2024-2025学年山东省济南市高二年级上册期中数学学情检测试题（含解析）

2024-2025学年山东省济南市高二上学期期中数学学情检测试题

一、单选题

1.直线X+岛+2=°的倾斜角为（）

A.150。B.120°C.60°D.30。

2.已知后-26）分别是平面出方的法向量，若"”，则工=（）

A.-7B.-1C.1D.7

3.已知椭圆6的长轴长为4,离心率为2,则该椭圆的方程为（）

x2y2x2.

—+—=1——+y2=1

A.42B.4

+-1----1----=1

C.168D.816

4.点尸（2,3）关于直线x+>+2=°的对称点的坐标为（）

5

A.（-3,-2）B.（-2厂3）c.（-5,-4）D.H-）

5.已知圆6：（》-2）一+&+4）2=16,圆C2：X2+/+2X-3=0,则两圆的公切线的条数为

（）

A.1B.2C.3D.4

22

厂C:^-^=l（a>0,b>0）,n

6.若离心率为右的双曲线。匕的一条渐近线与直线叼+1=°垂直,

则加=（）

1^5

A.-±2B.-±2C.±2D.土也

7.己知A（0,0,2）,B（1,0,2）,C（0,2,0）,则点A到直线BC的距离为（）

2夜_

A.3B.1C.0D.2血

2

/:V=~—+mC:y=—A/|4-X|

8.已知直线’2与曲线-2V।恰有三个不同交点，则实数”的取值范围

是（）

A.2，）（0,0）B.口⑷C.（支亚）D.

（1，灼

二、多选题

9.下列说法中，正确的有（）

A.直线歹=3》-2在〉轴上的截距为2

B.直线”办一3。+2（敏可必过定点（3,2）

C.若过点（1，2）的直线的截距相等，则该直线方程为X+N-3=°或2x-y=°

D,若两直线4：x+机y―1=°，4：（加一2）x+3y+3=0平行，贝1P〃=_］或优=3

10.已知椭圆-4+8-内一点M@2）,直线/与椭圆C交于A,B两点，且M为线段

的中点，则下列结论正确的是（）

A.。的焦点坐标为0，°）,（一2，°）B.。的长轴长为20

|回=迪

C.直线/的方程为X+N-3=0D.3

11.如图，在正四棱柱力2c°一4瓦G2中，"4=2/2,点？在线段用c上运动，则下列结

论正确的是（）

A.三棱锥4-尸G。的体积为定值

B.若石为的中点，则直线平面4G"

-3

C.异面直线NP与4。所成角的正弦值的范围是15

D.直线cf与平面40夕所成角的正弦的最大值为三

三、填空题

c•土+匕=1।।.।

12.已知斗鸟是椭圆飞4的两个焦点，点。在。上，则甲用」0项的最大值为

13.如图，在平行六面体"88一44C中，底面是边长为1的正方形，若

AAXAB=AAXAD=60°且44=4,则4c的长为

C=l(6Z>0,Z?>0)222

14.已知双曲线”一b的左焦点为尸，过点厂的直线/与圆x+V=。相

切于点N,与C的右支交于点尸，若归叫=3|所|,则C的离心率为.

四、解答题

15.求经过直线4：2》-夕+4=°和直线/2：x-V+5=°的交点c,并且满足下列条件的直线方

程.

⑴与直线—4夕+4=0平行；

(2)到原点的距离等于1.

16.在平面内，/(3，。)，8(T，0),C为动点，若就•元=5,

(1)求点C的轨迹方程；

(2)已知直线1过点(1,2),求曲线C截直线1所得的弦长的最小值.

17.如图，是半球。的直径，/8=4,M,N是底面半圆弧荔上的两个三等分点，尸是半

球面上一点，且NPON=60。.

(1)证明：必，平面尸NM：

(2)若点P在底面圆内的射影恰在ON上，求直线PM与平面PAB所成角的正弦值.

