方程的解的问题；解答时要

采用换元的方法，利用数形结合法，先判断外层函数对应方程的解的个数问题，继而求解内层函数对应方

程的解.

【变式1-2]3.(多选)(2023上•江苏镇江•高一江苏省镇江第一中学校考阶段练习)已知函数/(%)=

：I,,”q,则方程/&⑺)_m=0(meR)实数根的个数可以为()

A.4B.6C.7D.9

【答案】ACD

【分析】设/'(x)=t,分别讨论m<0,m=0,0<m<l,m=1或m=1,方程/'(t)=m的实数根个数，

从而可得答案.

【详解】设/'0)=t,则/(t)=m(meR),则=m(meR),

画出函数f(%)的图象,

①若山<0时，方程f(t)=血没有实数根，

②若m=0时,方程/(t)=m有2个实数根％不，匕=一1或。=1,

当。=-1时，函数y=f0)的图象与直线y=。没有交点，

当t2=1时，函数y=/(x)的图象与直线y=12有4个交点,

所以m=0时，方程/(/(%))-m=0(mGR)实数根的个数为4.

③若0<zn<1时，方程/■⑴=巾有4个实数根t3,Q，砥％，

令|lnx|=1,解得：x=:或x=e,

由图象观察可知，t3e(-2,-1),t4G(-1,0),t5eQ,l),t6e(l,e),

函数y=/O)的图象分别与直线y=ti(i=3,4,5,6)有0,0,4,3个交点,

所以若0<小<1时，方程/■(/■(»)-m=0(meR)实数根的个数为7.

④若m=1时，函数/Q)=瓶有4个实数木艮办生，©ho，

则b=-2或%=。或%=g或Go-e,

函数y=/O)的图象分别与直线y=t；(i=7,8,9,10)有0,2,4,3个交点，

所以若巾=1时,方程/'(f0))-m=0(meR)实数根的个数为9.

⑤若m>1时，方程/'(I)=??1有3个实数根tn，2，a3，

由图象观察可知，tnC(—oo,—2),t12E((J,：)it136(e,+oo),

函数y=/'(X)的图象分别与直线y=t；(i=11,12,13)有0,4,3个交点，

所以若小>1时，方程/'(/■(»)-巾=0(meR)实数根的个数为7.

故选:ACD.

【点睛】关键点晴：本题的关键在于令f(%)=t，将题意转化为方程7•0)=爪的实数根个数，分类讨论小的

范围，画出函数f(%)的图象，结合图象求解.

【变式1-2]4.(多选)(2023上•广东茂名•高一校联考阶段练习)已知函数f⑺=x2-ax,则下列判断

正确的是()

A.若f(x+2)为偶函数，贝［］a=4

B.若％e［0,m］,f(x)的值域为［0,河，贝U0<m<1

C.若关于x的方程|/(x)|=%+1有4个不同的实数根，贝！|a<-1或a>3

3

D.WaeR,关于X的方程/(f(x))=ax-a?/不可能有3个不同的实数根

【答案】ABD

【分析】对于A,由题意可得f(x)的对称轴，从而可得a的值即可验证；对于B,对于对称轴位置分类讨论

即可；对于C,画出图形，通过数形结合对a分类讨论即可；对于D,将函数方程的根转换为新的函数的根

来研究即可.

【详解】若/。+2)为偶函数，则/(x)关于直线％=2对称，:|=2,a=4.故A正确.

a>0时］>0,而当xe卜，外时，

所以我06［0,M,使/'(与)<0,不符合题意；

aW0时，/(x)=(x-1)-《■在［0即］单调递增，二/(0)=0,/(m)=m,

即血2—am=m,

解得TH=0(舍去)或TH=。+141,・•.0VTH41.故B正确.

对C,a=0时，|/(吗|=%2=%+1只有两个不同的解，显然不符合题意，

a>0时，函数y=1/(%)|与直线y=%+1有4个交点，由图可知，

只需方程一/+ax=x+1有两个不同解，.•.A=(1-a>-4>0,解得a>3或a<-1(舍去)；

当aV0时，由图可知，a>-1且-％2+a%=%+1有两个不同解，显然a不存在.

