2025年中考数学总复习09 平面直角坐标系与函数

微专题09平面直角坐标系与函数

考点精讲

构建知识体系

考点梳理

1.平面直角坐标系中点的坐标特征(6年3考)

各象

限内

点P(a，b)在坐标轴上，则有：

在x轴上⇔③；

坐标

在y轴上⇔④；

轴上

在原点上⇔a＝⑤，b＝⑥

注：坐标轴上的点不属于任一象限

各象限

第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标⑦；

角平分

第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为⑧

线上

平行于平行于x轴的直线上的点的⑨相等；

坐标轴平行于y轴的直线上的点的⑩相等

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的直线上

P(x，y)P1⑪；

点的对

P(x，y)P2⑫；

称变换

P(x，y)P3⑬

口诀：关于谁对称，谁不变，另一个变号，关于原点对称都变号

P(x，y)P⑭；

点的P(x，y)P(x＋m，y)；

平移

P(x，y)P⑮；

(m＞0)

P(x，y)P(x，y－m)

口诀：左减右加，上加下减

2.平面直角坐标系中的距离

点P(x，y)到x轴的距离是⑯；

点到坐标轴及

点P(x，y)到y轴的距离是⑰；

原点的距离

点P(x，y)到原点的距离是⑱

平行于坐标轴已知点P(x1，y1)，Q(x2，y2)为平面直角坐标系中任意两点，则：

的直线上两点(1)若PQ∥x轴⇔y1＝y2，PQ＝｜x1－x2｜；

间距离(2)若PQ∥y轴⇔x1＝x2，PQ＝｜y1－y2｜

3.函数的概念及表示方法(2022.10)

(1)函数：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对

于变量x的每一个值，变量y都有⑲的值与它对应，那么我

概念们称y是x的函数，其中x是自变量；

(2)函数值：如果当x＝a时，y＝b，那么b叫做当自变量为a时的函

数值

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表示方法列表法、解析式法和图象法

画函数图象

列表—描点—连线

的步骤

4.函数自变量的取值范围

函数解析式的形式自变量的取值范围

含有分式使⑳的实数

含有二次根式使㉑的实数

含有分式与二次根式使分母不为0且被开方数大于等于0的实数

练考点

1.在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是(－3，－1)，填空：

(1)点P在第象限；

(2)点P关于x轴的对称点P1的坐标为，关于y轴的对称点P2的坐标

为；

(3)将点P向上平移2个单位长度得到点P3的坐标为.

2.在平面直角坐标系中，已知点A(－3，4)，

(1)点A到x轴的距离是，点A到y轴的距离是，点A到原点

的距离是；

(2)线段AB与x轴平行，且AB＝3，点B的坐标为.

3.下列各曲线中表示y是x的函数的是.

4.函数y＝的自变量x的取值范围为.

2

�+3311

高频考点

考点1平面直角坐标系中点的坐标特征(6年3考)

例1在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为(a＋1，2a－4).

(1)若点B位于第四象限，则a的取值范围为；

(2)若点B在x轴上，则点B的坐标为，若点B在y轴上，则点B的坐

标为；

(3)若点B在第一、三象限的角平分线上，则点B的坐标为；

(4)若点B关于原点的对称点为点C(－4，－2)，则a的值为；

(5)若将点B向上平移3个单位长度得到点D(2，1)，则a的值为；

(6)已知点E(－1，3)，且直线BE∥y轴，则线段BE的长为.

考点2函数的相关概念及性质(2022.10)

例2(2024佛山顺德区二模)要使式子－有意义，则x的取值范围是.

�4

变式1(2024齐齐哈尔改编)在函数y＝中，自变量x的取值范围

3+�

是.�+2

例3(人教八下复习题改编)如图，在等边△ABC中，AB＝2，点D在边AB上，

过点D作DE⊥BC于点E，连接CD，设△BDE的面积为y，CE＝x，求y与x

之间的函数解析式.

