广东省东莞市三校2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题（含答案）

广东省东莞市三校2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题（每小题5分，共40分）1．若函数f(x)A．12 B．0 C．32 2．若C62=A．2 B．3 C．2或4 D．3或43．随机变量X的分布列如表：则c=（）X-101P0.30.5cA．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.64．(x−1x)A．-20 B．5 C．15 D．355．若函数f(xA．4 B．2 C．3 D．16．有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有（）A．34种 B．96种 C．48种 D．144种7．已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是（）A．0.63 B．0.24 C．0.87 D．0.218．函数f(x)=x2−2xA．[1,e+2e) B．(1,e二、多选题（每小题6分，共18分。在每小題给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．下列函数求导正确的是（）A．(2x3−3C．(cosx310．有3台车床加工同一型号的零件．第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%A．任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.015B．任取一个零件是次品的概率为0.0525C．如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为2D．如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为211．关于函数f(x)=2A．x=2是f(x)的极大值点B．函数y=f(x)−x有且只有1个零点C．存在正实数k，使得f(x)>kx成立D．对两个不相等的正实数x1，x2，若f(x三、填空题（每小题5分，共15分）12．(x+y)(2x−3y)513．如图所示，在A，B间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路．则电路不通，则因为焊接点脱落而导致电路不通情况有种．14．若函数f(x)=13x3−x在(a，10−四、解答题（本题5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（1）计算C7（2）已知(3x−1)416．某学校的高二年级有5名数学老师，其中男老师3人，女老师2人．（1）如果任选3人参加校级技能大赛，所选3人中女老师人数为X，求X的分布列；（2）如果依次抽取2人参加市级技能大赛，求在第1次抽到男老师的条件下，第2次抽到也是男老师的概率．17．已知函数f(x)=2ax⋅ln（1）求实数a、b的值；（2）求函数f(x)的单调区间和极值．18．甲乙两家快递公司的“快递小哥”的日工资方案如下：甲公司规定底薪70元，每单奖励1元；乙公司规定底薪100元，每日前45单无奖励，超过45单的部分每单奖励6元．（1）设甲、乙两家快递公司的“快递小哥”日工资分别为y1,y2（单位：元）与送货单数n（单位：单，n∈N（2）假设同一公司的“快递小哥”的日送货单数相同，现从两家公司各随机抽取一名“快递小歌，并记录其100天的送货单数，得到如下条形图：若将频率视为概率，回答下列问题：①记乙快递公司的“快递小哥”日工资为X元，求X的分布列和数学期望；②小赵打算到两家公司中的一家应聘“快递小哥”的工作，如果仅从日工资的角度考虑，请你利用所学的统计知识为他进行选择，并说明理由．19．设函数f(x（1）求f(（2）求f(（3）已知21x+1>(x+1

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：由题意，f(x)=lnx−2x+1，且x∈0,+∞所以f'故答案为：B.【分析】对f(x)进行求导，再令x=12．【答案】C【解析】【解答】解：因为C62=C6n，

根据组合数的性质得：n=2或故答案为：C.【分析】根据组合数公式的性质求解即可.3．【答案】A【解析】【解答】解：由分布列性质：概率之和等于1：

则0.3+0.5+c=1，故答案为：A.【分析】由分布列中的概率和为1可直接求得结果.4．【答案】C【解析】【解答】解：由(x−1x)6，先求通项，要求的是x−2的项的系数，

