2024年中考数学几何模型专练：三角形中的重要模型-特殊三角形中的分类讨论模型

专题11三角形中的重要模型-特殊三角形中的分类讨论模型

模型1、等腰三角形中的分类讨论模型

【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的

性质与三角形三边关系解题即可。

1)无图需分类讨论

①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论;

③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。

2)“两定一动”等腰三角形存在性问题：

即：如图：已知A,5两点是定点，找一点C构成等腰△ABC

Xb

方法：两圆一线

具体图解：①当=时，以点A为圆心，A5长为半径作。A,点C在。A上(3,C除外)

②当A5=6C时，以点8为圆心，A3长为半径作。3,点C在。5上(A,E除外)

③当AC=BC时，作A5的中垂线，点C在该中垂线上(。除外)

例1.(2023春•四川成都・八年级校考期中)已知等腰三角形的两边长分别是，"，"，若加，”满足

|m-3|+(n-5)2=0,那么它的周长是()

A.11B.13C.11或13D.11或15

【答案】C

【分析】由已知等式，结合非负数的性质求7〃、〃的值，再根据机、"分别作为等腰三角形的腰，分类求解.

【详解］解：...|加一3|+(w-5)2=0,|m-3|>0,(n-5)2>0,

〃？-3=0,〃-5=0,解得：m=3,n=5,

当根=3作腰时，三边为3,3,5,符合三边关系定理，周长为：3+3+5=11,

当〃=5作腰时，三边为3,5,5,符合三边关系定理，周长为：3+5+5=13,故选：C.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，非负数的性质，关键是根据非负数的性质求加、

〃的值，再根据机或〃作为腰，分类求解.

例2.（2023春•黑龙江佳木斯•八年级校考期中）一个等腰三角形的周长为18cm,且一边长是4cm,则它的

腰长为（）

A.4cmB.7cmC.4cm或7cmD.全不对

【答案】B

【分析】根据等腰三角形的定义，两腰相等，结合三角形的三边关系，进行求解即可.

【详解】解：当4cm为腰长时，则底边长为18-2*4=10cm,

04+4<10,不符合题意；回4cm为底边长，回等腰三角形的腰长为：1x（18-4）=7cm；故选B.

【点睛】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系.解题的关键是掌握等腰三角形的两腰相等，注

意讨论时要根据三角形的三边关系，判断能否构成三角形.

例3.（2023春•四川达州,八年级校考阶段练习）等腰三角形的一个角是80。，则它顶角的度数是（）

A.80°B.80°或20°C.80°或30°D.20°

【答案】B

【分析】根据三角形的内角和为180。，进行分类讨论即可

【详解】解：①当底角为80。时，顶角=180。-8（Fx2=20。，

②当顶角为80。时，顶角度数=80。，综上：顶角度数为80。或20。；故选：B.

【点睛】本题考查了三角形的内角和为180。，等腰三角形两底角相等，解题的关键是书熟练掌握相关内容.

例3.（2023・四川广安•八年级校考期中）等腰三角形的一个外角为100。，则它的底角为（）

A.55°B.80°C.55°或80。D.以上都不是

【答案】D

【分析】等腰三角形的一个外角等于100°，则等腰三角形的一个内角为80。，但已知没有明确此角是顶角还

是底角，所以应分两种情况进行分类讨论.

【详解】团等腰三角形的一个外角等于100°,团等腰三角形的一个内角为80。，

①当80。为顶角时，其他两角都为50°、50°,

②当80。为底角时，其他两角为80。、20°,所以等腰三角形的底角可以是50°,也可以是80。.故选：D.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等

腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和

等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错.

例4.（2023・四川绵阳,八年级校考阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为70。，则等腰三角形

的顶角度数为.

【答案】20。或160。

【分析】要注意分类讨论，等腰三角形可能是锐角三角形也可能是钝角三角形，然后根据三角形的内角和

以及三角形的外角的性质即可求解.

【详解】解：若三角形为锐角三角形时，如图，AB=AC,NACD=70。，CD为高,即/4DC=90。，

此时ZA+ZACD+ZADC=180°,0ZA=18O°-9O°-7O°=20°,

若三角形为钝角三角形时，如图，AB=AC,NACD=70。，CD为高，即NADC=90。，

此时44。=/£>+/48=90。+70。=160。，综上，等腰三角形的顶角的度数为20。或160。.

