2025高考数学突破练：空间位置关系、空间角的向量方法【含答案】

2025高考数学考二轮专题突破练15空间位置关系、空间角的向量方法-专项训练

1.如图，直三棱柱ABC-AiBiCi的体积为4,AJiSC的面积为2a.

(1)求/到平面48c的距离;

(2)设。为4c的中点〃4=48,平面43C，平面求二面角A-BD-C的正弦值.

2.(2024•九省联考)如图，平行六面体ABCD-4BCD中，底面ABCD是边长为2的正方

形,。为AC与BD的交点,/4=2,NGC3=NGCD,NGCO=45°.

(1)证明:GO_L平面ABCD;

(2)求二面角B-AA.-D的正弦值.

3.如图,已知斜三棱柱ABC-AxBxCx的底面是边长为2的正三角形,。为AABC所在平面内

一点，且四边形ABCD是菱形四边形ACC\A\为正方形，平面/QC」平面

AiBiCi.

(1)求证:3iO_L平面ABCD;

(2)求二面角C-DCx-Ax的正弦值.

4.(2024•广东韶关高三模拟)如图，圆柱内有一个直三棱柱/3C4SG,三棱柱的底面

三角形内接于圆柱底面，已知圆柱001的轴截面是边长为6的正方形48=/。=府，点尸

在线段(9(91上运动.

(1)证明我1；

(2)当PA,=PB时，求BC与平面AiPB所成角的正弦值.

5.如图，在三棱柱ABC-AiBiCx中刀为/C的中点/B=BC=2,N/48i=N3i8C.

(1)证明

⑵若38J3C,且满足:,(,造条件).

从下面给出的①②③中选择可个填入待造条件，求二面角B-BDG的正弦值.

①三棱柱ABC-ABCi的体积为3V3;

②直线ABi与平面BCCiBi所成的角的正弦值为等；

③二面角4A81-C的大小为60°.

6.如图，在三棱锥/-BCD中,N8C0=9O°,BC=CD=l,ZACB=ZACD=d.

(1)求证:“。_13。.

(2)有三个条件:①6=60°;②直线AC与平面BCD所成的角为45°;③二面角A-CD-B的

余弦值为苧.请你从中选择一个作为已知条件，求直线3c与平面/CD所成角的正弦值.

专题突破练15空间位置关系、空间角的向量方法答案

1.解⑴由题意可得/4BC=%「ABC=a”必4=产直三棱柱4804出(；1.、4=.

设点A到平面A1BC的距离为"，则”“通(;4=92/03."=鱼.

(2)连接ABi交45于点E,如图.

VAAi=AB,.".ABxVA\B.

又平面48CL平面/协/1,平面4BCn平面48囱出=/山,.：/8」平面A\BC.

又3Cu平面AiBC,.：BCLABi,又5C_L58sBi，班小平面4BB14,且ABQBBi=Bi,

.：3C_L平面4BBiAi,.：BCL4B,BCLAB

.：4B,8C,A8i两两垂直.以8为坐标原点，以近，瓦5,西的方向分别为x轴、y轴、z轴的

正方向建立空间直角坐标系.

设AAi=AB=h,

BChj.

-----h=4,

{事=2奁，

解得/z=BC=2.

.:点^(0,2,0),5(0,0,0),2)(1,1,1),£(0,1,1).

设ni=(xi,yi,zi)为平面ABD的一个法向量.

=(0,2,0),50=(1,1,1),

加•函=2yl=0,

[n-^BD=/+%+Zi=0.

令为=1,则zi=-l,Zm=(l,0,-l).

由平面43C,得荏为平面瓦兀的一个法向量，而荏=(0,-1,1),

.4二Mi'AE1

••COS<IliyiC>="—-=r=—,

?%|阴2

.：二面角A-BD-C的正弦值为

2.(1)证明如图，连接8C1QG,

AB

因为底面48co是边长为2的正方形，所以3c三DC,

又因为ZCiC5=ZCiCD,CCt=CCi,

所以△GC8多△CiCO,所以BCLOG,点0为线段5。的中点，所以CXOLBD.

在△CC0中,CG=2,CO=14C=VXNCCO=45°,

222

所以cosZCiCO=—=cC+ocZ-c102nao=e,则CiC=OC+CiO^CiO±OC,

22xC]CxOC

又OCn3D=O,OCu平面ABCD,BDu平面4BCD,所以GO_L平面ABCD.

