高中数学学业水平合格性考试模拟测试卷(五)含答案

高中学业水平合格性考试模拟测试卷(五)(时间：90分钟，满分：150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∩Q＝()A．(2，3) B．(2，3]C．[2，3) D．[2，3]2．以－3＋i的虚部为实部，以3i＋i2的实部为虚部的复数是()A．1－i B．1＋iC．－3＋3i D．3＋3i3．设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知函数f(x)是奇函数，且当x＞0时，f(x)＝ex，则f(－1)＝()A．eq\f(1,e) B．－eq\f(1,e)C．e D．－e5．已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A＝60°，B＝75°，c＝8，则a＝()A．4eq\r(7) B．4eq\r(6)C．4eq\r(5) D．4eq\r(2)6．已知某19个数据的平均数为5，方差为2，现加入一个数5，此时这20个数据的平均数为eq\o(x,\s\up6(－))，方差为s2，则()A．eq\o(x,\s\up6(－))＝5，s2＝2 B．eq\o(x,\s\up6(－))＝5，s2＞2C．eq\o(x,\s\up6(－))＝5，s2＜2 D．eq\o(x,\s\up6(－))＞5，s2＜27．从装有两个白球和两个黄球(球除颜色外其他均相同)的口袋中任取2个球，以下给出了四组事件：①至少有1个白球与至少有1个黄球；②至少有1个黄球与都是黄球；③恰有1个白球与恰有1个黄球；④至少有1个黄球与都是白球．其中互斥而不对立的事件共有()A．0组 B．1组C．2组 D．3组8．已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，λ∈R，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝()A．－4 B．－3C．－2 D．－19．将函数y＝sinx的图象向左平移eq\f(π,2)个单位，得到函数y＝f(x)的图象，则下列说法正确的是()A．y＝f(x)是奇函数B．y＝f(x)的周期为πC．y＝f(x)的图象关于直线x＝eq\f(π,2)对称D．y＝f(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))对称10．若关于x的不等式2ax2－4x＜ax－2只有一个整数解，则实数a的取值范围是()A．eq\f(1,2)＜a≤1 B．1＜a＜2C．1≤a＜2 D．－1＜a＜111．已知正三棱柱ABC­A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为eq\r(3)，D为BC中点，则三棱锥A­B1DC1的体积为()A．3 B．eq\f(3,2)C．1 D．eq\f(\r(3),2)12．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列说法中不正确的为()A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．13．计算：2log23＋log43＝__________．14．若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为__________．15．已知0＜α＜eq\f(π,2)，且cosα＝eq\f(4,5)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝__________．16．如图所示，在三棱锥P­ABC中，平面PAB⊥底面ABC，且PA＝PB＝PC，则△ABC是________三角形．17．函数f(x)＝2x＋eq\f(1,x－1)(x＞1)的最小值为__________．18．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(3)≥f(x－1)的解集为____________．三、解答题：本大题共4个大题，第19～21题各10分，第22题12分，共42分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．19．已知函数f(x)＝sinx－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))).(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))的值；(2)求f(x)的单调递增区间．20.如图，已知AB为圆柱OO1底面圆O的直径，C为eq\o(AB,\s\up12(︵))的中点，点P为圆柱上底面圆O1上一点，PA⊥平面ABC，PA＝AB，过点A作AE⊥PC，交PC于点E.(1)求证：AE⊥PB；(2)若点C到平面PAB的距离为1，求圆柱OO1的表面积．21．已知某排球比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局(第五局)采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜．在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分．现有甲、乙两队进行排球比赛．(1)若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局．接下来两队赢得每局比赛的概率均为eq\f(1,2)，求甲队最后赢得整场比赛的概率；(2)若前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛．在决胜局(第五局)中，两队当前的得分为甲、乙各14分，且甲已获得下一发球权．若甲发球时甲赢1分的概率为eq\f(2,5)，乙发球时甲赢1分的概率为eq\f(3,5)，得分者获得下一个球的发球权．设两队打了x(x≤4)个球后甲赢得整场比赛，求x的取值及相应的概率P(x).22．设常数a∈R，函数f(x)＝(a－x)|x|.(1)若a＝1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)是奇函数，且关于x的不等式mx2＋m>f[f(x)]对所有的x∈[－2，2]恒成立，求实数m的取值范围．参考答案高中学业水平合格性考试模拟测试卷(五)1．D2．A－3＋i的虚部为1，3i＋i2＝－1＋3i的实部为－1，故所求复数为1－i.3．A因为|x－2|＜1等价于－1＜x－2＜1，即1＜x＜3，由于(1，2)(1，3)，所以“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的充分不必要条件，故选A.4．D因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，又当x＞0时，f(x)＝ex，所以f(－1)＝－f(1)＝－e.故选D.5．B6．C原19个数据的平均数为5，方差为2，加入一个数5之后，这20个数的平均数为eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,20)×(19×5＋5)＝5，方差s2＝eq\f(1,20)[19×2＋(5－5)2]＝eq\f(19,10)＜2.故选C.7．A对于①，至少有1个白球包括1个白球1个黄球，2个都是白球；至少有1个黄球包括1个白球1个黄球，2个都是黄球，所以这两个事件有可能同时发生，所以不是互斥事件，对于②，至少有1个黄球包括1个白球1个黄球，2个都是黄球，所以至少有1个黄球与都是黄球有可能同时发生，所以不是互斥事件，对于③，恰有1个白球与恰有1个黄球是同一个事件，所以不是互斥事件，对于④，至少有1个黄球包括1个白球1个黄球，2个都是黄球，与都是白球不可能同时发生，且一次试验中有一个必发生，所以是对立事件，所以这4组事件中互斥而不对立的事件共有0组，故选A.8．