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文档简介
高中学业水平合格性考试模拟测试卷(五)(时间:90分钟,满分:150分)一、选择题:本大题共12小题,每小题6分,共72分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∩Q=()A.(2,3) B.(2,3]C.[2,3) D.[2,3]2.以-3+i的虚部为实部,以3i+i2的实部为虚部的复数是()A.1-i B.1+iC.-3+3i D.3+3i3.设x∈R,则“1<x<2”是“|x-2|<1”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知函数f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=ex,则f(-1)=()A.eq\f(1,e) B.-eq\f(1,e)C.e D.-e5.已知△ABC的角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若A=60°,B=75°,c=8,则a=()A.4eq\r(7) B.4eq\r(6)C.4eq\r(5) D.4eq\r(2)6.已知某19个数据的平均数为5,方差为2,现加入一个数5,此时这20个数据的平均数为eq\o(x,\s\up6(-)),方差为s2,则()A.eq\o(x,\s\up6(-))=5,s2=2 B.eq\o(x,\s\up6(-))=5,s2>2C.eq\o(x,\s\up6(-))=5,s2<2 D.eq\o(x,\s\up6(-))>5,s2<27.从装有两个白球和两个黄球(球除颜色外其他均相同)的口袋中任取2个球,以下给出了四组事件:①至少有1个白球与至少有1个黄球;②至少有1个黄球与都是黄球;③恰有1个白球与恰有1个黄球;④至少有1个黄球与都是白球.其中互斥而不对立的事件共有()A.0组 B.1组C.2组 D.3组8.已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),λ∈R,若(m+n)⊥(m-n),则λ=()A.-4 B.-3C.-2 D.-19.将函数y=sinx的图象向左平移eq\f(π,2)个单位,得到函数y=f(x)的图象,则下列说法正确的是()A.y=f(x)是奇函数B.y=f(x)的周期为πC.y=f(x)的图象关于直线x=eq\f(π,2)对称D.y=f(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(π,2),0))对称10.若关于x的不等式2ax2-4x<ax-2只有一个整数解,则实数a的取值范围是()A.eq\f(1,2)<a≤1 B.1<a<2C.1≤a<2 D.-1<a<111.已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2,侧棱长为eq\r(3),D为BC中点,则三棱锥AB1DC1的体积为()A.3 B.eq\f(3,2)C.1 D.eq\f(\r(3),2)12.如图,在四面体ABCD中,截面PQMN是正方形,则在下列说法中不正确的为()A.AC⊥BDB.AC∥截面PQMNC.AC=BDD.异面直线PM与BD所成的角为45°二、填空题:本大题共6小题,每小题6分,共36分.13.计算:2log23+log43=__________.14.若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a与b夹角的余弦值为__________.15.已知0<α<eq\f(π,2),且cosα=eq\f(4,5),则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α+\f(π,4)))=__________.16.如图所示,在三棱锥PABC中,平面PAB⊥底面ABC,且PA=PB=PC,则△ABC是________三角形.17.函数f(x)=2x+eq\f(1,x-1)(x>1)的最小值为__________.18.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,则f(3)≥f(x-1)的解集为____________.三、解答题:本大题共4个大题,第19~21题各10分,第22题12分,共42分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.19.已知函数f(x)=sinx-sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(π,3))).(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))的值;(2)求f(x)的单调递增区间.20.如图,已知AB为圆柱OO1底面圆O的直径,C为eq\o(AB,\s\up12(︵))的中点,点P为圆柱上底面圆O1上一点,PA⊥平面ABC,PA=AB,过点A作AE⊥PC,交PC于点E.