221

上+乙=11

18.已知椭圆°：«2b2过点(2，°),且椭圆C的离心率为2.过椭圆左焦点

且斜率为1的直线与椭圆交于A,8两点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)求线段的垂直平分线的方程；

(3)求三角形/。台的面积.(°为坐标原点)

22

xy..n,..A/3

E\------=1(a>0,>0)pf_9八、y=—%

19.已知双曲线。厅的左焦点一条渐近线方程为’3

过用做直线/与双曲线左支交于两点“，N,点尸(1,0),延长MRNP与双曲线右支交于

两点.

⑴求双曲线E的方程；

(2)判断直线8是否过定点?若过定点，求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由.

答案:

题号12345678910

答案ADACBCADBCCD

题号11

答案ACD

1.A

【分析】求出直线的斜率，然后根据斜率的定义即可求得倾斜角.

，一且2拒

【详解】设直线X+百y+2=°的倾斜角为1，方程可化为一亍，

,V3*V3

所以直线的斜率为3,即3,又0“＜兀，

所以倾斜角1=15。°.

故选：A.

2.D

【分析】根据两平面垂直可得法向量垂直，即可根据坐标运算求解.

【详解】由“,,，所以马,

々•松=-3y1^+y/3x—4^3=0解得x=7

故选：D.

3.A

【分析】根据长轴以及离心率即可求解.

V2cV2

__e-_—___

【详解】由长轴长为4,可得2。=4,又离心率为即一。一2,

解得a=2,c=应,故6=42—12=母,

一一1

所以椭圆方程为42,

故选：A

4.C

【分析】求出垂直于直线x+V+2=°且过点尸的表达式，求出交点坐标，即可得出关于直线

的对称点.

【详解】由题意,

在直线x+y+2=°中，斜率为-1,

垂直于直线x+V+2=。且过点0(2,3)的直线方程为V-3=1X(X-2),即y=x+l

设两直线交点为A,

r3

I2

[y=x+l<_1

由[x+y+2=0,解得：了5,

1

A

2

—x2—2,—x2—3

・••点k3”关于直线x+V+2=°的对称点的坐标为I22

即尸’(-5,-4),

故选：C.

根据圆的方程，求得圆心距和两圆的半径之和，之差，判断两圆的位置关系求解.

【详解】因为圆a：-2丫+(7+4)2=16,圆C2G+I)+/=4,

22

所以|C£|=A/(-1-2)+(-4)=5,Rl+R2=6,因一周=2,

所以IK-&|<|。。2|<及+4,

所以两圆相交，

所以两圆的公切线的条数为2,

故选：B

6.C

­=21c

【分析】根据双曲线离心率求得。，再根据双曲线的一条渐近线与直线工+叱"+1=°垂直

±2-|——|=—1

列出I,求解加.

e=Ji+f->l=石-=2

【详解】'⑺，所以。，得渐近线为〉=±2',

±2——j=—1

因为其中一条渐近线与直线工+冲+1=°垂直，则I加1得加=±2

故选：C

7.A

【分析】利用向量的模，向量的夹角及三角函数即可求出点到直线的距离.

【详解】vA(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),

—>

ABBC

=(L0,0),=(-1,2,-2),

•••点A到直线BC的距离为:

故选：A

本题主要考查了向量坐标的运算，向量的模，向量的夹角，属于容易题.

8.D

【分析】先运算转化曲线°的方程形式，再作出图形，数形结合，随着直线平行移动，与曲

线有三个不同交点，求出直线/截距范围即可.

【详解】曲线।可化为4丁3

当工4-2,2］时，4/=4-匕则了+歹

X22

—i-y~1

故此时曲线为椭圆4-的上半部分；

X2

22

当xeQ",-2)u(2,+e)时，4y=x-4)则丁=”

——y2=1y=+—x

故此时曲线为双曲线4的上半部分，且渐近线方程为2

7X1

I'.y------\-m——

直线2,表示一组斜率为2的平行直线，

7%C2

r.y------\-m0=---Fm

如图，当直线2过点(2,0)时，2，解得加=1；

7%

I\y----FYYI

当直线2与椭圆上半部分相切时，

22

x+4y=4（y>0）

1

y-——x+m

由2,消V化简得X—2^+2--2=0,

由A=4加—4x2(加—1)=-4加+8=0,解得加之=2,

又直线与椭圆上半部分相切，则加＞0,故”?=夜，

I:y=~—+mC:y=—/|4-x2|

要使直线2与曲线’2A“।恰有三个不同交点,

结合图形可得，实数加的取值范围为

故选：D.