故答案为：20。或160。.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是根据

题意画出图形，并注意分类讨论.

例5.（2023•山东滨州•八年级校考期末）我们称网格线的交点为格点.如图，在6行义5列的长方形网格中

有两个格点A、B,连接在网格中再找一个格点C,使得AABC是等腰直角三角形，则满足条件的格点

C的个数是（）

【答案】C

【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为等腰直角AABC底边；②48为等腰直角AABC

其中的一条腰.

【详解】如图：分情况讨论：

①AB为等腰直角AABC底边时，符合条件的格点C点有2个；

②A3为等腰直角AABC其中的一条腰时，符合条件的格点C点有3个.故共有5个点，故选：C.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数

形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想.

例6.（2023•北京•八年级期中）RJABC中，ZBAC=90°,AB=AC=2,以AC为一边.在AABC外部作等腰直角

三角形ACD,则线段B。的长为

【答案】4或2班或血.

【分析】根据题意分类讨论，①NC4D=90。，②NACD=90。，③NADC=90。，分别作出图形，再结合已

知条件勾股定理求解即可.

【详解】解：①如图，当NC4D=90。时，

■.■ZBAC=90°,AB=AC=2,小。。是等腰直角三角形，

AC=AD=AB=2,ZBAD=ZBAC+ZCAD=\SQ°,二BD=AB+AD=2+2=4：

②如图，当NACE>=90。时，过点。作DELBC,交BC的延长线于点E,

vZK4C=90°,AB=AC=2,AACD,AABC是等腰直角三角形，

:.CD=AC=AB=2,ZDCE=180°-ZACD-ZACB=45°,

又；DELBC,是等腰直角三角形，.•.£)£=CE,

在RtADEC中，DC2=CE2+DE1=IDE1,,DE=—DC=y/2,

2

22拒+何+(用=

在Rt^ABC中，=y/AB2+AC2=20，在Rt^BDE中,BD=S/BE+DE=422y/5;

③如图，当NAZ)C=90。时，

5

vZBAC=90°,AB=AC=2AACD,C是等腰直角三角形，:.CD=AD=—AC=42,

2

在用AABC中，BC=VAB2+AC2=272,在及ABDC中，BD=JCD+BC'=J(2⑸+(⑹=屈-

综上所述，3D的长为：4或2乔或JI5.故答案为：4或2遍或加.

【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键.

例7.（2023・福建南平•八年级校考期中）已知EABC中，如果过顶点8的一条直线把这个三角形分割成两个

三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为0ABe的关于点8的二分割线.如

图1,R/fflABC中，显然直线8。是a48c的关于点8的二分割线.在图2的0ABe中，110°,若直线

BD是0ABC的关于点B的二分割线，贝崛88的度数是.

图1图2

【答案】40。或90。或140。

【分析】分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解.

【详解】解：①如图，当aD3C=90。，AD=BD^,直线2。是0ABe的关于点8的二分割线，

00ABC=11O°,0Z）BC=9O°,00ABD=2O°,

^\AD=BD,E0A=0AB£>=2O°,EECDB=EL4+0ABD=4O°；

②如图，当aBDC=90。，时，直线BD是EABC的关于点8的二分割线，或当&8£>。=90。，8=2。时,

直线BD是0ABe的关于点B的二分割线，；

③如图，当&48。=90。，8=20时，直线是0ABe的关于点2的二分割线，

03X80=110°,0ABD=9O°,E0£>BC=2O°,SCD=BD,EEC=0DBC=2O°,0EBDC=14O°.

综上所述：当团BOC的度数是40。或90。或140。时，直线8。是EIABC的关于点B的二分割线.

【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，理解二分割线是本题关键.

例8.(2023・四川成都,八年级校考期中)如图，A、B两点的坐标分别为(2,4),(6,0),点P是x轴上一点,

且AAB尸为等腰三角形，则点P的坐标为.

［答案］(2,0)或(-2,0)或(6+4五,0)或(6-4也0)

【分析】根据等腰三角形的判定，分①AB=BP；②AB=AP；③AP=BP三种情况求解即可.