则令6−2r=−2，

解得：r=4，

x−2项的系数为(−1)故答案为：C.【分析】根据二项式定理求解.5．【答案】D【解析】【解答】解：由题意，函数f(对上式进行求导得：

f'令x=1，

则f'(1)=3−2f'则f'故答案为：D.【分析】求出函数f(6．【答案】B【解析】【解答】解：由题意，第一步：由乙、丙两人必须相邻有A22种排法；

第二步：甲在排头或排尾有2种排法；

第三步：剩下还有3个人，由于甲占去头或尾，三个人与（乙丙一体），此时当作有四个人进行全排列有A44种排法；

故答案为：C.【分析】先根据乙丙两人相邻利用捆绑法，接着分类讨论甲的位置，进而利用分步计数原理进行求解即可.7．【答案】C【解析】【解答】从某地市场上购买一个灯泡，设买到的灯泡是甲厂产品为事件A，买到的灯泡是乙厂产品为事件B，则由题可知P(A)＝0.7，P(B)＝0.3，从甲厂产品中购买一个，设买到的产品是合格品为事件C，从乙厂产品中购买一个，设买到的产品是合格品为事件D，则由题可知P(C)＝0.9，P(D)＝0.8，由题可知A、B、C、D互相独立，故从该地市场上买到一个合格灯泡的概率为：P(AC)＋P(BD)＝P(A)P(C)＋P(B)P(D)＝0.7×0.9＋0.3×0.8＝0.87．故答案为：C．

【分析】利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，进而得出从该地市场上买到一个合格灯泡的概率。8．【答案】D【解析】【解答】解：由f2(x)−af解得：f(x)=1或f(x)=a−1.当x≤0时，f(x)=x2−2x=(x−1)2−1，当x>0时，f(x)=2xex，

当0<x<1时f'(x)>0，

所以f(x)在(0,1]上单调递增；

当x>1时f'(x)<0，

所以f(x)在[1,+∞)上单调递减.

所以x>0时，f(x)max=f(1)=若原方程有四个不同的解，则存在四个不同的实数x满足f(x)=1或f(x)=a−1，而f(x)=1只有一个解，所以方程f(x)=a−1至少有三个解.假设a−1≤0，则当x<0时f(x)=x2−2x=x(x−2)>0≥a−1，

当x>0时f(x)=2xex假设a−1≥2e，

则当x>0，x≠1时有从而f(x)=a−1在(0,+∞)上至多有一个解，

由f(x)在(−∞,0]上单调递减知所以f(x)=a−1至多有两个解，矛盾，

所以a−1<2综上，有0<a−1<2e，即另一方面，当1<a<1+2e即0<a−1<2由于f(−a)=a+2a>a>a−1，且f(u)=2u故f(x)=a−1在(−a,0)，(0而f(−2+1)=1，1≠a−1（因为a−1<2e<1），

综上，a的取值范围是(1,1+2故答案为：D.【分析】先将原方程变形为f(x)=1或f(x)=a−1，然后分析f(x)的单调性，再对不同的a进行分类讨论即可得到结果.9．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：对于A：(2x对于B：(e对于C：令u=x3，则对于D：(2故答案为：ABD．【分析】直接根据导数的运算法则及复合函数求导方法计即可判断．10．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：A：由题意任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为6%×25%=1.B：由题设，任取一个零件是次品的概率为6%×25%+5%×30%+5%×45%=5.C：由条件概率，取到的零件是次品，则是第2台车床加工的概率为5%×30%6%×25%+5%×30%+5%×45%D：由条件概率，取到的零件是次品，则是第3台车床加工的概率为5%×45%6%×25%+5%×30%+5%×45%故答案为：ABC.【分析】利用乘法公式、互斥事件加法求概率判断A、B正误；应用条件概率公式求C、D描述中对应的概率，判断正误.11．【答案】B,D【解析】【解答】A.函数的定义域为(0，+∞)，函数的导数f'(x)=−2x2+1x=x−2x2，∴B.y=f(x)−x=2x+lnx−x，∴y'=−2x2+C.若f(x)>kx，可得k<2x2+lnxx，令g(x)=2x2+lnxx，则g'(x)=−4+x−xlnxx3，令h(x)=−4+x−xlnx，则h'(x)=−lnx，D.令t∈(0，2)，则2−t∈(0，2)，2+t>2，令g(t)=f(2+t)−f(2−t)=22+t+ln(2+t)−22−t−ln(2−t)=4tt2−4+ln2+t2−t，则g'(t)=4(t2−4)−8t2(t2−4)故答案为：BD.