(1)求证:AE⊥PB;(2)若点C到平面PAB的距离为1,求圆柱OO1的表面积.21.已知某排球比赛采用5局3胜制,前4局比赛采用25分制,每个队只有赢得至少25分,并同时超过对方2分时,才胜1局;在决胜局(第五局)采用15分制,每个队只有赢得至少15分,并领先对方2分为胜.在每局比赛中,发球方赢得此球后可得1分,并获得下一球的发球权,否则交换发球权,并且对方得1分.现有甲、乙两队进行排球比赛.(1)若前三局比赛中甲已经赢两局,乙赢一局.接下来两队赢得每局比赛的概率均为eq\f(1,2),求甲队最后赢得整场比赛的概率;(2)若前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛.在决胜局(第五局)中,两队当前的得分为甲、乙各14分,且甲已获得下一发球权.若甲发球时甲赢1分的概率为eq\f(2,5),乙发球时甲赢1分的概率为eq\f(3,5),得分者获得下一个球的发球权.设两队打了x(x≤4)个球后甲赢得整场比赛,求x的取值及相应的概率P(x).22.设常数a∈R,函数f(x)=(a-x)|x|.(1)若a=1,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)是奇函数,且关于x的不等式mx2+m>f[f(x)]对所有的x∈[-2,2]恒成立,求实数m的取值范围.参考答案高中学业水平合格性考试模拟测试卷(五)1.D2.A-3+i的虚部为1,3i+i2=-1+3i的实部为-1,故所求复数为1-i.3.A因为|x-2|<1等价于-1<x-2<1,即1<x<3,由于(1,2)(1,3),所以“1<x<2”是“|x-2|<1”的充分不必要条件,故选A.4.D因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),又当x>0时,f(x)=ex,所以f(-1)=-f(1)=-e.故选D.5.B6.C原19个数据的平均数为5,方差为2,加入一个数5之后,这20个数的平均数为eq\o(x,\s\up6(-))=eq\f(1,20)×(19×5+5)=5,方差s2=eq\f(1,20)[19×2+(5-5)2]=eq\f(19,10)<2.故选C.7.A对于①,至少有1个白球包括1个白球1个黄球,2个都是白球;至少有1个黄球包括1个白球1个黄球,2个都是黄球,所以这两个事件有可能同时发生,所以不是互斥事件,对于②,至少有1个黄球包括1个白球1个黄球,2个都是黄球,所以至少有1个黄球与都是黄球有可能同时发生,所以不是互斥事件,对于③,恰有1个白球与恰有1个黄球是同一个事件,所以不是互斥事件,对于④,至少有1个黄球包括1个白球1个黄球,2个都是黄球,与都是白球不可能同时发生,且一次试验中有一个必发生,所以是对立事件,所以这4组事件中互斥而不对立的事件共有0组,故选A.8.Bm+n=(2λ+3,3),m-n=(-1,-1),因为(m+n)⊥(m-n),所以(2λ+3)×(-1)+3×(-1)=0,解得λ=-3,故选B.9.D将函数y=sinx的图象向左平移eq\f(π,2)个单位,得到函数y=f(x)的图象,则y=f(x)=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(π,2)))=cosx.此函数为偶函数,周期为2π.由于feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(π,2)))=coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(π,2)))=coseq\f(π,2)=0,所以y=f(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(π,2),0))对称,故选D.10.C由题意得2ax2-(4+a)x+2=(2x-1)·(ax-2)<0只有一个整数解.当a=0时,不符合题意;当a≠0时,若(2x-1)(ax-2)<0只有一个整数解,则a>0,且1<eq\f(2,a)≤2,解得1≤a<2.故选C.11.C在正三棱柱ABCA1B1C1中,因为AD⊥BC,AD⊥BB1,BB1∩BC=B,所以AD⊥平面B1DC1,所以VAB1DC1=eq\f(1,3)S△B1DC1·AD=eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×eq\r(3)×eq\r(3)=1,故选C.12.C在四面体ABCD中,因为截面PQMN是正方形,所以PQ∥MN,PQ⊄平面ACD,MN⊂平面ACD,所以PQ∥平面ACD.因为平面ACB∩平面ACD=AC,所以PQ∥AC,可得AC∥平面PQMN,同理可得BD∥平面PQMN,BD∥PN,因为PN⊥PQ,所以AC⊥BD.由BD∥PN,所以∠MPN是异面直线PM与BD所成的角,且为45°.由上面可知BD∥PN,PQ∥AC,eq\f(PN,BD)=eq\f(AN,AD),eq\f(MN,AC)=eq\f(DN,AD),而AN与DN不一定相等,PN=MN,所以BD与AC不一定相等.综上可知,A,B,D都正确.故选C.13.