【详解】回人45尸为等腰三角形，①当AB=BP时，如图①，

I3AB=J(6-2)2+(0-4)2=40,El8p=4后，

回8(6,0),国产(6+4忘,0)或尸(6—455,0)；

②当=时，如图②作ACL3产于C点，则C(2,0),

EIAB=AP,0BC=CP,I23C=6—2=4,0CP=4,0P(-2,O).

③当=时，如图③，作SAP=BP=4,回产(2,0).

综上所述：点P的坐标为(2,0)或(-2,0)或(6+4应,0)或(6-4立,0),

故答案为：(2,0)或(-2,0)或(6+4应,0)或(6-40,0).

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形，熟练掌握等腰三角形的判定与性

质，灵活运用分类讨论的思想解决问题是解答的关键.

例9.(2023•江苏苏州•八年级校考期中)如图，AABC中，ZACB=90°,AB=5cm,BC=4cm,若点P从

点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A-3-C-A运动，设运动时间为r秒C>0）.

（1）若点尸在BC上，且满足R4=P3,求此时f的值；⑵若点尸恰好在/ABC的角平分线上，求此时f的值：

⑶在运动过程中，当r为何值时，为等腰三角形.

【答案】⑴竺⑵丁或■⑶，或彳或g或3

1662425

【分析】（1）设P3=R4=;ran,则尸C=（4-x）cm,利用勾股定理求出AC=3cm,在Rt«ACP中，依据

AC2+PC2=AP2,列方程求解即可得到f的值.（2）如图所示，当点尸在AC上时，过尸作尸于D,

设尸£）=PC=ycm,贝lJAP=（3-y）cm,在RtAAZ）P中，依据+阳2=”2,列方程求解即可得到f的值.当

点P与点8重合时，点尸也在/MC的角平分线上，此时，仁¥

（3）分四种情况：当下在A5上且AP=CP时，当尸在AB上且AP=C4=3cm时，当下在A3上且AC=PC

时，当尸在BC上且AC=PC=3cm时，分别依据等腰三角形的性质即可得到r的值.

【详解】（1）解：如图，设P3=R4=Acm,则PC=（4—x）cm,

,/ZACB=90°,AB=5cm,BC=4cm,AC=ylAB2-BC2=3cm,

在Rt&4CP中，由勾股定理得AC2+P02=A尸2,

25

：.32+(4-X}2^X2,解得尤=”，；.8尸=§,AB+BP5+T65；

62216

(2)解：如图所示，当点P在AC上时，过P作尸D_LAB于D,

BPC

•.族平分/ABC,ZC=90°,PDLAB:.PD=PC,ZDBP=ACBP,

/BDP=/BCP

在ABCP与ABDP中,lzDBP=ZCBPf.^BDP^BCP（AAS）

BP=BP

：.BC=BD=4cm,:.AD=5-4=lcm,设PD=PC=ycm,贝I]AP=（3-y）cm,

在RSAD尸中，由勾股定理得AZ）2+PZ）2=.2,

.•」2+y2=（3—y）2,,解得y=—4,4AB+BC+CP_5D-I+-44-I—+3_31,

332=^~不

ARS

当点尸与点5重合时，点尸也在/ABC的角平分线上，此时，t嗯=].

315

综上所述，点P恰好在NABC的角平分线上，方的值为?或

62

（3）解：分四种情况：①如图，当尸在A3上且AP=CP时，回NA=NACP,

团NA+/B=90。,ZACP+ZBCP=90°f:.ZB=ZBCP,:.CP=BP=AP,

15APs

「.P是AB的中点，即AP=7AB=7cm,=

2224

②如图，当尸在AB上且AP=C4=3cm时，0?=^=|.

③如图，当尸在A8上且AC=PC时，过C作CD_LAB于O,

0SABC=—AC-BC=—AB-CD,13CD=♦0"=—cm,

iABC22AB5

在Rt^ACD中，由勾股定理得A£>=Jac2-CD?=卜-辑=|cm,

.nc“c18AP9

..AP—2AD=—cm,t=—=一.

525

④如图，当尸在BC上且AC=PC=3cm时，则3P=4—3=lcm,.」=丝|竺=|=3.

