2025年高考数学二轮复习：函数与导数大题（10大题型）（原卷版）

函数与导数

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函数与导数问题是高考数学的必考内容。从近几年的高考情况来看，在大题中考查内容主要有主要利用导数研究函数的单调

性、极值与最值、不等式及函数零点等内容。此类问题体现了分类讨论、转化与化归的数学思想，难度较大。

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题型一：利用导数研究函数的单调性

题型二：利用导数研究函数的极值

题型三：利用导数研究函数的最值

题型四：利用导数解决恒成立与能成立

题型五：利用导数求解函数的零点

题型六：利用导数证明不等式

题型七：利用导数研究双变量问题

题型八：利用导数研究极值点偏移问题

题型九：隐零点问题综合应用

题型十：导数与数列综合问题

题型一：利用导数研究函数的单调性

茏变＞大题典例

(2024•河南郑州•高三校联考阶段练习)已知函数/(x)='+办-⑷+l)ln尤在x=l处的切线方程为

J=/7X+—(6Z,Z?GR).

(1)求〃，b的值;

（2）证明：/'（x）在（1,+8）上单调递增.

龙A舞;去揖号.

1、求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的

和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.

2、求函数单调区间的步骤

⑴确定函数“X）的定义域；

（2）求/'（X）（通分合并、因式分解）；

（3）解不等式/解集在定义域内的部分为单调递增区间；

（4）解不等式/解集在定义域内的部分为单调递减区间.

3、含参函数单调性讨论依据：

（1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）；

（2）导函数的零点在不在定义域或区间内；

（3）导函数多个零点时大小的讨论。

茏麓》变式训练

1.（2024・安徽六安・高三统考期末）已知函数/'（%）=丁+依-6（aeR）.

（1）若函数的图象在x=2处的切线与无轴平行，求函数的图象在尤=-3处的切线方程;

（2）讨论函数“X）的单调性.

2.（2024・辽宁•校联考一模）已知/（x）=sin2x+2cosx.

（1）求/⑺在x=0处的切线方程；

（2）求了（X）的单调递减区间.

题型二：利用导数研究函数的极值

龙麓》大题典例

(2024•湖南长沙•高三长沙一中校考开学考试)已知直线y=近与函数/(x)=疝官-f+x的图象相切.

(1)求左的值；

(2)求函数〃x)的极大值.

龙A舞;去揖号.

1、利用导数求函数极值的方法步骤

(1)求导数,‘(》)；

(2)求方程/'(处=0的所有实数根；

(3)观察在每个根比附近，从左到右导函数/'(%)的符号如何变化.

①如果/'(X)的符号由正变负，则/'(%)是极大值；②如果由负变正，则/'(/)是极小值；③如果在

/'(%)=0的根x=x0的左右侧/'(%)的符号不变，则不是极值点.

根据函数的极值(点)求参数的两个要领：

①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；

②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证.

茏变》变式训练

1.(2024•广东汕头・统考一模)已知函数/(x)=ax-'-(a+l)lnx(aeR).

(1)当a=-L时，求曲线y=在点(ej(e))处的切线方程；

(2)若/(x)既存在极大值，又存在极小值，求实数。的取值范围.

2.(2022・河南.高三专题练习)已知函数/(x)=e，-^,其中常数aeR.

（1）若/（X）在（。,+8）上是增函数，求实数”的取值范围；

（2）若a=4,设800=/（工）+5-/-芯+1,求证：函数g（x）在（一1,+8）上有两个极值点.

题型三：利用导数研究函数的最值

（2024.江苏泰州.高三统考阶段练习）已知函数〃彳）=/+63,彳€氏

（1）若函数在点（1,/。））处的切线过原点，求实数a的值；

（2）若。=T,求函数〃尤）在区间［T4］上的最大值.

龙笼》舞；去揖目.

