2025年高考数学模拟试卷2（全国卷文科）详细解析

2025年高考数学模拟试卷02（全国卷文科）

详细解析

第一部分（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.已知集合人={九|一一％一22。}]={X|y=lnx},则@4h5=（）

A.1x|0<x<l}B.1x|0<x<2}

C.1x|-l<x<2|D.{X%>2}

【答案】B

【详解】因为A={Nx2-x-2>0]={x\x>2^x<-l},

则gA=1x|-1<x<21,又5={x|y=InxJ=|x|x>01,

所以%A）C5={R0<XV2}.

故选：B

2.已知复数z满足z（2-i）-i=2（i为虚数单位），贝”的虚部为（）

4444

A.—B.——C.—iD.——i

5555

【答案】A

【详解】由z（2-i）-i=2可得z=f2±—ii=（J2—2i）；（?2：+i）=中5，

4

故虚部为二,

故选：A

x-y-2<0

3.若实数％,>满足约束条件3x+y—220,则z=2%+3y的最小值为（）

x-2y>0

A.-2B.2C.-1D.1

【答案】C

x—y—2<0

【详解】由约束条件3x+y-22。作出可行域如图,

x-2y>Q

~~x

飞、:；亨7

3x+y-2=0

解彳小；二\，则AO"

联立

x-y-2=01

21

化目标函数z=2x+3y为y=_§x+,z.

21

由图可知，当直线＞=-过A时，直线在y轴上的截距最小,

贝|Jz有最小值为2x1+3x(—1)=—1.

故选：C.

sin(a+⑶i,、

4.已知丁7---方=2,cosasin/?=一,则sin(a+0=()

sin\CL-p\6

_2

ABcD.

-1-t-I一5

【答案】B

n

【详解】由s，f+=2,可得sin(二+/7)=2sin(a—/7)=>3cos。sin£=sinacos(3,

因为cosasin分=',所以sinacos/?=L

62

112

所以sin(a+尸)=sinacos/3+cosasin尸=/+%=§.

故选:B.

5.执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（

A.史C.师n101

B.----D.-----

99101101102

【答案】C

222

【详解】当S=o,l时’进入第一次循环，得5=而'"=3；进入第二次循环，得5=有+而…5；

222222

进入第三次循环，得5==+「+『=次=7；L,S=-----+------+--------F+—--水=99；

1x33x55x71x33x55x797x99

22222

S=---------1-----------1------------FH----------------1----------------次=101,此时因k=101>100,退出循环，输出

1x33x55x797x9999x101

222+22

S=---+----+----+--------------1----------------

1x33x55x797x9999x101

22,1111111111100

H----------------1----------------=1-----1------------1---------F-1-----------------1----------------=]1一

1x33x55x797x9999x10133557979999101101~101

故选：C.

6.某校为了解在校学生对中国传统文化的传承认知情况，随机抽取了100名学生进行中国传统文化知识考

试，并将这100名学生成绩整理得到如下频率分布直方图.根据此频率分布直方图(分成[40,50),[50,60),

[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]六组)，下列结论中不正确的是()

频率

A.图中的々=0.012

B.若从成绩在［70,80）,［80,90）,［90,100］内的学生中采用分层抽样抽取10名学生，则成绩在［80,90）内

的有3人

C.这100名学生成绩的中位数约为65

D.若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，则这100名学生的平均成绩约为68.2

【答案】C

【详解】由(0.008x2+4+0.02x2+0.032)x10=1,得。=0.012,所以A正确;

这100名学生中成绩在［70,80）,［80,90）,［90,100］内的频率分别为。2,0.12,0.08,所以采用分层抽样抽

取的10名学生中成绩在［80,90）内的有lOx*t=3人，故B正确；

根据频率分布直方图，可知这100名学生成绩的中位数在（60,70）之间，设中位数为x,则

（x-60）x0.032=0.22,所以x=66.875,故C错误；

根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得

元=45x0.08+55x0.2+65x0.32+75x0.2+85x0.12+95x0.08=68.2,D正确.