综上所述，当f的值为=5或3;或J9或3时，△ACP为等腰三角形.

425

【点睛】本题属于三角形综合题，考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质以及勾股定理的综合运用.画

出图形，利用分类讨论的思想是解第（3）题的关键.

例10.（2022春•四川成都,八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系内，点。为坐标原点，经过A（-2,6）的

⑴求直线AB的表达式和点。的坐标；（2）横坐标为机的点尸在线段A3上（不与点A、8重合），过点P作x

轴的平行线交AD于点E,设PE的长为y（y/0）,求y与机之间的函数关系式并直接写出相应的“取值范

围；⑶在（2）的条件下，在x轴上是否存在点凡使！PE尸为等腰直角三角形？若存在求出点尸的坐标；

若不存在，请说明理由.

3

［答案］（l）y=-x+4,D（-5,0）（2）y=-m+3,（-2<m<4）

（3）存在，点F的坐标为（|,0）或或1.0）

【分析】（1）据直线AB交X轴正半轴于点3,交y轴于点C,OB=OC,设直线AB解析式为旷=-x+〃，

把A的坐标代入求得”的值，从而求得8的坐标，再根据三角形的面积建立方程求出应）的值，求出。。的

值，从而求出。点的坐标；（2）直接根据待定系数法求出AL（的解析式，先根据AA的坐标求出直线A3

的解析式，将尸点的横坐标代入直线A3的解析式，求出尸的纵坐标，将尸的纵坐标代入直线AD的解析式

就可以求出E的横坐标，根据线段的和差关系就可以求出结论；（3）要使！PEF为等腰直角三角形，分三

种情况分别以点P、E、尸为直角顶点，据等腰直角三角形的性质求出（2）中加的值，就可以求出尸点的坐

标.

【详解】（1）解：•.,O3=oc,...设直线48的解析式为y=-x+〃，

.直线AB经过4（-2,6）,2+"=6,.,.71=4,

直线A8的解析式为丫=一》+4,3（4,0）,.•.08=4,

•.,△ABD的面积为27,A（-2,6）,SAABD=ixBDx6=27,

:.BD=9,:.OD=5,.,.D（-5,0）,.•.直线AB的解析式为y=-x+4,D（-5,0）

（2）解：设直线的解析式为y=+6,

/、,I-2a+b=6\a=2

・…)，味5，。x"._5==0,解得.•.直线他的解析式为—；

・・,点P在上，且横坐标为孙二。(j-帆+4),・.・依〃无轴，・・.E的纵坐标为-切+4,

代入>=2%+10得，-m+4=2x+10,角星得％=—-—,—--,-m+4

.•.尸石的长丁二根——rn_6=3m^^即y=g机+3,(-2<m<4)；

(3)解：在x轴上存在点凡使！PEF为等腰直角三角形，

3

①当NFPE=90°时，如图①，有PF=PE,PF=-m+4,PE=-m+3,

:.-m+4=^m+3,解得机=|>此时尸

②当/PEF=90。时，如图②，有EP=EF,砂的长等于点E的纵坐标，

32

:.EF=-m+4,/.-m+4=—m+3,解得：m=—

25f

•••点E的横坐标为无=节2=-个，.•.(一］,”；

③当/PFE=90。时，如图③，有FP=FE,:.NFPE=NFEP.

ZFPE+ZEFP+ZFEP=180°,:.NFPE=NFEP=45°.作FR_LPE,点R为垂足,

ZPFR=1800-ZFPE-ZPRF=45°,:"PFR=/RPF,；.FR=PR.同理FR=ER,；.FR=gpE.