9.BC

【分析】对A,令x=0,求出直线在〉轴上的截距；对B,将直线方程变形后得到所过定点;

对C,分截距为0和不为0,两种情况，求出直线方程；对D,根据两直线平行的充要条件

求解.

【详解】对于A,令x=0,可得了=-2,所以直线V=3x-2在y轴上的截距为-2,故A错

误；

对于B,由了=办-3.+2,可得，="x-3)+2,所以直线过定点G，2),故B正确；

对于C,当直线在x轴和歹轴上截距都为°时，

设直线方程为了二依，将°'2)代入，可得左=2,所以了=2x.

当直线在x轴和V轴上截距都不为0时,

二+上_]

设方程为加十心，°'2）代入，解得：m=3,

故此时直线方程为x+y-3=o,

综上，直线方程为了=2x或x+y-3=0,故c正确；

对于D,由题可得以3=%（加-2）,解得加=7或%=3,

当加=一1时，4的方程为x_y-l=O,4的方程为》一夕-1=0,

44重合，矛盾,

当加=3时，4的方程为x+3y_l=0,4的方程为x+3y+3=0,满足条件，

加=3,故D错误.

故选：BC.

10.CD

【分析】由题意可求得.，c判断AB,利用点差法求得直线的斜率，写出直线方程判断C,联

立直线方程与椭圆方程，由弦长公式求弦长判断D

Z£-1

【详解】由c4+8,得椭圆焦点在y轴上，且。2=86=4,则

a=2y[2,b=2,c=sja2-b2=2＞所以椭圆的焦点坐标为（。，2）,（0,-2）,长轴长为2a=4收，所

以AB错误，

江+尤=1迂+日=i

设N（X|，X）,■%,力）,则48-,48_,

（%-&）（%+%）=（乂-%）（乂+%）

两式作差得4-8,

因为“0,2）为线段"的中点,所以玉+々=2,乂+%=4,

%一%=2（-+x?）=2x2=_]

所以芭一%yl+y24,

所以直线/的方程为y-2=-（x-i）,即》+k3=0,所以c正确，

x2y2__1

----1----=10c9X]+-20,Xt——

由48和》+尸3=0,得3/_6x+l=0,贝/3,

2

\AB\=s/2-J（xl+x2）-4xix2=V2x（4--=—

所以V33,所以D正确，

故选：CD

11.ACD

【分析】证明出B'c,/平面A'C'D,可知点P到平面4CQ的距离等于点耳到平面4Go的距

离，利用锥体的体积公式可判断A选项；以点。为坐标原点，D4、DC、所在直线分

别为X、V、Z轴建立空间直角坐标系，设/8=1,利用空间向量法可判断BCD选项.

【详解】对于A选项，在正四棱柱"CO-44G2中，ARIICD,且14=8,

所以，四边形为平行四边形，所以，B。啕D,

因为片Ce平面4G。，4。u平面4G”,所以，片。/平面4G”,

因为「e'C,所以，点尸到平面4Go的距离等于点名到平面4Go的距离，

1112I,?