例3题图

变式2在△ABC中，AC＝5m，BC＝3m，∠ABC＝90°，D是AC边上一动点，

动点P以1m/s的速度从点A出发沿折线A→B→C运动，且PD⊥AC.设点

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P的运动时间为xs时，点P到AC的距离PD为ym，求y与x的函数关系式并

注明自变量x的取值范围.

变式2题图

考点3函数图象的分析与判断

例4(2024武汉)如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱

体，向水槽匀速注水.下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数

关系的是()

例5(2024珠海香洲区三模)如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，

Q同时从点B出发，点P沿折线BE－ED－DC运动到点C时停止，点Q沿BC

运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s，设P，Q同时出发ts时，△BPQ

的面积为ycm2，已知y与t的函数关系如图②所示(曲线OM为抛物线的一部分)，

则下列结论错误的是()

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例5题图

A.AE＝3cm

B.当5＜t＜7时，△BPQ的面积是10cm2

C.当0＜t≤5时，y＝t2

3

D.当t＝时，＝5

15𝑃7

方法解读2𝑃10

分析判断函数图象的解题方法：

(1)弄清楚横轴与纵轴所表示的函数变量；

(2)结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，在图象中找相对应的点；

(3)拐点：图象上的拐点既是前一段函数图象的终点，又是后一段函数图象的起点，

反映函数图象在这一时刻开始发生变化；

(4)水平线：函数值随自变量的变化而保持不变；

(5)交点：表示两个函数的自变量与函数值分别对应相等，这个交点是函数值大小

关系的“分界点”.

真题及变式

命题点1平面直角坐标系中点的坐标特征(6年3考)

1.(2020广东3题3分)在平面直角坐标系中，点(3，2)关于x轴对称的点的坐标

为()

A.(－3，2)B.(－2，3)C.(2，－3)D.(3，－2)

2.(2022广东6题3分)在平面直角坐标系中，将点(1，1)向右平移2个单位后，

得到的点的坐标是()

A.(3，1)B.(－1，1)C.(1，3)D.(1，－1)

命题点2函数的概念(2022.10)

3.(2022广东10题3分·源于人教八下习题)水中涟漪(圆形水波)不断扩大，记它

的半径为r，则圆周长C与r的关系式为C＝2πr.下列判断正确的是()

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A.2是变量B.π是变量C.r是变量D.C是常量

新考法

4.[真实问题情境](2024贵州)为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了

“科技创新”社团.小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面

直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为(－2，0)，(0，0)，则“技”所在的象限为

()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

第4题图

5.[新定义概念](2024河北)在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横

坐标的比值称为该点的“特征值”.如图，矩形ABCD位于第一象限，其四条边分别

与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是()

第5题图

A.点AB.点BC.点CD.点D

6.[代数推理](2024绥化)如图，已知A1(1，－)，A2(3，－)，A3(4，0)，A4(6，

0)，A5(7，)，A6(9，)，A7(10，0)，A8(11，3－)，…，依3此规律，则点A2024

的坐标为3.33

第6题图

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考点精讲

①(－，＋)②(＋，－)③b＝0④a＝0⑤0⑥0

⑦相等⑧相反数⑨纵坐标⑩横坐标⑪(x，－y)

⑫(－x，y)⑬(－x，－y)⑭(x－m，y)⑮(x，y＋m)

⑯｜y｜⑰｜x｜⑱＋⑲唯一确定⑳分母不为0

22

㉑被开方数大于等于0��

练考点

1.(1)三；(2)(－3，1)，(3，－1)；

(3)(－3，1)

2.(1)4，3，5；(2)(－6，4)或(0，4)

3.③

4.x≠－3

高频考点

例－＜＜【解析】∵点位于第四象限，∴，解得－＜

1(1)1a2B－1

�+1>0

a＜2；2�4<0

(2)(3，0)，(0，－6)【解析】∵点B在x轴上，∴2a－4＝0，解得a＝2，∴a

＋1＝3，∴点B的坐标为(3，0)；∵点B在y轴上，∴a＋1＝0，解得a＝－1，

∴2a－4＝－6，∴点B的坐标为(0，－6).

