2025年高考数学二轮复习：集合与常见逻辑用语（集合常规运算+参数问题+新定义题）（10大考点）原卷版

专题01集合与常见逻辑用语

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考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢

重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺

难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升

提升专练：真题感知+精选专练，全面突破

◊＞题型聚焦------------------------------------------

【考点1］并、交、补集的简单运算

【考点2】根据元素与集合的关系求参数

【考点3］根据集合中元素个数求参数

【考点4】判断两个集合的包含关系

【考点5］根据集合的包含关系求参数

【考点6］根据集合的并、交、补集运算结果求参数

【考点7］集合新定义题

【考点8］充分性与必要性的判断

【考点9］根据充分性与必要性求参数

【考点10］根据命题的真假求参数

G重点专攻-----------------------------------------

知识点1：元素与集合

1元素与集合的关系

(1)属于(belongto)：如果。是集合A的元素，就说。属于A,记作aeA.

(2)不属于(notbelongto)：如果〃不是集合A的元素，就说Z?不属于A,记作

特别说明：。表示一个元素，{。}表示一个集合.它们间的关系为：a^{a}.

2集合元素的三大特性

(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在

这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性.

(2)互异性(考试常考特点，注意检验集合的互异性)：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说,

集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性.

(3)无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质

称为集合元素的无序性.

知识点2：子集

1子集：

一般地，对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合3中的元素，我们就说这两个集合有

包含关系，称集合A为集合3的子集

(1)记法与读法：记作4口3(或读作“A含于8”(或“3包含A”)

(2)性质:

①任何一个集合是它本身的子集，即

②对于集合A,B,C,若4口5,且则

(3)ve〃〃图表示：

2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别

符号“口”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“e”表示元素与集合之间的从属关系.

知识点3：真子集的含义

如果集合A口3,但存在元素尤c6,且尤仁4,我们称集合A是集合5的真子集；

(1)记法与读法：记作AUB,读作“A真包含于B"(或“B真包含A")

(2)性质：

①任何一个集合都不是是它本身的真子集.

②对于集合A,B,C,若AU3,且3UC,则AUC

(3)〃图表示：

知识点4：并集

一般地，由所有属于集合A或属于集合3的元素组成的集合称为集合A与集合3的并集，记作AU8(读

作：A并3).记作：=

并集的性质：A\JB=B\JA,AcAUfi,B^A\JB,AUA=A,AJ0=A.

高频性质：若

图形语言

知识点5：交集

一般地，由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合即由集合A和集合B的相同元素组成的集合,

称为集合A与集合3的交集，记作(读作：A交3).记作：A^B={x\x^A^^B}.

交集的性质：A[}B=B^A,AABcA,A^B^B,AAA=A,AA0=0.

高频性质：若4。3=323口4.

图形语言

知识点6：全集与补集

全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用U表示，

全集包含所有要研究的这些集合.

补集：设。是全集，A是。的一个子集(即A=U),则由U中所有不属于集合A的元素组成的集合，叫

做U中子集A的补集，记作CVA,即CuAnfMxeU为cA}.

补集的性质：A\JCVA^U,AnC0A=0,Cu(CuA)=A.

知识点7：充分条件、必要条件与充要条件的概念

⑴若pnq,则P是4的充分条件，4是P的必要条件；

(2)若。n。且44P,则P是4的充分不必要条件；

(3)若，4q且q=P,则P是4的必要不充分条件；

(4)若poq,则2是4的充要条件；

(5)若，44且44P,则P是4的既不充分也不必要条件.

知识点8：全称量词命题和存在量词命题的否定

1全称量词命题及其否定(高频考点)

①全称量词命题：对M中的任意一个x,有p(x)成立；数学语言：VxeM,p(x).

②全称量词命题的否定：*

2存在量词命题及其否定(高频考点)

①存在量词命题：存在M中的元素x,有p（x）成立；数学语言：3x^M,p（x）.