故选：C

7.若“=(_!_],b=ln且空,c=log，7强，则()

U2J202427

A.b<c<aB.a<c<bC.c<b<aD.b<a<c

【答案】D

【详解】因为c=log”W==log32>!log3>^='>0，.=△¥=卜[=^=>0,

336(⑵认12J24A/3

因为g〉心〉。，

可知c>a>0,

2023

又因为6=ln1砺=所以

故选：D

8.已知函数满足/（尤+3）=1-〃1-力，且函数〃x+l）为偶函数，若/⑴=1,则

/(1)+/(2)+/(3)+...+/(2024)=()

A.0B.1012C.2024D.3036

【答案】B

【详解】由题意函数〃X+1)为偶函数，所以/(X+1)=〃T+1),/(元)的图象关于直线X=1对称，

所以〃x+3)=l-〃l-x)=l-〃l+x)=l-[l-〃3-x)]=〃3-x)=〃x-l),

所以函数/(x)的周期为4,在/(x+3)=l—/(lr)中，分别令x=0和1,

得/⑴+"3)=1，/(0)+/(4)=1,即〃2)+〃4)=1,

所以〃1)+〃2)+〃3)+〃4)=2,

所以“1)+/⑵+L+/(2024)=506x2=1012.

故选：B.

9.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖，多见于亭阁式建

筑、园林建筑.下面以四角攒尖为例，如图1,它的屋顶部分的轮廓可以近似看作如图2所示的正四棱锥

P-ABCD,其中底面边长和攒尖高的比值为若点E是棱尸D的中点，则异面直线PB与CE所成角的正

切值为()

图1

2

B.—D.

22

【答案】C

【详解】解：如图，连接3D,设。为30的中点，:.OE//BP,

异面直线尸3与CE所成角为NOEC或其补角.

连接OC,OP,

所以，在正四棱锥P-ABCD中，OP±OC,BD±OC,OPcBD=O,

.•.OC_L平面依Z),

J.OCVOE,^AB=a,OP=h,则由题意得3=!,08=。。=也〃，

h22

OE=-BP=-ylOB2+OP2=-

222

oc\[la2

..在R，OK。中，tWZ°EC=^

j3'

2

故选：C.

10.已知点尸为直线4:机+6=。与直线4：2x+my-机-6=0(〃zeR)的交点，点。为圆

C:(x+3)2+(y+3)2=8上的动点，贝力尸。1的取值范围为()

A.[20,8应]B.(2夜,80]C.[V2,6A/2]D.(0,6近]

【答案】A

【详解】因为点尸为直线4：〃吠一2丁一%+6=0与直线4：2x+〃9一加一6=0的交点，

所以由2%+(—2)”=。可得/二乙,且4过定点(1,3),'过定点(3,1),

所以点尸的轨迹是以点(1,3)与点(3,1)为直径端点的圆，圆心为(2,2),半径，=1(1—3)2+(3-1)2二夜.

2

而圆C:(x+3>+(y+3)2=8的圆心为(-3,-3),半径为R=2jl，

所以两个圆心的距离d="(2+3)2+(2+3)2=5夜,且〃>厂+R，所以两圆相离，

所以IPQI的最大值为：d+r+R=8&1尸。1的最小值为：d-r-R=2^2,

所以IPQI的取值范围是[2夜,80].

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，根据直线/”4垂直以及过定点得到点尸的轨迹是圆，从而得解.

11.设等比数列｛%｝中，见，。7使函数“力=丁+3。3%2+%工+裙在X=T时取得极值0，则。5的值是()

A.土相或±3&B.后或3五C.±3&D.3亚

【答案】D

/2

【详解】由题意知：/(x)=3x+6a3x+a7,

f(—1)=-1+3a3—%+a；=0

/(尤)在彳=-1处取得极值0,

f(—1)=3—6%+%=0

y或〃3=2

解得:

%=3%=9

当%=1,%=3时，/(%)=3%2+6^+3=3(^+1)2>0,

\/⑴在R上单调递增，不合题意；

当的=2,%=9时，/'(x)=3d+12x+9=3(x+l)(x+3),

.,.当xw(-co,—3)(-1,+co)时，>0；当xe(-3,-1)时，f'(x)<0；

\/(火在(—,-3),(-1,y)上单调递增，在(-3,-1)上单调递减，

."=-1是/(尤)的极小值点，满足题意；

..a§=a3a7=18,又a$与4，%问号，二％=3>/2.

故选：D.

