2025年高考数学一轮复习讲义：等差数列

第二节等差数列

课标解读考向预测

1.理解等差数列的概念.预计2025年高考将会从以下两个角度来

2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.考查：(1)等差数列及其前〃项和的基本运

3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，算与性质；(2)等差数列的综合应用，可能

并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.与等比数列、函数、方程、不等式相结合

4.了解等差数列与一次函数的关系.考查，难度中档.

必备知识——强基础

知识梳理

1.等差数列的有关概念

(1)定义：一般地，如果一个数列从第国2项起，每一项与它的前一项的差都等于画同一个

常数,那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母画d

表示，定义表达式为〃〃一。〃-i=d(常数X〃N2,〃€N*).

(2)等差中项：若三个数a,A,b成等差数列，则A叫做a与6的等差中项，且有差=画〃

+Z?.

提醒：在等差数列｛〃〃｝中，从第2项起，每一项都是它前后两项的等差中项，即｛诙｝成等差

数列1I12〃八(〃22).

2.等差数列的有关公式

(1)通项公式：斯=|05|〃i+(〃一l)d.

(2)前〃项和公式：Sn=n(0,诙)或&=画“0+〃(〃31)儿

3.等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an=am+[OT](n—m)d(n,m€N*).

(2)若已知等差数列｛斯"公差为d,前〃项和为义,则

①等间距抽取他，ap+t9他+2%…，他+(〃-1)勿…为等差数列，公差为以；

②等长度截取Sm，Sim—SmyS3z«—S2/n，…为等差数列，公差为力?"；

③算术平均值率%%即数列因为等差数列，公差为日

(3)右项数为偶数2小则S2〃=〃(〃i+。2”)=〃(斯+斯+i),S偶一S奇=""，—

3偶。〃+1

若项数为奇数2〃一1,则S2"-1=(2〃-1)斯，S奇一S偶=斯，77"—7.

3偶n-l

(4)若｛处｝，｛儿｝是等差数列，则仍如+破/(其中p,q为常数)也是等差数歹I」.

常用

1.已知数列｛斯｝的通项公式是所=?九+4(其中p,q为常数)，则数列｛”“｝一定是等差数列，

且公差为p.

2.在等差数列｛4“｝中，ai>0,d<0,则S"存在最大值;若aiVO,40,则S”存在最小值.

3.等差数列｛斯｝的单调性：当4>0时，｛%｝是递增数列；当"<0时，｛斯｝是递减数列；当

d=0时，｛.“｝是常数列.

4.数列｛%｝是等差数列=S.=A/+B〃(A,B为常数).

5.若｛斯｝与｛儿｝为等差数列，且前"项和分别为S,与Z”则台=黑口

12m~1

诊断自测

1.概念辨析(正确的打“守’，错误的打“X”)

(1)等差数列的前〃项和s,是项数为”的二次函数.()

(2)数列｛斯｝为等差数列的充要条件是对任意”<N*,都有2斯+1=厮+厮+2.()

(3)等差数列｛斯｝的前n项和S"=”(而+齐2.()

⑷设等差数列｛斯｝的前〃项和为S”则乱与。“不可能相等.()

答案(l)x(2)4(3)4(4)x

2.小题热身

⑴(2023•福建福州质检)在等差数列｛斯｝中，若防+〃2=5,的+〃4=15,则〃5+。6=()

A.10B.20

C.25D.30

答案C

解析等差数列｛斯｝中，每相邻2项的和仍然构成等差数列，设其公差为d,若01+42=5,

俏+。4=15,则1=15—5=10,因此。5+。6=(〃3+〃4)+弓=15+10=25.故选C.

(2)(北师大版选择性必修第二册2.2练习3(2)改编)设数列｛〃〃｝是等差数列，其前〃项和为

若〃6=2且S5=30,则Sg—()

A.31B.32

C.33D.34

答案B

._lL3、t,8(I〃8)8(俏+〃6)

斛析解法一：由S5=5〃3=30,仔。3=6,又“6=2,・・S8=--------------------

2

8x(6+2)

=32.故选B.

2

26

u\+5d=29

8x7,

解法二：设等差数列｛斯｝的公差为d,由＜5x4得‘,S8—8(214-丁/=

5tzi~,d—30,T，

264

8x§—28%]=32.故选B.