综上，当a>3时，方程|/(久)|=x+1有4个不同实数根.故C错误.

对D,方程=ax3—a?/可化为了(%3_3ax2+2a2%—ax+a2)-0

x=OgJix3—3ax2+2a2x—ax+a2=0

令g(x)=x3—3ax2+2a2x—ax+a2,g[x+a)=%3—(a2+a)x为奇函数，

•••g(%)的图象关于(a,0)对称，g(a)=0,g(x)=。的实数解为1个或3个,

当a=0时，。(久)="只有唯一实数根％=0,则原方程只有一个实数根；

当a丰。时,g(0)=a20,g(x)=0有异于0的1个或3个实数根，

此时，原方程有2个实数根或4个实数根，故D正确.

故选:ABD.

【点睛】关键点睛：本题的综合性比较强，关键是充分理解函数的一些基本性质概念，适当的时候还要去

数学结合、抽象出一些规律才可顺利求解.

【变式1-2]5(多选I2023上辽宁•高一沈阳市第五十六中学校联考期中)已知函数/⑺=

则下列说法正确的是()

A.函数f。)在(-2,0)U(3,+8)上单调递增

B.若方程/'(X)=(2有3个不等的实根勺,久2，久3，贝11a的取值范围是(0,3)

C.若方程/(%)=。有3个不等的实根%1，%2，%3，则久1+%2+%3的取值范围是(4,6)

D.方程f(f(x))=有4个不等的实根

【答案】BD

【分析】画出函数/(%)的大致图象，结合图象可判断AB;设X]<%2<%3，结合图象可得-2<%!<-1,

且&+巧=6,进而判断C；令f(久)=t(t<4),则/'(t)=£，分0<tW4和t<0两种情况结合图象讨论求

解即可判断D.

(lx-31%>0(-%2+4,x<0

1

【详解】函数/⑴=2=r+3,0<x<3,

(-%2+4,%<0(-3

由图可知，函数f(x)在(-2,0)和(3,+8)上分别单调递增，故A错误；

要使方程=。有3个不等的实根，

则函数y="X)和y=。有3个交点，则0<a<3,

由—/+4=3(无<0),得x=-1,

不^方I殳巧<g<%3'由图可"知，—2<X]<—1,且_刀2+%3=2x3=6,

所以4<%1+x2+x3<5,即+*2+%3的取值范围是(4,5),故C错误；

由图可知，函数/(%)的值域为(-8,4],

由/("X))=/(X),令/(x)=t(t<4),则(⑴=t,

当。<t<4时,|t-3|=t,解得t=|,

由图可知，方程f(%)=|的有个3不等的实根；

当TO时，-产+4=~解得”普1,

由图可知，方程/(%)=3岁的有个1不等的实根，

综上所述，方程/(/(乃)=/(%)有4个不等的实根，故D正确.

故选：BD.

【点睛】方法点睛：方程的根相关问题，常常转化为函数与函数的交点问题，结合图象进行求解.

【变式1-216.(多选)(2023上•吉林长春•高一吉林省实验校考期中)已知函数/(%)=

因裔则下列说法正确的是()

A.当巾<—2,n<—2时，f(m+n)=/(m)+f(n)+8

B.对于V%ie(0,+oo),v%2e(-oo,0),|/(xi)-/(x2)l<3

C.函数y=/(/(%))+a(aeR)可能有6个不同的零点

D.若满足不等式比(/(x)-a)20成立的整数比恰有两个，则整数a的取值有9个

【答案】ACD

【分析】化简/(功的解析式，然后根据最值、零点、不等式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

—3x2+6x,x>0

—3x2+6x,x>0

【详解】/(%)=2%+4,-24%V0

|3x+6|—%—2,x<0z

.-4x—8,%V—2

A选项，当％<-2时,/(x)=-4%-8,

f(m+ri)=-4(m+n)—8=—4m—8+(—4n—8)+8=f(m)+f(n)+8,

所以A选项正确.

