2025年高考数学模拟试卷2（天津卷）及答案

绝密★启用前

2025年高考数学模拟试卷02（天津卷）

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的）

1.已知集合，=集€2进5},.={1,2,4},8={0,3,4},则♦［（”）=（）

A.{2,4}B.{2,5}C.{152}D.{0,2,4}

2.设xeR,贝ij“l<x<2”是“一一2彳一3<0”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

cinX

3.函数由的部分图像大致为（）

4.政府为了了解疫情当下老百姓对防控物资方面的月花费情况，抽取了一个容量为〃的样本，其频率分布

直方图如图所示，其中支出在［40,50）的有54人，则w的值为（）

频率

A.100B.150C.90D.900

5.已知4=后，b=log37,C=ln27,则。，b,c的大小关系为()

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

6.^log74=6Z,log73=Z?,贝Ijlog4936=()

A.-a-bB.—Z?+〃C.—a+bD.-b-a

2222

22

7.已知双曲线鼻-当=l(a>0,b>0)的左顶点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点的距离为4,且双曲线的一

ab

条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,1),则双曲线的方程为()

8.“迪拜世博会”于2021年10月1日至2022年3月31日在迪拜举行，中国馆建筑名为“华夏之光”，外观

取型中国传统灯笼，寓意希望和光明.它的形状可视为内外两个同轴圆柱，某爱好者制作了一个中国馆的

实心模型，已知模型内层底面直径为6cm,外层底面直径为8cm,且内外层圆柱的底面圆周都在一个直

径为10cm的球面上.此模型的体积为()

A.38^-cm3B.927rcm3C.114^-cm3D.123^cm3

9.关于函数/(x)=sinNWsin，有下述四个结论:

①/(x)是偶函数

②“X)在区间单调递增

③“X）的最大值为2

④“X）在卜乃，句有4个零点

其中所有正确结论的编号是（）

A.①②④B.②④C.①④D.①③

二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.

10.已知i是虚数单位，计算：.

2-31

11.-夫］的展开式共有8项，则常数项为.

12.直线/：x-y-加=。被圆C：尤2+y2-4x+6y-3=0截得的弦长为4a,则根的值为.

13.某城市的电力供应由1号和2号两个负荷相同的核电机组并联提供.当一个机组发生故障时，另一机

组能在这段时间内满足城市全部供电需求的概率为I".已知每个机组发生故障的概率均为木，且相互

独立，则机组发生故障的概率是.如果机组发生故障，那么供电能满足城市需求的概率是.

14.如图，A,2是。C上两点，若弦A3的长度为2,则通./=,若向量而在向量而上的投影向

3—.

量为耳AC,则血与恁的夹角为.

5已知函数小二自，若关4的方程"对+4⑺+—,有且仅有三个不同的实数解，则实数

。的取值范围是.

三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.（本小题满分14分）在AABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,"c,已知a=4,c=2\Z^,cosA=.

4

（1）求。的值；

⑵求sinC的值；

⑶求+3的值.

17.（本小题满分15分）如图所示，在三棱柱ABF-DCE中，侧面ABCD和ADEF都是边长为2的正方形,

平面ABC。工平面4DEE,点G、M分别是线段A。、B尸的中点.

⑴求证：AM//平面BEG；

(2)求直线DM与平面BEG所成角的正弦值；

(3)求平面BEG与平面ABCD夹角的余弦值.

18.(本小题满分15分)已知数列｛q｝的前〃项和S“=3"-1,其中“eN*.

(1)求数列｛。,｝的通项公式；

⑵若数列也｝满足仇=1,bn=3bn_l+an(n>2),求数列｛勿｝的前"项和；

(3)若存在〃eN*,使得为(“5+1"成立，求实数几的最小值.

19.(本小题满分15分)已知椭圆C:g+==l(a>6>0),其离心率为受，若耳，尸?分别为C的左、右

ab2

焦点，X轴上方一点尸在椭圆C上，且满足尸片■!尸鸟，|可+%1=2括.

(1)求C的方程及点P的坐标；

(2)过点尸的直线/交C于另一点。(点。在第三象限)，点M与点。关于x轴对称，直线交x轴于

点N,若VPQN的面积是AQMN的面积的2倍，求直线/的方程.

20.(本小题满分16分)已知函数f(x)=ax-L-(a+l)lnx,aeR

(1)若。=-2,求曲线y=/(x)在点(1J。))处的切线方程；

(2)若aWl,且〃x)>l在区间上恒成立，求。的取值范围；

(3)若判断函数g(x)=x[”尤)+4+1]的零点的个数.

数学.参考答案

一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

123456789

cACBBCCCD

三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

12.1或9

s1972

13.-

10095

兀

14.230。/一

15.（-oo,l-e）

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

16.（本小题满分14分）

【解】（D因为a=4,c=20,cosA=-g,故由余弦定理cosA='十片一"一，

42bc

可得一选16,即。+4仅-2）=0,解得6=-4（舍）或6=2.