12.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线方程为尤=—1,A(-l,0),P,。为C上两点，且A尸=/L4Q(2>l),

则下列选项第氓的是()

A.OPOQ=5B.AP-AQ>8

C.若2=2,则|尸°上率D.若S&Q°=4叵,则|尸。|=16追

【答案】C

【详解】由抛物线。:丁=2。40>0)的准线方程为彳=-1,可得一^=一1,解得p=2,

所以抛物线C：V=4x,

设直线PQ：X=沙一i,且尸[4手，％；

联立方程组"：尸，整理得/一4小+4=0,

[y=4x

则A=16尸-16AO,解得产＞1,且%+%=4/,yf=4,

由CPCQ=("%)+%%=1+4=5,所以A正确;

16

由AP.AQ=（f）+%：%+]+1%=6+%：％〉6+；y%=8，所以B正确;

当4=2时，由AP=2AQ,可得％=2y2,

则％=2夜，％=血或M=—2血，％=-逝，所以|尸@二浮，所以C错误；

由SPQO=\spOA-SQOJ=g.|x-4%.%=2而_1=4逝,

解得f=±3,所以近，则|PQ]=J1+产.1%-%|=16小，所以D正确.

第二部分（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13.已知函数〃x）=4e（O）x+2（尸（无）是/⑺的导函数），则曲线y=〃x）在x=0处的切线方程

为.

【答案】2x-y+6=0.

【详解】由题意设切点P（0J（0））,因为r（x）=4e'-r（O）,

令x=0,得尸(O)=4e°一/'(O),

由导数几何意义知：左=/'（0）=2,

X/（O）=4e°-r（O）xO+2=6,所以尸（0,6）,

故曲线y=在x=0处的切线方程为：y-6=2（x-0）,

整理得：2x-y+6=0.

故答案为：2x-y+6=0.

丫22

14.已知P是双曲线。:}-1V=〃彳＞0）上任意一点，若尸到C的两条渐近线的距离之积为2:，则C上的

点到焦点距离的最小值为.

【答案】V3-V2

22

【详解】所求的双曲线方程为上-2="彳＞0）,则渐近线方程为无土£y=0,

22

设点尸（％几），则&一九=彳=焉一2北=8彳，

84

点P到C的两条浙近线的距离之积为上卓J.卜修=忖一2）=丝=2,

心+（伪2正+（同333

1f

解得:A=4,故双曲线C方程为：—-y2=l,

故。=忘"=石，故双曲线C上的点到焦点距离的最小值为c-a=6-夜.

故答案为：＞/3—V2.

15.已知长方体力BCD-A耳6。中，侧面BC£片的面积为2,若在棱AD上存在一点M,使得-MBC为等

边三角形，则四棱锥M-8CG用外接球表面积的最小值为.

【答案】更兀

3

【详解】如图，由对称性可知，点M是的中点，设BC=x,则=CG=2,点N是3c的中

2x

点，

由底面矩形BCG瓦的对角线的交点H作底面BCGB1的垂线，过等边三角形MBC的中心G作平面MBC的垂

线，两条垂线交于点。，点。是四棱锥外接球的球心,

&=加=OF+的之+=工尤2+M2.1-x2--=空,

1241x2J3x2V3%23

当卜2=二，即彳=后时，等号成立，则N的最小值为包1.

3x23

所以四棱锥M-8CG4外接球表面积的最小值为述兀.

3

故答案为：述兀

3

16.若.ABC的内角AB,C的对边分别为。也c,tanB=C0SC-SmC,°=岳，点。在边上，仞=6且

cosC+sinC

ADB的面积为2一百,则8=.

2

【答案】3-6

・、4HTI、m、rcosC-sinCsinB_cosC-sinC

【详解】因为tanB=--—―,所以

cosC+sinCcosBcosC+sinC

所以cosCcosB—sinCsinB=sinBcosC+cosBsinC,所以cos（B+C）=sin（B+C）,

即—cosNBAC=sinNBAC,所以tanN胡C=—1,

因为/B4Ce（O,7r）,所以/2AC=^,

因为;^=3

csinABAC

所以sinC=

a2

TTjr

又。<c<“所以c=k

jr

因为点。在边BC上，AD=b,所以C=NAOC=：,

6

3jrTT717T

因为XADC=NB+NBAD，/B=it-------=—,所以NBAD=—,

461212

所以AD=3D=6,

所以=-AD-DBsmZADB=-b2xsin—=^—^,得万=/-1,

△A£®2262

在AWC中，ZDAC=,

4123

由余弦定理可得CD2=AD2+AC2-2AD-ACcosZDAC=2b2-2及=3b2,

得CD=四=3-5

故答案为：3—^3.

【点睛】方法点睛：在处理二角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系.题中

若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理.应用正、余弦定理时，注

意公式变式的应用.解决三角形问题时，注意角的限制范围.

三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试

题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分.

