2024-2025学年北京市通州区高三年级上册第一次月考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年北京市通州区高三上学期第一次月考数学检测试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.

已知集合

1.4=—3x+2<0},3={x|x21}jj|[jNU8=

A.(一8,2]B.(l,+oo)C.(1,2)D.[l,+oo)

2.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（)

1

A.y=x+lB.y=—Cy=xcosxD.y=x\x

X

已知复数Z二匕

3.则三的虚部是（）

1-Z

A.iB.-zC.-1D.1

111

4.己知b=10g2-,c=log]Q,则().

353

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.c>b>a

5.在等腰梯形ABCD中，AB=2CD,M为BC的中点，则与7=（）

1—,1—、3—•1—►

A.-AB+-ADB.-AB+-AD

2242

3—,1—»1—,3—►

C.-AB+-ADD.-AB+-AD

4424

VZBC中，“乙4=工”是"$山/=变''的（

6.）条件

42

A.充分而不必要B,必要而不充分

C.充分且必要D.既不充分也不必要

7.函数/（X）=COS（0X+。）的部分图像如图所示,则/（X）的单调递减区间为()

13

A.kit—,kitH—,keZB.2/CTI—,2AJIH—,keZ

4444

13,13

C.7k—,7k—,keZD.2k—,2k—,keZ

4444

8.已知函数/(x).甲同学将/(x)的图象向上平移1个单位长度，得到图象G；乙同学将

/(X)的图象上所有点的横坐标变为原来的g(纵坐标不变)，得到图象c2.若C与G恰好

重合，则下列给出的/(X)中符合题意的是()

A./(x)=log；xB.f(x)=log2X

C/(x)=2'D./(x)=]£|

“、x2—2mx+m+m2,x<2。、工,

9.已知函数/(x)=、.+]，当x=2时，/(X)取得最小值，则m的取

2,x>2

值范围为()

A.[-1,4]B.[2,4]C.[-1,2]D.[-1,1]

10.“开车不喝酒，喝酒不开车”.一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL,

在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据

《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL,那么，一个喝了少

量酒后的驾驶员，至少经过()小时，才能开车？(精确到1小时)(参考数据：1g2Mo.3,

lg3«0.5)

A.5B.6C.7D.8

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分

11.函数f(X)=log2(1-X)+4x的定义域是.

12.记S"为等差数列｛时｝的前〃项和.已知$4=0,%=5，则an=____.

13.已知向量5=很=(x,/x+2).若存在实数x,使得了与B的方向相同，则/的一个

取值为

14.在平面直角坐标系xQy中，角&以Ox为始边，终边经过点P。,-2),cos2a=

tan2a=.

15.已知数列｛%｝满足q=1,a2n=n+\,a2n+l=a2n+a2,1_1,〃eN*.则集合｛加<20｝

中元素的个数为.

三、解答题，本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤.

16.己知函数/(x)=2sinxcosx+2cos2x-l.

(1)求一的值；

(2)求/(x)的最小正周期；

(3)求“X)在区间上的最大值和最小值.

17.在V48c中，角48,C所对的边分别为见仇c.己知a=4,6=5,c=际.

(1)求角。的大小；

(2)求sirU的值；

(3)求sin12/-的值.

18.设函数/(x)=x+Hn(l+x)(左工0),直线/是曲线y=/(x)在点⑺)("0)处的

切线.

(1)当左=—2时，求/(x)的单调区间.

(2)求证：/不经过点(0,0).

19.已知函数/(x)=Nsin(0c+〉0,。〉0,0<°<的最小正周期为兀.

(1)若/=1,/(0)=^,求。的值；

(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定/(x)的解析式，并

求函数/(x)的单调递增区间.

条件①：的最大值为2；

条件②：/(x)的图象关于点［石■,())中心对称；

条件③：/(X)的图象经过点注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.

20.在A/BC中，2asinB=Ob.

(1)求A；

(2)若6=20，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得A/BC存在且唯一确定，

求三角形△ZBC的面积.

条件①：cosC=-由。；

10

条件②：a=2；

条件③：sinB--

5

21.已知函数/(x)=alnx+xeX—e,其中aeR.

