2024-2025学年江苏省南京市高一上册9月考数学学情检测试题（含解析）

2024-2025学年江苏省南京市高一上学期9月考数学学情检测试题一、单选题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则=A{1} B.{3，5} C.{1，2，4，6} D.{1，2，3，4，5}2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，3.已知集合，若，则实数a的取值所组成的集合是（）A. B. C.0， D.0，4.已知正数，满足，则的最小值为（）A. B.2 C. D.45.命题p：，，则“”是“p为真命题”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是（）A.或 B.C. D.或7.已知关于的不等式的解集是，则下列说法错误的是（）A.B.C.D.不等式的解集是8.数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设一个三角形三边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的周长为12，，则此三角形面积的最大值为（）A.4 B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分．9.若，则下列不等式中正确的是（）A. B.C D.10.“集合只有3个真子集”的一个充分不必要条件可以是（）A. B.C. D.11.下列说法错误的是（）A.的零点为，；B.“，都是偶数”是“是4的倍数”的既不充分也不必要条件；C.已知正实数，满足，则的最小值为；D.的最小值为．三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分．12.计算得________．13.若命题“，”为假命题，则的取值范围为______.14.已知正实数满足，则的最小值是__________．四、解答题：本题共3小题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知集合，集合．（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围；（3）若，求实数的取值范围．16.已知关于不等式的解集为或．（1）求，的值；（2）当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围；（3）关于的不等式的解集中恰有5个正整数，求实数的取值范围．17.已知某污水处理厂月处理成本y（万元）与月处理量x（万吨）之间的函数关系可近似地表示为．当月处理量为120万吨时，月处理成本为49万元．该厂处理1万吨污水所收费用为0.9万元．（1）该厂每月污水处理量为多少万吨时，才能使每万吨的处理成本最低？（2）请写出该厂每月获利（万元）与月处理量x（万吨）之间的函数关系式，并求出每月获利的最大值，2024-2025学年江苏省南京市高一上学期9月考数学学情检测试题一、单选题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则=A.{1} B.{3，5} C.{1，2，4，6} D.{1，2，3，4，5}【正确答案】C【详解】试题分析：根据补集的运算得．故选C.【考点】补集的运算.【易错点睛】解本题时要看清楚是求“”还是求“”，否则很容易出现错误；一定要注意集合中元素的互异性，防止出现错误．2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C， D.，【正确答案】B【分析】根据全称量词命题的否定直接得出结果.【详解】命题“，”的否定为“，”，故B正确.故选：B3.已知集合，若，则实数a的取值所组成的集合是（）A. B. C.0， D.0，【正确答案】D【分析】等价于，分、两种情况讨论，从而可得答案.【详解】.当时，为空集，满足条件.当时，或，解得或.综上可得，实数a的取值所组成的集合是2，.故选：D.本题主要考查集合的表示方法，空集的定义，以及并集与子集的定义，属于基础题.4.已知正数，满足，则的最小值为（）A. B.2 C. D.4【正确答案】B【分析】由基本不等式可得，即可求得的最小值.【详解】因为，都是正数，且满足，则，则，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选：B.5.命题p：，，则“”是“p为真命题”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】先由，求出的取值范围，再根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可.【详解】因，，所以，得，因为当时，不一定成立，而当时，一定成立，所以“”是“p为真命题”的必要不充分条件.故选：B6.已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是（）A.或 B.C. D.或【正确答案】B【分析】根据方程的两根都大于2，分析函数的图象特征列出不等式组求解即可.【详解】根据题意，二次函数的图象与轴的两个交点都在2的右侧，根据图象可得，即，解得.故选：B.7.已知关于的不等式的解集是，则下列说法错误的是（）A.B.C.D.不等式的解集是【正确答案】C【分析】根据给定的解集可得且，再代入各个选项即可判断正误.