2025年高考数学二轮复习：集合与常见逻辑用语（集合常规运算+参数问题+新定义题）（10大考点）解析版

专题01集合与常见逻辑用语

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考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢

重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺

难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升

提升专练：真题感知+精选专练，全面突破

◊＞题型聚焦------------------------------------------

【考点1］并、交、补集的简单运算

【考点2】根据元素与集合的关系求参数

【考点3］根据集合中元素个数求参数

【考点4】判断两个集合的包含关系

【考点5］根据集合的包含关系求参数

【考点6］根据集合的并、交、补集运算结果求参数

【考点7］集合新定义题

【考点8］充分性与必要性的判断

【考点9］根据充分性与必要性求参数

【考点10］根据命题的真假求参数

G重点专攻-----------------------------------------

知识点1：元素与集合

1元素与集合的关系

(1)属于(belongto)：如果。是集合A的元素，就说。属于A,记作aeA.

(2)不属于(notbelongto)：如果〃不是集合A的元素，就说Z?不属于A,记作

特别说明：。表示一个元素，{。}表示一个集合.它们间的关系为：a^{a}.

2集合元素的三大特性

(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在

这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性.

(2)互异性(考试常考特点，注意检验集合的互异性)：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说,

集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性.

(3)无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质

称为集合元素的无序性.

知识点2：子集

1子集：

一般地，对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合3中的元素，我们就说这两个集合有

包含关系，称集合A为集合3的子集

(1)记法与读法：记作4口3(或读作“A含于8”(或“3包含A”)

(2)性质:

①任何一个集合是它本身的子集，即

②对于集合A,B,C,若4口5,且则

(3)ve〃〃图表示：

2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别

符号“口”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“e”表示元素与集合之间的从属关系.

知识点3：真子集的含义

如果集合A口3,但存在元素尤c6,且尤仁4,我们称集合A是集合5的真子集；

(1)记法与读法：记作AUB,读作“A真包含于B"(或“B真包含A")

(2)性质：

①任何一个集合都不是是它本身的真子集.

②对于集合A,B,C,若AU3,且3UC,则AUC

(3)〃图表示：

知识点4：并集

一般地，由所有属于集合A或属于集合3的元素组成的集合称为集合A与集合3的并集，记作AU8(读

作：A并3).记作：=

并集的性质：A\JB=B\JA,AcAUfi,B^A\JB,AUA=A,AJ0=A.

高频性质：若

图形语言

知识点5：交集

一般地，由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合即由集合A和集合B的相同元素组成的集合,

称为集合A与集合3的交集，记作(读作：A交3).记作：A^B={x\x^A^^B}.

交集的性质：A[}B=B^A,AABcA,A^B^B,AAA=A,AA0=0.

高频性质：若4。3=323口4.

图形语言

知识点6：全集与补集

全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用U表示，

全集包含所有要研究的这些集合.

补集：设。是全集，A是。的一个子集(即A=U),则由U中所有不属于集合A的元素组成的集合，叫

做U中子集A的补集，记作CVA,即CuAnfMxeU为cA}.

补集的性质：A\JCVA^U,AnC0A=0,Cu(CuA)=A.

知识点7：充分条件、必要条件与充要条件的概念

⑴若pnq,则P是4的充分条件，4是P的必要条件；

(2)若。n。且44P,则P是4的充分不必要条件；

(3)若，4q且q=P,则P是4的必要不充分条件；

(4)若poq,则2是4的充要条件；

(5)若，44且44P,则P是4的既不充分也不必要条件.

知识点8：全称量词命题和存在量词命题的否定

1全称量词命题及其否定(高频考点)

①全称量词命题：对M中的任意一个x,有p(x)成立；数学语言：VxeM,p(x).

②全称量词命题的否定：*

2存在量词命题及其否定(高频考点)

①存在量词命题：存在M中的元素x,有p(x)成立；数学语言：3x^M,p(x).

②存在量词命题的否定：

◊》提升专练

»题型归纳

【考点11并、交、补集的简单运算

1.(2024•北京•高考真题)已知集合/="|-3<^<1},N={x|-lVx<4},则()

A.B.{尤|x>-3}

C.{x|-3<x<4}D.{尤|无<4}

【答案】C

【知识点】并集的概念及运算

【分析】直接根据并集含义即可得到答案.

【详解】由题意得MuN={x|—3<x<4}.

故选：C.

2.(2024•全国•高考真题(甲卷文))若集合A={1,2,3,4,5,9},B={x\x+1^A\,则40台=()

A.{1,3,4}B.{2,3,4}C.{1,2,3,4}D.{0,1,2,3,4,9}

【答案】C

【知识点】交集的概念及运算

【分析】根据集合8的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.