(1)当a=0时,求曲线y=/(x)在点(1J(1))处的切线方程；

(2)当a>0时，判断/(x)的零点个数,并加以证明;

(3)当"0时，证明:存在实数m,使>〃，恒成立.

2024-2025学年北京市通州区高三上学期第一次月考数学检测试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.

1已知集合/={X|X2-3X+2<0},8={X|XN1}则ZU8=

A.(-oo,2]B,(l,+oo)C.(1,2)D,[l,+oo)

【正确答案】D

【分析】

先解不等式得集合A,再求并集的结果.

【详解】因为/={小2-3x+2<。}=(1,2),所以[l,+oo),选D.

本题考查一元二次不等式解集以及并集定义，考查基本分析求解能力，属基础题.

2.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()

A.y=x+lB.y=-C.J=xcosxD.y=x\x

X

【正确答案】D

【分析】根据基本初等函数的单调性与奇偶性判断即可.

【详解】A选项，y=x+l,是R上的增函数，但不是奇函数，故A错误；

B选项，y=~,是奇函数，但不是增函数，故B错误；

X

C选项，y=/(x)=xcosx,XGR,

f(-x)=-xcos(-x)=-xcosx=-f(x),y=xcosx是奇函数，

又/(0)=。，/(兀)=7lCOS7l=—兀，/(0)>/(兀)，

所以V=xcosx不是增函数，故C错误；

X2X>0

D选项，y=；—，画出其图像，

可得y=x|x|既是奇函数又是增函数.

故选：D.

【正确答案】C

【分析】化简复数，分子分母同时乘以1+i,进而求得复数Z,再求出三，由此得到虚部.

1+Z__

【详解】2=——=i,z=-i，所以Z的虚部为—1.

1-Z

故选：C

本小题主要考查复数的乘法、除法运算，考查共甄复数的虚部，属于基础题.

!1.1

b

4.已知。=2与，=log2-,c=logA-,贝！］().

353

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.

c>b>a

【正确答案】C

【详解】试题分析：因为a=27e(0,l)/=log2；jo,c=log］；：i,所以6<a<c.选C.

考点：比较大小

5.在等腰梯形ABCD中，AB=2CD,M为BC的中点，则疯=()

1—■1—■3—•1—­3—•1—­

A.-AB+-ADB.-AB+-ADC.-AB+-ADD.

224244

1—.3—■

-AB+-AD

24

【正确答案】B

【分析】利用平面向量的线性运算求解.

因为在等腰梯形ABCD中，AB=2CD,所以4B//CD,4D=BC,

因为M为BC的中点，所以

=-AB+-AC=-AB+-（AD+DC）=-AB+-DC+-AD

-2222、'222

1—-1—■1—-3—•1—■

=-AB+-AB+-AD=-AB+-AD,

24242

故选:B.

6.V48C中，"/2=工”是"$皿/=五''的（）条件

42

A.充分而不必要B.必要而不充分

C.充分且必要D.既不充分也不必要

【正确答案】A

【分析】根据充分条件、必要条件及三角函数可得解.

【详解】因为//=彳时，sinA=,而sin/=Y^时，44芋或空.

42244

所以“乙1=：，，是"sin/=受”的充分不必要条件，

42

故选：A

7.函数/(x)=cos(tox+e)的部分图像如图所示，则/(X)的单调递减区间为(

13

A.kit—,kitH—,keZB.2/CTI—,2AJIH—,keZ

4444

13,13

C.7k—,7k—,keZD.2k—,2k—,keZ

4444

【正确答案】D

【分析】由图得到周期与单调递减区间即可.

「IT1T~\

【详解】由图可知，/(x)=COS(GX+°)在区间———+kT?—(左£Z)上单调递

减，

由图可知/(X)=COS(69X+^)的周期T=2x[j-；]=2；

「13~

故/(x)=cos((yx+。)的单调递减区间为2k——,2k+—,左eZ.

故选：D

8.己知函数/(x).甲同学将/(x)的图象向上平移1个单位长度，得到图象G；乙同学将

/(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的g(纵坐标不变)，得到图象c?.若G与g恰好

重合，则下列给出的/(X)中符合题意的是()

A./(x)=bgj_xB.f(x)=log2x

C./W=2XD./(x)=W

【正确答案】B

【分析】根据函数平移和伸缩变换原则，依次验证选项中的函数变换后的解析式是否相同即

可.

