广东省高州市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（含答案）

广东省高州市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则选派方案共有（）A．60种 B．80种 C．100种 D．120种2．下面给出四个随机变量：①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数ξ；②一个沿x轴进行随机运动的质点，它在x轴上的位置η；③某派出所一天内接到的报警电话次数X；④某同学上学路上离开家的距离Y．其中是离散型随机变量的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．43．函数f(x)A．y=2x−3 B．y=x−2 C．y=−x D．y=−2x+14．若随机变量的分布列如表，则P(|X1234P11a1A．512 B．12 C．7125．设点P是函数f(x)=ex−A．[0,2π3C．(π2,6．(x−1)2A．−3 B．−1 C．5 D．77．已知函数f(x)=xlnx−2x+aA．[−1,2] B．[0,1] C．8．已知函数f(x)满足f'(x)lnx+1xfA．6a<46<3c B．6a<3c<4b C．46<6a<3c D．4b<3c<6a二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．对于(x−1A．展开式共有8项B．展开式中的常数项是70C．展开式中各项系数之和为0D．展开式中的二项式系数之和为6410．如图是导函数y=fA．函数y=f(x)B．函数y=f(x)C．函数y=f(x)D．函数y=f(x)11．袋中装有6个相同的小球，分别编号为1，2，3，4，5，6．从中不放回的随机抽取两个球，A表示事件“取出的两个球中至少有一个球的编号为奇数”，B表示事件“取出的两个球的编号之和为偶数”，则下列说法正确的是（）A．事件A与事件B不相互独立B．事件A与事件B互斥C．在事件A发生的前提下，事件B发生的概率为1D．在事件B发生的前提下，事件A发生的概率为1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．从甲地去乙地有4班火车，从乙地去丙地有3班轮船，若从甲地去丙地必须经过乙地中转，则从甲地去丙地可选择的出行方式有种．13．有3台车床加工同一类型的零件，第1台加工的次品率为4%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的20%，30%，50%，现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为．14．已知函数f(x)=ex−四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15．甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数分别为7，8，9，10，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为2a，0.2，a，0.2，乙射中10，9，8，7环的概率分别为0.3，0.3，b，b，求ξ，η的分布列．16．某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A，B两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市n(n∈N∗)（1）在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为小集团的概率；（2）若一次抽取3个集团，假设取出大集团的个数为X，求X的分布列．17．已知函数f(（1）若a=1，求f(（2）讨论函数f(18．已知函数f(（1）若a=1，证明：f(（2）若∀x1∈(0,+∞19．已知函数f(（1）求函数f(（2）若函数g(x)=x−f(①求实数a的取值范围；②若x1∈[1e,1)（

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：从6个人选出3人在安排在三种不同类型工作中共有A6故答案为：D．【分析】理解题意，根据排列数计算即可.2．【答案】B【解析】【解答】解：①中，经过的车辆数可以一一列举出来，是离散型随机变量；②中，质点在直线上的位置不能一一列举出来，不是离散型随机变量；③中，报警电话次数可以一一列举出来，是离散型随机变量；④中，离开家的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，不是离散型随机变量，所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③．故答案为：B．【分析】根据定义理解离散型随机变量直接判断即可.3．【答案】A【解析】【解答】解：因为f'(x)=3x所以切线的斜率为f所以切线的方程为y+1=2(x−1)⇒y=2x−3，故答案为：A．【分析】利用导数的几何和直线的点斜式方程，从而求解.4．【答案】A【解析】【解答】解：根据概率之和为1得a=1−1P(|X−2|=1)=P(X=1)+P(X=3)=故答案为：A．【分析】根据概率之和为1求得a，代入计算即可.5．【答案】B【解析】【解答】解：由已知可得：f'(x)=∵设点P处切线的倾斜角为α，∴tanα>−3．∵α∈[0所以α∈[0,故答案为：B．【分析】根据导数的几何意义和倾斜角的关系，即可求得取值范围.6．【答案】C【解析】【解答】解：由已知(x−1展开式中x2的系数为C取x=0，得常数项为2，故x2的系数与常数项之差为7−2=5故答案为：C．【分析】利用二项式定理展开结合赋值法计算即可.7．【答案】B【解析】【解答】解：因为f'(x)=lnx−1，令f'令f'(x)<0，解得1≤x<e．所以f(x)在[1,又f(x)≤0在x∈[1,e2]上恒成立，所以故答案为：B．【分析】根据导数的正负判断原函数的单调性，得到关于a的不等式，即可求得范围.8．【答案】A【解析】【解答】解：因为f'(x)lnx+1xf(x)<0则g'(x)<0在(0,+∞)上恒成立，故所以g(e12故12a<1故答案为：A．【分析】利用已知条件构造函数，利用导数判断函数的单调性，利用不等式的性质即可求解.9．【答案】B,C【解析】【解答】解：对于A：由二项式定理可知(x−1对于B：常数项为C8对于C：令x=1，则展开式中各项系数之和为(1−1对于D：展开式中的二项式系数之和为28=256，故D错误．【分析】根据二项式定理内容和性质直接判断即可.10．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：对于A．因为在(1,3)上f'(x)<0成立，所以B．因为当−2<x<0时，f'(x)>0，当x<−2时，f'(x)<0，所以C．因为当−2<x<1时，f'(x)>0，当1<x<3时，f'(x)<0，函数D．因为当x<−2时，f'(x)<0，当−2<x<1时，f'(x)>0，所以函数故答案为：ACD．【分析】利用已知导函数图象函数值正负，得到函数的单调性逐项判断即可.11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A选项：因为P(A)=1−P(A)，故事件B的概率P(B)=C32+C因为P(AB)≠P(A)⋅P(B)，所以事件A与事件B不相互独立，选项A正确；B选项：“取出的两个球的编号均为奇数”既在事件A中，也在事件B中，故事件A与事件B不互斥，选项B错误；C选项：P(B|D选项：P(A|故答案为：ACD．【分析】利用条件概率和古典概型的概率计算公式进而分析选项即可判断.12．【答案】12【解析】【解答】解：由已知甲地去丙地共有3×4=12（种）．