【分析】对f(x)求导，分析f'(x)的正负，得f(x)的单调性，极值，即可判断A；对y=f(x)−x=2x+lnx−x，求导，分析单调性，极值，即可判断B；若f(x)>kx，可得k<2x2+lnxx，令g(x)=2x212．【答案】-360【解析】【解答】解：(2x−3y)5展开式的通项为T①令r=2，则yC②令r=3，则xC综上可得：展开式中x3y3故答案为：−360．【分析】先求出(2x−3y)513．【答案】13【解析】【解答】解：若脱落1个，则有（1），（4）两种情况，若脱落2个，则有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6种情况，若脱落3个，则有（1，2，3），（1，2，4），（2，3，4），（1，3，4）共4种情况.若脱落4个，则有（1，2，3，4）共1种情况，综上共有2+6+4+1=13种情况.故答案为：13.【分析】分类讨论，列举出脱落1个，2个，3个，4个焊接点导致电路不通的情况，求出答案.14．【答案】[−2，1)【解析】【解答】f'(x)=x2−1=(x+1)(x−1)，令f令f'(x)<0得−1<x<1，所以函数f(x)的单调递增区间为(−∞，−1)和(1，+∞)，减区间为(−1，1).所以要使函数f(x)=13x−x在(a，10−故答案为：[-2，1）.

【分析】求导，根据“当f'（x）>0（<0）时，函数f（x）单调递增（减）”求出函数f（x）的单调区间并画出函数的草图，根据图象列出不等式组即可求解.15．【答案】（1）解：C（2）解：令x=1，得a0令x=0，得∴【解析】【分析】（1）利用排列数与组合数公式计算即可得到结果；

（2）利用赋值法求解即可得到结果.16．【答案】（1）解：由题可知X的所有可能取值为0，1，2，依题意得：P(X=0)=C∴X的分布列为：X012P133（2）解：设第1次抽到男老师为事件A，第2次抽到男老师为事件B，则第1次和第2次都抽到男老师为事件AB，根据分步计数原理n(A)所以P(【解析】【分析】（1）先写出X的所有可能取值为0，1，2，再求出对应可能值的概率即可得到分布列．（2）利用条件概率公式进行转化求解即可得到结果．17．【答案】（1）解：因为f(x)=2ax⋅lnx+3b，该函数的定义域为(0,因为函数f(x)=2ax⋅lnx+3b（a、b为实数）的图象在点(1,则f'(1)=2a=1f(1)=3b=2（2）解：由（1）可得f(x)=xlnx+2，该函数的定义域为(0,由f'(x)=0可得x(01(f−0+f(x)减极小值增所以，函数f(x)的减区间为(0,1e极小值为f(1【解析】【分析】（1）求导，利用导数得到切线斜率，根据其几何意义列出关于a、b的方程组，即可得出实数a、b的值；（2）利用导数分析函数f(x)的单调性，结合单调性与极值进行计算即可得到结果.18．【答案】（1）解：甲快递公司的“快递小哥”的日工资y1中与送货单数n的函数关系式为y1=f乙快递公司的“快递小哥”的日工资y2与送货单数n的函数关系式为y（2）解：①由条形图得x的取值范围为{100,P(X=100)P(X=118)所以X的分布列为X100106118130P0.20.30.40.1故X的数学期望为E(②甲快递公司的“快递小哥”日平均送货单数为42×0.所以甲快递公司的“快递小哥”日平均工资为70+45=115（元），由①知，乙快递公司的“快递小哥”日平均工资为112元．故推荐小赵去甲快递公司应聘．【解析】【分析】（1）根据题意，由已知条件列出关系式，即可得到甲快递公司的“快递小哥”的日工资y1和乙快递公司的“快递小哥”的日工资y2与送货单数（2）①由条形图得x的取值范围为{100,106,118,130}，求得P(X=100)②根据条形图求甲快递公司的“快递小哥”日平均工资，由第（1）问知，乙快递公司的“快递小哥”日平均工资，比较可得结论．19．【答案】（1）解：因为f'当f'(x)>0时，即ln(x+1)+1>0当f'(x)<0时，即ln(x+1)+1<0，解得1所以函数f(x)的单调递增区间是(−1,函数f(x)的单调递减区间是(1（2）解：当f'(x)=0时，由（1）可知f(x)在(−1,1e所以在区间(−1,0)上，当x=1e−1当x<0时，x→−1+，f(x)→−∞，x