【详解】对于A,G:/(x)+l=logLx+l；

2

C2:/(2x)=logL2x=logLx+logL2=logLx-1,A错误；

2222

对于B,C]:/(x)+l=log2x+l,C2:f(2x)=log22x=log2x+log22=log2x+1,B

正确；

对于C,G：/(X)+1=2'+1，Q：/(2X)=22X=4"C错误；

对于D,C,:/(x)+l=^+1，G：/(2X)=(£|=']，D错误.

故选：B.

9.已知函数/(x)=卜;2M个优+机'”42,当》=2时，/(x)取得最小值，则m的取

2>2

值范围为()

A.[-1,4]B.[2,4]C.[-1,2]D.[-1,1]

【正确答案】B

【分析】根据二次函数和指数函数的性质，及分段函数的最值即可得求解.

【详解】当x>2时，〃x)=2'+i单调递增，则〃x)>8；

当x<2时，-2机x+掰+〃/开口向上，且对称轴为x=w,

又当x=2时，/(x)取得最小值/(2)=4-4m+m+/，

m>2

所以L42c，解得24加<4,

4一4加+加+加<8

所以m的取值范围为[2,4].

故选：B.

10.“开车不喝酒,喝酒不开车，，.一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL,

在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据

《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL,那么，一个喝了少

量酒后的驾驶员，至少经过（）小时，才能开车？（精确到1小时）（参考数据：lg2«0.3,

lg3®0.5）

A.5B.6C.7D,8

【正确答案】A

【分析】根据题意建立不等式求解即可.

【详解】由题得，在喝酒后，血液中酒精含量〉与时间，的关系为y=0.3\-,

建立不等式<0.09，则<得，

所以后与=gT。°"1=5.

lg3Ig3-21g20.5-2x0.3

故选：A

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分

11.函数/（X）=log2（l-x）+Vx的定义域是

【正确答案】［0,1）

【分析】根据对数型函数的定义域，结合二次根式的性质进行求解即可.

1—x>0

【详解】由题意可知：〈八nOWx<l,

x>0

所以该函数的定义域为［0,1）,

故［0,1）

12.记为等差数列｛册｝的前〃项和.已知$4=0,%=5，则%=.

【正确答案】2〃—5

【分析】

S.=4。］H----d=0

首先根据题意得到彳2,再解方程组即可得到答案.

%=q+4d=5

5=4。］H----d=0=—3

【详解】由题知：\412,解得《；..

,,d=2

%=q+44=5c【

所以%二2〃-5

故2〃-5

13.已知向量值=(1,1),b=(x,tx+2\若存在实数x,使得万与彼的方向相同，贝心的一个

取值为.

【正确答案】0(答案不唯一，小于1的实数均可)

【分析】由两向量同向可知很=22(2〉0),由此可构造方程组求得X=2=g,由2〉0可

求得满足题意的/的范围，进而得到结果.

【详解】与b方向相同，..1=；l〃X〉0),-.x=X=——,

'7［tx+2=A1-t

由---〉0得：/<1,

1-t

.,.存在实数/=0,x=2,使得G与3方向相同.

故0(答案不唯一，小于1的实数均可).

14.在平面直角坐标系xQy中，角&以Ox为始边，终边经过点P。,-2),cos2a=

tan2a=.

34

【正确答案】①.一：②.§

【分析】由三角函数定义求出sina,cosa,利用正弦和余弦二倍角公式，同角三角函数关系

求出答案.

.—2

【详解】由三角函数定义得sma

在+(-2)

143

则cos2a=cos*2*a-sin2a=------=——

555

又sin2。=2sin6/cosa=2x^-x[9、4

5CM5

ecsin2a4

则tan2a=------二—

cos2a3

34

故一丁3

15.已知数列｛4｝满足q=1,a2n=n+\,a2n+x=a2n+a2n_x,〃eN*.则集合｛加鼠<20｝

中元素的个数为.