(3)(2022•全国乙卷)记S,为等差数列｛诙｝的前〃项和.若2s3=38+6,则公差1=

答案2

解析由263=382+6可得251+°2+。3)=3(0+°2)+6,化简得2a3=01+02+6,即2伍1+

2d)=2ai+d+6,解得d=2.

(4)(人教A选择性必修第二册4.2.2例8改编)某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座

位，最后一排有60个座位，则剧场总共的座位数为.

答案820

解析设第"排的座位数为诙(〃€N*),数列｛诙｝为等差数列，其公差d=2,则斯=°1+(〃一

l)d=ai+2(w—l).由已知©0=60,得60=ai+2x(20—1),解得刃=22,则剧场总共的座位

w,20(的+小0)20X(22+60)

数为-----------=------5----------=82。-

(5)已知数列｛〃"｝为等差数列，°2+。8=8,则41+°5+。9=.

答案12

解析。1+。9=。2+。8=2。5=8,则a5=4,所以。1+。5+。9=3。5=12.

考点探究提素养

考点一等差数列基本量的运算

例1(1)已知｛斯｝为等差数列，其前〃项和为若〃1=1,43=5,S"=64,贝！J〃=()

A.6B.7

C.8D.9

答案C

角星析公差d=2=-2-=2,又S〃=64,所以d—n~\~—1)—n2—

64,解得〃=8（负值舍去）.故选C.

⑵（2024・皖南八校开学考试）已知等差数列｛为｝的前n项和为Sn,且的+/=-10,&=-42,

则Sw=（）

A.6B.10

C.12D.20

答案B

解析设等差数列｛。〃｝的公差为d,因为43+45=201+6"=-10,S(,=6a\+15(/=-42,解得

ai=-17,d=4,所以Sio=lOm+45d=—170+45x4=10.故选B.

(3)已知等差数列｛斯｝中，&为其前〃项和，54=24,59=99,则曲=()

A.13B.14

C.15D.16

答案C

,4x3

4ai+^-d=24'

即

｛9ai+~^~d=99>

(2ai+3d=U>\a\=3>

，解得<所以s=ai+6"=3+12=15.故选C.

[0+4d=11[d=2>

【通性通法】

等差数列基本量运算的思想方法

方程思想

等差数列中包含m，d,n,an,S“五个量，可通过方程组达到“知三求二”

当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用ai,d表示，寻求两者间的联

整体思想

系，整体代换即可求解

等价转化思想运用等差数列性质可以化繁为简，优化解题过程

【巩固迁移】

1.（2023•陕西部分名校高三下仿真模拟）在等差数列｛斯｝中，俏+。7=。8=16,则｛斯｝的公差d

=（）

8

A.1B.3

答案A

Q

解析因为43+。7=。8=2々5=16,所以08—怒=3"=8,则"=].故选A.

2.(2023•湖南名校联考)设等差数列｛诙｝的前W项和为S",且2s—01=4,则为=()

A.15B.20

C.25D.30

答案B

5x4

解析设等差数列｛%｝的公差为d,则2g1+6(7)—(°1+l(W)=ai+24=4,所以S5=5ai+F-

1=5(41+20=5x4=20.故选B.

考点二等差数列的性质及其应用(多考向探究)

考向1等差数列项的性质

例2(1)(2024九省联考)记等差数列｛斯｝的前〃项和为5“,俏+。7=6,412=17,则&6=()

A.120B.140

C.160D.180

答案C

解析因为〃3+。7=2。5=6,所以45=3,所以。5+々12=3+17=20,所以S16=一：5一'

=8(。5+。12)=160.故选C.

(2)设公差不为。的等差数列｛诙｝的前〃项和为S”已知59=3伍3+/+即)，则〃2=()

A.9B.8

C.7D.6

答案C

解析因为$9=9。5，所以9a5=3(的+。5+而)，所以。3+。5+。,"=3。5，即。3+4"=2。5，所以

机=7.故选C.

【通性通法】

等差数列项的性质的关注点

项的性质：在等差数列｛〃〃｝中，若加+枕=/?+虱相，n,p,q€N*),则斯

关注点一

――dp+Clq

关注点二等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般先考虑应用项的性质

H

关注点三项的性质常与等差数列的前n项和公式Sn="(02-)相结合

【巩固迁移】

3.（2024•河南杞县模拟）已知项数为n的等差数列｛斯｝的前6项和为10,最后6项和为110,

所有项和为360,贝1]〃=（）

A.48B.36

C.30D.26

答案B

解析由题意知。1+〃2+…+〃6=10，斯+斯-1+…+。〃-5=110,两式相加得6（防+。〃）=120,

所以。1+。〃=20,又〃（的,即）二360,所以"=36.故选B.