②存在量词命题的否定：

6提升专练------------------------------------------

»题型归纳

【考点11并、交、补集的简单运算

1.（2024•北京•高考真题）已知集合/="|-3<^<1},N={x|-lVx<4},则（）

A.{x|-l<x<l}B.{中>一3}

C.{x[—3<xv4}D.{x|x<4}

2.（2024•全国•高考真题（甲卷文））若集合A={1,2,3,4,5,9},B={X|X+1GA},则人口5=（）

A.{1,3,4}B.{2,3,4}C.{1,2,3,4}D.{0,1,2,3,4,9}

3.（2024•全国•高考真题（甲卷理））已知集合4={1,2,3,4,5,9},8=卜|«©4},则肌4八3）=（）

A.{1,4,9}B.{3,4,9}C.{1,2,3}D.{2,3,5}

4.（2024•全国•高考真题（新课标I卷））已知集合4=何-5<三<5},8={_3,-1,0,2,3},则AAB=（）

A.{-1,0}B.{2,3}C.{一3,-1,0}D.{-1,0,2）

【考点2]根据元素与集合的关系求参数

1.（2024•广东河源•模拟预测）已知集合4=同尤>a},8=何必-依-3>0},若leA且"'3,则。的

取值范围是（）

A.B.（—2,1）C.[—2,+oo）D.（—8,1）

2.（2024•北京•三模）已知集合&={邓!次<1},若则。可能是（）

1

A.-B.1C.2D.3

e

3.（多选）（2024河南模拟预测）已知{。,6}={1,2,3},.力）€{（尤,刈、=*+1},则2。"的值可以为（）

A.2B.64C.256D.1024

4.（2024•上海宝山•二模）已知集合4={2仙+1],。+3},且leA,则实数。的值为.

【考点3]根据集合中元素个数求参数

1.（2024•全国•模拟预测）已知集合4={—5,—1,1,5},B={x\a<x<a+3],若AcB中有2个元素，则实

数。的取值范围是（）

A.（-2,-1）B.[—2,-1]C.（—2,2]D.[―5,—1）

2.（2024•陕西宝鸡•一模）若集合A={xeR“-2x+l=0}中只有一个元素，则实数。=（）

A.1B.0C.2D.0或1

3.（2024•全国•模拟预测）已知集合时={-2,-1,0,1},N={x\a-3<x<\\,若McN中有2个元素，则实

数。的取值范围是.

【考点4】判断两个集合的包含关系

1.（2024•宁夏•模拟预测）设集合M={x|x=4〃+l,〃eZ},N={x|x=3〃+l,〃eZ},P={x|x=12〃+l,〃eZ},

则（）

A.MPB.NP

C.McNjPD.MCN=0

2.（2024•江西•一模）已知集合A=3=C=j«|^Gzj,则（）

A.AcBCB.BUC=AC.CAcBD.BcCAnB

3.（2024•湖北•模拟预测）已知集合=；+==（+<〃ez],则下列表述正确的

是（）

A.McN=0B.M\JN=RC.M三ND.NyM

【考点5]根据集合的包含关系求参数

1.（2024•北京朝阳•模拟预测）已知集合。={1,2,3,4},若集合A、5满足：A^B^Uf则集合对（A可共

有（）个.

A.36B.48C.64D.81

2.（2024•河南•模拟预测）已知集合A=[x\l<x<2},B={疝<x<矶，若BqA,则实数〃的取值范围是（）

A.（2,+oo）B.（1,2]C.（-00,2]D.[2,+oo）

3.（2024•江西新余•模拟预测）已知集合4={%|%2—6犬+840},B={y\y>a}9若则。的取值范

围是（）.

A.（一与2）B.（一8,4）C.（一2]D.（一。,4]

4.（2024•河南•模拟预测）已知集合A={a,|d},B={x|%2—3%—4K0},若八A,则实数。的取值范围

是（）

A.[—1,1]B.（—1,0）C.[—1,0]D.[—1,0）

【考点6]根据集合的并、交、补集运算结果求参数

1.（2024•陕西商洛•一模）已知集合4={1|一2<1<5},8={%|2。一1<%<2〃+6},若Ac5={x|3vxv5},

则。=（）

A.1B.2D.4

2.（2024•河南•模拟预测）已知集合^={加吗（尤一1）<，科3={小2-10彳+920},且MUN=R,则实

数加的最小值为（）

A.2B.3C.4D.5

3.（2024•福建•模拟预测）设集合A={小>5},3=卜卜2-（4+1口+〃<0},若人口3=0,则a的取值范围

为（）

A.（-00,5]B.[5,+GO）C.（-00,5）D.（5,+8）

4.（2024•广东韶关•一模）已知集合4={-2,0,2,。},8=卜氏-1归3},4门3=4,写出满足条件的整数。的

一个值________.

5.（2024•安徽•模拟预测）已知A={尤|lg尤<1},尸=卜卜-心〃?},若（趣4）U（㈤，则加的取值范围为.