【正确答案】24

【分析】利用累加法得到出用=-I）+4（2"+1）+3,〃eN*，即可得到

8

2+1,（〃为偶数）

2,,然后对〃分奇数和偶数两种情况讨论.

an

〃+4〃+3,（〃为奇数）

8

【详解】由题意得。2〃+1一。2〃-1=。2"=〃+1，〃WN*，

("+1+1)(〃+1)

a=

所以2n+l(%"+1—°2"-1)+(°2”-1—°2”-3)+卜Q-)+。1=

2

n2+3/7+2_(2〃+l)~+4(2〃+l)+3

28

p,2〃，

又a2H=n+l=—+l,

；+l,(〃为偶数)

所以％=<.c，〃£N*，

n2+〃+3,(〃为奇数)

8

17

当〃为偶数时，令一+1420,解得〃<38,

2

当〃为奇数时，令犷+而+3-20,因为函数y=-+4"+3的对称轴为〃=—2,

88

、1/crt-P"2+4〃+3，L_.、1/_L"2+4〃+3_.__mr、i

当九=9时，----------=15<20，当〃=l1l1时n，----------=21>20，所以〃49,

88

综上可得集合｛加瓦<20｝中元素的个数为当+一=24.

故24

三、解答题，本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤.

16.已知函数/(x)=2sinxcosx+2cos2x-l.

(1)求/［一wj的值；

(2)求/(x)的最小正周期；

(3)求“X)在区间0,|上的最大值和最小值.

【正确答案】(1)-1；(2)71.

(3)最大值为正，最小值为-1.

【分析】(1)自变量直接代入求值；

(2)应用倍角正余弦公式、辅助角公式化简函数式，由正弦型函数性质求最小正周期;

(3)利用正弦型函数性质求区间最值即可.

【小问1详解】

田后

二2-------F2--—1=•

272\27

【小问2详解】

由题设f(x)=sin2x+cos2x=V2sin^2x+

27r

所以/(x)的最小正周期为T二万二兀.

【小问3详解】

因为0<x〈巴，所以巴<2x+巴<2,

2444

当2x+；=W，即x=0寸，/⑴取得最大值,

所以/(x)在区间0胃上的最大值为/V2；

当2%+：=?，即x=］时，/(x)取得最小值，

所以/(x)在区间0卷上的最小值为/

17.在V4BC中，角48,C所对的边分别为a,仇c.已知a=4,6=5,c=0I.

(1)求角。的大小；

(2)求sirU的值；

(3)求sin［2/-孑］的值.

【正确答案】(1)-；(2)汉Z；(3)碗及.

3714

【分析】(1)由余弦定理求出cosC,即可得出角C的大小；

(2)由正弦定理即可求出答案；

(3)求出cos/,由二倍角公式求出sin24cos2Z,再由两角差的正弦公式即可求出.

【详解】(1)在V/8C中，由余弦定理及a=4,6=5,c=01,有

cosC=a+b~C~=-，又因为Ce(O,〃)，所以C=工.

2ab23

(2)在V45c中，由正弦定理及C=工,a=4;c=衣'.

3

可得sirL4=%£

7

(3)由及sia4=2近，可得cos/=Jl-sin?/=41Z,

77

sin2Z=2sin^osZ=2x生,变=逑

777

c°s2Z=l-2siE/=l-2x至x空」

777

所以sin(2Z—工］=sin2ZcosX—cos2/sin?=-x--f-^x—=4痣+逝.

4472171214

【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，关

键点是熟练掌握有关公式的运用，考查学生的数学运算能力.

18.设函数/(x)=x+—n(l+x)(左/0),直线/是曲线y=/(x)在点(/J(7))G〉0)处的

切线.

(1)当左=—2时，求/(x)的单调区间.

(2)求证：/不经过点(0,0).

【正确答案】⑴/(x)单调递增区间为(1,+8),/(x)单调递减区间为(T1)

(2)证明见解析.

【分析】(1)先将参数代入函数方程，然后判断函数定义域，求导计算单调区间即可；

(2)先求切线斜率，然后假设/经过原点，所以切线斜率等于切点与原点连线斜率，得到该

方程无解，故假设不成立，得到结论.

【小问1详解】

当左=一2时，/(x)=x-21n(l+x),

显然/(X)的定义域为(—1,+8),

小)=1_2=3,

Jl+X1+X

显然，当时，/'(x)<0,此时/(X)单调递减;

当xe(l,+oo)时，/'(x)>0,此时/(X)单调递曾

所以，/(x)单调递增区间为(1,+8),/(x)单调递减区间为(-1,1).