(2)解由题知，在正方形4BCD中〃C，AD,GCa平面48CO,所以以。为坐标原

点,/C,3Z),0Ci所在直线分别为x轴、了轴、z轴，建立空间直角坐标系如图所示,

则5(0,V2,0)A0,-V2,0)^(V2,0,0),C(-V2,0,0),Ci(0,0,V2),

则初=CQ=(V2,0,V2),^B=(-V2,V2,0),^D=(-V2,-V2,0).

设平面BAAi的法向量为m=(xi,yi,zi),平面DAAi的法向量为n=(x2,y2,Z2),

则因m=。=[叼+噜=0=m=(l,l「l),

VAB'm-0+72yl—0

S=。,+V2Z=0,11、

0一向22=02，-W

n=0

设二面角B-AAi-D的大小为

则cos3蒜=恐"

所以sin(9=Vl-cos20=

所以二面角B-AA^-D的正弦值为言.

3.(1)证明如图，取AiCi的中点M连接MD,MBi,MO.

由题意可知ByM//BD,BYM=BO=OD,

所以四边形BiMDO是平行四边形.

因为43i=3Ci,所以BxMLAxCx.

因为四边形/CCMi为正方形，所以4G.

又QWCI51M=M所以4cl_L平面BiMDO.

又MOu平面31MoO,所以4G"LDM

又平面4DG，平面451cl，平面4DC1A平面481cl平面AXDCX,

所以DM,平面48cl.

又平面48co〃平面43C1,

所以。ALL平面/BCD

因为四边形BxMDO是平行四边形，

所以3。〃。以所以SOJ_平面ABCD.

(2)解以。为坐标原点0C,。。,031所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐

标系如图所示，则C(1,0,0),D(0,V5,0),G(11)4(-11),

所以而=(-1,71,0),西=(1,0,1),而=(2,0,0),而=(0,V3,0).

设平面CDCi的法向量为m=(x,y,z),

m•而=0,即产+何=0,

nvDC]=0,(%+z=0,

令尸1,则X=g,z=-V5,所以m=(g』,-VI)为平面CDCi的一个法向量.

因为南•不豆包.•西=0,所以加=(0,百,0)为平面4DG的一个法向量.

设二面角C-DCi-Ai的大小为优则|cos6>|=|cos<m,OD>|=|m'^1=』丁=g,

77iC/uY/xy3/

所以sin(9=Vl-cos20=

所以二面角C-DM的正弦值为苧.

4.(1)证明如图，连接AO并延长，交BC于M交圆柱侧面于N,

因为4O」BC,OOi为圆柱的高，

所以4。1乃1。1,。。1两两垂直，以。1为坐标原点，过点01作SiCi的平行线为x轴，以401

所在直线为y轴，以。10所在直线为z轴，建立空间直角坐标

系,001=441=AN=6)B=AC=同.

在“BC中,由射影定理得/C2=NM%N=30,所以//=5,。河=/环/。=2,从而

CM=BM=(VW$=V5,

所以4(0,-3,0),8(%26)4(-遮,2,6),阮=(-2遮,0,0).

设P(0,0,/l),所以不=(0,31),不•玩=0,所以3C_L刃i.

(2)解由(1)可得，前=(-逐,-2,16卜

所以|用1=1而I,故、9+存=J5+4+(4-6)2,解得2=3,即点P是线段Q。的中点,

所以审=(0,3,3),丽=(-7^,-2,-3).

设平面A\PB的一个法向量为n=(x,y,z),

(口

则}{3y+3z-=0,0取尸1，得n=(v"sl),

在/—

设BC的一个方向向量为m=(l,0,0),于是得|cosvn,m>|=|।

j咯2+m

设BC与平面A\PB所成角为仇贝！］sin0=|cos<n,m>|=^,

所以3C与平面小尸3所成角的正弦值为手.

5.(1)证明在三棱柱/3C-431C1中，由题意可得441=3/,乙4/山1=/8山。么山1=3。,

.：AAA1B1学ABiBC,

.".AB\=CB\,

又4D=DC,.1BiDLAC,

同时在A/BC中，:.AB=BC4D=DC,

.'.BDLAC,

：/1。仆3。=。,3。,区0<=平面BDBi,

.：/C_L平面BDBi,

又平面BDBi,.：ACLBBi.

(2)解由(1)知BBdAC,又BBi±BC且ACC\BC=C,

.：38」平面/8。，

.：平面48CL平面BCCiBi.

方案一:选择①③.