2

.点R与点E的纵坐标相同，.•.f7?=-〃2+4,，T〃+4=HZ+3),解得：％=果

PR=FR^_m+4^--+4^—,点尸的横坐标为电一身=_»,■--F\~,0

7777717

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式的运用，待定系数法求一次函数的解析式

模型2、直角三角形中的分类讨论模型

【知识储备】凡是涉及直角三角形问题，优先考虑直角顶点（或斜边）分类讨论，再利用直角三角形的性

质或勾股定理解题即可。

1）无图需分类讨论：①已知边长度无法确定是直角边还是斜边时要分类讨论；②已知无法确定是哪个角是

直角时要分类讨论（常见与折叠、旋转中出现的直角三角形）。

2）“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解）

即：如图：已知A,5两点是定点，找一点。构成

K-------------------

方法：两线一圆

具体图解：①当44C=90°时，过点A作A3的垂线，点。在该垂线上（A除外）

②当NABC=90°时，过点8作A5的垂线，点。在该垂线上（5除外）。

③当NAC3=90°时，以A3为直径作圆，点。在该圆上（A,5除外）。

例1.（2023春,河南安阳•八年级校考期末）若三角形的两边长为4和5,要使其成为直角三角形，则第三边

的长为.

【答案】3或1/屈或3

【分析】根据勾股定理逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角

三角形，再分5为斜边或第三边为斜边两种情况考虑，即可求出第三边.

【详解】解：当较大的数5为斜边时，第三边=斤*=3，

当第三边为斜边时，第三边=，5?+42=如，故答案为：3或"T.

【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，即如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角

形就是直角三角形，熟练掌握勾股定理的逆定理及分情况考虑是解题关键.

例2.（2023春•河南郑州•八年级校考期中）如图，AO是朗BC的角平分线，CE是AABC的高，Zfl4C=60。,

ZACB=78。，点F为边AB上一点，当V3Z乃为直角三角形时，则NAT*的度数为.

【答案】60°或18。

【分析】分情况讨论：①当/瓯=90。时，②当/班方=90。时，根据角平分线和三角形高线的定义分别

求解即可.

EIAO是AABC的角平分线，ZBAC=60°,

0ZB4D=3O°,回RtAADP中，ZADF=60°；

同理可得/BW=NZMC=30°,0ZACB=78°,0ZADB=ZDAC+ZACB=30°+78°=108°,

0ZADF=ZADB-ZBDF=108°-90°=18°,

综上所述：NAT中的度数为60°或18。.故答案为：60°或18。.

【点睛】本题考查角平分线和高线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理，掌握分类讨论的思想

是解题的关键.

例3.（2022秋・河南新乡•八年级校考期末）如图，在4x4的正方形网格中有两个格点A,B,连接A3,在

网格中再找一个格点C,使得0ABC是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为等腰直角EABC底边；②AB为等腰直角其

中的一条腰.

【详解】解：如图：分情况讨论：①A3为等腰直角0ABC底边时，符合条件的C点有0个；

②AB为等腰直角0ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个.

2222

0AQ=AC3=AB=BC2=Vl+2=5BCX=BC3=AC2=Vl+3=如，

2222

0AQ+AB=BC；,AC2+AB2=BC；,BC；+AB=AC2,

0AABC,,AABC2,AABCz都是等腰直角三角形，故共有3个点，故选C.

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形

结合的思想是数学解题中很重要的解题思想.

例4.（2022•江西九江•八年级期末）已知在平面直角坐标系中A（-2A/3,0）、B（2,0）、C（0,2）.点P

在x轴上运动，当点P与点4B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为.

【答案】（0,0）,（巫,0）,（-2,0）

3

【分析】因为点P、A、B在X轴上，所以P、4、B三点不能构成三角形.再分RtARAC和7MPBC两种情况

进行分析即可.

【详解】解：,:点P、4、8在X轴上，.“、4、3三点不能构成三角形.

设点P的坐标为（m,0）.当为直角三角形时，

①/APC=90。，易知点P在原点处坐标为（0,0）；

②/ACP=90°时，如图，VZACP=90'＞：.AC2+PC2=AP2,

（2^）2+22+m2+22=（m+273）2,解得，m=递，.•.点P的坐标为（汉1,0）；

33

当APBC为直角三角形时，①/BPC=90。，易知点P在原点处坐标为（0,0）；

②/BCP=90°时，VZBCP=90",COLPB,；.PO=8O=2,.,.点P的坐标为（-2,0）.

综上所述点P的坐标为（0,0）,（空,0）,（-2,0）.

3

【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，涉及到了数形结合和分类讨论思想.解题的关键是不重复不遗

漏的进行分类.