函数/■（＞）在区间［。力］上连续，在（。/）内可导，则求函数/'（X）最值的步骤为：

（1）求函数在区间（。力）上的极值；

（2）将函数/（%）的各极值与端点处的函数值/（a）,73）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个

是最小值；

（3）实际问题中，“驻点”如果只有一个，这便是“最值”点。

龙塞》至其训级

1.（2024•安徽黄山・统考一模）已知函数〃尤）=92一4依+/11«在彳=1处取值得极大值.

（1）求。的值；

（2）求“X）在区间Je上的最大值.

2.（2024.陕西西安・统考一模）已知函数/（x）=e，-]x3一弓一2ax.

（1）当。=0时，求曲线y=/。）在点（i"（D）处的切线方程；

（2）若y=f（x）的最小值为1,求a.

题型四：利用导数解决恒成立与能成立

茏变＞大题典例

（2024・湖北荆州高三沙市中学校考阶段练习）设函数一办+J

（1）当“=1时，求曲线”X）在点（L〃l））处的切线方程；

（2）当x2O时，若”恒成立，求实数。的取值范围.

龙A期希指导.

对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的

新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩

法，注意恒成立与存在性问题的区别.

蔻麓》变式训练

1.（2023•宁夏银川・高三校联考阶段练习）已知函数/（尤）=炉-a（lnx+l）.

（1）讨论〃尤）的单调性；

（2）若存在xe[l,e],使得弋之+。42,求实数。的最大值.

2.（2022•全国•模拟预测）已知函数/（x）=e"l+依（aeR）.

（D讨论函数〃x）的单调性；

（2）若函数g（x）=ln（e，-l）-lnx,且〃g（x））＜〃x）在（0,+动上恒成立，求实数。的取值范围.

题型五：利用导数求解函数的零点

茏麓》大题典例

（2024•江苏南通・高三统考开学考试）已知函数/（无）=依+彳+21n（l-x）,曲线y=〃x）在处的切

线方程为y=21n2-3.

（1）求6的值;

（2）求2（x）的单调区间,并证明“X）在（-8,0）上没有零点.

龙A期希指导.

导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、

参数的分类讨论等），需要对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值的正负

和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是

必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方。

龙塞》变式训练

1.（2024・湖北襄阳•高三枣阳一中校联考期末）已知函数/（无）=兄皿-*2,其导函数为尸（x）.

（1）求/（x）单调性;

(2)求g(x)=/'(x)+cosx零点个数.

x2

2.(2022•全国•模拟预测)已知函数/(x)=e171r-Inx.

⑴若%=1,求函数的单调区间；

(2)若函数g(x)=/(x)-(〃Ll)lnx有两个零点，求实数机的取值范围.

题型六：利用导数证明不等式

龙龙》大题典例

(2022・全国•高三专题练习)已知函数/(x)=2xlnx-x+2.

(1)求函数的极值；

(2)求证：(x-1)”力一［＞0.

龙龙》舞芽指导.

利用导数证明或判定不等式问题：

1.通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)，从而得出不等关系；

2.利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系;

3.适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；

4.构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

茏变》至式训您

1.（2024・全国•高三专题练习）已知函数，（x）=xlnx.

（1）求曲线y=/（x）在点处的切线方程；

（2）求证：/（x）＜x2+x.

2.（2024・山东济宁•高三校考开学考试）已知函数/（尤）=炉山工+（4-1）尤2,aeR.

（1）讨论了（尤）的单调性；

（2）已知g（尤）=e*-2x,当。=1时，证明：g（x）＞f（x）.

题型七：利用导数研究双变量问题

龙麓》大题典例

（2024・江苏•校联考模拟预测）已知函数/（彳）=/+/-%（1成+。-1）,其中aeR,e为自然对数的底数.

（1）函数g（尤）=#,求g（x）的最小值。（。）;

a2a1

（2）若石,%（玉＜%）为函数的两个零点，证明：x2-xl＜~~~.

a-2

茏龙》解芽揖导.