B选项，当％>0时，/(x)=-3x2+6%=—3(%—l)2+3,

/(1)=3/(2)=0/(3)=-9,|/(1)-/(3)|=10>3,所以B选项错误.

C选项，令+a=0,得y(/(x))=-a,

画出f(x)的图象如下图所示，

由「咒受=3解得一，由警妻蓝解得%=-i-

由「4；1葭3解得“=

当a=-3时，由/■(;■(>))=3可得/(x)=1或/"(X)=-|或/0)=-y,

由图可知/(%)=1有4个解；/(%)=-弟1个解；/(%)=-个解.

Z4

贝好(/(%))+。=。有6个不同的零点，所以C选项正确.

当%>0时,由％(/(%)-a)20,得/(%)>a,

即U/；6,a①，

当—2<x<0时，x(/(x)—a)=x(2x+4—a)>0z2x+4—a<0,

—2<x<0

x<-2+^®'

当％<—2时,%(/(%)—a)=x(—4x—8—a)>0,—4x—8—a<0,

x<-2

%>上=一2,③，

-44

下面分类讨论a的取值：

当a<-9时，由图可知，不等式组①至少有3个整数解，不符合题意.

当-9<a<0时，不等式组①的整数解是1,2,

此时-1<^<0,0<^<|,

不等式组②三_2+±无解，不等式组③[%2—2-±无解，

所以a=—8,—7,—6,—5,—4,—3,—2,—1时，符合题意.

当a=0时，不等式组①的整数解是1,2.

不等式组②{二芝;°的整数解是-2；不等式组③{:<[:无解，

所以a=0时，不符合题意.

当a=1时，不等式组①的整数解是1,

—2<%V01%V—2

<_3的整数解是-2,不等式组③/>_9无整数解，

{x

所以a=1时，符合题意.

当a=2时，不等式组①的整数解是1,

不等式组②{：式:°的整数解是-2,-],不等式组③，;二:无整数解，

所以a=2时，不符合题意.

当a=3时，不等式组①的整数解是1,

X<_1的整数解是—2,-1,不等式组③1>_ii无整数解,

所以a=3时，不符合题意.

当a=4时，不等式组①无解，

不等式组②{-20的整数解是-2,-1,不等式组③{;<]:的整数解是-3,

所以a=4时，不符合题意.

当a>5时，不等式组①无解，

a5a5

2—2，4-4，

(—2<x<0

不等式组②[x<_2+巴的整数解是一2，-1，

不等式组③W>一2-巴至少有1个整数解一3，

所以a>5时，不符合题意.

综上所述，a的取值可以为-8,-7,-6,-5,-4,-,共9个，所以D选项正确.

故选：ACD

【变式1-2]7.(2023上•重庆•高一四川外国语大学附属外国语学校校考阶段练习)已知定义在R上的函数

f(x)=x2\og+2xlog科+log>0t耐立,

(1)求a的取值范围

(2)判断关于%方程/(/(0)=9x在xe[1,+8)上是否有实根？并证明你的结论.

【答案】Q)0<a<l

(2)没有，证明见解析

【分析】(1)根据对数的运算性质，结合对数函数的单调性进行求解即可；

(2)利用换元法，结合二次函数的单调，性进行求解即可.

2

【详解】(1)/(%)=xlog2誓-2xlog2誓+210g2答>0,

化简，得3/+(x2一2x+2)log2磬>0,

因为/—2x+2=(x-1)2+1>0,所以log?答>恒成立

显然尸念<0，当》=0时等号成立•

所以只要啕2宇>0,即宇>1台用<0,

/ZClzciza

解得*0<(Z<1；

2

(2)令t=log2誓>0,则/(%)=(3+t)x—2tx+2t,

令g(%)=/(%)—3%=(3+t)x2—(2t+3)x+2t,

又该二次函数的对称轴为：X=言<1,得9(%)在口+8)上单调递增，

g(x)>g(l)=t>0,故了(久)>3x>x>1

从而f(7(x))>3/(%)>9x,故/■(/■(»)=9万在［1,+8)无实根.