【考点7]集合新定义题

1.（24-25高一上•上海杨浦•开学考试）已知集合A为非空数集，对于集合A,定义对A中任意两个不同

元素相加得到一个绝对值，将这些绝对值重新组成一个新的集合，对于这一过程，我们定义为“自相加”，

重新组成的集合叫做“集合A的1次自相加集合"，再次进行"一1次"自相加”操作，组成的集合叫做“集合A

的“次自相加集合”，若集合A的任意左次自相加集合都不相等，则称集合A为“完美自相加集合"，同理,

我们可以定义出"A的1次自相减集合"，集合A的1次自相加集合和1次自相减集合分别可表示为：

A+={九|兀=|。+目,久人wA},/T={尤|x=\a-b\,a,bG.

⑴已知有两个集合，集合3={1,2,3,4},集合C={Z：M=2〃+l,〃eZ},判断集合5和集合C是否是完美自

相加集合并说明理由；

（2）对（1）中的集合5进行11次自相加操作后，求：集合5的11次自相加集合的元素个数；

（3）若0<〃<2024且“eN,集合A={H〃<X<2024,XCN},A+CA=0,求：”的最小值.

2.（2025•江苏南通•一模）已知有限集4={4。2,…，a”}（"N2,〃eN）,若％+a?+…+。“=%乂出x…xa“，则

称A为"完全集”.

⑴判断集合卜1，-忘，忘T，2&+2}是否为“完全集〃，并说明理由；

（2）若A为“完全集"，且A=N*,用列举法表示集合A（不需要说明理由）；

⑶若集合｛。,印为"完全集”，且。力均大于0,证明：。泊中至少有一个大于2.

3.（2024•安徽马鞍山•三模汨知S是全体复数集C的一个非空子集,如果Vx,yeS,总有x+y,x-y,yeS,

Y

则称s是数环.设厂是数环，如果①尸内含有一个非零复数；②/且y*0,有7仁尸，则称尸是

数域.由定义知有理数集Q是数域.

⑴求元素个数最小的数环S;

（2）证明：记Q（道）=｛。+技|a,6eQ｝,证明：0（道）是数域；

⑶若大，歹2是数域，判断4UF?是否是数域，请说明理由.

4.（2024•全国•模拟预测）已知有序数对X:与毛｝，有序数对丫：｛%，%，%｝，定义"。变换"：乂=归-百，

%=民-幻，％=|演-可|，可以将有序数对X转化为有序数对F.

⑴对于有序数对X:｛3,4,5｝,不断进行“。变换”，能得到有序数对｛0,0,0｝吗？请说明理由.

（2）设有序数对X:｛&9,不｝经过一次"。变换”得到有序数对Y-.｛y,2,x｝（x>y）,且有序数对y的三项之和为

2024,求上的值.

⑶在（2）的条件下，若有序数对y经过〃次"。变换”得到的有序数对的三项之和最小，求〃的最小值.

【考点8］充分性与必要性的判断

1.（2024•山东威海•一模）已知命题命题4：mxeR,++2依+1V0,则P成立是F成立的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.（2024•浙江台州•一模）已知集合4={#2+2%<3},8={无旷+%<3},则“尤eA"是"xe3"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.（2024•河南•模拟预测）若〃>0力>0,则使a+bV4成立的一个充分不必要条件为（）

A.-+-<1B.^+—>4C.a2+b2<8D.-+->4

ababab

【考点9]根据充分性与必要性求参数

1.（2024•湖北黄冈•一模）已知集合4=卜|1082》<〃?}，8=卜1三|411,若“尤eA"是"xe的充分不必

要条件，则实数机的取值范围是.

2.（2024•山西•模拟预测）已知集合4={刈2犬-5区3},B={%|%2-+（2m+l）（2/n-1）<0）.

（1）若。:xeA,q”B,且P是4的必要不充分条件，求加的取值范围；

3.（2024•四川遂宁•模拟预测）已知集合4=N“+14犬<2。+1},函数y=1（^-3彳-10）的定义域为反

（1）若集合4B=C,求集合C；

（2）在（1）条件下，若。=3,求AUC；

（3）在（1）条件下，若"xeA”是"xeC”充分不必要条件，求实数”的取值范围.

4.（23-24高一上•辽宁•阶段练习）已知集合4=印-24尸1<5}、B={x\m+l<x<2m-l]（meR）.

⑴若=求实数加的取值范围；

（2）设命题P：xeA；命题4：x&B,若命题P是命题4的必要不充分条件，求实数机的取值范围.

