2025版高中数学课时作业3解三角形求距离新人教A版必修5

PAGE1-课时作业3解三角形求距离[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．如图，在高速马路建设中须要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为()A.eq\r(3)kmB.eq\r(2)kmC．1.5kmD．2km解析：在△ABC中，易得A＝30°，由eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA)，得AB＝eq\f(BCsinC,sinA)＝eq\f(1×\f(\r(3),2),\f(1,2))＝eq\r(3)km.答案：A2．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧河岸边选定一点C，测出A、C间的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点间的距离为()A．50eq\r(3)mB．50eq\r(2)mC．25eq\r(2)mD.eq\f(25\r(2),2)m解析：∵在△ABC中，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，∴∠B＝30°.由正弦定理，得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(AC,sinB)，∴AB＝eq\f(AC·sin∠ACB,sinB)＝eq\f(50×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝50eq\r(2)(m)．答案：B3．海上A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是()A．10eq\r(3)海里B.eq\f(10\r(6),3)海里C．5eq\r(2)海里D．5eq\r(6)海里解析：如图所示，在△ABC中，∠C＝180°－60°－75°＝45°.由正弦定理得：eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA)，所以BC＝eq\f(ABsinA,sinC)＝eq\f(10×sin60°,sin45°)＝5eq\r(6)(海里)．答案：D4．如图，某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40km/h的速度由A处动身，沿北偏东60°方向进行海面巡逻，当航行半小时到达B处时，发觉北偏西45°方向有一艘船C，若船C位于A的北偏东30°方向上，则缉私艇所在的B处与船C的距离是()A．5(eq\r(6)＋eq\r(2))kmB．5(eq\r(6)－eq\r(2))kmC．10(eq\r(6)－eq\r(2))kmD．10(eq\r(6)＋eq\r(2))km解析：由题意，得∠BAC＝60°－30°＝30°，∠ABC＝30°＋45°＝75°，∠ACB＝180°－75°－30°＝75°，∴AC＝AB＝40×eq\f(1,2)＝20(km)．由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC＝202＋202－2×20×20×cos30°＝800－400eq\r(3)＝400(2－eq\r(3))，∴BC＝eq\r(4002－\r(3))＝eq\r(200\r(3)－12)＝10eq\r(2)(eq\r(3)－1)＝10(eq\r(6)－eq\r(2))(km)．答案：C5．如图所示，为了测量A，B两处岛屿间的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°，北偏东45°方向，再往正东方向行驶20海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为()A．20eq\r(6)海里B．10eq\r(6)海里C．10(1＋eq\r(3))海里D．20海里解析：连接AB，如图所示，由题意可知CD＝20，∠ADC＝105°，∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，∴∠CAD＝45°.∠ADB＝60°.在△ACD中，由正弦定理得eq\f(AD,sin30°)＝eq\f(20,sin45°)，∴AD＝10eq\r(2).在Rt△BCD中，∵∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∴BD＝eq\r(2)CD＝20eq\r(2).在△ABD中，由余弦定理得AB＝eq\r(200＋800－2×10\r(2)×20\r(2)×cos60°)＝10eq\r(6)(海里)．故选B.答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知A，B，C三地，其中A，C两地被一个湖隔开，测得AB＝3km，B＝45°，C＝30°，则A，C两地的距离为________．解析：依据题意，由正弦定理可得eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，代入数值得eq\f(3,sin30°)＝eq\f(AC,sin45°)，解得AC＝3eq\r(2)(km)．答案：37．小明爸爸开车以80km/h的速度沿着正北方向的马路行驶，小明坐在车里向外视察，在点A处望见电视塔P在北偏东30°方向上，15分钟后到点B处望见电视塔在北偏东75°方向上，则汽车在点B时与电视塔P的距离是________km.解析：由题意得，AB＝80×eq\f(15,60)＝20，∠PAB＝30°，∠APB＝75°－30°＝45°，在△ABP中，由正弦定理得eq\f(20,sin45°)＝eq\f(PB,sin30°)，所以PB＝eq\f(20sin30°,sin45°)＝eq\f(20×\f(1,2),\f(\r(2),2))＝10eq\r(2)(km)．答案：10eq\r(2)8．湖中有一小岛，沿湖有一条南北方向的马路，在这条马路上的一辆汽车上测得小岛在南偏西15°方向，汽车向南行驶1km后，又测得小岛在南偏西75°方向，则小岛到马路的距离是________km.解析：如图，∠CAB＝15°，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠ACB＝180°－105°－15°＝60°，AB＝1km.