【详解】依题意得，对于集合3中的元素x,满足x+l=l,2,3,4,5,9,

贝！Jx可能的取值为0,1,2,3,4,8,即3={0,1,2,3,4,8},

于是Ac8={1,2,3,4}.

故选：C

3.(2024•全国•高考真题(甲卷理))已知集合4={1,2,3,4,5,9},3=卜|右€4},则a(Ac3)=()

A.{1,4,9}B.{3,4,9}C.{1,2,3}D.{2,3,5}

【答案】D

【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算

【分析】由集合3的定义求出3,结合交集与补集运算即可求解.

【详解】因为4={1,2,3,4,5,9},8=同«€",所以3={1,4,9」6,25,81},

则A「3={1,4,9},8.(AQB)={2,3,5)

故选:D

4.（2024•全国•高考真题（新课标I卷））已知集合4={削-5<三<5},3={-3,-1,0,2,3},则（）

A.{-1,0}B.{2,3}C.{-3,-1,0）D.{-1,0,2）

【答案】A

【知识点】交集的概念及运算、由基函数的单调性解不等式

【分析】化简集合A,由交集的概念即可得解.

【详解】因为A={x|-为<%<正},3={-3,-1,0,2,3},且注意到1〈为<2,

从而4。3={-1,0}.

故选：A.

【考点2]根据元素与集合的关系求参数

1.（2024•广东河源模拟预测）已知集合A={N尤>“},B={x\x2-ax-3>0},若leA且“'8,则a的

取值范围是（）

A.[-2,1）B.（-2,1）C.[-2,+oo）D.（-8,1）

【答案】A

【知识点】根据元素与集合的关系求参数、解不含参数的一元一次不等式

【分析】由元素与集合的关系列出不等式组，解之即得.

【详解】因为leA且所以[][][。，解得-2<”1.

故选：A.

2.（2024•北京•三模）已知集合4={他次<1},若。eA,贝！j。可能是（）

1

A.-B.1C.2D.3

e

【答案】D

【知识点】根据元素与集合的关系求参数、补集的概念及运算、由对数函数的单调性解不等式

【分析】解对数不等式化简集合A,进而求出〃的取值集合即得.

【详解】由Inx<l,得o<x<e,则A={x[0<x<e},\A={x|xW0或2e},

由aeA,得awaA,显然选项ABC不满足，D满足.

故选：D

3.（多选）（202牛河南模拟预测）已知{。,6}={1,2,3},.力）€{（尤,刈、=*+1},则2）的值可以为（）

A.2B.64C.256D.1024

【答案】AC

【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据元素与集合的关系求参数

【分析】分别计算出4=1、4=2、4=3时的6的值，判断此时是否满足片{1,2,3},再计算2。”即可得解.

【详解】当0=1时，由(a/)e{(尤,y)|y=x+l}得6=2,满足亦{1,2,3},所以2""=2=2;

当4=2时，由(a,b)e{(x,y)|y=x+l}得b=3,满足be{l,2,3},所以2",=28=256;

当a=3时，由(a/)w{(x,y)l丫=尤+1}得6=4,不满足be{l,2,3}；

综上，则2『=2或256.

故选：AC.

4.(2024・上海宝山•二模)已知集合4={2,|〃+1|,。+3},且leA,则实数。的值为.

【答案】0

【知识点】根据元素与集合的关系求参数

【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系，结合集合元素的性质求解即得.

【详解】由集合A={2,|a+l|,a+3},KleA,得|a+l|=1或a+3=l,解得a=0或a=—2,

当a=0时，A={2,1,3},符合题意，

当。=-2时，且。+3=1,与集合元素的互异性矛盾，

所以实数。的值为0.

故答案为：0

【考点3]根据集合中元素个数求参数

1.(2024•全国•模拟预测)已知集合人={—5,—1,1,5},B={x\a<x<a+3\,若AcN中有2个元素，则实

数。的取值范围是()

A.(-2,-1)B.[-2,-1]C.(—2,2]D.[一5,—1)

【答案】A

【知识点】根据集合中元素的个数求参数、根据交集结果求集合或参数

【分析】根据两集合的元素特征和中只有2个元素的要求，可得到关于。的不等式组，解之即得.

【详解】因为2={彳,v%va+3}9a+3-a=3,

又A={-5,—中有2个元素，

1—5«av—1

所以中的2个元素只能是-1,1,则1解得-2<a<—l.

[\<a+3<5

故选：A.

2.(2024•陕西宝鸡•一模)若集合4={尤/辰2-2x+l=0}中只有一个元素，则实数。=()

A.1B.0C.2D.0或1

【答案】D

【知识点】根据集合中元素的个数求参数

【分析】分类讨论，确定方程有一解时满足的条件求解.