Bm＋n＝(2λ＋3，3)，m－n＝(－1，－1)，因为(m＋n)⊥(m－n)，所以(2λ＋3)×(－1)＋3×(－1)＝0，解得λ＝－3，故选B.9．D将函数y＝sinx的图象向左平移eq\f(π,2)个单位，得到函数y＝f(x)的图象，则y＝f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝cosx．此函数为偶函数，周期为2π.由于feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝coseq\f(π,2)＝0，所以y＝f(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))对称，故选D.10．C由题意得2ax2－(4＋a)x＋2＝(2x－1)·(ax－2)＜0只有一个整数解．当a＝0时，不符合题意；当a≠0时，若(2x－1)(ax－2)＜0只有一个整数解，则a＞0，且1＜eq\f(2,a)≤2，解得1≤a＜2.故选C.11．C在正三棱柱ABC­A1B1C1中，因为AD⊥BC，AD⊥BB1，BB1∩BC＝B，所以AD⊥平面B1DC1，所以VA­B1DC1＝eq\f(1,3)S△B1DC1·AD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×eq\r(3)×eq\r(3)＝1，故选C.12．C在四面体ABCD中，因为截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN，PQ⊄平面ACD，MN⊂平面ACD，所以PQ∥平面ACD.因为平面ACB∩平面ACD＝AC，所以PQ∥AC，可得AC∥平面PQMN，同理可得BD∥平面PQMN，BD∥PN，因为PN⊥PQ，所以AC⊥BD.由BD∥PN，所以∠MPN是异面直线PM与BD所成的角，且为45°.由上面可知BD∥PN，PQ∥AC，eq\f(PN,BD)＝eq\f(AN,AD)，eq\f(MN,AC)＝eq\f(DN,AD)，而AN与DN不一定相等，PN＝MN，所以BD与AC不一定相等．综上可知，A，B，D都正确．故选C.13．解析：2log23＋log43＝2log23·2log43＝3×2log43＝3×2log2eq\r(3)＝3eq\r(3).答案：3eq\r(3)14．解析：由|a|＝|a＋2b|两边平方，整理得a·b＝－b2，所以cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(－b2,3|b|·|b|)＝－eq\f(1,3).答案：－eq\f(1,3)15．解析：因为0＜α＜eq\f(π,2)，cosα＝eq\f(4,5)，所以sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(3,5)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(3,4)，所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(tanα＋tan\f(π,4),1－tanα·tan\f(π,4))＝eq\f(\f(3,4)＋1,1－\f(3,4)×1)＝7.答案：716．解析：设P在平面ABC上的射影为O，因为平面PAB⊥底面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，所以O∈AB.因为PA＝PB＝PC，所以OA＝OB＝OC，所以O是△ABC的外心，且是AB的中点，所以△ABC是直角三角形．答案：直角17．解析：因为x＞1，所以x－1＞0，所以f(x)＝2x＋eq\f(1,x－1)＝2(x－1)＋eq\f(1,x－1)＋2≥2eq\r(2（x－1）·\f(1,x－1))＋2＝2eq\r(2)＋2，当且仅当2(x－1)＝eq\f(1,x－1)即x＝eq\f(\r(2),2)＋1时，等号成立，故f(x)min＝2eq\r(2)＋2.答案：2eq\r(2)＋218．解析：作出函数y＝f(x)的图象如图所示．则f(3)≥f(x－1)等价于－3≤x－1≤3.所以－2≤x≤4.所以f(3)≥f(x－1)的解集为{x|－2≤x≤4}．答案：{x|－2≤x≤4}19．解：(1)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝sineq\f(π,2)－sin(eq\f(π,2)＋eq\f(π,3))＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).(2)f(x)＝sinx－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＝sinx－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinxcos\f(π,3)＋cosxsin\f(π,3)))＝sinx－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sinx＋\f(\r(3),2)cosx))＝eq\f(1,2)sinx－eq\f(\r(3),2)cosx＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3))).函数y＝sinx的单调递增区间为[2kπ－eq\f(π,2)，2kπ＋eq\f(π,2)](k∈Z)，令2kπ－eq\f(π,2)≤x－eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，解得2kπ－eq\f(π,6)≤x≤2kπ＋eq\f(5π,6)(k∈Z)，所以f(x)的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,6)，2kπ＋\f(5π,6)))(k∈Z).20．解：(1)证明：因为AB为圆柱OO1底面圆O的直径，C为eq\o(AB,\s\up12(︵))的中点，所以BC⊥AC，因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，又因为PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，因为AE⊂平面PAC，所以BC⊥AE，又因为AE⊥PC，且PC∩BC＝C，所以AE⊥平面PBC，因为PB⊂平面PBC，所以AE⊥PB.(2)因为点C到平面PAB的距离为1且C为eq\o(AB,\s\up12(︵))的中点，所以PA＝AB＝2，所以圆柱OO1的表面积为S＝2×π×12＋2π×1×2＝6π.21．解：(1)甲队最后赢得整场比赛的情况为第四局赢或第四局输第五局赢，所以甲队最后赢得整场比赛的概率为eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,4).(2)根据比赛规则，x的取值只能为2或4，对应比分为16∶14，17∶15.两队打了2个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球甲得分，打第二个球甲发球甲得分，此时概率P(2)＝eq\f(2,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(4,25)；两队打了4个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球甲得分，打第二个球甲发球甲失分，打第三个球乙发球甲得分，打第四个球甲发球甲得分，或打第一个球甲发球甲失分，打第二个球乙发球甲得分，打第三个球甲发球甲得分，打第四个球甲发球甲得分，此时概率为P(4)＝eq\f(2,5)×eq\f(3,5)×eq\