双变量不等式的处理策略：

含两个变量的不等式，基本的思路是将之转化为一元的不等式,

具体转化方法主要有三种:整体代换，分离变量，选取主元.

茏变》要堂临

1.（2024广东•高三统考阶段练习）设函数/（x）=lnx+a（x-l）（x-2）,其中。为实数.

(1)当a=l时,求/(九)的单调区间；

SQ

(2)当/(九)在定义域内有两个不同的极值点芯,马时，证明：/(^)+/(^)>-+ln—.

2916

2.(2023・云南昆明•高三昆明一中校考阶段练习)设〃，b为函数了(力="炉-加(m<0)的两个零点.

(1)若当x<0时，不等式/e'>L恒成立，求实数机的取值范围；

X

(2)证明：ea+efc<l.

题型八：利用导数研究极值点偏移问题

龙麓》大题典例

'

(2024•浙江绍兴・高三统考期末)已知函数/(x)=x-lnx+Je.

x

(1)讨论函数的单调性；

(2)若方程/(无)=。有两个解工,三,求证：<1.

茏龙》舞黄揖导.

1、和型尤1+%<2。(或无I+X2>2。)问题的基本步骤：

①首先构造函数g(x)=〃x)-求导，确定函数y=〃x)和函数y=g(x)的单调性;

②确定两个零点七<。<%，且/a)=/(X2)，由函数值g(西)与g(a)的大小关系，

得g(%)=〃xj-)"(%)-〃2。-玉)与零进行大小比较；

③再由函数y=/(尤)在区间(。,+欠)上的单调性得到々与物-玉的大小，从而证明相应问题；

2、积型为々<。(/(为)=〃％))问题的基本步骤：

①求导确定了（尤）的单调性，得到不，三的范围；

②构造函数尸（X）=/（x）-fQ,求导可得外力恒正或恒负；

③得到了㈤与尸]的大小关系后，将/■&）置换为“马）;

④根据演与:的范围，结合了（无）的单调性，可得演与/的大小关系，由此证得结论.

茏麓》变式训练

1.（2024海南•高三校联考期末）已知函数/（%）=/+<2%-尤1比的导函数为尸（x）.

（1）若a=—l,求曲线y=f（尤）在点处的切线方程.

（2）若尸（%）存在两个不同的零点玉,三，

（i）求实数。的取值范围；

（ii）证明：西+巧>1.

2.（2024•江西•高三校联考开学考试）已知函数g（无）=l-21nx-5（a>0）,且g（x）的极值点为最.

⑴求不;

2

（2）证明：2g（x）+2<-

0a;

11

（3）若函数g（x）有两个不同的零点看,马,证明：—+—>^g{x0）+2,

X]x2

题型九：隐零点问题综合应用

龙麓》大题典例

（2024.广西南宁.南宁三中校联考一模）已知函数〃%）=11]%-砂+々道（尤）=（%-1户一"-依+1（々£1<）.

（1）若〃元）40,求。的值；

（2）当时，证明：§（%）＞/（%）.

龙麓》属芽指导.

隐零点的处理思路：

第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区

间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；

第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替

换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.

蔻龙》变式训练

1.（2024山东•高三实验中学校联考开学考试）已知函数〃%）=（座2_*+1）b.

（1）当心0时,求八%）的单调区间；

（2）若函数8（X）=6，+〃不卜，-2恰有两个零点，求实数机的取值范围.

2.（2024・广东•高三校联考开学考试）已知函数〃x）=j2x-a.

（1）若曲线y=〃x）在点（。,〃明处的切线过点（4,2）,求。的值;

（2）若/（司4恁1恒成立，求a的取值范围.

题型十：导数与数列综合问题

（2024・云南昆明•昆明一中校联考一模）已知函数"x）=alnx+lr.

(1)若〃x)WO,求实数。的值;

In2ln3ln4

(2)证明：当"N2(〃eN*)时-------X--------X--------

(3)证明:—H----1-----F—<InnneN*,n>2).

