2024-2025学年河南省安阳市龙安高级中学等校联考高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河南省安阳市龙安高级中学等校联考高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量a=(−1,0,−1)，b=(1,x,y)，且a//b，则A.1 B.0 C.−1 D.−22.已知直线l1：ax+(1+a)y−3=0与l2：ax−2ay−2=0互相垂直，则a=(

)A.−2或0 B.−1 C.0 D.−23.已知函数f(x)=xex+2kx，若f′(1)=0A.e B.e2 C.1 D.4.设等差数列{an}的公差为d，若a2+a10A.4 B.3 C.2 D.15.过直线y=x+1上一动点P作圆M：(x−5)2+y2=2的一条切线l，切点为AA.6 B.4 C.32 6.洛阳龙门石窟是世界上规模最大的石刻艺术宝库，被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”.现有一石窟的某处共有378个“浮雕像”，分为6层，对每一层来说，上一层的数量是该层的2倍，则从下往上数，第4层“浮雕像”的数量为(

)A.16 B.32 C.48 D.647.已知P是抛物线y2=4x上一动点，若点P到y轴的距离为d1，到圆C：(x+2)2+(y−2)2=1上的动点A.13−1 B.25−1 8.阿波罗尼斯的《圆锥曲线论》中给出了椭圆的一个基本性质：如图，过椭圆上任意一点P作长轴AB的垂线(点P与点A，B均不重合)，垂足为Q，则|PQ|2|AQ|⋅|BQ|为常数k.若k≥19A.(0,23]C.(23二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知平面α过点A(1,1,1)，其法向量为n=(−1,−1,3)，则下列各点在平面α内的有(

)A.(2,3,2) B.(2,−3,2) C.(2,−1,0) D.(1,−2,0)10.已知数列{an}的前n项和为Sn，an+1=3A.a1=2

B.{an+1}是等比数列

C.{Sn−3an2}是等差数列

D.存在r11.已知曲线C：x|x|4−y|y|A.C不经过第二象限

B.当x≥0，y≤0时，C上任一点到坐标原点的距离均相等

C.C上点的横坐标的取值范围是[−2,2]

D.C上任一点到直线y=x的距离的取值范围是(0,2]三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知空间中的三点A(3,0,0)，B(0,3,3)，C(0,1,0)，则直线AC与AB所成角的余弦值为______．13.若x0→0limf(1+x014.已知P为直线x−y−3=0上一动点，过点P作椭圆y23+x2=1的两条切线，切点分别为A，B，若直线AB与x轴的正半轴、y轴的负半轴分别交于点C，D，则△OCD(O为坐标原点)面积的最小值为______．

附：椭圆y2四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知等差数列{an}满足a2+a5=12，a6=11，正项数列{bn}满足b1bn=16.(本小题12分)

已知函数f(x)=x3−(a+1)x2+a(a+1)x(a∈R)的图象在原点处的切线的斜率为2．

(1)求a的值；

(2)若a>0，求曲线17.(本小题12分)

如图，在四棱锥A−BCDE中，AB=AE=23，AB⊥AE，BC⊥CD，CD⊥DE，且平面ABE⊥平面BCDE，∠EBC=45°，O为BE的中点．

(1)证明：AO⊥CD；

(2)求二面角C−AB−E18.(本小题12分)

已知数列{an}满足nan+1−(n+1)an=n(n+1)，且a1=1．

(1)证明{ann}是等差数列，并求{an}的通项公式；

(2)若数列{bn19.(本小题12分)

已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(3,0)，右顶点为A，直线l：x=1与x轴交于点E，且|AF||AE|=a．

(1)求C的方程；

(2)若G为l上不同于点E的动点，直线GF交y轴于点H，过点G作C的两条切线GP，GQ，分别交y轴于点P，Q，交x轴于点M，N．

(i)参考答案1.A

2.D

3.A

4.D

5.B

6.C

7.C

8.B

9.AD

10.ABC

11.ABD

12.213.−9

14.2315.解：(1)已知等差数列{an}满足a2+a5=12，a6=11，

设等差数列{an}的公差为d，

∵a2+a5=12，a6=11，

∴a1+d+a1+4d=12a1+5d=11，

即2a1+5d=12a1+5d=11，

解得a1=1d=2，

∴a16.解：(1)由f(x)=x3−(a+1)x2+a(a+1)x，

得f′(x)=3x2−2(a+1)x+a(a+1)，

由题意得f′(0)=a(a+1)=2，解得a=−2或1；

(2)∵a>0，∴a=1，

则f′(x)=3x2−4x+2，

设切点坐标为(t,t3−2t2+2t)，则切线的斜率k=3t2−4t+2，

∴切线方程为y−(t317.解；(1)证明：由AB=AE，O为BE的中点，可得AO⊥BE，

因为平面ABE⊥平面BCDE，平面ABE∩平面BCDE=BE，

所以AO⊥平面BCDE，又CD⊂平面BCDE，

所以AO⊥CD．

(2)如图，过点O在平面BCDE内作BE的垂线，交BC于点F，

因为AO⊥平面BCDE，OF⊂平面BCDE，所以AO⊥OF，

以O为原点，OE，OF，OA所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

在Rt△ABE中，BE=AB2+AE2=26=2AO，

在梯形BCDE中，∠EBC=45°，所以OF=BO=6，

故B(−6,0,0)，A(0,0,6)，F(0,6,0)，

则BA=(6,0,6)，BF=(6,6,0)．

易知平面ABE的一个法向量为i=(0,1,0)．

设平面ABC的法向量为j=(x,y,z)，18.解：(1)证明：数列{an}满足nan+1−(n+1)an=n(n+1)，

两边同时除以n(n+1)，可得an+1n+1−ann=1，

又a11=1，所以{ann}是首项和公差均为1的等差数列，

由等差数列的通项公式，可得ann=1+(n−1)×1=n，所以an=n2；

(2)数列{bn}满足bn=ann⋅2n=n×2n，

所以Sn=1×2+2×22+3×23+⋯+n×2n，

2Sn=1×219.解：(1)易知A(a,0)，

因为直线l：x=1与x轴交于点E，且|AF||AE|=a，

所以a|a−1|=3−a．

若a≤1，

此时a(1−a)=3−a，

即a2−2a+3=0，该方程无解，

若a>1，

此时a(a−1)=3−a，

即a2=3，

所以b=32−a2=9−3=6，

则双曲线C的方程为x23−y26=1．

(2)证明：设G(1,t)，

易知过点G且与C相切的直线的斜率存在且不等于0和±2，

设切线的方程为y=k(x−1)+t(k≠0,±2)，

联立y=k(x−1)+tx23−y26=1，消去y并整理得(2−k