2024-2025学年安徽省蚌埠市高二年级上册第二次联考数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年安徽省蚌埠市高二上学期第二次联考数学

检测试卷

一、单选题（本大题共8小题）

1.在以。为原点，以g'"｝为单位正交基底的空间直角坐标系中，已知点

'（3,5,-7）"=（6,4,-5）,则点5的坐标为（）

A.（9,9，T2）B.（一3，1，一2）口。一口）D.0,5,-12）

2.将直线点无一了+1=°绕点（°」）逆时针旋转90°得到直线£则72的方程是（

）

Ax+y-2=0Bx+〉-l=0Q2x-y+2=0p2x-y+l=0

3.已知点“（2，°），N（6,4）,则以儿w为直径的圆的方程为（）

A.（x+4）2+（1）2=16B.（x-4）2+（y+2）2=8

C.（Xi?+&_2）2=16D（X-4）2+（J-2）2=8

—*—*_■OAy=—OA

4.空间四边形0/8C中，OA=£OB=b,OC=E,点”在。/上，3，点N为

8c的中点，则=（）

-a--b+-c--a+-b+-c

A.232B.322

-a+-b--c-a+-b--c

C.222D.332

5.设直线/的方程为x-ysin0+2=0,则直线/的倾斜角。的范围是（）

兀兀兀3兀兀兀兀3兀

A.[°，兀]4'T92*T

B.4'2C.D.42

\AB\

V2

在V/BC中,占5（-2,0）占C（2,0）点满足，则面积的最大值

6.，、、、，八、、，AMOV/5C

为()

A.472B.8V2C4A/6D.8a

7.点片，片为椭圆C的两个焦点，若椭圆C上存在点P,使得/片尸耳=90。，则椭圆

C方程可以是（）

%2）2X2y2

-----1-1-----1—1

A.259B,2516

》"-22

I土+匕=1

C.69D.169

/J/

8.已知用月分别为双曲线/一瓦一从">°'>°）的左、右焦点，过点片的直线与双曲线

的右支交于屈2两点，记^的内切圆人的半径为自AB%乙的内切圆A的半径为2,

2

若桃2=",则双曲线的离心率为（

35

A.2B.2C.2D.3

二、多选题（本大题共3小题）

9.下列说法正确的是（）

A.若直线/的方向向量为0=（1，-1，2）,直线加的方向向量为I2人贝心与

加垂直

B.已知点/（1，°，一°,8（0,1,0）,C（T，2,0）在平面a内，向量方=。，"，，）是平面a的法

向量，则〃+/=1

C.对空间任意一点。和不共线的三点A,B,C,若加=2刀-2砺-成，则

P,A,B,C四点共面

D.若｛"区以为空间的一个基底，则田+石石+^+6构成空间的另一个基底

fx=3cos6>

10.在平面直角坐标系中，如果点P的坐标（XJ）满足ly=l+3sin。，其中8为参

数.已知直线4：x+y-4=°与点p的轨迹交于A,B两点，直线

4：2s+2"3加-5=0与点p的轨迹交于。D两点，则四边形/C8O的面积的值可以

是（）

A.9cB.9&C.6贬D,9（a+1）

22

C:三+4=1（。>6>0）口p

11.1.已知椭圆yb2的左，右两焦点分别是片，%,其

中片凡=2c.直线八k片（》+。）（丘2与椭圆交于人，B两点.则下列说法中正确的有

（）

A.△"8月的周长为4a

,,b2

k0M点=一1

B.若的中点为M,则/

V|j_

->T

C.若“k/居=3c1则椭圆的离心率的取值范围是T'5

D.若N3的最小值为3c,则椭圆的离心率

三、填空题（本大题共3小题）

12.已知空间向量瓦日忑两两夹角均为60。，其模均为1,则~2cr.

13.如图，已知直线/：'+>一5=0与x轴和〉轴分别交于点A,B,从点尸（3，°）射出的

光线经直线/反射后再射到y轴上，最后经>轴反射后又回到点p,则光线所经过的路

程是.