4.（多选）（2023•山东淄博调研）已知等差数列｛念｝的公差为d,前〃项和为当,当首项和d

变化时，〃2+恁+〃11是一个定值，则下列各项为定值的是（）

A.。7B.。8

C.Si3D.S15

答案AC

解析由题意知〃2+a8+〃ii=〃i+d+〃i+7d+ai+10d=3〃i+18d=3（Qi+6t/）=3〃7,；・。7是

定值，,513=13=]3的,是定值.故选AC.

考向2等差数列前n项和的性质

例3⑴已知等差数列｛斯｝的前〃项和为S，.若$5=7,Sio=21,则&5=（）

A.35B.42

C.49D.63

答案B

解析解法一：由题意知，Sio—S5，S15—Sio成等差数列，即7,14,S15—21成等差数列，

.*.515-21+7=28,・・・Si5=42.故选B.

解法二：•；｛斯｝为等差数列，也为等差数列，.•.棠=§+皆，.•.&5=42.故选B.

1kJJ1J

⑵已知等差数列｛斯｝的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319,所有偶数项之和为290,则

该数列的中间项为（）

A.28B.29

C.30D.31

答案B

解析设等差数列｛诙｝共有2〃+1项，则S奇=。1+〃3+〃5+…+。2〃+1，S偶=〃2+。4+〃6+…

+。2〃，该数列的中间项为斯+1，又S奇一S偶=。1+（。3—。2）+（。5一。4）+…+（。2〃+11。2〃）=。1+

d-\-d~\~..d=a\~\-nd=an+it所以an+\=S<—S偈=319—290=29.

【通性通法】

熟练掌握等差数列前〃项和的性质是解决此类试题的关键，解题时注意化归与转化思想的合

理运用.

【巩固迁移】

52020

（•安徽蚌埠二中阶段考试）已知是等差数列｛斯｝的前"项和，若

5.2024S,0=—2018,2020-

=则$2023=

答案8092

解析由等差数列的性质可得］率也为等差数列，设其公差为d,则编一黜=6d=6,所

以1=1,所以黑|=¥+2022d=-2018+2022=4,所以S2023=8092.

6.（2023•广东湛江模拟）有两个等差数列｛诙｝,电｝,其前w项和分别为S"，T"•若成=而不

则弄=——；若AIS，则B——•

1117

答案

1922

解析琮=2n~1,511116162x6—111^Sn2n-lIr^—n._2.7

同元—fi面—3x6+1一访,右亍—3"+1—3层+”，川可欢S-(2n—n)k,

3n+ln

3(3层+啾，所以怒=55T4=45-28217%,H=52k—30k=22k,所以十五

考向3等差数列前n项和的最值问题

例4在等差数列｛诙｝中，已知刃=20,前〃项和为S”且Sio=Si5.求当〃取何值时，S,取

得最大值，并求出它的最大值.

解解法一（函数法）：因为。1=20,S10=$5,

10x915x14

所以10x20415x204

2

所以d二一|，

n(〃一1)3125

&=20〃T

2十24.

因为几WN*,所以当〃=12或13时，S〃有最大值，且最大值为512=513=130.

解法二（邻项变号法—利用单调性）:

因为“1=20,Sio=Si5，

10x915x14

所以10x20—15x204

22

x—

所以△=一•!，tzn=20+(n—l)(^I

5।65

-3n+T-

因为〃i=20>0,1<0,

所以数列｛念｝是递减数列.

,5।65f

由〃〃=一］〃十日-《0,

得心13,即ai3=0.

当“W12时,斯>0；当〃>14时，a„<0.

所以当〃=12或13时，S”取得最大值，

且最大值为512=513=12x20+”/x（一§=130.

解法三：（邻项变号法一利用性质）：

由S10=S15得S15—510=。11+。12+。13+。14+。15=0,所以5a13=。，

即<213=0.

12x11（5、

所以当"=12或13时，S”有最大值，且最大值为Si2=Si3=12x20+—一义（一于=130.