【详解】当。=0时，由*―2工+1=0可得尤=5,满足题意；

当。力0时，由加-2x+l=0只有一个根需满足A=（一2）2-4。=0,

解得a=l.

综上，实数。的取值为。或1.

故选：D

3.（2024•全国•模拟预测）已知集合用={-2,-1,0,1},N={x|"3<x<l},若McN中有2个元素，则实

数。的取值范围是.

【答案】［L2）

【知识点】根据集合中元素的个数求参数、根据交集结果求集合或参数、交集的概念及运算

【分析】根据交集的运算及集合中的元素的个数，列不等式求解即可.

【详解】因为M={-2,-1,0,1},N={x}a-3<x<l},若McN中有2个元素，

所以A/CN={-1,0},所以-2Va-3<-l,解得lVa<2,

则实数a的取值范围是［1,2）.

故答案为：［1,2）.

【考点4】判断两个集合的包含关系

1.（2024•宁夏•模拟预测）设集合M={x|x=4〃+l,〃eZ},N={x|x=3〃+l,"eZ},P={x|x=12〃+l,〃eZ},

则（）

A.MPB.NP

C.McN=PD.McN=0

【答案】C

【知识点】交集的概念及运算、判断两个集合的包含关系

【分析】根据集合的交集运算与集合的包含关系判断.

【详解】由题意5eM,5eP,A错；4cN,4eP,B错；

M^\N={x\x=12n+l,neZ］^0,D错，C正确.

故选：C.

2.（2024•江西•一模）已知集合A=3=C=j«|^Gzj,则（）

A.AcBCB.B|JC=AC.CAcBD.BcCAcB

【答案】A

【知识点】判断两个集合的包含关系、交集的概念及运算、并集的概念及运算

【分析】根据题意，将集合A,民C用整倍数形式表示，分别求出Ac3和3cC,利用集合的元素特征即可

判断A正确；C错误；D错误；对于B,只需要举反例排除即可.

【详解】依题意，A={n|n=3k,keZ],B={n\n=4k,keZ],C={”〃=6左，）eZ},

则ACB={T〃=12太上eZ},易知12的倍数一定是6的倍数，故A正确，C错误；

因BcC={"|”=12左左eZ},即BnC=AnB,故D错误；

对于B项，任取3eA,因3任氏3eC,则3eBuC,故B错误.

故选：A.

3.（2024・湖北•模拟预测）已知集合"=[x卜=]+；,"eZ，,N=[x%；wezj,则下列表述正确的

是（）

A.McN=0B.M|JN=RC.MJND.N三M

【答案】c

【知识点】判断两个集合的包含关系

【分析】集合M表示正奇数除以4,集合N表示整数除以4,据此可以判断两个集合的关系.

【详解】"=卜卜=表示是的含义是正奇数除以4,

N={尤卜=（,wez1表示的含义是整数除以4,

所以M=

故选：C.

【考点5]根据集合的包含关系求参数

1.（2024•北京朝阳•模拟预测）已知集合。={1,2,3,4},若集合4、B满足：A^B^U,则集合对（A,3）共

有（）个.

A.36B.48C.64D.81

【答案】D

【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、组合数的计算

[分析]利用子集的意义分类讨论可求得集合对（AB）的个数.

【详解】因为3=。，。={1,2,3,4},

当3=0时，又4屋3,故A=0,

当集合3中有一个元素时，又A=3,这样的集合对有C；x21=8,

当集合2中有两个元素时，又这样的集合对有C：x2?=24,

当集合3中有三个元素时，又4=8,这样的集合对有C：x23=32,

当集合B中有四个元素时，又A=这样的集合对有C：x2"=16,

所以集合对（AB）共有16+32+24+8+1=81.

故选：D.

2.（2024•河南•模拟预测）已知集合4={疝<x<2},B={疝<尤<矶，若3=则实数〃的取值范围是（）

A.（2,+oo）B.（1,2]C.（-00,2]D.[2,+oo）

【答案】C

【知识点】根据集合的包含关系求参数

【分析】由集合的包含关系，对集合3是否是空集分类讨论即可求解.

【详解】集合4={疝<尤<2},3={疝<工<矶，若B=A,

则若aWl,则3=0aA满足题意；

若a>l,且3=4,则l<aW2,

综上所述，实数。的取值范围是（―,2].

故选：C

3.（2024•江西新余•模拟预测）已知集合4=卜|尤2-6》+840},B=[y\y>a\,若A=3,则〃的取值范

围是（）.