【点睛】关键点睛：本题的关键是利用换元法，结合对数函数的单调性进行求解.

题型2二次复合型零点个数问题

【例题2】(多选)(2023上•湖北荆州•高一洪湖市第一中学校联考阶段练习)已知函数f(x)=|(j)X-1|,

则下列关于X的方程［〃x)］2-(x)+k=0的命题正确的有()

A.存在实数k，使得方程恰有1个实根

B.不存在实数k，使得方程恰有2个不等的实根

C.存在实数k，使得方程恰有3个不等的实根

D.不存在实数k，使得方程恰有4个不等的实根

【答案】ACD

【分析】令U=f(X),y=g(u)=U2-2ku+fc,利用图象分别研究ke(0,1),k=0,k=l,k<0,k>l

下的根的情况.

【详解】令a=f(x),y=g(u)=u2-2ku+k,

作出函数u=/(x),y=gQ)的图象如图:

g(u)="2—2ku+k—(u-fc)2+k—k2,,

9min(x)=g(k)=k-k2,

当ke(0,1)时，gmin(x)>0,方程gQ)=。无解，即方程g(f(x))=。无解；

当k=0时,g(u)=0,解得a=0,此时/(x)=0恰有一个根，即方程g(/(%))=0恰有一^?•根；

当k-1时,g(a)=0,解得a=1,此时/'(%)=1恰有一^根，即方程g(/(%))=0恰有一^?1根；

当k<0时，g(0)=fc<0,g(l)=l-k>0,g(u)=0有一个根在(0,1)内，另一根在(—8,0)内，此时方

程9(/0))=0恰有两个不等实根；

当k>1时，g(0)=fc>0,g(l)=1-k<0,g(u)=0有一个根在(0,1)内，另一根在(L+8)内，此时方

程g(f(久))=0恰有三个不等实根；

故选:ACD.

【变式2-1]1.(2023上•山东青岛•高一校考阶段练习)已知函数/⑶是定义在(-8,0)u(0,+8)上的偶

—11,0VxW2

工"v_2、V、2,则函数g(久)=8(/(%))2-6/(%)+1的零点个数为.

3八%一乙)，X＞乙

【答案】16

【分析】由9(久)=0可得f(久)=；或/0)=；,由函数f0)是偶函数，结合函数y=f(久)的图象求出x＞。时

Z4

的零点个数即得.

【详解】由g(x)=0,即[2/(%)-1]附⑺-1]=0,得f(x)=?或/■")=2,

Z4

则函数y=g(x)的零点，即函数y=/(久)的图象与直线y=，口y=为勺交点横坐标，

而/'(X)是(-8,0)U(0,+8)上的偶函数，于是只需求出当尤＞。时y=f(x)的图象与直线y=之和y=羊勺交点

个数，

当0<x<2时,/-(%)=\x-1|G[0,1],

当2<xW4,即0<x—2W2时，/(x)=|/(x—2)=如一3|6[0,勺，

当4<xW6,即2<x—2W4时，f(x)=泳x-2)=：比一5|6[0,曰，

当6<%S8,即4<x—2W6时，/(x)="(%-2)=||%-7|6[0,

ZoO

显然当久>6时，0W/(%)<:,作出函数y=/(%)在(0,8]上的图象及直线y=共口y=:,如图，

观察图象知，函数y=/(%)的图象与直线y=1有3个交点，与直线y=:有5个交点，

因此当%＞0时，y=/'(%)的图象与直线y=昔口y=羊勺交点共有8个，

则偶函数y=f(%)在(-8,o)u(0,+8)的图象与直线y=1和y=扣勺交点共有16个，

所以函数9(尤)=8(/(%))2-6/(%)+1的零点个数为16.