【通性通法】

求等差数列前n项和S,,最值的两种方法

利用等差数列的单调性，求出其际20,

（1）当〃1>0,dvo时，满足的项数加

正负转折项，即可求出最值〔而+1W0

邻项变号使得出取得最大值奥；

法利用等差数列的性质，求出其正|a,”W0,

（2）当的<0,心0时，满足的项数相

负转折项，即可求得最值〔而+120

使得sn取得最小值sm

2

利用等差数列前n项和的函数表达式Sn=an+bn,通过配方或借助图象求二次

函数法

函数的最值的方法求解

【巩固迁移】

7.（多选X2023.济宁模拟）设等差数列｛斯｝的公差为",前〃项和是&,已知Si4>0,Si5<0,则

下列说法正确的是()

A.〃i>0,d<0

B.47+。8>0

C.S6与S7均为工的最大值

D.。8<0

答案ABD

解析因为S14>O,S15<O,所以514=14.Q[+ai4),=731+04)=7(。7+。8)>0,即防+痣>0,

因为S15=1"(弓+侬)=15痣<0,所以痣<0,所以。7>0,所以等差数列｛诙｝的前7项为正

数，从第8项开始为负数，则㈤>0,“<0,S7为S”的最大值.故选ABD.

8.(2024陕西省洛南中学高三月考)已知%为等差数列｛斯｝的前〃项和，且$2=35,奥+的

+加=39,则当S,取得最大值时，〃的值为.

答案7

]2〃i+d=35,

解析解法一：设数列｛斯｝的公差为"，则由题意得彳,,°°“解

[〃2十的十〃4=3〃3=3十2d)=39,

(。1=19,〃(n—1)3413(41V1681

得＜则19n+-7x(-3)--^+^n=n~^}十号.又〃€N*,・,•当

Id—3，乙Z/N1O，

〃=7时，S.取得最大值.

解法二：设等差数列｛斯｝的公差为d.：。2+的+。4=3。3=39,.*.«3=13,203—S?=(«3—«2)

[22—3心0，

+(°3—ai)=3d=-9,解得d=-3,则a〃=a3+(w—3)"=22—3n,令，解

[22—3(n+1)W0,

1922

得手年，又w€N*,...〃=7,即数列｛斯｝的前7项为正数，从第8项起各项均为负数，

故当S”取得最大值时，M=7.

考点三等差数列的判定与证明

例5(2021•全国甲卷)已知数列｛诙｝的各项均为正数，记S.为｛%｝的前〃项和，从下面①②

③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.

①数列｛诙｝是等差数列；②数歹I｛低｝是等差数列；③痣=30.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

解选择条件①③今②.

已知数列｛斯｝是等差数列，政=3可，设数列｛斯｝的公差为数

则〃2=3〃i=〃i+d,所以d=2ai.

n

EL(〃T)

因为Sn=nci\十2d=nui,

所以低=小如(。1>0),所以—低=(w+ih/£—7八「i=gi(常数).

所以数列｛低｝是等差数列.

选择条件①②今③.

已知数列｛诙｝是等差数列，数列｛低｝是等差数列，设数列｛诙｝的公差为d,

则Si=«i,S2=2ai+d,S3—3ai+3d,

因为数歹1｛弧｝是等差数列，

所以+y[S3=2y[S2,即+#3〃1+3"=2y2〃i+d,

化简整理得d=2〃i.所以〃2=Qi+d=3ai.

选择条件②③今①.

已知数歹[｛弧｝是等差数列，“2=30,设数歹I｛a｝的公差为d,

所以。豆一y/^i=d,即44〃i—=d.

所以的=/，^Sn—y[S\+(n—\)d^nd,

所以S〃=层解.

=

所以anSn—Sn-1—2cPn—(P(ji2).

又0="也适合该通项公式，

2

所以an=2cPn—d(n€N*).

斯+1—斯=2/(〃+1)一屋一(2cPn—/)=2理(常数)，

所以数列｛斯｝是等差数列.

【通性通法】

等差数列的判定与证明的常用方法

定义法对任意〃€N*,斯+1一斯是同一常数

等差中项法对任意〃三2,〃€N*,满足2斯=斯+1+斯-1

判定方法

通项公式法对任意〃€N*,都满足q为常数)

前n项和公式法对任意“WN*,都满足*=4层+8〃(4,B为常数)

定义法对任意孔€N*,斯+1—斯是同一常数

证明方法

等差中项法对任意及22,几€N*,满足2斯=斯+1+飙-1

【巩固迁移】

9.已知公差大于零的等差数列｛斯｝的前〃项和为义,且满足该〃4=65,41+45=18.