(2)因为Aw(0,%),故sinA>0,贝!|sinA=J1—cos?A=,

4_272厂

由正弦定理上7=：,则而=碇，解得sinC=W^.

sinAsinC———4

4

(3)因为85(2人+m=cos2A-sin2A=2cos2A--A/3sinAcosA

又sinA=坐,E—字,

故cos12A+(一岛巫*，吁=立

82414J8

17.（本小题满分15分）

【解】（1）由四边形ADE厂是正方形，则AF_LAD,又面ABCD1面ADEF,面ABCDc面=AD,

AFu面ADE产，

所以小_1面至。，而ABu面ABCD,则AF_LA3,又钻_LAD,

所以AF、AB.AD两两垂直.

建立以A为原点，以而，而，行的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系,

则40,0,0),3(2,0,0),C(2,2,0),£>(0,2,0),£(0,2,2),"0,0,2),G(0,l,0),M(1,0,1),

所以丽=(-2,2,2),BG=(-2,1,0),

_、，.1，[法•BE=-2无+2y+2z=0.-

设”=(x,y,z)为面BEG的法向量，贝！-，令z=l,可得〃=,

n-BG=—lx+y=0

又汨=(1,0,1),贝！)赤不=0,所以寂又AMz平面BEG,

所以AM〃平面BEG.

(2)由(1)知：两=(1,-2,1)且3=(-1,-2,1)为面3EG的法向量，

因此卜os5,DM)\==-,即直线DM与平面BEG所成角的正弦值为f.

11\n\\DM\33

(3)由平面A8CD的一个法向量存=(0,0,2)且7=(-为面3EG的法向量，

因此降〈万,通〉卜字1=£,即平面3EG与平面A3GD夹角的余弦值为好.

11\n\\AF\66

18.(本小题满分15分)

【解】(1)当〃=1时，q=S]=2,

当时，S〃=3〃-1,S〃T=3〃T-1,

两式相减并化简得。"=2-3"T(n>2),

当〃=1时，上式也符合,

所以%=23咒

nl

(2)数列｛2｝满足伉=1,bn=3bn_l+an=3bn_l+2-3-(n>2),

贝哆=9+^，兴-9号(心2),

所以数列［李，是首项为*=g,公差为g的等差数列,

所以h今2V*1，

7

所以2=："守一3"'

设数列｛%｝满足g=〃3",且前"项和为M”，

12n23,,+1

Afn=l-3+2-3+---+/7-3,3M„=1-3+2-3+---+W-3,

两式相减得-2此=31+3?+…+3"-=J1")_葭.卡=上2分3向一3,

1-32

所以MQ3%3.47.

"444

设数列｛4｝满足dn=3"、则｛4｝的前"项和乂=匕毛=h二1=_L.3"-L

1—3222

所以N,=g(手3T=(“一1).3"+1.

(3)依题意，存在〃eN*,使得成立,

23△〃(〃+1)尢八二，则只需求总的最小值・

2323-二2尸3__________1___

(〃+1)(〃+2)+(〃+1)(〃+2)+

及+1〃+2n

23"-i4"("+2)-+-(〃+l)(〃+2)

=4-3'i.(2"“_

2.3〃T9

当〃=1或〃=2时，取得最小值为三=1.

所以X的最小值为1.

19.(本小题满分15分)

【解】⑴因为尸耳，尸工,所以两•%=0,且解图2+|尸词2=闺闾2.

x|P7^+M|=2A/3,所以耐+2否成+质2=12,

即西2+%2=i2,即|西斗外「=4/=12,所以c=g,

又离心率e=£=交，所以a=#，c2^a2-b2,所以6=

a2

所以椭圆方程为4+4=1.

o3

,・•时+时=12,又•.•冏+网=2。=26，

.♦J西卜|用卜布，.•.尸点的坐标为(0,有).

(2)依题意直线/的斜率存在，设直线/的方程为y=fcc+6,

y=kx+6r-

由/>2_消去y整理(23+1)无？+4回=0,解得x=0或尤

T+T~+

伙退-2尿2

所以。点坐标为

+1'2k2+1

Wk2显2-石、

从而点坐标为

MT+T，2k2+1

所以直线尸拉的方程为y=1x+6,

2k

则N点的坐标为卜2石匕0),

因为VPQN的面积是AQMN的面积的2倍，点。在第三象限,

所以SypQMS'QMN9

即当或」解得―逅（舍负），

所以满足条件的直线I的方程为y巫x+也，

2

即：#x-2y+2G=0.

20.（本小题满分16分）

【解】（D若。=一2,贝!|/（x）=-2x-5+lnx,/（1）=-3

所以r（x）=r2x+4xT）,所以/⑴=o,所以切线方程为,二一3

（2）依题意，在区间-,e±/（x）„>1.

em；

因为尸（x）=加一（.：1）苫+1=（办一吁1）,a].

x2X2

令/'（%）=。得，％=1或不」.

a

若a.e,则由尸（x）>0得，由广（无）<0得，-„x<l.

e

所以〃x）*=〃l）=a-l>l,满足条件；

若l<a<e,贝!I由（。）>0得，或l<X,e；由/（无）<0得，-<x<l.

eaa

/wm,„,

依题意，七尸，即，a>---

e+1,所以2vave.

a>2

若a=l,则尸⑴..0.

所以了（尤）在区间d,e]上单调递增，不满足条件;

ee

综上，a>2.

(3)XG(0,+oo),g(x)=ax2-(«+l)xlnx+(tz+l)x-1.

c-*r、r,/、c/八i、1/、cz，/、c〃+l2ax—(Q+1)

所以g(%)=2ax—(a+l)ln