A.（-<»,2）B.（-<»,4）C.（-oo,2]D.

【答案】A

【知识点】根据集合的包含关系求参数、解不含参数的一元二次不等式

【分析】利用集合之间的包含关系求解即可.

[详解]A={X|X2-6X+8<0}={X|2<X<4},B=[y\y>a],

A^B,故a<2.

故选：A.

4.（2024•河南•模拟预测）已知集合4={0,同},3=何必-3X-4V0},若则实数“的取值范围

是（）

A.[—1,1]B.（—1,0）C.[—1,0]D.[—1,0）

【答案】D

【知识点】解不含参数的一元二次不等式、根据集合的包含关系求参数

【分析】先化简集合A8及。的满足的条件，再根据AQ8=A列出不等式组求解即可.

【详解】由/-3工-4<0得-1

由A={a,|a|}知口中时，所以a<0,A=[a,-a}

又403=4,则A=

f—1Wa<4「口「、

所以解得，e[T』，故

故选：D.

【考点6]根据集合的并、交、补集运算结果求参数

1.(2024•陕西商洛•一模)已知集合4={4-2＜犬＜5},5={32。-1〈尤＜2a+6},若Ac2={x|3＜x＜5},

则。=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【知识点】根据交集结果求集合或参数

【分析】由Ac8={x|3＜元＜5},分析集合A3的端点值，知2a-1=3,求解即可

【详解】由题意可得2a-1=3,解得a=2.

故选:B.

2.(2024•河南•模拟预测)已知集合”={邓08式＞1)＜小}川={小2_10、+9±0},且”UN=R,则实

数加的最小值为()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【知识点】根据并集结果求集合或参数、由对数函数的单调性解不等式

【分析】根据对数函数单调性以及一元二次不等式解法求得集合M，N,再由并集结果可得实数加的最小值.

【详解】解不等式log?(x—1)可得BPM={^|l＜x＜2m+l),

解不等式尤2—10X+9N0可得N={x|x»9或xWl}；

当M|JN=R时可得2"+129,解得加23.

因此实数机的最小值为3.

故选:B

3.(202牛福建・模拟预测)设集合4={小＞5},8=卜|尤2-(°+1)X+4＜()},若4口3=0,则。的取值范围

为()

A.(-＜»,5]B.[5,+oo)C.(一*5)D.(5,+8)

【答案】A

【知识点】根据交集结果求集合或参数

【分析】先将％2一(〃+1)%+〃＜0因式分解，然后解不等式/一(a+1)%+〃＜。，禾!J用％2—(a+l)x+〃=0两个

根的关系分类讨论，求出，的取值范围即可.

【详解】由题可知，f-(〃+1)%+〃＜0=＞卜-4)(%-1)＜。

当a=l时，(％—〃)(X—1)＜0无解，得3=0,此时AC5=0；

当avl时，解＜0,得avxvl,此时3=(a,l),AC|B=0；

当时，解得lv尤va,此时5=(l,a),要使4门3=0,贝！JlvaW5；

综上所述，a＜5.

故选：A

4.（2024•广东韶关•一模）已知集合4={-2,0,2,。},3=同尤-1归3},4门5=4,写出满足条件的整数。的

一个值________.

【答案】-M34中的任何一个值.

【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、公式法解绝对值不等式

【分析】根据集合的包含关系，结合绝对值不等式的求解，即可求得

【详解】因为An8=A,所以入口3,又因为B={x|x—lg3}={x|—24x44},

故整数a所有可能取值为-1,1,3,4.

故答案为：-LL3,4中的任何一个值.

5.（2024•安徽•模拟预测）已知A={x|lgx＜l},尸=卜k-1|”?},若（颍1）口涉），则机的取值范围为.

【答案】（-8,1）

【知识点】补集的概念及运算、根据集合的包含关系求参数

【分析】由（鼬）=（R8）,可得3=4,然后分集合8=0和3H0进行分类讨论.

【详解】由题意知，4=（0,10）,

由（飒）口渡），可得814,

若相＜0,则5=0,符合题意.

当机20时，B=,要使

则＜1n，解得m＜1,因此04根＜1,

综上，，"的取值范围为（—0）,1）.

故答案为：（-00,1）.

【考点7］集合新定义题

1.（24-25高一上•上海杨浦•开学考试）已知集合A为非空数集，对于集合4,定义对A中任意两个不同

元素相加得到一个绝对值，将这些绝对值重新组成一个新的集合，对于这一过程，我们定义为“自相加”，

重新组成的集合叫做“集合A的1次自相加集合"，再次进行n-l次“自相加”操作，组成的集合叫做“集合A

的“次自相加集合”，若集合A的任意左次自相加集合都不相等，则称集合A为“完美自相加集合"，同理,

我们可以定义出"A的1次自相减集合"，集合A的1次自相加集合和1次自相减集合分别可表示为：

&+={x|x=\a+b\,a^b&,A~=^x|x=\a—l^,a,b&.