（1）求数列｛飙｝的通项公式；

（2）是否存在常数上使得数列"/I前｝为等差数列？若存在，求出常数代若不存在，请说

明理由.

解（1）设｛斯｝的公差为d.

・・・｛斯｝为等差数列，

•・+。5。2+。4=18,〃2。4=65,

〃4是方程％2—18x+65=0的两个根，

又公09••〃2<^-〃4，••〃25，〃413.

j〃i+d=5，j〃i=l，

••।।••Cln4723.

[QI+3d=13»[d=4，

（2）由（1）知，S,=〃+-x4=2/一“，假设存在常数%,使得数列｛4&+如｝为等差数列.

由武邑+左+人加+3左=2y]s2+2k,

得后靛+、15+34=2,6+2总解得上=1.

Sn+kn=y[2i?=yf2n,

当时，曲一乖及—1）=巾,为常数，

数列｛■a+为｝为等差数列.

故存在常数上=1,使得数列｛#5〃+加｝为等差数列.

课时作业

A级基础巩固练

一、单项选择题

1.已知数列｛斯｝,｛仇｝为等差数列,且公差分别为4=2,办=1，则数列｛2诙―3仇｝的公差

为（）

A.7B.5

C.3D.1

答案D

解析：｛。“｝,｛仇｝为等差数列，；.｛2斯一3儿｝为等差数列，设其公差为d,则d=2斯+i—36“

+1—2。”+3d=2（。”+1—a„）—3（儿+1—bn）=2di—3d2=1.故选D.

2.（2024•辽宁六校期初考试）设等差数列｛斯｝的前〃项和为S”若06+07+48+09+410=2。,

则&5=()

A.150B.120

C.75D.60

答案D

解析由等差数列的性质可知。6+。7+。8+。9+〃10=5〃8=20,所以〃8=4,S15=~一

=等至=15痣=60.故选D.

3.(2023・陕西宝鸡模拟)已知首项为2的等差数列｛斯｝的前30项中奇数项的和为A,偶数项

的和为2,且8—A=45,则斯=()

A.3n—2B.3n—1

C.3〃+1D.3〃+2

答案B

解析由题意，几€N*,在等差数列｛如｝中，首项0=2,设公差为d,前30项中奇数项的和

为A,偶数项的和为3,且8—A=45,/•一的+〃2+…一。29+〃30=15d=45,解得d=3,

+l)d=2+3(〃-1),即an—3n—l(n€N*).故选B.

4.(2023・重庆一诊)已知等差数列｛斯｝的前〃项和为a,且羡=/则企"=()

11

--

A.0B.9

13

C.D.

3To

答案D

15A

得

所以

解析解法一：设等差数列｛斯｝的公差为d,由题设,济苦瑞:-可^

V尸2

-S16

8〃i+28d3

言.故选D.

16(11+1206?

解法二：由或思知S8=3S4，又S4,Sg—S4,S12—$8，S16—S12成等差数列，且Sg—S4=2S4，

故S12—&=3&，故S12=6S4，S16—S12=4S4，得S16=1OS4，所以普=得.故选D.

5.数列｛%｝和也｝是两个等差数列，其中华(1WE5)为常值，若m=288,a5=96,"=192,

Dk

则匕3=()

A.64B.128

C.256D.512

答案B

4々日〃i〃5|7a5bl96x192^.仇+，192+64

角牛析由已知条件可侍方=而，n贝iU85=&]=-288-=64,因Ll此b3=2=2=128.

故选B.

6.（2024•漳州检测）已知S〃是数列｛〃〃｝的前〃项和，〃1=1,〃2=2,413—3,记＜=斯+。〃+1+

斯+2且为+1一为=2,则S31=（）

A.171B.278

C.351D.395

答案C

解析由d+1—瓦=斯+1+斯+2+斯+3—（斯+斯+1+斯+2）=斯+3—斯=2,得〃1，〃4，。7，…是首

项为1,公差为2的等差数列，。2，〃5，〃8，…是首项为2,公差为2的等差数列，〃3，。6,

。9，…是首项为3,公差为2的等差数列，所以：31=（。1+。4+…+。31）+（。2+。5+…+。29）+

11x10x210x9x210x9x2,,SiL

（俏+期+…+〃30）=4卜2x10+---+3x10+——=351.故选C.