【考点10]根据命题的真假求参数

1.（2024•河南•模拟预测）已知命题JxeR,/-7加+根<0”是假命题，则实数m的取值范围为（）

A.[0,4]B.（0,4）C.[0,2]D.（0,2）

2.（2024・四川凉山•二模）已知命题“VxeR,sin?（兀+x）+2cosx+mW0"是假命题，则的取值范围为（）

A.[-2,+oo）B.（-2,+00）C.（—00,-1）D.（―℃,—2]

3.（2024•上海长宁•一模）若“存在x>0,使得/+6+1<0”是假命题，则实数〃的取值范围.

4.（23-24高三上•安徽铜陵•阶段练习）若命题“*w[-1,2],使得尤2+“一相一520”是假命题，则的取

值范围是.

»过关检测

一、单选题

1.（2024•天津•高考真题）集合4=也2,3,4},4={2,3,4,5},则An8=（）

A.{1,2,3,4}B.{2,3,4}C.{2,4}D.{1}

2.（2024•全国•高考真题）已知命题p：VxeR,|X+1|>1；命题g：Rx>0,%3=x,则（）

A.。和g都是真命题B.T7和g都是真命题

C.p和F都是真命题D.T7和F都是真命题

3.（2024•宁夏吴忠•一模）已知集合A=Wy=Jx_2},B=x2-4x+3<0j,贝1|AU3=（）

A.{x|2<x<3}B.{x|x>2}

C.{x|x41,或无22}D.{x|x>l}

4.（2024•福建•三模）已知集合4={小2-203<0},2={x|y=G斤},贝（j&B）cA=（）

A.[—1/]B.[—1,1）C.[—3,1]D.[—3,1）

5.（2024•山东威海•一模）已知集合A=卜卜=71二百},B={y|j=2t+1},贝！）（<可13=（）

A.0B.[-1,1]C.[l,+oo）D.（1,+<»）

6.（2024•河北石家庄•模拟预测）设集合A={xeR|”x<5},3={尤eR|炉一3尤-4<o},贝！j4n3=（）

A.（-1,1]B.（-1,4）C.[1,4）D.[1,5）

7.（2024•陕西榆林•模拟预测）"x<L，是"0<x<l"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.既不充分也不必要条件D.充要条件

8.（2024•吉林长春•模拟预测）设”,8wR,则使">人成立的一个充分不必要条件是（）

A.a3>b3B.lg（a-Z?）>0

C.a2>b2D.\a\>b

2

9.（24-25高一上•江苏南京•阶段练习）已知命题。:Bxe[0,3],6/=—X+2x:命题4:VJVG[-+办—84O.

若p为假命题，q为真命题，则实数〃的取值范围为（）

A.[-3,1]B.（-w,2]

C.[―7,—3）|J（L2]D.（-<»,—3）|J（1,2]

10.（2024•全国•模拟预测）设集合A={x324},8={x|2x<a},若AU3=A，则a的取值范围是（）

A.（-oo,-4]B.

C.[l,+oo）D.[4,+oo）

11.（2025•全国•模拟预测）已知：哥德巴赫猜想认为任一大于2的偶数都可写成两个质数之和.定义尸为

全体素数的集合，那么以下形式化命题中和哥德巴赫猜想不等价的是（）

A.6Nn[2,+oo）,VP]e尸，Vp?eP,R+p2H2no

B.{口+02历wRp?€尸}卫{2"〃wNc[2,+oo）}

D.N,2“zV2或Pc{2m-p|peP}W0

二、多选题

12.（2024•吉林长春•模拟预测）对于集合A,若VxwA,2-xeA,则称A为对偶互存集，则下列为对偶互

存集的是（）

A.{-1,0,1,2,3}B.{x|x=2A-l,AwZ}

13.（24-25高一上•广西南宁•阶段练习）下列说法正确的是（）

A.上是的充分不必要条件

B.AQB=0.是A=0的必要不充分条件

C.若a,b,ceR,贝Vac?>儿2"的充要条件是“a>bff

D.若。，6eR,贝！Pd十〃/0”是“同+同―。，，的充要条件

14.（2024•新疆乌鲁木齐•三模）S={x||R<l},运算“㊉"为。㊉匕=含尚，则（）

A.(―a)㊉a=0B.a®b=b®a

C.（a㊉力㊉c=a㊉3㊉c）D.若a,bsS,贝（）a㊉bcS

三、填空题

15.（2022•福建宁德•模拟预测）已知命题P：2Vx<3,命题q:|2x-a|<2,若命题F是命题R的充分不

必要条件，则实数a的取