⑴已知有两个集合，集合8={1,2,3,4},集合C=kk=2〃+l,〃eZ},判断集合5和集合C是否是完美自

相加集合并说明理由；

⑵对（1）中的集合8进行11次自相加操作后，求：集合3的11次自相加集合的元素个数；

(3)若0<〃<2024且“eN,集合A={H〃<x<2024,xeN},A+nA-=0,求：〃的最小值.

【答案】(1)8是完美自相加集合，C不是完美自相加集合；

(2)2051

(3)675

【知识点】集合新定义

【分析】(D利用自相加的概念找到一般规律计算即可；

(2)连续的的正整数，自相加后，形成的新的集合元素必然是连续的正整数，且得到集合的最小值必然是

原来集合的两个最小元素值之和，得到的最大值为原来集合的两个最大元素值之和，所以只需要计算进行

十一次自相加后集合的最大值和最小值即可，计算元素个数；

(3)由第二问的结论，我们很容易得至！|A+={x|2"+lWxW4047,xeN},={地<2024-N},然后

利用集合计算公式计算参数范围即可.

【详解】(DB是完美自相加集合,C不是完美自相加集合理由如下：

集合8={1,2,3,4}n3+={3,4,5,6,7}，由此可知集合自相加后，

新的集合的元素中最小的元素为自相加之前的集合中的最小两个元素之和，

所以显然集合B={1,2,3,4}的最小两个元素为1,2,所以2+的最小元素为1+2=3……

对集合B={1,2,3,4}进行任意次自相加操作后，最小值在变大，

故不可能有相等集合，所以3是完美自相加集合；

集合C={k\k=2〃+1,〃eZ}表示所以奇数构成的集合，任何两个奇数相加都是偶数，

所以C+={碌=2〃,〃eZ},为所有偶数构成集合；

所以对C+={左％=2〃,〃eZ}再进行一次自相加操作，所有偶数相加还是会是所有偶数，

故后面集合不管进行多少次相加都是与C+={印=2",〃eZ}相同；

故C不是完美自相加集合；

(2)由自相加性质可知，对于集合3={1,2,3,4},进行一次自相加，

得到集合的最小值必然是原来集合的两个最小元素值之和，

得到的最大值为原来集合的两个最大元素值之和，且中间必然是连续的整数元素；

所以对集合B={1,2,3,4}进行一次自相加之后，

得到的集合最小两个元素为3,4,最大的两个元素为6,7；

进行第二次自相加，得到的集合最小两个元素为7,8,最大的两个元素为12,13；

进行第三次自相加，得到的集合最小两个元素为15,16,最大的两个元素为24,25；

进行第四次自相加，得到的集合最小两个元素为3L32,最大的两个元素为18,49；

进行第五次自相加，得到的集合最小两个元素为63,64,最大的两个元素为96,97；

进行第六次自相加,得到的集合最小两个元素为127,128,最大的两个元素为192,193；

进行第七次自相加,得到的集合最小两个元素为255,256,最大的两个元素为384,385；

进行第八次自相加，得到的集合最小两个元素为511,512,最大的两个元素为768,769；

进行第九次自相加，得到的集合最小两个元素为1。23,1024,最大的两个元素为1536,1537；

进行第十次自相加，得到的集合最小两个元素为2047,2048,最大的两个元素为3072,3073；

进行第十一次自相加，得到的集合最小两个元素为4095,4096,最大的两个元素为6144,6145；

因为集合元素都是连续的整数，

所以集合2进行11次自相加操作后的元素个数为6145-4095+1=2051；

（3）因为0<〃<2024且〃eN,集合A=｛Tn<x<2024,xeN｝,

所以A+=｛x|2n+l<x<4047,xGN｝,A'=<x<2024-n,xeN1,

要使A+cA-=0

贝!|2〃+l>2024-〃nw>—--,又因为weN

故〃的最小值为675.

【点睛】关键点点睛：此题为新概念题，只需理解概念，解决问题即可，不是特别理解的，可以多列举一

些例子，可找到规律.

2.（2025•江苏南通•一模）已知有限集/1=■%,…,4｝（心2,〃eN）,若％+%+.•.+%=/x/x...x%,则

称A为"完全集".

⑴判断集合｛-1,-^2,72-1,272+2）是否为“完全集”，并说明理由；

（2）若A为“完全集"，且A=N*,用列举法表示集合A（不需要说明理由）；

（3）若集合｛〃,印为"完全集"，且。力均大于0,证明：〃）中至少有一个大于2.