1X112

7.在等差数列｛曲｝中，的=—9,。5=—1.记忆=。1〃2（〃=1，2,…），则数列｛〃｝（）

A.有最大项和最小项B.有最大项，无最小项

C.无最大项，有最小项D.无最大项和最小项

答案B

解析设等差数列｛厮｝的公差为d,Vtzi=­9,〃5=—1，，。5=—9+4d=—1,则d=2./.

斯=-9+2（"—D=2〃一n.令斯=2〃一nW0,得九W5.5.，当时，斯<0；当时，

an^l>0.,•*Tn—a\a2...an（n—1,2,...）,Ti=—9,"=63,八=一315,。=945,公=—945.

当〃26时，斯21,・・・7；<0,且〃+1<7；<0.・・・数列｛4｝有最大项北，无最小项.故选B.

8.已知&是等差数列｛〃“｝的前”项和，若对任意的”€N*,均有S6WS,成立，则膏的最小

值为（）

5

A.2B.

C.3D,日

答案D

解析由题意知，56是等差数列｛〃〃｝的前几项和中的最小值，必有。1<0,公差#>0,当〃6=0

时，有S5=S6，S5,S6是等差数列｛。〃｝的前几项和中的最小值，此时〃6=〃l+5d=0,即〃1=

—5d,则也="1当〃6<0，。720,此时〃6=〃i+5d<0,〃7=〃i+6dN0,即一6忘号

。9十8d3〃3a

a\_

+16

417oi+16dd己，又一6常一5,所以2喘+8<3,即长士/，

<-5,则------=14

。9ai+Sd号

+87+8万+8

则号”所以卜+.W5,所以22的最小值为;■.故选D.

。93

二、多项选择题

f—3n~\~bTW"W8>

9.（2024・湖南长郡中学月考）已知数列｛跖,｝的通项公式斯=<、b€Z,则下

I—2«—31n39>

列说法正确的是（）

A.当｛诙｝递减时，6的最小值为3

B.当｛斯｝递减时，b的最小值为4

C.当6=20时，｛斯｝的前〃项和的最大值为57

D.当b€（3，|）时，｛|以|｝为递增数列

答案BCD

解析磁=—3x8+6>a9=—2x9—3nb>3,的最小值为4,；.A错误，B正确；

6X（1+2）

当6=20时，数列｛斯｝的前6项为正，第7项开始往后为负，，前6项和最大,S6=^

=57,；.C正确；当"N9时,a„<0,\an\=2n+3,数列｛|明｝递增,当1W〃W8时，易知数

列｛诙｝递减,当6€（3'号时,czi>0,a<0,且数列｛|编｝满足，

2好出，'数列时递增,

・・・D正确.故选BCD.

10.（2023•河北邯郸模拟）已知｛见｝为等差数列，S〃为其前〃项和，则下列说法正确的是（）

A.右*。1=〃5，贝U

B.若〃5>〃3，则S1<S2V…V与

C.若“3=2,则鬲+若28

D.若。4=8,。8=4,则Si2=66

答案ACD

解析设等差数列｛斯｝的公差为"，因为41=45，所以Ql=Ql+4d,所以d=0,则〃1=〃2=3

=%,故A正确；因为〃5>〃3,所以ai+4d>ai+2df所以d>0,｛斯｝为递增数列,但Si<S?<…<Sn

不一定成立，如〃i=—2,〃2=—1,〃3=0，Si=—2,Sz=-3,S3——3,故B不正确；因为

]2（a4=ai+3d=8，

出+ag》2|I=2曷=8,当且仅当的=怒=2时取等号，故C正确；因为，

+7d=4,

解得•则的2=。4+8"=8—8=0,#Si2=-LX12=66,故D正确.故选ACD.

3=11，2

三、填空题

11.（2023・上海奉贤统考一模）已知等差数列｛（/”｝中，aj+a9=15,。4=1,则的2=

答案14

2ai+14^=15,

解析：｛斯｝为等差数列，，设首项为ai,公差为d,又。?+。9=15,.4=1,

fli+3(Z=1

；•的2=。1+1ld=一半+11x《-=14.