解析:2log23+log43=2log23·2log43=3×2log43=3×2log2eq\r(3)=3eq\r(3).答案:3eq\r(3)14.解析:由|a|=|a+2b|两边平方,整理得a·b=-b2,所以cos〈a,b〉=eq\f(a·b,|a|·|b|)=eq\f(-b2,3|b|·|b|)=-eq\f(1,3).答案:-eq\f(1,3)15.解析:因为0<α<eq\f(π,2),cosα=eq\f(4,5),所以sinα=eq\r(1-cos2α)=eq\f(3,5),所以tanα=eq\f(sinα,cosα)=eq\f(3,4),所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α+\f(π,4)))=eq\f(tanα+tan\f(π,4),1-tanα·tan\f(π,4))=eq\f(\f(3,4)+1,1-\f(3,4)×1)=7.答案:716.解析:设P在平面ABC上的射影为O,因为平面PAB⊥底面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,所以O∈AB.因为PA=PB=PC,所以OA=OB=OC,所以O是△ABC的外心,且是AB的中点,所以△ABC是直角三角形.答案:直角17.解析:因为x>1,所以x-1>0,所以f(x)=2x+eq\f(1,x-1)=2(x-1)+eq\f(1,x-1)+2≥2eq\r(2(x-1)·\f(1,x-1))+2=2eq\r(2)+2,当且仅当2(x-1)=eq\f(1,x-1)即x=eq\f(\r(2),2)+1时,等号成立,故f(x)min=2eq\r(2)+2.答案:2eq\r(2)+218.解析:作出函数y=f(x)的图象如图所示.则f(3)≥f(x-1)等价于-3≤x-1≤3.所以-2≤x≤4.所以f(3)≥f(x-1)的解集为{x|-2≤x≤4}.答案:{x|-2≤x≤4}19.解:(1)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))=sineq\f(π,2)-sin(eq\f(π,2)+eq\f(π,3))=1-eq\f(1,2)=eq\f(1,2).(2)f(x)=sinx-sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(π,3)))=sinx-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinxcos\f(π,3)+cosxsin\f(π,3)))=sinx-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sinx+\f(\r(3),2)cosx))=eq\f(1,2)sinx-eq\f(\r(3),2)cosx=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(π,3))).函数y=sinx的单调递增区间为[2kπ-eq\f(π,2),2kπ+eq\f(π,2)](k∈Z),令2kπ-eq\f(π,2)≤x-eq\f(π,3)≤2kπ+eq\f(π,2)(k∈Z),解得2kπ-eq\f(π,6)≤x≤2kπ+eq\f(5π,6)(k∈Z),所以f(x)的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ-\f(π,6),2kπ+\f(5π,6)))(k∈Z).20.解:(1)证明:因为AB为圆柱OO1底面圆O的直径,C为eq\o(AB,\s\up12(︵))的中点,所以BC⊥AC,因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC,又因为PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,因为AE⊂平面PAC,所以BC⊥AE,又因为AE⊥PC,且PC∩BC=C,所以AE⊥平面PBC,因为PB⊂平面PBC,所以AE⊥PB.(2)因为点C到平面PAB的距离为1且C为eq\o(AB,\s\up12(︵))的中点,所以PA=AB=2,所以圆柱OO1的表面积为S=2×π×12+2π×1×2=6π.21.解:(1)甲队最后赢得整场比赛的情况为第四局赢或第四局输第五局赢,所以甲队最后赢得整场比赛的概率为eq\f(1,2)+eq\f(1,2)×eq\f(1,2)=eq\f(3,4).(2)根据比赛规则,x的取值只能为2或4,对应比分为16∶14,17∶15.两队打了2个球后甲赢得整场比赛,即打第一个球甲发球甲得分,打第二个球甲发球甲得分,此时概率P(2)=eq\f(2,5)×eq\f(2,5)=eq\f(4,25);两队打了4个球后甲赢得整场比赛,即打第一个球甲发球甲得分,打第二个球甲发球甲失分,打第三个球乙发球甲得分,打第四个球甲发球甲得分,或打第一个球甲发球甲失分,打第二个球乙发球甲得分,打第三个球甲发球甲得分,打第四个球甲发球甲得分,此时概率为P(4)=eq\f(2,5)×eq\f(3,5)×eq\
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