龙塞》避黄指号

导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量,

通过多次求和(常常用到裂项相消法求和)达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常

由第一问根据特征式的特征而得到.

茏变》变式训练

1.(2024山西.高三统考期末)已知函数/(尤)=lnx-"6二D.

(1)若当xe(L+<®)时，/(尤)>0,求实数。的取值范围;

(2)求证：In2+In—+In—H----bln-^——>1------------

7172n2-12n+l

2.(2024•四川德阳•统考模拟预测)/(x)=cosx+/nx2-l(XGR).

(1)当加时，证明：〃x)20；

⑵证明：tanl2taJStan1

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莪变》模拟一

1.（2024•山东4聊城・,高三统考期末）已知函数/'（x）=2x—2（a+2）4+alnx（aeR）.

（1）当a=。时，求曲线〃x）在（L〃l））处的切线方程；

（2）讨论函数的单调性.

2.（2024.江苏滁州市第一中学校联考模拟预测）已知函数/（x）="-elog.x-e,其中。＞1.

（1）若。=6,证明/（X）＞0;

（2）讨论Ax）的极值点的个数.

3.（2022・河南•高三专题练习）已知函数f（x）=xe*.

（1）求曲线＞=/（尤）在（0"（。））处的切线方程；

（2）若函数g（x）=/（x）-e工在x=0处取到极小值，求实数机的取值范围.

4.（2024・重庆•高三重庆一中校考开学考试）已知/（x）=e*+sinx,g（x）=aln（x+l）-l.

（1）若/（x）在（0J（0））处的切线也与g（无）的图象相切，求。的值；

（2）若/（尤）+g（尤）20在尤e（-l,+oo）恒成立，求。的取值集合.

x1

5.（2024•浙江•高三校联考开学考试）设函数/（x）=Jp-Inx-Lg/O）.

（1）a=e时，求曲线y=〃x）在点。，/⑴）处的切线方程;

（2）证明：f（x）至多只有一个零点.

6.（2023・江苏盐城・高三盐城中学校联考阶段练习）设函数/（x）=Mx-l）e'+x,其中e为自然对数的底数,

左£R

（1）若/（X）为R上的单调增函数，求实数上的取值范围；

（2）讨论“X）的零点的个数.

7.（2024.甘肃平凉.校考模拟预测）已知函数〃x）=xlnx.

（1）判断的单调性；

（2）设方程-2x+l=0的两个根分别为占,三，求证：+x2>2e.

8.（2023•广东深圳•高三深圳中学校考阶段练习）已知函数/（%）=（9+2依+2/卜1

（1）若a=0,求的单调区间；

（2）若/（X）有两个极值点，分别为不和9（玉<々），求/（尤,[2（/）的最小值.

2

9.（2024•山东烟台高三统考期末）已知函数〃x）=ln（x+l）-氏

（1）讨论函数的单调性；

111/*\

（2）求证：——+——++—<ln2（neN）.

〃+1〃+22n'）

10.(2024•宁夏石嘴山•高三平罗中学校考期末)设函数/(x)=x-aln(l+x).

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)证明：WneN*,1+：+:++->ln(n+l).

23n

茏如勉真题.

1.(2023・全国•统考高考真题)已知函数“x)=B+aJln(l+x).

(1)当a=-l时，求曲线y=在点(1/(1))处的切线方程.

(2)若函数在(0,+动单调递增，求”的取值范围.

2.(2023•全国•统考高考真题)已知函数〃x)="-半，尤丁0,父.

cosxv2J

(1)当a=l时，讨论/(尤)的单调性;

(2)若/(x)+sinr<0,求。的取值范围.

3.(2。23・全国•统考高考真题)已知函Qin数Y人〔(。日IT।

(1)当a=8时，讨论/(无)的单调性；

(2)若/(尤)<sin2x恒成立，求。的取值范围.

4.(2023•全