由正弦定理得eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，BC＝eq\f(sin15°,sin60°)＝eq\f(\r(6)－\r(2),2\r(3))(km)．设C到直线AB的距离为d，则d＝BCsin75°＝eq\f(\r(6)－\r(2),2\r(3))×eq\f(\r(6)＋\r(2),4)＝eq\f(\r(3),6)(km)．答案：eq\f(\r(3),6)三、解答题(每小题10分，共20分)9．如图所示，若小河两岸平行，为了知道河对岸两棵树C，D(CD与河岸平行)之间的距离，选取岸边两点A，B(AB与河岸平行)，测得数据：AB＝6m，∠ABD＝60°，∠DBC＝90°，∠DAB＝75°.试求C，D间的距离．解析：∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝60°＋90°＝150°，所以∠C＝180°－150°＝30°，∠ADB＝180°－75°－60°＝45°.△ABD中，由正弦定理得eq\f(BD,sin∠BAD)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，∴BD＝eq\f(AB·sin∠BAD,sin∠ADB)＝eq\f(6×\f(\r(6)＋\r(2),4),\f(\r(2),2))＝3＋3eq\r(3)，在Rt△BDC中，CD＝eq\f(BD,sin30°)＝6＋6eq\r(3)，即CD的长为(6＋6eq\r(3))m.10．如图，某军舰位于岛屿A的正西方C处，且与岛屿A相距120海里．经过侦察发觉，国际海盗船以100海里/时的速度从岛屿A动身沿北偏东30°方向逃跑，同时，该军舰从C处动身沿北偏东α的方向匀速追逐国际海盗船，恰好用2小时追上．(1)求该军舰的速度；(2)求cosα的值．解析：(1)依题意知．∠CAB＝120°，AB＝100×2＝200，AC＝120，在△ABC中，依据余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠CAB＝2002＋1202－2×200×120cos120°＝78400，解得BC＝280.所以该军舰的速度为eq\f(BC,2)＝140海里/时．(2)在△ABC中，由正弦定理，得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(BC,sin120°)，即sin∠ACB＝eq\f(ABsin120°,BC)＝eq\f(200×\f(\r(3),2),280)＝eq\f(5\r(3),14).∴cosα＝sin∠ACB＝eq\f(5\r(3),14).[实力提升](20分钟，40分)11．某海轮以每小时30海里的速度航行，在点A测得海面上油井P在其南偏东60°方向上；海轮向北航行40分钟后到达点B，测得油井P在其南偏东30°方向上；海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达点C，则P，C两点的距离为()A．20eq\r(7)海里B.eq\f(20\r(7),7)海里C．20eq\r(3)海里D.eq\f(20\r(3),3)海里解析：如图，过点P作AB的垂线，垂足为点E.由题意得∠APB＝∠ABP＝30°，∴AP＝AB＝30×eq\f(40,60)＝20(海里)．在Rt△PAE中，PE＝APsin60°＝10eq\r(3)(海里)；在Rt△PBE中，PB＝eq\f(PE,sin30°)＝20eq\r(3)(海里)．由已知可得∠PBC＝90°，BC＝30×eq\f(80,60)＝40(海里)，∴在Rt△PBC中，PC＝eq\r(PB2＋BC2)＝eq\r(20\r(3)2＋402)＝20eq\r(7)(海里)．答案：A12．如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离．即AB＝eq\r(a2＋b2－2abcosα).若测得CA＝400m，CB＝600m，∠ACB＝60°，则A，B两点的距离为________m.解析：在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB所以AB2＝4002＋6002－2×400×600cos60°＝280000.所以AB＝200eq\r(7)(m)．即A，B两点间的距离为200eq\答案：200eq\r(7)13．如图，已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一座放射塔A，B，塔顶A，B的海拔高度分别为AM＝100m和BN＝200m，一测量车在小山M的正南方向的点P处测得放射塔顶A的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了100eq\r(3)m后到达点Q，在点Q处测得放射塔顶B处的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经测量tanθ＝2.求两放射塔顶A，B之间的距离．解析：在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100，所以PM＝100eq\r(3).连接QM，在△PQM中，∠QPM＝60°，PQ＝100eq\r(3)，所以△PQM为等边三角形，所以QM＝100eq\r(3).在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2＋QM2，得AQ＝200.在Rt△BNQ中，tanθ＝2，BN＝200，所以BQ＝100eq\r(5)，cosθ＝eq\f(\r(5),5).在△BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQcosθ＝(100eq\r(5))2，所以BA＝100eq\r(5).即两放射塔顶A，B之间的距离是100eq\14．已知海岛B在海岛A的北偏东45°方向上，A，B相距10海里，小船甲从海岛B以2海里/小时的速度沿直线向海岛A移动，同时小船乙从海岛A动身沿北偏西15°方向也以2海里/小时的速度移动．(1)经过1小时后，甲、乙两小船相距多少海里？(2)在航行过程中，小船甲是否可能处于小船乙的正东方向？若可能，恳求出所需时间，若不行能，请说明理由．解析：(1)经过1小时后，甲船到达M点，乙船到达N点，AM＝10－2＝8，AN＝2，∠MAN＝60°，所以MN2＝AM2＋AN2－2AM·ANcos60°＝64＋4－2×8×2×eq\f(1,2)＝52.所以MN＝2eq\r(13).所以经过1小时后，甲、乙两小船相距2eq\(2)设经过t(0<t<5)