2024-2025学年湖南省常德市临澧一中普通班高一（下）第一次段考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省常德市临澧一中普通班高一（下）第一次段考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是(

)A.B∪C=C B.B=A∩C C.A⊊C D.A=B=C2.“幂函数f(x)=(m2−m−1)xm−1在(0,+∞)单调递减”是“A.既不充分也不必要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.充要条件3.已知向量a和b满足|a|=3，|b|=2，|a+b|=A.−13a B.−a C.4.碳14具有放射性.活体生物组织内的碳14含量大致不变，当生物死亡后，其组织内的碳14开始衰减.已知碳14的半衰期约为5730年，即生物死亡t年后，碳14含量C(t)=C0(12)t5730，其中C0为活体生物组织内碳14的含量.科学家一般利用碳14这一特性测定生物死亡年代.2025年科学家在我国发现的某生物遗体中碳A.宋(公元960～1279年) B.元(公元1271∼1368年)

C.明(公元1368∼1644年) D.清(公元1636∼1912年)5.已知函数f(x)=log 12(3x2−ax+5)A.[−8,−6] B.(−8,−6]

C.(−∞,−8)∪(−6,+∞) D.(−∞,−6]6.已知角θ的大小如图所示，则sin2θ+3cos2θ=A.−11

B.−598

C.−457.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB=π3，点E，F分别在边CB，CD上，且CE=CF，若AE⋅AF=A.12

B.23

C.1

D.8.邢台一中数学探索馆中“圆与非圆—搬运”的教具中出现的勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知AB=2，P为弧AC上的一点，且∠PBC=α，则BP⋅PC的最小值为(

)A.0 B.23−4 C.−2二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列关于平面向量的说法中错误的是(

)A.设a，b为非零向量，若|a+b|=|a−b|，则a⊥b

B.设a，b为非零向量，若a⋅b>0，则a，b的夹角为锐角

C.设a，10.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2A.函数f(x)的图象可由y=sin2x的图象向左平移π3个单位得到

B.x=−11π12是f(x)图象的一条对称轴

C.若|f(x1)−f(x2)|=2，则|x2−x11.如图，在边长为1的正方形ABCD中，点P是线段AD上的一点，点M，N分别为线段PB，PC上的动点，且BM=λBP，CN=μCP(0<λ<1,0<μ<1)，点O，G分别为线段BC，MNA.2OG=BM+CN

B.PB⋅PC的最小值为34

C.若λ+μ=1，则|OG|的最小值为2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知a=(2,−1)，b=(1,−2)，(2a+b)//(m13.已知直角梯形ABCD中，AD//BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则|PA+3PB14.已知f(x)，g(x)是定义域为R的函数，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，满足f(x)+g(x)=ax2+x+2，若对任意的1<x1<x四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知a∈R，集合A={x|3a−2≤x≤a}，B={x|−4≤x≤4}．

(1)若a=−1，求(∁UA)∩B；

(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a16.(本小题12分)

已知向量a−=(sinx,1)，b−=(1,sin(π3−x))，f(x)=a−⋅b−．

(1)求函数f(x)17.(本小题12分)

已知函数y=f(x)=x+bx2+a是定义域为R的奇函数，且f(1)=15．

(1)求函数y=f(x)的表达式；

(2)判断函数y=f(x)在[−2,2]上的单调性，并用定义证明；

(3)设函数y=g(x)=kx+1−4k，若对任意的x1∈[−2,2]，存在18.(本小题12分)

如图，在等腰梯形ABCD中，AB//DC，AB=2BC=2CD=2DA，M为线段BC中点，AM与BD交于点N，连DM，P为线段CD上的一个动点．

(1)用基底{AB,AD}表示DM；

(2)求AN3NM的值；

(3)设19.(本小题12分)

问题：已知a、b、c均为正实数，且1a+1b+1c=1，求证：a+b+c≥9．

证明：a+b+c=(a+b+c)(1a+1b+1c)=3+(ba+ab)+(ca+ac)+(cb+bc)≥3+2+2+2=9，当且仅当a=b=c=3时，等号成立.学习上述解法并解决下列问题：

(1)已知a、参考答案1.A

2.A

3.A

4.B

5.B

6.D

7.C

8.C

9.BCD

10.BCD

11.ABD

12.−6

13.5

14.[−315.解：(1)a∈R，集合A={x|3a−2≤x≤a}，B={x|−4≤x≤4}，

当a=−1时，A={x|−5≤x≤−1}，

∴∁RA={x|x<−5且x>−1}，

∴(∁RA)∩B={x|−1<x≤4}．

(2)∵“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，

∴A⫋B，

当A为空集时，则3a−2>a，解得a>1，

当A不为空集时，则3a−2≤a3a−2>−4a≤4或3a−2≤a3a−2≥−416.解：(1)因为f(x)=a⋅b=sinx+sin(π3−x)=12sinx+32cosx=sin(x+π3)，

所以函数f(x)的最小正周期T=2π；

因为函数y=sinx的单调增区间为[−π2+2kπ,π2+2kπ]，k∈Z，

所以−π2+2kπ≤x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，

解得−5π6+2kπ≤x≤π617.解：(1)因为y=f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1)=15，

所以f(0)=ba=0f(1)=1+b1+a=15，解得b=0a=4，

所以f(x)=xx2+4；

(2)函数f(x)=xx2+4在[−2,2]上单调递增，证明如下：

任取x1，x2∈[−2,2]，且x1<x2，

则f(x1)−f(x2)=x1x12+4−x2x22+4

=x1(x22+4)−x2(x12+4)(x12+4)(x22+4)

=(x1x2−4)(x2−x1)(x12+4)(x22+4)，

因为−2≤x1<x2≤2，

所以x1x2−4<0，x2−x1>0，

18.解：(1)因为AM=AB+BM①，AM=AD+DC+CM②，

因为M为线段AB中点，所以CM=−BM，

因为DC=12AB，

则①+②得：2AM=AB+AD+DC=32AB+AD，

整理得：AM=34AB+12AD，

所以DM=AM−AD=34AB+12AD−AD=34AB−12AD；

(2)由AM与BD交于点N，设AN=tAM=t(34AB+12AD)=3t4AB+t19.解：(1)因为a、b、c均为正实数，且a+b+c=1，

则1