例5.（2022秋•辽宁丹东•八年级校考期中）在EA2C中，90°,A8=AC=4,以AC为一边，在0ABC

外作等腰直角0ACD则线段的长为

【答案】8或4石或2碗

【分析】根据题意分类讨论，①NC4D=90。，②NACD=90。，③NADC=90。，分别作出图形，再结合

已知条件勾股定理求解即可.

【详解】①如图，当NC4Z）=90。时，

•.•/ft4c=90。，AB=AC=4,AACD是等腰直角三角形，

AC=AL>==4,ZBAD=ZS4C+ZC4D=180°..3。=AB+AD=4+4=8

②如图，当28=90。时，过点。作DEL3C,交5c的延长线于点E,

ABAC=90°,AB=AC=4,AACD,AABC是等腰直角三角形,

二CD=AC=AB=4,Z.DCE=180°-ZACD-ZACB=45°

又DE±BC;.ADEC是等腰直角三角形;.DE=CE

在RtADEC中，DC'-CE2+DE?=IDE2■-DE=—DC=242

2

在RbABC中，BC=yjAB2+AC2=4A/2

在RMBDE中,BD=yjBE2+DE2=J(40+2近++(2及『=475

③如图，当/ADC=90。时

/B4c=90。，AB=AC=4,AACD,"IBC是等腰直角三角形，：.CD=AD=显AC=26,

2

在RSABC中，BC=VAB2+AC2=4A/2

222

在Rt^BDC中,BD=y]CD+BC=《2用+(4A/2)=2M

综上所述，BD的长为：8或4石或2M

【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键.

例6.（2023春•山东东营•八年级校考阶段练习）如图，长方形ABCD中，AB=CD=6,AD=3C=10,点E

为射线AD上的一个动点，若AABE与AA'BE关于直线BE对称，若A'BC为直角三角形，则AE的长为.

【答案】2或18

【分析】分点E在线段AD上，点E在线段AD的延长线上两种情况讨论，由题意可得AB=A'B=6,

ZEAB=9Q°,AE=AE,AC=8,根据勾股定理和全等三角形的性质，可求AE的长.

【详解】解：若点E在线段AD上，

••,若AABE与EIA8E关于直线BE对称，:.AB=A'B=6,ZE4,B=90°,AE=AE,

,.飞H8C为直角三角形，.•.以TC=90°,;.A(={BC2-Ag2=8,

•.,ZE4'B=90°,ZBA'C=90°,.•.NG4'E=180°,...点E,点C,点A'共线，

在RtACDE中，DC2+DE2=CE2./.(+8)2=(10-AB)2+36,：.AE=2,

若点E在线段AD的延长线上，且点C在A，E上，

・•・若人钻£与134的关于直线跖对称，；.钻=4'8=6,ZA=ZA,=90°,

在MEIA2C中，AC=yjBC2-AB2-：ZBCA+ZDCE=9Q°,ZDCE+ZDEC=90°,

:.ZBCA=ZDEC,J.ZA,=ZEDC=90°,AB=CD^AB,

.•.回A2C=ADCE(A45),.-,DE=AC=8,：.AE^1S,故答案为：2或18.

【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练运用这些性

质解决问题是本题的关键

例7.(2023秋・浙江绍兴•八年级统考期末)如图，在AABC中，ZABC=30°,A8=AC=2若，点。是边BC

上的点，将AACD沿A。折叠得到△血),线段AE与边8c交于点尸.若/CDE为直角，则C。的长

是.

A

【答案】3-61-也+3

【分析】过点A作AG，3c于点G,根据等腰三角形的性质可得/C=30。，从而得到AG=《AC=6,进

2

而得到CG=3,再由折叠的性质可得NADC=135。，从而得到/ADG=45。，进而得到DG=AG=有，即

可求解.

【详解】解：如图，过点A作AGLBC于点G,

0ZABC=30°,AB=AC=2^3,0ZC=3O°,

0AG=1AC=V3,0CG=VAC2-AG2=3-

El将AACD沿AD折叠得到△AED,0ZADC=ZADE,

0ZCDE=90°,0ZADC=ZADE=1(360°-90°)=135°,

EIZADG=45°,回ZADG=NDAG=45°,回。G=AG=百，

0CD=CG-DG=3->/3.故答案为：3-出

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，图形的折叠问题，直角三角形的性质，勾股定理等知

识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键.