却与=l（a>6>0）e=V5-1

14.椭圆/b2的离心率e满足2,则称该椭圆为“黄金椭圆”

22

—+^-=l（10>m>0）

.若10根是“黄金椭圆”，则加=；“黄金椭圆”

fy2

C铲一两个焦点分别为耳（7）、尸2（c，0）（c>o）,P为椭圆C上的异

\PM\_

于顶点的任意一点，点M是"P与乙的内心，连接PM并延长交耳氏于N,则阿M_

四、解答题（本大题共5小题）

15.已知V/BC的三个顶点分别为/（°，°>6（1,1）C（4,2）

（1）求边所在直线的方程；

（2）若/C的中点为。，求边ZC的垂直平分线/的方程；

（3）求V/8C的外接圆的方程.

16.如图，四棱锥PT"。中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD是正三

角形，侧面尸面ABCD,M是PD的中点.

（1）求证：平面■平面PCD

（2）求BM与平面方8所成角的正弦值

17.已知斜率为1的直线交抛物线C：（。>0）于A,8两点，且弦中点

的纵坐标为2.

（1）求抛物线0的标准方程；

（2）记点尸（1，2）,过点P作两条直线「赫，肉分别交抛物线C于"，N（M,N不

同于点尸）两点，且"MW的平分线与V轴垂直，求证：直线"N的斜率为定值.

18.如图，四边形N28是边长为1的正方形，£。1平面/8。,£8,平面/38,且

ED=FB=\,

（1）求证：EC，平面NDk

（2）在线段EC上是否存在点G（不含端点），使得平面GM与平面/刀尸的夹角为45。，

若存在，指出G点的位置；若不存在，请说明理由.

I—1=2（2>0

19.已知点48是平面内不同的两点，若点尸满足I尸阴，且2"）,则点尸的

轨迹是以有序点对（4?）为“稳点”的加阿波罗尼斯圆.若点。满足1%"°同=〃（〃>0）,

则点。的轨迹是以（48）为“稳点”的〃一卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，

A（-2,0）,B（a,b）（a^-2）

⑴若以（42）为“稳点”的彳-阿波罗尼斯圆的方程为苫2+/-12》+4=0,求。,6"的值;

（2）在（1）的条件下，若点。在以（42）为“稳点”的5-卡西尼卵形线上，求（

。为原点）的取值范围；

（3）卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若6=0，彳=收，求证：不存

在实数应〃，使得以（48）为“稳点”的近一阿波罗尼斯圆与〃一卡西尼卵形线都关

于同一个点对称.

答案

1.【正确答案】A

［详解］OB=0A+AB=3,+5/—7斤+6,+4/—5^=91+9J—\2k

所以点B的坐标为-12）.

故选：A.

2.【正确答案】B

【详解】♦.•直线4的方程为/—+1=°,其斜率为1,

设直线4的斜率为3**2,

由题意可知，（0,1）6,（0,1）%,

U的方程为：V-l=-（x-0）,即x+v-l=0.

故选：B

3.【正确答案】D

【详解】因为四（2,0）,N（6,4）,

线段网的中点为（4,2）,|@=J（6一27+（4一0）2=4啦,

所以以线段"N为直径的圆的圆心坐标为（4,2）,半径厂=2四,

所以线段"N为直径的圆的方程为（》-4）一+（尸2）2=8.

故选：D.

4.【正确答案】B

OTV=1(O5+OC)

【详解】点N为8c的中点，则有

MN=ON-OM=-(OB+OC\--OA=--a+-b+-c

所以2、13322

5.【正确答案】C

【详解】直线/的方程为x-》sine+2=0,设直线的倾斜角为a,

兀

a——

当sin9=0时，2,

71

.八八k=tanCL--------

②当sm"O时，直线的斜率sin。，

由于一l«sin夕<0或0<sin6«l,

所以tana£（-8-1］U^+00）

所以4224.

M当

综上所述：44.

故选：C.

6.【正确答案】B

［详解］设/（X/）,则.修=J（x+2）+/,|/C|=J（x_2）+/,

由\AC\二拒得J（x+2y+V=E（x_2j+产,

化简得（jy+r=32,

故点A的轨迹为以（6，°）为圆心，4式为半径的圆（除去与无轴的两个交点），

故点A到直线BC的距离最大值为472,

-|SC|-4V2=-x4x4V2=872

故V/3C面积的最大值为”12

故选：B

7.【正确答案】A

22

三+4=1（。>6>0）

【详解】设椭圆方程为。b,

设椭圆上顶点为B,椭圆C上存在点尸，使得/耳隼=90；

由余厘—…叫加〜

则需4职290。

二.I明f+|%|M甲球,

222222222

gpa+a<4c,vc=a-b,2a<4a-4b1

贝lja2>2b',

同理可得椭圆焦点在V轴上时，也应有a2>2b2,

所以选项A满足.