【答案】⑴卜1,-血,血-1,2/+2｝是"完全集"，理由见解析；

（2）｛123｝；

⑶证明见解析；

【知识点】集合新定义

【分析】（1）由"完全集”的定义判断即可；

（2）设4<%<••<4,得到…分类讨论求解即可.

（3）由“完全集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质进行求解即可；

【详解】（1）集合卜1,-3,&-1,2&+2卜由完全集的定义：

-1+（-A/2）+72-1+2A/2+2=2>/2,_1《忘卜（应_1卜（2忘+2）=20,

所以集合｛-1,-V2,72-1,272+2）为“完全集”.

(2)不妨设由于％%…=%+%+…+Q〃

所以％当〃=2时，即有q<2,又生为正整数，所以。1=1,

于是l+%=lx%,则〃2无解，即不存在满足条件的〃完全集〃；

当〃=3时，％。2<3,故只能％=1,%=2,求得。3=3,

于是“完全集"A只有一个，为{1,2,3}；

当“24时，由21x2x…x(n-l),

即有n>lx2x---x(H-l),而=+4??-2=-(n-2)2+2<0,

X(M-1)(«-2)<1X2X---X(H-1),

因此“<lx2x…x(〃—1),故矛盾，

所以当“24时不存在“完全集"A,

综上："完全集"A为{1,2,3}.

(3)证明：若a,b是两个不同的正数，且包,"是完全集，

设a+，=G6=f>0,根据根和系数的关系知，。,6相当于％2-田+(=0的两个根，

由△二产-今〉。，解得f>4或r<0(舍)，

所以a/>4,又因为。力都是正数，若。力都不大于2,a,Z?<4,矛盾，

所以。力中至少有一个大于2.

【点睛】方法点睛：新定义有关的问题的求解策略：

①通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理

解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；

②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，

逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决.

3.(2024•安徽马鞍山•三模汨知S是全体复数集C的一个非空子集,如果Vx,yeS,总有尤+y,x-yeS,

则称s是数环.设厂是数环，如果①E内含有一个非零复数；②VxyeF且ywO,有］《尸，则称尸是

数域.由定义知有理数集Q是数域.

⑴求元素个数最小的数环S;

(2)证明：记0(0)={。+技|a,6eQ},证明：0(道)是数域；

(3)若久,F2是数域，判断EUB是否是数域，请说明理由.

【答案】⑴{0}

(2)证明见详解

⑶片UE不一定是数域，证明见详解

【知识点】集合新定义

【分析】(1)根据题意分析可知S中至少有一个元素aec,分。=。和a力0两种情况，结合题意分析证明;

(2)根据题中数环和数域的定义分析证明；

(3)举特例，取用=。(退)，&=。(应)，举例数列即可.

【详解】(D因为S为数环，可知S不是空集，即S中至少有一个元素aeC,

若。=0,贝()0+0=0-0=0x0=0eS,可知｛。｝为数环；

若则a-。=0,可知S中不止一个元素，不是元素个数最小的数环；

综上所述：元素个数最小的数环为S=｛0卜

(2)设x=a+石"y=c+迅d,a,b,c,deQ,可知羽丁£。(6),则有:

%+>=(a+y/3bj++•x/5'd)=(a+c)+y/3{b+d),

x-y=(a+y/3bj—+yf^d)=(a-c)+\/3(b-d),

=(4+百。)[+百")=(Qc+3Z?d)+V^(Qd+Z?c),

因为a,b,c,dGQ,贝J)a+c,6+dM-c,/?-dMc+Z?d,ad+bc£Q,

可知x+y,x-y,”£Q(6),所以。(⑹是数环；

若，+储W0,可知ywO,满足①；

(a+迅

若行0,则土=*£=d)ac-3bd瓜be-ad

c1-3d2+c2-3d2

yc+yfid(c+6d)(c-百d)

E、r77cac-3bdbe-ad八

因为a,b,c,d£Q,贝!)2.,2，2c72EQ，

c—3uc—3u

可知JeQ(❷，满足②；

综上所述：。(班)是数域.