17.陕西省从2022年秋季启动新高考，新高考“3+1+2”模式中“3”为全国统一高考科目的语文、数学、外语,

“1”为首选科目.要求从物理、历史2门科目中确定1门，“2”为再选科目，要求从思想政治、地理、化学、

生物学4门科目中确定2门，共计产生12种组合.某班有学生50名，在选科时，首选科目选历史和物理

的统计数据如下表所示：

历史物理合计

男生12425

女生91625

合计104050

附：,2二7~~八八，其中〃=a+0+c+d

ya+b)yc+d)ya+c)\b+d)

a0.1000.0500.0100.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

(1)根据表中的数据，判断是否有99.5%的把握认为学生选择历史与性别有关；

(2)从选择物理类的40名学生中按照分层抽样，任意抽取5名同学成立学习小组，该小组设正、副组长各一

名，求正、副组长中至少有一名女同学的概率.

【详解】⑴

将表中的数据带入，得到

22

2_n^ad-bc)_50x(216-16)_

”(a+，)(c+d)(a+c)伍+d)25x25x10x40力

所以有99.5%的把握认为学生选择历史与性别有关.........................................5分

(2)

由题意知，抽取的5名同学中，男生有3名，设为A,B,C,女生2名，设为D,E,........6分

从这5名同学中选取2名同学担任正副组长，所有的可能情况有：

AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE,共计10种基本情况，且每种情况的发生是等

可能的.................................................................................8分

其中至少有一名女生的情况有AD，AE,BD,BE,CD,CE,DE,共计有7种情况，….…10分

7

所以尸(至少有一名女生)=—.........................................................12分

18.设等差数列｛4｝的公差为d,记£是数列｛%｝的前几项和，若艮=%+2。，Sl5=a2a3as.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

4s1

(2)若">。也=—数列也｝的前〃项和为T.，求证：Tn<n+~.

an'an+\2

【详解】(1)由醺=%+20,$5=5”%)=5%,得5a3=%+20,解得。3=5,..............1分

由515=。2%4，兀==15,,所以15%=5%%，所以。8=0或。2=3,..............3分

当〃8=。时d=—―=-1,此时为=%+(〃-3)d=8-〃；.................................4分

8—3

当q=3时1=。3—4=2,止匕时为=%+（九一3）d=2〃-1；..................................5分

综上可得数列｛q｝的通项公式为4=8-〃或4=2〃-1；....................................6分

（2）因为d>0,所以。“=2〃-1,则$=0±竺生=〃2,................................7分

2

2

Illib=--4S-”-=----4-/---=--4-n---l+-l--

、nan'an+\（2n-l）（2n+l）（2n-l）（2n+l）

1+7------77-------7=1-1-.-..-.-.-..-.-.-..-.-.-..-.-.-..-.-.-..-.-.......................................................................9分

+2(2〃-12〃+1

19.如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABC。为菱形，ND43=三，侧面SCD是边长为4的正三角形，SA=2V10.

(1)证明：平面SCD_L平面ABC。；

(2)求点A到平面SBC的距离.

【详解】(1)证明：取CD中点及连接SE,AE,BE......................................1分

所以CE=2,ZBCD=|,/ABE=3,故BE=SE=2框,.................................................................3分

y.AE2=AB2+BE2=28,SA=2丽,

所以S&2=AE+SE?,故AE_LSE,4分

因为AEu平面48C。，C£>u平面ABC。，AEcCD=E,

所以SE_L平面A8C£),又因为SEu平面SCO,

所以平面SCD±平面ABCD.............................................................................................................................6分

(2)由(1)知SE_L平面42C，且SE=20,

在，ABC中，AB=BC=4,

所以SAABC=gABx8CxsinNA3c=gx4x4xsing=4百，

^^-ABC=1X^CXSE=1X473X2^=8..................................................................................................8分

在中，SC=BC=4,SBZSE-BE。=2屈，

2

所以S3边上的IWJ/Z=Q4_（娓）=V10,

所以SasBc=gx2#xVI5=2而........................................................10分

设点A到平面SBC的距离为d,

=

则^A-SBC^S-ABC,即§*S^SBCX4=8,解得d=,

所以点A到平面SBC的距离为生叵.....................................................12分

5

22

20.已知椭圆C的方程,+\=1（。＞。＞0）,右焦点为尸（1,0）,且离心率为!

（1）求椭圆C的方程；

（2）设43是椭圆C的左、右顶点，过歹的直线/交C于。，E两点（其中D点在工轴上方），求.ABF与△AEF

的面积之比的取值范围.