12.将数列｛2”-1｝与｛3〃一2｝的公共项从小到大排列得到数列｛斯｝,则｛斯｝的前n项和为

答案3/—2〃

解析数列｛2〃-1｝的各项为1,3,5,7,9,11,13,数列｛3〃-2｝的各项为1,4,7,

10,13,….观察归纳可知，两个数列的公共项为1,7,13,…，是首项为1,公差为6的等

差数列，则4"=1+6（〃-1）=6〃-5.故其前n项和S〃="="（"-=3〃2—

2n.

13.（2024•浙江余姚中学质检）设等差数列｛%｝的前〃项和为S〃，若S6>S7>S5,则满足SS+i<0

的正整数n的值为.

答案12

解析由S6>S7>S5，得57=56+。7<56，S7=S5+。6+。7>$5，所以07<0，恁+/〉。，所以S13=

-—=13«7<0,Si2=2~~=6（。6+。7）>0，所以Si2s13<。，即满足505"+1<0

的正整数n的值为12.

14.（2023・昆明诊断）已知数列｛斯｝满足的=2,z=4,an+2-an=（-iy+3,则数列｛斯｝的前

10项和为.

答案90

解析由题意，当〃为奇数时，。“+2—斯=-1+3=2,所以数列｛。2.-1｝是首项为2,公差为

2的等差数列，所以。2及-i=2+2(〃-1)=2〃；当〃为偶数时，斯+2—斯=1+3=4,所以数列

｛〃2〃｝是首项为4,公差为4的等差数列，所以〃2〃=4+4(〃-1)=4〃.设数列｛斯｝的前10项和

5x(2+10)

为S10，则S10=〃l+〃2+…+〃10=(〃1+〃3+…+〃9)+("2+04+…+〃10)=

四、解答题

15.(2022•全国甲卷)记S”为数列｛诙｝的前〃项和.已知号+〃=2%+1.

(1)证明：｛小｝是等差数列；

⑵若的a7,°9成等比数列，求S”的最小值.

解(1)证明：因为苧+〃=2斯+1,

z

即2Sn+n=2nan+n9①

当〃22时，2s九―i+(〃-1产=2(〃—1)斯-1+(〃一1),②

①一②得，2s〃+〃2—(〃-1)2=2〃斯+〃一2(〃一1)诙一1一(〃一1),

即2an2n—1=2〃斯一2(〃一1)斯-i+l,

即2(〃一1)斯—2(〃一1)〃〃—1=2(〃-1),

所以如一斯—1=1,〃22且〃€N*,

所以｛火｝是以1为公差的等差数列.

(2)由(1)可得〃4=。1+3,〃7=。1+6,。9=。1+8,

又。4，〃7，。9成等比数列，所以鬲=a4a9，

即3+6)2=3+3)3+8),

解得41=—12,

n(〃一1)

所以斯=〃-13,所以S〃=-12〃T

所以，当〃=12或〃=13时，⑸)min=-78.

16.(2023•全国乙卷)记S〃为等差数列｛诙｝的前几项和，已知〃2=11,Sio=4O.

(1)求｛〃〃｝的通项公式；

(2)求数列｛|即|｝的前n项和Tn.

解(1)设等差数列的公差为"，

〃2=〃i+d=ll'

由题意可得《

Sio=lO〃i+2d=40，

(ai+d=l\»(〃1=13，

即《解得＜

12〃i+9d=8，[d=~2，

所以斯=13—2(〃-1)—15—2n.

令〃〃=15—2〃＞0,解得〃＜»■，且〃€N*,

当nW7时，则出＞0,可得及=|〃1|+|〃2|+…+|斯|=。1+〃2+…+"〃=S〃=14M—哈

当"28时，则斯＜0,可得为=|〃1|+|〃2|+…+|斯|=（。1+。2+...+〃7）—（恁+…+〃M）=S7—（Sn

—S7）=2S7—*=2X（14X7—72）—（14〃一〃2）=〃2—14〃+98.

f14〃一层,RW7，

综上所述，Tn=\?一I。。

1层-14〃+98，〃28.

素养提演

17.（2023•江西九所重点中学高三下第二次联考）已知函数y=#x）对任意自变量尤者B有/（无）=八4

—X）,且函数y（x）在[2,+oo）上单调.若数列｛斯｝是公差不为0的等差数列，且八。6）=火。2018），

贝|]