:方8」平面/8C,

.：/ABC为二面角/-A81-C的平面角，即ZABC=60。，

/.AC=2,/.BD=43,

,:S"Bc=；x2x2xsin60°=g.又三棱柱48c-4BG的体积为3电;.BB\=3.

(方法一)取4cl的中点为£,连接EBi,ED,过E作EF±BXD于点£连接CiF,

：NCJ_平面3D5i,.：ECi_L平面BDEBi,

又EFLBQ,.：CiF工BQ,

.：NEFCi为二面角E-B^D-Ci的平面角，

其中GE=1/=|,。/=手，则sinNE尸G=誉.

;二面角B-BiD-Ci的平面角与二面角E-B^D-Ci的平面角互补，

故二面角B-BDG的正弦值为誓.

(方法二)如图所示，建立空间直角坐标系，

则5(0,1,0),51(3,l,0),Ci(3,-l,0),Z>(0,-1,争.

设平面BDBi的一个法向量为m=(xi,g,zi),且西=(3,0,0),丽=(0,-|,y),

则［需］-n明(3为%i=+0,%=。,令，□，则iY—故mW，岛—

设平面BQCi的一个法向量为n=(X2,.Z2),且函=(0,2,0),币=(-3，¥),

rrQBi=0,即'2丫2=0,

则

-3x2+|y2+yz2=0,

wCrD—0,

令工2=-1,则^2=0/2=-2百,故n=(-l,0,-2V3).

mn3V13

cos<m,n>=——

\m\\n\13'

故二面角B-BiDC的正弦值为誓.

方案二:选择①②.

过点/作/0,3c于点0.

;平面ABC，平面8CC181/。，8cHOu平面ABC,

.：/。，平面3CC1B1,.：直线ABi与平面BCCB所成角为N4B。,且sinZABiO—.

设AO=x,BBi=y,

(^ABC-A1B1C1=Xy=3V3,

则｛./IDCxV39

解得2=产即/。=低阳=3.

(y=3,

余下解法参考方案一.

方案三:选择②③.

过点/作ZOLBC于点O,

:方田，平面N3C,

/.BBX±AB,BB\LBC,

.：N/3C为二面角/-381-C的平面角，即N/3C=60。，

.：AC=2,「.AO=回

;平面48CL平面BCCB且交线为平面ABC,

.：/OJ_平面BCCiBi,

.：直线481与平面BCCiBi所成角为N/囱。,且sinZABiO~.

设381=弘则sinXABiO=-^-=./W

，八八网y[y1+4135

解得了=3,即BBi=3.

余下解法参考方案一.

6.(1)证明如图，取50的中点0,连接CUQC,则OCVBD.

因为BC=DC,ZACB=ZACD=O.AC=AC,

所以A/BC且A/DC,

所以/3=40,所以0A±BD.

又OAHOC=O,

所以50,平面/0C

又/Cu平面/0C,所以NCL3D

(2)解在直线/C上取点尸，使得/尸OC=90°，连接

由(1)知平面/0C,尸Ou平面AOC,

所以BDLPO.

又OCQBQ=。,所以尸0,平面BCD.

由(1)知OCLAD,所以OC,OD,OP两两互相垂直.

以。为原点。C。。,。尸所在直线分别为x轴、了轴、Z轴，建立空间直角坐标系.如图所

示.

因为/BCD=90°,8C=C£）=1,所以OC=OB=OD=^-.

又POJ_平面BCD,

所以PB=PC=PD.

选①，由6=60。，可知△PCD是等边三角形，所以尸。=。。=1,0尸=亨.

所以尸（0,0,专）,C（苧,0,0）,D（0,y,0）3（0,-y,0）,

所以近=（今字，。）灰=停手。）"=（。，当?

设平面PCD的法向量为n=（x,y,z）,

{n-DC=—x--y=0,

[n-DP=-yy+yz=0,

取x=l,则y=z=l,所以n=（l,l,l）为平面PCD的一个法向量.

设直线3c与平面PCD所成的角为a,

则sina=|cos＜前,心上舒V2V6

1x733.

因为平面ACD与平面PCD为同一个平面，所以直线BC与平面ACD所成角的正弦值为

V6

3.

选②，由尸。，平面3co，可知/尸CO为直线4C与平面BCD所成的角，所以N

PCO=45。，所以。尸=。。=当所以尸（O,O，¥）C（今0,0）0（0,冬0）,3（0,岑0）,

所以阮=（亨,号,0）,反=（冬-冬0）,丽=（0,当当）.

设平面PCD的法向量为n=（x,y/）,

{n-DC