故答案为：12.【分析】根据分步乘法直接计算即可.13．【答案】5【解析】【解答】解：零件为第i(i=1,2,3)台车床加工记为为事件Ai由已知P(A1)=0.2由全概率公式可知所以P(B)=P(A所以P(A2|B)=P(A2)P(B|【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式即可求得结果.14．【答案】(【解析】【解答】解：因为函数的定义域为R．且f(−x)=e所以f(x)是奇函数．又因为f(x)所以函数在R上单调递增，f(t2+t)+f(3t)<0所以−3t>t2+t，∴所以实数t的取值范围为(−4,0)．【分析】根据题意，得到函数的奇偶性和单调性，等价转化不等式即可得答案.15．【答案】解：由题意得0.2+2a+a+0.0.3+0.所以ξ的分布列为ξ10987P0.40.20.20.2η的分布列为η10987P0.30.30.20.2【解析】【分析】(1)根据ξ、η的可能取值，分别求出每个取值的概率，即可得到分布列.(2)利用(1)所得的分布列，结合数学期望的计算公式，通过运算即可求解.16．【答案】（1）解：由题意知共有n+3个集团，取出2个集团的方法总数是Cn+32，其中全是大集团的情况有Cn整理得到3n2−13n−10=0若2个全是大集团，共有C5若2个全是小集团，共有C3故在取出的2个集团是同一类集团的情况下，全为小集团的概率为310+3（2）解：由题意知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3，P(X=0)=C50P(X=2)=C52故X的分布列为X0123P115155【解析】【分析】(1)利用古典概型的概率计算方法即可求得概率；

(2)由题意知算出分布列，即可求出数学期望.17．【答案】（1）解：若a=1，f(x)令f'(x)=0，解得x=1，所以f(x)在(0,又f(1)=12，所以f(x)在(0,（2）解：f'当a>0时，令f'(x)>0，解得x>1a，令f'(x)<0，解得0<x<1a，当a<0时，令f'(x)>0，解得0<x<−1a，令f'(x)<0，解得x>−1a，【解析】【分析】(1)利用导数函数值的正负即可判断原函数的单调性，结合极值点的定义可得极值.(2)分类讨论a<0和a>0的情况，再利用导数和函数单调性的关系判断函数单调性.18．【答案】（1）证明：若a=1，f(x)=ex−1−x，f'(x)=ex−1，令所以f(x)在(−∞,0)上单调递减，在所以f(x)（2）解：不妨设0<x1<x2所以y=f(x)−12x令g(x)=f(x)−12x2，令h(x)=g'(x)当a<0时，h'(x)<0在(0,当0<a<1时，令h'(x)>0，解得x>ln1a，令所以h(x)在(0,ln1所以h(x)当a≥1时，∵h'(x)=aex−1>e∴h(x)=g'(x)≥0综上所述a的取值范围为[1,【解析】【分析】(1)依据导数判断单调性求得最值后即可证明不等式，(2)构造函数g(x)=f(x)−119．【答案】（1）解：由题知，函数f(x)的定义域为(0,+∞)，当a≤0时，对任意的x>0，f'(x)≤0且f'(x)不恒为零，故当a>0时，令f'(x)=0，解得所以当x∈(0,1a)时，f'此时，函数f(x)的单调递减区间为(0,1a综上，当a≤0时，f(x)的单调递减区间为(0,当a>0时，f(x)的单调递减区间为(0,1a（2）解：①由题知，g(x)=x−f(x)=x−1函数g(x)的定义域为(0,+∞)，当a≤0时，对任意的x>0，g'(x)≥0且g'(x)不恒为零，故当0<a≤2时，Δ=a2−4≤0，g'(x)≥0且g当a>2时，令g'(x)=0，解得x2=a+当