故答案为：16

]]g(_|+1%V0

【变式2-1]2.(2023•全国•高一专题练习)已知函数/(%)=nV',则函数y=尸⑺-

3+1，心0

3/(%)+2的零点个数是()

A.6B.5C.4D.3

【答案】C

【分析】将函数y=f2M-3/(x)+2的零点个数转化为方程f(%)=1和f(x)=2根的个数，然后再转化为

函数f(x)与y=l,y=2图象交点个数，最后结合图象判断即可.

【详解】函数y=f2(x)-3f(x)+2=[/(x)-l][/(x)-2]的零点，

即方程fO)=1和/Xx)=2的根，函数.(%)="的图象，如下图所示：

-+1,X>0

由图可得方程f(x)=1和f(无)=2的根，共有4个根，即函数y=2f2(久)—3/0)+1有4个零点.

故选：C.

【变式2-1]3.(2023下•云南红河・高一开远市第一中学校校考阶段练习)已知/⑺=0,则

函数y=3f2(久)一2f(x)的零点个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】由f(x)解析式及指对数的性质分析分段函数的性质，求函数y=0时对应Ax)值，应用数形结合法

判断零点个数.

【详解】由题设，当％<0时f(无)eR且递减，当％>0时f(无)e(0,1)且递减，

令t=/(x),则y=3t2-2t=0,可得"0或1=|,如下图示：

由图知：t=0时有一个零点，t=用寸有两个零点，故共有3个零点.

故选：C

【变式2-1]4.(2023上•新疆乌鲁木齐•高一乌鲁木齐市第二十三中学校考阶段练习)设定义域为R的函数

\x-1|,%>0

/W=13W。,则关于X的函数y=3产⑺-2/⑺的零点个数为

【答案】4

【分析】由y=3/2(x)-2/(%)=0可得出/(x)=|或/"(%)=0,数形结合确定方程f(x)=|、/(%)=。的根

的个数,即可得解.

【详解】由y=3/2(x)-2/(%)=0可得/■(%)=|或f(x)=0,如下图所示：

由图可知，直线y=|与函数/(X)的图象有三个交点，

函数〃X)的图象与无轴只有一个公共点，

因此，关于X的函数y=3/2(x)-2f(%)的零点个数为4.

故答案为：4.

loga(x+1),-1<X<1

【变式2-1]5.(2023下•辽宁•高一校联考阶段练习)已知函数/(%)=Z1V、1,(a>0且

'x>1

a#1)的最小值为-1.

Q)求a的值；

(2)设函数g(x)=6[/(x)]2+m/(x)-m2(m>0),求g(x)零点个数.

【答案】(l)a=5

(2)答案见解析

【分析】(1次>1,/(x)=-在(1，+8)上单调递增所以要使了0)取得最小值-1，则/(%)=loga(x+1)

在(-1,1]上单调递减即loga2=-1,即可得出答案；

(2)由题意可得要求g(x)的零点个数，即求f(x)的图象与两直线y=-”=齐勺交点个数，作出f⑺在

(-1,+8)上的图象，结合图象即可得出答案.

【详解】(1)当％>1时，/(%)=—住y在a,+8)上单调递增，止匕时/•(>)>/(1)=—1无最小值.

要使/'(X)取得最小值-1,贝如0)=loga(x+1)

在(—1,1]上单调递减，所以0<a<1,则】oga2=-1,所以a=1.

(2)令g(x)=0,则6[/(x)]2+mf(x)—m2=0,

解得“切:三或八乃二一三.

要求90)的零点个数，即求/(%)的图象与两直线y=-，y=/的交点个数.

由(1)可作出了(%)在(-1,+8)上的图象，如图所示，

当m=。时，所以/'(X)=0,解得x=0，/■(%)的图象与直线y=0有1个交点；

当m>0时，若一羡〉,即0<小<1时，fO)的图象与两直线y=-y,y-软3个交点；

若—1WW-，即1W皿W2时，/(x)的图象与两直线y=_”=簧2个交点；

若—£<一1,即m>2时,f(x)的图象与两直线y=-y,y=yWl个交点.

综上，当0<m<1时，g(x)有3个零点；当1WtnW2时，g(x)有2个零点；当m>2或m=0时，g(x)有

1个零