(3)不一定是数域，理由如下：

1.若£=Q,g=R,显然与乙均为数域，且月口8=1i是数域;

2.设x-a+V2Z?,y=c+版d,a,b,c,deQ,可知羽丁£。(0),则有:

x+y=(a+0b)+(c+0d)=(a+c)+0(b+d),

二(a+后Z?)-(c+y/2d)=(a-c)+0(b_d),

%.y=(q+行")(c+后d)=(ac+2Z?d)+V^(Qd+Z?c),

因为a,〃,c,deQ,贝[)a+c,b+d,a—c,b—d,ac+bd,ad+bceQ,

可知x+y,x-y,x-y,所以。（3）是数环；

若。2+/工0,可知ywO,满足①；

,,八ri*a+y/2b（"十&6）（。一应d）ac—2bdr-be—ad

若尸o,贝一一泊=）_代-r4=+V2,

yc+J2dye+yfld\\c—y[ld\c2-2dc2—2d

E、r77cac-2bdbe-ad八

因为a,"c,d£Q,则2-72FcRQ，

c—2dc—2d

可知jeQ（应），满足②；

综上所述：。（夜）是数域.

例如：耳=Q（6），B=Q（3），例如l+«eQ（右）,l+&eQ（0）,

但1+6+1+夜=2+6+0*Ug,

所以KU鸟不是数域；

综上所述：久。尸2不一定是数域.

【点睛】方法点睛：与集合的新定义有关的问题的求解策略：

1.通过给出一个新的集合的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在

阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目

的；

2.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”,

逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.

4.（2024•全国•模拟预测）已知有序数对X:｛%,与毛｝，有序数对丫：｛%，%，%｝，定义"。变换"：乂=归-百，

%=昆-闵，％=|&-却，可以将有序数对x转化为有序数对y.

⑴对于有序数对X:｛3,4,5｝,不断进行“。变换”，能得到有序数对｛0,0,0｝吗？请说明理由.

（2）设有序数对X:｛&9,不｝经过一次"。变换”得到有序数对Y-.｛y,2,x｝（x＞y）,且有序数对K的三项之和为

2024,求上的值.

⑶在（2）的条件下，若有序数对y经过〃次"。变换”得到的有序数对的三项之和最小，求〃的最小值.

【答案】⑴不能，理由见解析

,505

（2）---

506

（3）505

【知识点】数与式中的归纳推理、集合新定义

【分析】（1）根据题意，结合"。变换"，逐次计算，得出规律，即可求解；

（2）由。变换得到芯＞%＞尤3或尤3＞马＞玉，分类讨论，求得x，y的值，即可求解；

（3）有序数对y:{y,2,y+2},将有序数对y经过6次“。变换”得到有序数对也是形如{y,2,y+2}的有序数

对，得出有序数对结构”完全相同，但最大项减小12,进而得出变换的规律，即可求解.

【详解】（1）解:对于有序数对X:{3,4,5},

不断进行变换"：乂=|菁-即，y2T用-闯，%=匕-力，

得到的有序数对分别为{LL2},{0,1,1},{1,0,1},{1,1,0},{0,1,1},……

以下重复出现，所以不能得到有序数对{0,0,0}.

（2）解：由。变换知：y=忱一%2=|%2—x^,%=匕一百

因为有序数对丫的三项之和为2024,&x>y9所以x+y=2022,x>10U>y9

所以|七一%|21011引石一百，故k-石|最大,即%>%2>九3或%3>%2>%，

y=xx-x2

当王>々>兀3时，可得｛2=工2-工3,

X=Xx-X3

由x+y+2=2024,得2（%[—七）=2024,即%=1012,

1010505

所以y=1010,2==

X1012506

y=x2-xx

当％3>%2>时，可得｛2=%-々，

X=X3-Xx

由x+y+2=2024,得2（思—％）=2024,即％=1012,

505

所以y=1010,故2=哑

X1012-506

y_505

综上可得,1-506

（3）解：有序数对『{y,2,y+2},将有序数对y经过6次“。变换”得到的有序数对分别为

{y—2,y,2},{2,y-2,y-4},{y-4,2,y—6},{y—6,y—8,2},{2,y—10,y-8},{j-12,2,y-10},

由此可见，经过6次“。变换”后得到的有序数对也是形如{%2,y+2}的有序数对，

与有序数对结构”完全相同，但最大项减小12,

因为1010=12x84+2,

所以将有序数对丫经过6x84=504次"O变换"后得到的有序数对为（2,2,4},

经过"。变换”后得到的有序数对分别为（0,2,2},{2,0,2},{后2,0},{0,2,2},{2,0,2},

从以上分析可知，以后数对循环出现，所以有序数对各项之和不会更小，

所以当〃2505时，经过〃次"Q变换"得到的有序数对的三项之和均最小为4.

所以”的最小值为505.

【点睛】方法点睛：对于的新定义有关的问题的求解策略：

1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理

解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；

2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，

逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.