V=S=XX

^AX-PCXD=^P-AyCxD二七-4G。二D-AXBXCX'^^AXB,CXTT^

所以，JJ，J为定值,

A对；

对于B选项，以点。为坐标原点，DA、DC、所在直线分别为x、V、z轴建立如下图

所示的空间直角坐标系，

设"=1,则2（11，°）、2（0,0,2）、40,O，2）、C（0」,0）、/0,0,0）、4。1,2）,

因为E为皿的中点,则则⑷=（T，T，2）,£4=（1，。，1）,

所以，吟&|=-1+2=1-所以，叫与4"不垂直，

故当E为°。的中点时，直线82与平面4GE不垂直，B错;

对于C选项，西=函=（1，0,2）,设而=几两=（40,22）,

则万=三+而=(_1,1,0)+(40,2/1)=(；1_1,1,2九)

cos（APDA\\==L”=I252-02+1

''I网,回|V5j（2-l）2+l+422U522-102+10

J2552-102+13

sin（I?,函）=《1-cos?屈访=

V-2522-102+10他-正

所以,

因为OWW1,贝0*52-144,所以,9<（5A-l）2+9<25

所以,

因此，异面直线/P与"Q所成角的正弦值的范围是15'」，C对;

对于D选项,设平面4G。的法向量为应=("/),。4=(1,0,2),DG=(0/，2),

m•DA=x+2z=0

<X

贝/克gG=»+2z=。，取z=T,可得x=y=2,止匕时，丽=(2,2,-1),

QP=QC+CP=（0,0,-2）+（A,0,2/l）=（2,0,22-2）

/J

•m2

3A/522-82+4

所以,

2=——

当且仅当5时，等号成立，故直线Cf与平面4C。所成角的正弦的最大值为3,D对.

故选：ACD.

方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：

(1)利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内

的射影，即可确定线面角；

(2)在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度3从而不必作出线

.八h

sin〃=一

面角，则线面角e满足1(/为斜线段长)，进而可求得线面角；

(3)建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设£为直线/的方向向量，♦为平面的法向量，

则线面角0的正弦值为s'"际伍矶

12.8

【分析】根据椭圆的定义，结合基本不等式，求出归7讣归国的最大值.

［详解］设归片1=加，户用=〃，m>0,n>09

所以机+〃=4>历,

所以附卜因|的最大值为8.

故8.

13.回

【分析】先将4c表示为4/+/8+/O,然后根据向量的数量积运算结合长度和角度求解出

M.

【详解】因为4c=4/+/C=4/+/5+NZ),

所以4c=卬+”+期)

-------►2*22•",•-

=AXA+AB+AD+2A.A-AB+2A.A-AD+2ADAB

=16+l+l+2x4xlx|-■-|+2x4xlx|-|=10

.-.|4c|=Vio

故答案为.加

14.3/3

【分析】先利用条件表示出归7明尸周'忸闻，然后在三角形刊与中利用余弦定理列式计算得

到4。=36,进而根据求出离心率.

【详解】设双曲线右焦点为耳Q°),

则冲|=耐斗师==6

则卢目=I尸N|+|NF|=可册|=4b

所以附1=附-2a=*2a,又附|=2c

PF+FF2

cosZPFO-\f\^一期」一（46）2+3_（4/,-2«）_b

所以21P77M片2x46x2cc

整理得4。=36,

（2）]-1=0或35%-12y+37=0

【分析】(1)设所求直线为(2x-V+4)+'(x-V+5)=0,整理为一般方程后利用两直线平行

的充要条件可求文，即得解；

(2)设所求直线为(2X—〉+4)+'(X->+5)=0,整理为一般方程后利用点到直线距离求解

彳，即得解.

【详解】⑴设所求直线为(2”-了+4)+3-N+5)=0,即(2+》-(1+几)尸4+54=0,

因为此直线与、-外+4=()平行，

2+2-1-A4+52,7

_________^3___________-----------^3__——

所以1一一44,解得-3,

故所求直线为'-外+23=0.

(2)由于原点到直线3'7+5=°的距离为J2,

设所求直线为(2x—>+4)+X(x-了+5)=。,即(2+X)x-(l+X)y+4+54=0

,…=]n

所以+4+(+2),解得4=-1或九_一为，

故所求直线方程为xT=0或35xT2y+37=0.

16.(l)(xT『+/=9

⑵26

【分析】(1)代入法即可求得轨迹方程为圆.