例8.(2023秋•河南商丘,八年级校考期中)如图，“BC中，AB=3C=d=6cm,现有两点M、N分别从

点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点〃的速度为lon/s,点N的速度为2c机/s.当点N第一

次到达8点时，M、N同时停止运动.

c

⑴点/、N运动几秒后，M、N两点重合？（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形AAAW?

⑶当点M、N在BC边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形川WN?如存在，请求出此时〃、N

运动的时间.⑷点加、N运动后，可得到直角三角形

3I715

【答案】⑴6⑵2⑶存在，此时Af、N运动的时间为8秒⑷不或不或彳或9秒

【分析】（1）首先设点知、N运动x秒后，M,N两点重合，表示出M、N的运动路程，N的运动路程比M

的运动路程多6cm,列出方程求解即可；

（2）根据题意设点M、N运动r秒后，可得到等边三角形AAMN,然后表示出AM,AN的长，由于44=60。，

所以只要AN=AM,AMN就是等边三角形；

（3）首先假设AAMN是等腰三角形，可证出AA。!四44BN,可得CM=BN,设出运动时间，表示出CM、

NB、NM的长，列出方程，可解出未知数的值；（4）分点N在AB、AC、8c上运动的三种情况，再分别

就是/4W=90°和ZAW=90。，列方程求解可得.

【详解】（1）解：设点A/、N运动x秒后，M、N两点重合，

则xxl+6=2x,解得：x=6,即当点A/、N运动6秒后，M,N两点重合；

（2）解:设点M、N运动/秒后，可得到等边三角形AAWN,如图1,AM=t,AN=6-2t,

图1图2

回NA=60。，当=时，△⑷VW是等边三角形，酎=6—2f,解得t=2,

团点〃、N运动2秒后，可得到等边三角形AAAW；

（3）解：当点M、N在BC边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形,

由（1）知6秒时M、N两点重合，恰好在C处，

如图2,假设AAMN是等腰三角形，

SAN=AM,居ZAMN=ZANM,^iZAMC=ZANB,

回AB=3C=AC,团八4。是等边三角形，0ZC=ZB,

在和AABN中，SZAMC=ZANB,/C=NB,AC=AB,

S^ACM^ABN(AAS),0cM=BN,EU—6=18—2f,解得f=8,符合题意，

所以假设成立，当点M、N运动8秒时，可以得到以MN为底边的等腰三角形;

(4)解：当点N在A8上运动时，如图3,

3

回NA=60。，^12AM=AN,即2，=6—2人解得/=—；

2

12

如图4,若NAW=90。，由2AV=AM得2(6-2。=/,解得「=玄；

当点N在AC上运动时，点M也在AC上，此时A、M、N不能构成三角形；

当点N在3C上运动时，如图5,

当点N位于BC中点处时，由AABC是等边三角形知ANL3C,即AAWN是直角三角形，

则2f=6+6+3,解得f=—I

2

如图6,当点M位于3c中点处时，由44BC是等边直角三角形知AML5C,即AAMN是直角三角形，

贝卜=6+3=9；

31215

综上，当，=：,—,—>9时，可得到直角三角形AAMN.

252

【点睛】本题考查了等边三角形的性质及判定和直角三角形的定义与性质，关键是根据题意设出未知数，

理清线段之间的数量关系.

例9.(2023秋•河南漠河•八年级校考期末)如图，等边三角形ABC中，D、E分别是3C、AC边上的点,

BD=CE,AD与物相交于点P,AP=4,。是射线PE上的动点.

⑴图中共有组全等，请选择其中的一组全等予以证明.(2)若△AP。为直角三角形，求尸。的值.

【答案】⑴2,证明见解析(2)2或8

【分析】（]）利用等边三角形的性质，以及SAS证明AABD9ABCEAABE至ACM（即可；

（2）分NPAQ,NP0A为直角，两种情况，结合30度角的直角三角形的性质，进行求解即可.