【详解】因为关于的不等式的解集是，则，且1，3是方程的两个根，于是得，解得，对于A，由，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，不等式化为，即，解得或，故D正确.故选：C.8.数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设一个三角形的三边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的周长为12，，则此三角形面积的最大值为（）A.4 B. C. D.【正确答案】C【分析】由题意得，，代入化简后利用基本不等式可求得答案【详解】由题意得，，则，当且仅当时，等号成立，此时三角形的面积有最大值，且最大值为．故选：C二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分．9.若，则下列不等式中正确的是（）A. B.C. D.【正确答案】AC【分析】对于A，利用不等式的性质判断，对于BD，举例判断，对于C，由函数的单调性判断【详解】解：对于A，因为，，所以，所以A正确，对于B，由A可知，若，则，所以B错误，对于C，由A可知，因为在上为增函数，所以，所以C正确，对于D，由A可知，若，则，所以D错误，故选：AC10.“集合只有3个真子集”的一个充分不必要条件可以是（）A. B.C. D.【正确答案】ABD【分析】由集合A中只有2个元素，求的取值范围，再通过包含关系验证结论成立的充分不必要条件.详解】集合只有3个真子集，即集合A中只有2个元素，因为，则有：当时，；当时，；当时，；则的取值范围为，故其充分不必要条件为小范围，可知选项ABD中的范围符合充分不必要条件；C不符合充分不必要条件.故选：ABD.11.下列说法错误的是（）A.的零点为，；B.“，都是偶数”是“是4的倍数”的既不充分也不必要条件；C.已知正实数，满足，则的最小值为；D.的最小值为．【正确答案】ACD【分析】A选项通过零点的概念判断，不正确；B充分性和必要性的定义判断；C选项运用基本不等式“1”的代换求最小值，不正确；D选项没有注意不满足取到最小值的条件，不正确.【详解】A选项，函数的零点指使函数值为0的自变量的取值，而不是点，A不正确；B选项，若，则不是4的倍数，若，是4的倍数，则不都是偶数，即“，都是偶数”是“是4的倍数”的既不充分也不必要条件，B正确；C选项，因为所以，可得即得，，当且仅当，即时，等号成立，则的最小值为，C不正确；D选项，，而无解，即等号不成立，因此，的最小值不为，故D错误故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分．12.计算得________．【正确答案】【分析】利用指数的运算性质即可求解.【详解】.故本题考查了指数的运算性质，考查了基本运算求解能力，属于基础题.13.若命题“，”为假命题，则的取值范围为______.【正确答案】【分析】根据已知条件知命题“，”为真命题，再分类讨论，即可求解.【详解】由题意可知，命题“，”为真命题.当时，可得.若，则有，符合题意；若，则有，解得，不符合题意；当时，则，解得.综上，的取值范围是.故答案为.14.已知正实数满足，则的最小值是__________．【正确答案】9【分析】设，可得，结合得到，利用基本不等式可得结果.【详解】，，，设，可得，则，当时，当“=”成立，即的最小值是9，故答案为9.本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.四、解答题：本题共3小题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15已知集合，集合．（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围；（3）若，求实数的取值范围．【正确答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）求出集合，利用并集的定义可求得集合；（2）利用可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围；（3）分和两种情况讨论，结合可得出关于实数的不等式组，可求得实数的取值范围.【详解】（1）当时，，则；（2）由知1−m>2m2m≤11−m≥3，解得，即的取值范围是；（3）由得①若，即时，符合题意；②若，即时，需或．得或，即．综上知，即实数的取值范围为．易错点睛：在求解本题第（3）问时，容易忽略的情况，从而导致求解错误.16.已知关于的不等式的解集为或．（1）求，的值；（2）当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围；（3）关于的不等式的解集中恰有5个正整数，求实数的取值范围．【正确答案】（1），（2）（3）【分析】（1）根据不等式的解集和对应方程的关系，即可求解；（2）利用基本不等式求的最小值，不等式转化为，即可求解；（3）首先求解不等式的解集，再根据集合中恰有5个正整数，即可求解得到取值范围.【小问1详解】由题意可知，，且方程有两个实数根，分别为和，则，得，则，得，所以，；【小问2详解】，，所以，，，当，即时，等号成立，所以的最小值为8，不等式恒成立，即，即，解得：；【小问3详解】，，不等式的解集中恰有5个正整数，即的解集中恰有5个正整数，即集合中恰有5个正整数，所以，解得.17.已知某污水处理厂的月处理成本y（万元）与月处理量x（万吨）之间的函数关系可近似地表示为．当月处理量为120万吨时，月处理成本为49万元．该厂处理1万吨污水所收费用为0.9万元．（1）该厂每月污水处理量为多少