故选：A.

8.【正确答案】B

【详解】

过《分别作“片幽&丹外的垂线，垂足分别为"阻尸，

则|皿=|回即卜麻内同=优尸

"\AF\-\AF^=2a则(")|+|期|)一(]41+|%|)=国尸|一内尸|=20

又耳闾=-+足力=2c,则忻用=|。用+|O尸卜a+c,

:-\OF\^a,即L在直线x=a上，

•・•ZIXF2A=ZIXF2FX,ZI2F2B=ZI2F2FX,

JI

则/g+/收=N7心E+jFE=N0=2,

ZI2F2IX,

..M=M

又」工刊M；则|/0心司=内歼，即牝=(-4=/,

，c=2。，故离心率为a

故选：B.

9.【正确答案】BD

5.^=(1,-1,2)-|2,1,-|=2-1+1=2^0

【详解】对于A,I2)，故A错误；

对于B,"'=(T/，1),且向量万=(l，wJ)是平面a的法向量，

所以布i=0,即-l+i/+/=0,即"+t=l,故B正确；

对于C,因为2-2-1工1,所以则p,A,B,C四点不共面，故C错误;

对于D,因为国区以为空间的一个基底，所以出瓦,不共面，

假设a+51+c,c+a共面，则存在唯一实数4〃，使

a+b=A(b+0^/j(c+0>)=Ab+(A++/Lia

2=1

<//=1

所以H+〃=0,无解，故a+g,g+c,c+a不共面，故D正确；

故选：BD.

10.【正确答案】BC

【详解】

—=cos0

<3

——-=sin022

由题得［3,平方相加得点P的轨迹方程为'+3-1)=%

点P的轨迹是以点(°，1)为圆心半径为3的圆.

2mx+2〉一3加一5=0,m(2x-3)+2y—5=0

所以直线4过定点

—I---4=0,j

由于22所以定点M在直线4上，

，八八八~^\AB\xh+~x\AB\xh=-\AB\(h.+h)

由题得四边形4C8D的面积为2A22-22,

当%+%最大时，面积最大，此时4BLCD,

2m11

....—],^2=-]

所以2'一一，所以直线4的方程为x—+l=0,经过圆心(0,1),

所以此时31=2x3=6,

弁=沁|^|=2L(|V2)2=3V2

由题得圆心到直线的距离为.22V2.

-x6x372=972

所以面积的最大值为2

所以面积的取值范围为(°，9亚].

故选：BC

11.【正确答案】AC

【详解】对A,根据椭圆的定义△"瓦的周长为M41+18耳l+MgI+l瓦冒=4。，正确;

对……型…则川?岩〔所,2*

2

2+

M21/:+%+k-货.b2

12

2

迤1

-...2-------2--—U--------------二--------

"%xxa

+Fab（玉+2）（玉~2）kOM-k=-^

由

即。，错误;

对c,♦•盟=a+G必）（匕-c，M）=x：+>一

Vsj_

=^x^+a2-2c2e[a-2c2,a-c2]"2c243c?ne=?e

52」，正确;

，贝I

2从

对D,容易知道，N8的最小值为通径长度丁，由于直线斜率存在，所以不能取到最

小值，不正确.

故选：AC.

12.【正确答案】G

.、\a+b-2c\=J(a+b-2c)2=y/a2+b2+4c2+2a-b-4a-c-4b-c

【详角星】11

=^|5|2+|6|2+4|c|2+2|a|-|6|cos600-4|5|-|c|cos600-4|^|-|c|cos600

=Jl+l+4+2xlxlx--4xlxlx--4xlxlx—=73

V222.

故再

13.【正确答案】2后

【详解】如图，

点尸关于直线,的对称点为"（叫"）则3」I-I即加

Im=5

解得储=2,即点尸关于直线/的对称点为0（5,2）,又点尸关于y轴的对称点为

C（-3,0）

,__

则光线所经过的路程为Qq=2jF.