【详解】（1）解：图中有2组全等，AABD、BCE,AABE这4D；

证明：回等边三角形ABC,SAB=BC=CA,ZABC=ZC=ZBAC=60°,

团BD=CE,0CD=AE,

AB=BC

在△ABD和△3CE中，＜ZABC=ZCf^^ABD^BCE；

BD=CE

AB=AC

在aAB后和△◎£）中，|/3AC=NC,[SAABE^AGW；

CD=AE

（2）解：团△ABD%BCE,MCBE=NBAD,

^ZAPE=ZBAD+ZABP=ZCBE+ZABP=ZABC=60°,

回。是射线PE上的动点，当aAP。为直角三角形时：

①当NAQP=90°时，如图，贝IJ：ZPAQ=30°,0PQ=1AP=2；

②当NQAP=90。时，如图，贝IJ：ZAQP=30°,回PQ=2AP=8.

综上：尸。=2,8.

【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形.熟练掌握等边

三角形的性质，证明三角形全等，是解题的关键.

例10.（2023・四川成都・八年级校考期末）如图1,在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-4,4）,点B的

坐标为（0,2）.（1）求直线AB的解析式；（2）以点A为直角顶点作回CAD=90。，射线AC交X轴的负半轴于

点C,射线AD交y轴的负半轴于点D.当回CAD绕着点A旋转时，OC-OD的值是否发生变化？若不变，求出

它的值；若变化，求出它的变化范围；（3）如图2,点M（-4,0）和N（2,0）是x轴上的两个点，点P

是直线AB上一点.当APMN是直角三角形时，请求出满足条件的所有点P的坐标.

【答案】（1）直线AB的解析式为：y=-gx+2；（2）（2）不变.理由见解析；（3）点P的坐标为（-4,4）或

⑵1）或。竽，*2）或苔，一*2）.

【分析】（1）设直线AB解析式为y=kx+b,把A与B坐标代入列出方程组，求出方程组的解得到k与b的值,

即可确定出直线AB解析式；（2）当回CAD绕着点A旋转时，OC-OD的值不变，理由为：过A作AE垂直于X

轴，AF垂直于y轴，利用同角的余角相等得到一对角相等，求出A的坐标得到AE=AF,再由已知直角相等，

利用ASA得到三角形AEC与三角形AFD全等，利用全等三角形对应边相等得到EC=FD,进而求出OC-OD的

值即可；（3）分三种情况考虑：①当M为直角顶点时；②N为直角顶点时；③P为直角顶点时；分别求

出P坐标即可.

【详解】（1）设直线AB的解析式为：y=kx+b（kxO）,

团点A(-4,4),点B(0,2)在直线AB上,

]-4%+44k——1

团V,解得：\2.0直线AB的解析式为：y=--x+2

伍:

=2b=2

（2）不变.理由如下：过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E,F（如答图1）,可得国AEC=MFD=90。,

又EHBOC=90°,03EAF=9O°,即EIDAE+EIDAF=90",

00CAD=9O°,gP0DAE+ECAE=9O°,EHCAE=EIDAF,EA(-4,4),0OE=AF=AE=OF=4,

NCAE=NDAF

在aAEC和AAFD中，\AE=AF,团团AEC团团AFD(ASA),团EC=FD,

ZAEC=ZAFZ)=90°

团OC-OD=(OE+EC)-(FD-OF)=OE+OF=8,则OC-OD的值不发生变化，值为8；

(3)①当M为直角顶点时，点P的横坐标为-4,

回点P在直线AB上，将x=-4代入y=-；x+2得，y=4,回点P的坐标为P(-4,4)；

②当N为直角顶点时，点P的横坐标为2,

团点P在直线AB上，将x=2代入y=-：x+2得，y=l,回点P的坐标为P(2,1)；

③当P为直角顶点时，回点P在直线AB上，可设点P的坐标为(x,-；x+2),

贝ljMP2=(X+4)2+(-yX+2)2,NP2=(X-2)2+(-yX+2)2,

在RtAPMN中，MP2+NP2=MN2,MN=6,0(x+4)2+(-yX+2)2+(x-2)2+(-Jx+2)2=62,

在r汨4A/54^/5同、(45/52A/5/4>/525/5

角率得：X1=--,X2=^—,0P(—)——+2)或(―^―,---+2),

555555

综上所述，满足条件的所有点P的坐标为(-4,4)或(2,1)或(-逑，毡+2)或(歧，-汽2).