【小问2详解】

由题可知，/(x)=l+上(左40),

1+X

所以直线/的斜率为/'(7)=1+占，

假设直线/过原点，则有‘+1hl(i+')=i+_L,

t1+，

因为左wO,所以有—~-=0,

令/z«)=ln(l+/)_!，得/«)=

(")2

因为,>0,所以〃'(7)=工一"可>0

(1+7)

所以7z(7)=ln(l+/)—-—在(0,+oo)单调递增，

所以〃(7)〉人(0)=0,故ln(l+/)—£=0无解,

故假设直线/过原点错误，所以直线/不过原点.

19.已知函数/(x)=Nsin(@x+°)11〉0,。〉0,0<°<的最小正周期为兀.

(1)若2=1,/(0)=彳，求。的值；

(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定/(x)的解析式，并

求函数/(x)的单调递增区间.

条件①：/(x)的最大值为2；

条件②：/(x)的图象关于点正>0中心对称;

条件③：/(x)的图象经过点有，6•注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.

IT

【正确答案】(1)(P=-

(2)/(x)=2sin[+e兀7兀77r7

------卜一■F左兀，左£Z

36

【分析】(1)根据条件，代入/(0)=¥，即可求解;

（2）根据三角函数的性质，选择条件，代入后，即可求解函数的解析式，然后代入函数单调

递增区间，即可求解.

【小问1详解】

因为4=1,f(0)=,则sin°=且则夕=:;

【小问2详解】

2兀

因为函数的最小正周期为兀，则。=」=2,

71

5兀2sin|g+“=0,

若选①②，则/=2,且/

12

立八71.5715兀471571bt、i兀

又0＜夕＜7，贝n!］一＜一+0＜一,贝!］一+0=兀，所以0二一，

266366

所以/(x)=2sin12x+£),

5八兀r[兀兀2兀_.7171-.71

又0<,<彳，则一<一+°<—,则一+0=一,则0=一,

2663636

所以/(x)=2sin[2x+gj

7T

若选择②③，由②可知，0=—，

6

由③可知，=^sin^+=A-^-=V3,则2=2,

所以/(x)=2sin[2x+t]，

TTTTTTTTTT

令---F2左兀<2x+—<—+2左兀,左EZ,得-----FH<x<—+A;€Z,

26236

所以函数/(X)的单调递增区间是-E常+E,keZ

20.在4/台。中，2asinB=5.

(1)求A；

（2）若6=2血，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得A/BC存在且唯一确定,

求三角形A/BC的面积.

条件①:cosC=-Vio

~L0~

条件②：a=2；

石

条件③：sin5=—.

5

7T3兀

【正确答案】（1）2=—或/=一

44

（2）答案见解析

【分析】（1）运用正弦定理边角互化可解；

（2）若选择①：运用正弦定理，结合面积公式可解;

若选择②：运用正弦定理，结合面积公式可解；

若选择③：运用正弦余弦定理，结合面积公式可解.

【小问1详解】

因为2asin5=yflb,

则由正弦定理可得，2sin4sin5=0sin5，

又因为sinBwO,所以sin/=----，

2

又因为A为V4BC的内角，

所以2=四或2=电；

44

【小问2详解】

若选择①：因为cosC=—®，且Ce[0,兀],

10

所以sinC=V1-cos2C=3''^,A=—

104

V2V23A/10V5

所以sin5二sin(4+C)=sinAcosC+cos4sinC=H------x---------=——,

2105

又因为b=202asmB=6b，

_42b_V2X2A/2/-

所以2sin3V5，

2x——

5

所以s=-aZ)sinC--x2V5x2V2x^^=6；

"2210

若选择②：因为b=26,2asinB=6b,a=2，

所以sin8=近b=后>?也=1，则3=4，2sinZsin8=KsinB,则sin/=

2a2x222

JT

所以4二:，则V45。为等腰直角三角形，

4

所以S“BC='X2X2=2；

4cm。

若选择③：因为6=2j5,2asin8=亚，

41bV2X2A/2C/-

所以2sm34s，