【详解】（1）设椭圆焦距为2c,

c1______

由题意可得。=l,e=—=彳，:.a=2,b=ylc^—c2=6，......................................3分

a2

22

故椭圆方程为土+&=1............................................................................................................4分

43

(2)当/斜率不存在时，易知#=案=呼=；；......................................5分

SAEF|AF\a+c3

②当/斜率存在时,设/:%=》+1«工0),0(%,%)(%>0),石(々，%)(%v。)，

x=ty+l

由,得(3〃+4)丁+69_9=0,显然A=36/+36(3*+4)>0,

——+—=1

143

Q

所以M+y广亦,.......................................................7分

1311

因为S语二字4用.|%1=5.（—%），2曲=字即叶段1=5飞，

£

所以a=金二=一;.乂

...................................................................................................................9分

AEF*(-%)%

36/

因为("+%)?(3〃+4匕4-44

2>——

%%9~~~3t+43+43

所以一<0…

<0,

又（X+%）2=y；+2》为+y；=21_+&+2

10分

为y

设乂=左，贝|左<0,--<k+-+2<0,解得一3〈人<一)■且左w—1,

%3k3

q

uBDFA

所以_1,=6

SAEF3y

214

q

JBDF的取值范围为(g,l).

综上可得12分

uAEF

21.已知函数〃x）=lnx+X2-20rMER,

(1)当〃〉0时，讨论/(0的单调性;

(2)若函数“X)有两个极值点看,%2(%<%2)，求2/(%)-/(%2)的最小值.

【详解】(1)因为/(x)=lnx+x2-2以,%>。，

所以广(©=工+2"2”=2/-2办+1,........................................1分

XX

令g(x)=2/-2OX+1,贝ljA=4a2-8=4(t?-2),

因为〃>0,

当0<〃W血时，A<o,则g。)2。，BPr«>0,

此时fM在(0,+oo)上单调递增,..........................................................3分

当a>近时,A>0,由g(X)=。,得$=9——,x4=—-——,且％3<%4,

22

当0<x<%3或兀>九4时，g(%)>0,即r(x)〉O；

当时,g(%)<0，Bpf(x)<0,

所以“尤)在(0,马)，(4位)上单调递增，在(与%4)上单调递减；.............................5分

综上，当O<aV0时，/(龙)在(0,+8)上单调递增，

当a>血时，/(X)在(O，W),(尤4，+°°)上单调递增，在(不，X4)上单调递减，

其中6分

(2)由(1)可知，尤3,羽为〃无)的两个极值点，且

所以玉=W，Z=无4，且为，马是方程2d-2ax+l=0的两不等正根，

此时a>y/2，X]+x?=。>°,X],x?=],

c无、（、

所以占e0,——,x2e——,且有2aI1=2x；+1,2ax2—2xf+1,........................8分

I2JI2）

则2/（%（）—/（%2）=2（lnjq+x：-2axJ-（lnx2+x；—2%）

=2（in玉+芍—2x；—1）—（in尤。+x；—2元;—1）=—2x；+2In±—Inx,+—1

1I3

+21n-----lnx,-l=x"——-——lnx"-21n2-l................................10分

2%一~2x12-

+J__3=（2一）（1）

则g'⑺=1

2r2t~2产

g'⑺<0,则g⑺单调递减,

当te(l,+8)时，g'(f)>0,则g(r)单调递增,

所以g(」g(l)=-气吐

所以27(X)一/(々)的最小值为―一空.................................................12分

(-)选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

选修4-4：坐标系与参数方程

22.已知在平面直角坐标系宜制中，以坐标原点。为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C］的

x=m+y/3cosa

极坐标方程为0=2sin3在平面直角坐标系xOy中，曲线C?的参数方程为r（a为参数）,

y=J3sina

点A的极坐标为且点A在曲线G上.

(1)求曲线C1的普通方程以及曲线C?的极坐标方程;

（2）已知直线-耳y=0与曲线C”G分别交于P,Q两点，其中尸，。异于原点0,求△APQ的面积.

【详解】（1）因为曲线G的极坐标方程为0=2sin6,所以pJ2psin。,

x=pcosd

由y=psin。,得曲线G的直角坐标方程为f+y2—2y=o；

一=一+、

x=m+J3cosa

由曲线G的参数方程为（。为参数），又cosn二+sin2a=1,

y=J3sina

得（%一根）2+J=3,...........................................................................2分

x=pcosd

因为所以（夕cos®—机J+（夕singj=3,gpp2-Impcosd+m2=3,

y=QsinS

即曲线G的极坐标方程为夕2-Impcos6+苏=3.

又点A］疝:］在曲线G上，所以6-2鬲+.=3,解得根=6

所以