【考点81充分性与必要性的判断

1.（2024•山东威海•一模）已知命题p:工>1,命题qHxwR,”/+2ax+lV0,则P成立是F成立的（）

a

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【知识点】判断命题的充分不必要条件、分式不等式、根据全称或特称命题的真假判断复合命题的真假

【分析】先化简命题）：0<«<1,0<a<l,再利用充分条件和必要条件的定义判断.

【详解】解：由L>1,得解得0<°<1；

a

由q:Hr£R,ax2+2ax+1<0,得/:Vx£R,ax2+lax+1>0,

当a=0时，l>0成立；

当〃>0时，A=4（22-4tz<0,解得0<a<l,综上0Va<L

所以P成立是F成立的充分不必要条件，

故选：A

2.（2024•浙江台州•一模）已知集合4={小2+2%<3},8=同2'+无<3},则“尤eA"是"xe3"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【知识点】判断命题的充分不必要条件、由指数函数的单调性解不等式

【分析】求得集合A8,可得结论.

【详解】由d+2无<3,可得一3〈尤<1,所以A={H-3<x<l},

因为/（x）=2*+x在R上单调递增,又/（1）=3,

由2'+x<3,可得x<l,所以B={x|尤<1},所以Aug,

所以“尤eA"是"xe3"的充分不必要条件.

故选：A.

3.（2024•河南•模拟预测）若。>0力>0,则使a+6W4成立的一个充分不必要条件为（）

A.—1--1B.——I->4C.cr+b~<8D.—\-—>A

ababab

【答案】C

【知识点】判断命题的充分不必要条件、由基本不等式证明不等关系

【分析】利用特殊值法代入可知A、B、D均错误，再利用基本不等式计算可得C正确.

【详解】对于A,易知当。=4力=4时满足但此时a+6W4不成立，可知A错误；

ab

h2『

对于B,当。=4,6=4,可知竺+幺24成立，但a+6＜4不成立，可知B错误；

ab

对于C,由/+/48可得（"+与屋02+/＜8,即可得a+bV4,即充分性成立；

2

当〃=3/=1时，满足〃+匕44,但此时/+〃工8不成立，即必要性不成立，可得C正确；

对于D,当。=4,0=1时，易知2+/N4成立，此时。+人44不成立，可得D错误.

ab

故选：C

【考点9]根据充分性与必要性求参数

1.（2024•湖北黄冈•一模）已知集合4=31082工＜叫,8=卜|£|51,若"xeA"是"xeB”的充分不必

要条件，则实数，〃的取值范围是.

【答案】（—＞,2]

【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数、分式不等式、由对数函数的单调性

解不等式

【分析】根据“xeA"是“xeB”的充分不必要条件，明确集合A,B的关系，列不等式求解实数机的取值范

围.

【详解】由log?尤＜根=0＜尤＜2’”.所以4=（。,2'"）；

由34]==_]苦0=尤_2_彳+4《0=＞_^_《0=＞彳＜4.所以5=（_力,4）.

x-4x-4x-4x-4

因为"xeA"是"xe3”的充分不必要条件，所以4屋8且Aw&

所以2'"＜4=＜2.

故答案为：（口,2]

2.（2024•山西•模拟预测）已知集合4={%||2%-5区3},B|%2-4mx+（2m+l）（2m-1）＜o}.

（1）若0：xeA,q:xeB,且P是4的必要不充分条件，求加的取值范围；

'3'

【答案】⑴9

【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、根据必要不充分条件求参数、根据

二次函数的最值或值域求参数

【分析】（D先根据绝对值不等式得出集合4再根据集合间关系得出不等式组计算即可；

【详解】(1)由题意知A={刈21-5区3}=口,4],

解不等式工之一4枢x+(2根+1)(2加一1)4。，解得2机一机+1,所以8=[2加-1,2机+1],

因为。是〃的必要不充分条件，所以3是A的真子集，

所以。且等号不同时成立，

[2m+l<4,

解得14加〈;，即加的取值范围是1,--

3.(2024•四川遂宁•模拟预测)已知集合4={9+16<2。+1},函数>=1%位-3》-10)的定义域为3.

(1)若集合\B=C,求集合C；

⑵在(1)条件下，若。=3,求AUC；

⑶在(1)条件下，若"尤eA"是"xeC”充分不必要条件，求实数。的取值范围.

【答案】(1){%|-2<%<5}

(2){%|-2<%<7}

⑶(-00,2]

【知识点】根据集合的包含关系求参数、补集的概念及运算、根据充分不必要条件求参数、求对数型复合

函数的定义域

【分析】(1)由对数函数的性质，得到/一3犬-10>0,求得集合8={Tx<-2或x>5},结合补集的运算，

即可求解；

(2)当a=3时，求得A={x|4WxW7},利用并集的运算，即可求解；

(3)根据题意，转化为A是C的