(3)(6，6)【解析】∵点B在第一、三象限的角平分线上，∴a＋1＝2a－4，解

得a＝5，∴点B的坐标为(6，6).

(4)3【解析】∵点B关于原点的对称点为点C(－4，－2)，∴点B的坐标为(4，

2)，即a＋1＝4，解得a＝3(或2a－4＝2，解得a＝3).

(5)1【解析】∵将点B向上平移3个单位长度得到点D(2，1)，∴点B，D的横

坐标相同，∴a＋1＝2，解得a＝1(或2a－4＋3＝1，解得a＝1).

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(6)11【解析】∵E(－1，3)，直线BE∥y轴，∴a＋1＝－1，解得a＝－2.∴2a

－4＝－8，∴点B的坐标为(－1，－8)，∴BE＝3－(－8)＝11.

例2x≥4【解析】∵式子－有意义，∴x－4≥0，∴x≥4.

�4

变式1x≥－3且x≠－2【解析】由题意可得，，解得x≥－3且x≠－

3+�≥0

2.

�+2≠0

例3解：∵△ABC是等边三角形，DE⊥BC，

∴∠DEB＝90°，BC＝AB＝2，∠B＝60°，

∵CE＝x，∴BE＝2－x，

在Rt△BDE中，∵DE＝BE·tanB，

∴DE＝(2－x)，

2

∴y＝S△BD3E＝BE·DE＝(2－x).

13

变式2解：2当点P在A2B边上运动时，

∵AC＝5，BC＝3，∠ABC＝90°，

∴AB＝4，

∵PD⊥AC，

∴sinA＝＝＝，即＝，

𝐵𝑃3�3

∴y＝x，�0�≤x≤�4�；5�5

3

当点P5在BC边上运动时，

则AB＋BP＝x，PC＝AB＋BC－x＝7－x，

∵sinC＝＝＝，

��𝑃4

即＝，𝐵𝐵5

－

�4

5

∴y7＝�－x＋，4＜x≤7，

428

55

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，

∴y与x的函数关系式为y＝3.

5－�0＋≤�，≤4

428

例4D【解析】下层圆柱底面5半�径大5，4水<面�上≤升7块，上层圆柱底面半径稍小，

水面上升稍慢，再往上则水面上升更慢，所以对应图象是第一段比较陡，第二段

比第一段缓，第三段比第二段缓.

例5C【解析】当t＝5时，点Q到达点C，点P到达点E，当5＜t＜7时，

点P在ED上运动，y＝10cm2，当t＝7时，点P到达点D，故选项B正确；BE

2

＝BC＝1×5＝5cm，当5＜t＜7时，S△PBQ＝BQ·AB＝×5AB＝10cm，解得AB＝

11

22

4cm，∴AE＝－＝－＝3cm，故选项A正确；当0＜t≤5时，点

2222

P在线段BE上，�则�BP�＝�BQ＝5tcm4，如解图①，过点P作PH⊥BC于点H，易

得△PBH∽△BEA，∴＝，∴PH＝.∴y＝BQ·PH＝×t×t＝t2，故选项C

𝑃��4�1142

错误；∵BE＋ED＝7cm��，∴��当t＝时，5点P在2线段CD上2，如5解5图②，BQ＝BC

15

2

＝5cm，PQ＝BE＋ED＋CD－1×＝，＝7＝.故选项D正确.

157𝑃27

22𝑃510

例5题解图

真题及变式

1.D

2.A【解析】将点(1，1)向右平移2个单位后，得到的点的坐标是(1＋2，1)，

即(3，1).

3.C【解析】在C＝2πr中，r为变量，2和π为常数，C为r的一次函数，C随

r的变化而变化.

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4.A【解析】根据题意，“新”的坐标为(0，0)，其位置是坐标原点，“创”的坐标

为(－2，0)，其位置在x轴负半轴上，∴以“新”为原点，向右为x轴正方向，向

上为y轴正方向建立平面直角坐标系，由解图得“技”字坐标是(1，1)，∴“技”在

第一象限.