(2)由直线1过点(1,2)在圆内即可得到弦长最小值.

【详解】⑴设C(x/),，C=(x-3,y),8c=(x+l,y),

.•.^C-SC=(x-3)(x+l)+/=5；

得(x-lp+V=9.

(2)(1-l>+22<9,点a,2)在圆内，当直线1为如图所示位置时，当直线与点(1,2)与圆

心连线垂直时，截得弦长CD最短，即，CD=2ylr2-d2=245_

故最短弦长为2后.

17.(1)证明见解析

⑵5

„..八PQ=—BM

【分析】(1)连接可rn证。为8M的中点且2，可得尸8，加，又

PBVPA,由线面垂直的判定可证；

(2)以点°为坐标原点，,QN,0尸分别为无，V,z轴，建立空间直角坐标系，用向

量法可求解.

【详解】(1)连接°M,MN,BM,因为“，N是底面半圆弧冠上的两个三等分点，

所以有/MON=/NO8=60。，又因为。“=叩=。3=2,

所以AM°N,AN°B都为正三角形，

所以MN=NB=BO=OM,四边形。必必是菱形,

记ON与8M的交点为Q,。为ON和的中点，

因为ZPON=60°QP=ON,

所以三角形aw为正三角形，

PQ=M=LBM

所以2,所以尸8，尸〃，

因为尸是半球面上一点，43是半球。的直径，所以尸8，尸/,

因为尸AfcP/=尸，P"，P/u平面尸血以，

所以尸8,平面尸⑷/.

（2）因为点尸在底面圆内的射影恰在°N上，

由（1）知。为ON的中点，A°PN为正三角形，所以PQ,°N,

所以尸°上底面

因为四边形M方是菱形，所以及出,ON,

即MS、°N尸。两两互相垂直，

以点。为坐标原点，QM,°N,。尸分别为x,>,z轴，建立空间直角坐标系。一孙z,如

图所示,

则。(0,-1,0),Mg,0,0)536,0,0)N(0,l,0),P@,0,6)

所以西=心,0,-6)赤=@,1,6)砺=g百,1,0)

设平面P/8的一个法向量为丽=(x，%z),

mOP-0y+VJz=0

<<

则〔而赤=0,所以［-岳+y=0,

取e,贝严(@1),

设直线PM与平面PAB的所成角为0,

屈

sin。=V3+V3

76x755

所以

Vw

故直线尸乱与平面尸所成角的正弦值为5.

x2/6A/2

----1-------］------

18.(1)43.(2)7X+7>+1=0；⑶7.

【分析】(1)由条件得到见“〜求椭圆方程；

(2)直线的方程是>=x+l,与椭圆方程联立求线段N3的中点，写出垂直平分线方程：

(3)利用弦长公式求出H回，再利用点到直线的距离公式求出点0到直线的距离，进而

可计算出三角形的面积.

C_1

［详解］(1)由题意可知口=2,a2,:.c=l,=『一也=3,

22

工+J

，椭圆的方程是43；

(2)椭圆的左焦点片(T°),・•・直线N8的方程是V=x+1,

y=x+1

—+片=1

与椭圆方程联立［43,^7X2+8X-8=0,

8x+x_4

+X2=~~12

-31=2㈡窜

代入直线的方程得77,.•.线段N8的中点是I77人

并且线段N3的垂直平分线的斜率是-1,

3_(4)

y—=—xH—

••・线段45的垂直平分线的方程是7I7人即7x+7y+l=0；

8=8

%［+%?=—x,x7—

(3)由⑵可知7,7,

/.\AB\=A/1+12XJ（X]+工2）2-4中2=V2X288_24

d=%=去；%B工竺福=巫

原点到直线的距离J22,反。"2727

本题考查椭圆方程，直线与椭圆的位置关系，意在考查直线方程和椭圆中三角形面积的求法,

第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，

韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.

2

x21

-----y=1

19.（1）3'

（2）过定点巳14。1）

【分析】