2024-2025学年湖南省岳阳市岳阳县第一中学高二下学期开学考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省岳阳市岳阳县第一中学高二下学期开学考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.抛物线y2=x的焦点坐标是(

)A.12,0 B.14,0 C.2.已知M5,−1,2，A4,2,−1，O为坐标原点，若OM=AB，则点BA.(−1,3,−3) B.(9,1,1) C.1,−3,3 D.−9,−1,−13.在三角形ABC中，AC=3，AB=4，∠CAB=120∘，则ABA.10 B.12 C.−10 D.−124.在三棱柱ABC−A1B1C1中，若AC=a，AB=A.a+b−c B.a−b5.已知四棱锥P−ABCD中，AB=(4,−2,3)，AD=(−4,1,0)，AP=(−6,2,−8)，则点P到底面ABCD的距离为A.2613 B.2626 C.6.在等比数列an中，a2,a6是方程x2−8x+m=0两根，若A.−9 B.−3 C.3 D.97.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，P为椭圆CA.x281+y264=1 B.8.过抛物线C:y2=8x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，且AB=3FB，则直线A.±2 B.±2 C.±2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知数列an的前n项和Sn=1A.a1=1 B.数列an为单调递增数列

C.数列an10.下列关于双曲线x2−y2A.离心率为2 B.焦距为2

C.两条渐近线互相垂直 D.11.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是棱BA.A，B，E，D1四点共面 B.DF⊥BE

C.直线AF与BE所成角的余弦值为23 D.点E到直线D三、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。12.双曲线C:x2−y213.在平面直角坐标系Oxy中，已知△ABC的顶点A(−4,0)，B(4,0)，点C在椭圆x225+y2914.已知圆O:x2+y2=1，直线l:x+y−2=0，过直线l上一点P作圆O的两条切线，切点分别为A,B，则四边形15.若数列an满足a2=11,an+1=116.设Ox，Oy，Oz是空间中两两夹角都为θ的三条数轴，e1，e2，e3分别是与x，y，z轴正方向同向的单位向量，若OP=xe1+ye2+ze3，x(1)若a=x,6,−3θ，b=3,y,0θ(2)若OA=2,0,0π3，OB=0,2,0π3四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题12分)某城市在进行新冠疫情防控中，为了解居民对新冠疫情防控的满意程度，组织居民给活动打分(分数为整数，满分为100分)，从中随机抽取一个容量为180的样本，发现所有数据均在40,100内．现将这些分数分成以下6组并画出了样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示．观察图形，回答下列问题：(1)算出第三组60,70的频数，并补全频率分布直方图；(2)请根据频率分布直方图，估计样本的众数、中位数和平均数．(每组数据以区间的中点值为代表)18.(本小题12分)已知命题P“存在x∈R,x2−2x+m≤0”，命题q：“曲线x25−m(1)若“P且”是真命题，求m的取值范围；(2)若q是r的必要不充分条件，求t的取值范围．19.(本小题12分)圆C的圆心为C2,0，且过点A(1)求圆C的标准方程；(2)直线l：kx+y−1=0与圆C交M，N两点，且MN=2，求20.(本小题12分)已知双曲线C:x2a2−(1)求双曲线C的方程；(2)已知直线x−y+m=0与双曲线C交于不同的两点A、B，且线段AB的中点在圆x2+y221.(本小题12分)已知数列an满足a1=1，且点(1(1)求数列an(2)数列{anan+1}前n项和为Tn，求能使T22.(本小题12分)在三棱台ABC−A1B1C1中，C1C⊥平面ABC，CA⊥CB，(Ⅰ)求证：B1P //平面(Ⅱ)求平面B1CP与平面ACC参考答案1.B

2.B

3.A

4.D

5.D

6.D

7.C

8.C

9.ABC

10.ACD

11.BD

12.y=±2x

13.5414.1

15.101116.1；417.解：(1)因为各组的频率之和等于1，所以分数在60,70内的频率为：f=1−10(0.005+0.015+0.030+0.025+0.010)=0.15，所以第三组60,70的频数为180×0.15=27(人)，完整的频率分布直方图如图，(2)因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数的估计值为75分；因为(0.05+0.15+0.15)×10=0.35<0.5，(0.05+0.15+0.15+0.3)×10>0.5，所以中位数位于70,80上，所以中位数的估计值为：70+0.5−0.35又根据频率分布直方图，样本的平均数的估计值为：45×(10×0.005)+55×(10×0.015)+65×(10×0.015)+75×(10×0.03)+85×(10×0.025)+95×(10×0.01)=73.5(分)．所以，样本的众数为75分，中位数75分，平均数为73.5分．

18.解：(1)若P为真：Δ=4−4m≥0解得m≤1若q为真：则5−m>1+m解得−1<m<2若“P且q”是真命题，则m≤1解得−1<m≤1(2)由q是r的必要不充分条件，则可得(t,t+1)⫋(−1,2)即t≥−1t+1≤2(等号不同时成立解得−1≤t≤1

19.解：1)因为圆的半径r=所以圆的标准方程为：x−22(2)设圆心C2,0到直线l：kx+y−1=0的距离为d则d=|2k−1|由垂径定理可得d2即2k−11+k22

20.解：(1)由题知，ba设右焦点F2c,0，取一条渐近线则焦点到渐近线的距离d=|∴c2=所以双曲线的方程为x2(2)设A(x1,由y=x+mx2−则x1+x所以y1则AB中点坐标为m,2m，代入圆x2+y解得m=±2．

21.解：(1)点(1an+1,1a所以数列1an是以首项为1a1故1an=1+2(2)an+1所以T即Tn=121−故要使Tn<3m−12对n∈N∗恒成立，需使3m−12≥又m∈Z，所以m的最小值为5．

22.解：(Ⅰ)取AC的中点Q，连接PQ，C1Q，得PQ为△ABC的中位线，

∴PQ//BC，且PQ=12BC．

而A1C1=1，A1C1=B