故2历

V5+1

14.【正确答案】545-52

22

Xyz、V5-l_A/10-m

----H-=l(10>m>0)---=—/=—__

［详解］因为10m是'‘黄金椭圆”，故2V10，故加=5.5—5,

连接与",片"，因为“为内心，故与",片"为角平分线,

\PF2\_\PM\_PF,PF2+_\PM\_2a_a_2_75+1

由角平分线性质，有所二啊"函，故+g广函=五=>=7^1=!

丁+1

故5石-5,

15.【正确答案】(尸一3/+2=°

(2)2x+y-5=0

⑶―+y2—8%+6y=0

y-1_x—1

【详解】(1)由8(1,1),C(4,2),由两点式可得BC边所在直线的方程为二一寸,

即8c边所在直线的方程x-3y+2=0；

(2)由/(0,0)，C(4,2),可得4C的中点为0(2,1),

2-01

又女一启-5,所以NC边的垂直平分线/的斜率为一2,

所以由点斜式可得NC边的垂直平分线/的方程为、T=-2(X-2),即2x+y-5=0.

(3)设VN8C的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=Q

02+02+0+0+F=0(F=O

<仔+］2+£)+£+尸=0<D——8

则k+22+32E+…，解得b=6,

所以V/2C的外接圆的方程为x2+y2-Sx+6y=0^

16.【正确答案】(1)证明见解析

⑵14

【详解】（1）由平面P4D，平面NBC。，平面尸40c平面/BCD=/D,

底面ABCD是边长为2的正方形，则CD'/D,COu平面/BCD,

可知CD_L面尸AD,/Mu平面PAD,z.CDVAM,

QVP/O为正三角形，”为中点，

可得4W_LPZ）,尸。门。。=。,尸。,。£^平面尸8,;.团1/_1平面尸8,

•.•Wu平面/平面平面尸9

（2）取AD的中点为0,连接P。,侧面PAD是正三角形，

则尸。_1_40,平面PADJL平面ABCD,平面PADc平面ABCD=AD,

POu平面P4D,可知P。，面4BC。，

设BC中点为N,连接ON,

以0为坐标原点，以04°N,°尸所在直线为x,y,z轴，建立如图空间直角坐标系：

M10V3

则4（1,0Q）,尸（0,0,电5（1,2,0）,小丁，丁

—•3V3

益=（0,2,0）,④=（一1,0,后，BM=（一3,-y

n-AB=2y=0

+<

设平面尸N8的法向量为"二（XJ,Z）,则［n-AP=-x+432=0

取z=l,贝1］"=（6，。/），

设BM与平面以8所成角为。，则

1—I\n-BM73_V21

sin。=cos<»,BM）\=।7

17.【正确答案】（1）「二4,（2）见解析.

［详解］（］）设“（猫//18（X8,%），则歹［=2Px，y：=2px

A九两式相减，得：

2p_

Vz+VB=■；-=2P

酿由弦中点的纵坐标为2,得=匕故P=2,所以抛物线C的标准

方程/=4x.

(2)由/MW的平分线与V轴垂直，可知直线PM,PN的斜率存在，且斜率互为相反数，

[y-k(x-l)+2

且不等于零，设〃(%1，%)，"(%2，%)直线PM:y=k(x-V)+2,k0由〔产=4x得

日一0公一"+4〉+("2)2=0由点玖1,2)在抛物线C上，可知上述方程的一个根为

,,(k-2)2k2-4k+4k2-4k+4

1,Xxl=------=-----7----X=-----5----

kk.即k，同理

k2+4k+4.2r+8-8k-8「)「r

-p~1'-七+/=.2，%_X?=-p-=彳，；.％一.%=[后(再-1)+2]一[一女(％-1)+2]

7/、c772k2+8.j8

=k.(X]+x?j-2k=K'——---------2k=~

8

.k_必-._4.i

玉一々,2

k

:•直线"N的斜率为定值T.

18.【正确答案】(1)证明见解析

(2)存在，G为线段EC上靠近£的三等分点

【详解】(1)以点。为原点，以D4DGDE所在的直线为x轴，.”轴，z轴建立空间直

角坐标系，

则D(0,0,0),A(1,0,0),5(1,1,0),C(0,1,0),E(0,0,l),F(1,1,1)

反=(0,1,-1)衣=(1,0,0),=(1,1,1)

ECDA=0

<____

EC-DF=1-1=0故EC_LDF,EC±D