选择必修第三册 第六章 6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第1课时） 课件

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第六章

计数原理6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第1课时）

教学目标学习目标数学素养1.通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；1.特殊到一般的数学素养和归纳的数学素养.2.了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义；2.数学抽象的素养.3.能利用两个原理解决一些简单的实际问题.3.逻辑推理的数学素养.知识背景第六章

计数原理

汽车号牌的序号一般是从26个英文字母、10个阿拉伯数字中选出若干个，并按适当顺序排列而成.随着人们生活水平的提高，家庭汽车拥有量迅速增长，汽车号牌序号需要扩容.那么交通管理部门应如何确定序号的组成方法，才能满足民众的需求呢？这就需要“数（shǔ)出”某种汽车号牌序号的组成方案下有可能的序号数.这就是计数.

日常生活、生产中类似的问题大量存在.例如，幼儿会通过一个一个地数的方法，统计自己拥有玩具的数量；学校要举行班际篮球比赛，在确定赛制后，体育组的老师需要知道共需要举行多少场比赛；用红、黄、绿三面旗帜组成航海信号，颜色的不同排列表示不同的信号，需要知道共可以组成多少种不同的信号……如果问题中数量很少，一个一个地数也不失为一种好的计数方法.但如果问题中数量很多，我们还一个一个地去数吗？

本章将要学习分类加法计数原理与分步乘法计数原理，这两个计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，利用其可以得到两类特殊计数问题的计数公式－排列数公式和组合数公式，应用公式就可以方便地解决一些计数问题.作为计数原理与计数公式的应用，我们还将学习在数学上有广泛应用的二项式定理.新知探究6.1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第1课时）

计数问题是我们从小就遇到的，通过一个一个地数是计数的基本方法.但当问题中数量很大时，列举的方法效率不高.能否设计巧妙的“数法”，以提高效率呢？下面先分析一个简单的问题，并尝试从中得出巧妙的计数方法.

用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？完成一件什么事怎么完成这件事英文字母有什么要求→→英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个，所以总共可以编出26+10=36种不同的号码.座位编号英文字母一个数字2610知新探究⑴确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类；上述计数过程的基本环节是：

⑵分别计算各类号码的个数；

你能说一说这个问题的特征吗？

首先，这里要完成的事情是“给一个座位编号”；其次是“或”字的出现：一个座位编号用一个英文字母或一个阿拉伯数字表示.因为英文字母与阿拉伯数字互不相同，所以用英文字母编出的号码与用阿拉伯数字编出的号码也互不相同.这两类号码数相加就得到号码的总数.⑶各类号码的个数相加，得出所有号码的个数.

你能举一些生活中类似的例子吗?

读书课上，老师提供了6本不同的科普杂志，7本不同的文学杂志，你从其中任选一本，有几种选择方式？选一本书科普杂志文学杂志6种7种6+7=13（种）知新探究

完成一件事有两类方案.在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，则完成这件事共有

N=m+n

种不同的方法.一般地，有如下分类加法计数原理：

两类不同方案中的方法互不相同.

【例1】在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如下表.A大学B大学生物学数学化学会计学医学信息技术学物理学法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？知新探究分析：要完成的事情是“选一个专业”.因为这名同学在A,B两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又因为没有共同的强项专业，所以符合分类加法计数原理的条件.这名同学可以选择A,B两所大学中的一所.在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法.因为没有一个强势专业是两所大学共有的，所以根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数为解：N=5+4=9.知新探究分类加法计数原理的推广：

如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第3类方案中有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？

如果完成一件事有n类不同方案，在每一类方案中都有若干种不同的方法，那么应当如何计数呢？

N=m1+m2+m3.

完成一件事,如果有n类不同的方案,而且第一类方案中有m1种不同的方法,第二类方案中有m2种不同的方法……第n类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有

N=m1+m2+…+mn种不同的方法.分类加法计数原理使用前提：各类方案中的方法互不相同且都能独立完成这件事情.知新探究

用前6个大写英文字母和1~9这9个阿拉伯数字，以A1,A2,...,A9,B1,B2,...的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？

这里要完成的事情任然是“给一个座位编号”，但与前一问题的要求不同.在前一个问题中，用26个英文字母中的任意一个或10个阿拉伯数字中的任意一个，都可以给出一个座位号码.但在这个问题中，号码必须由一个英文字母和一个作为下标的阿拉伯数字组成，即得到一个号码要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这样两个步骤.知新探究用下图所示的方法可以列出所有可能的号码.

用前6个大写英文字母和1~9这9个阿拉伯数字，以A1,A2,...,A9,B1,B2,...的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？

左图是解决计数问题常用的“树状图”.你能用树状图列出所有可能的号码吗?知新探究

用前6个大写英文字母和1~9这9个阿拉伯数字，以A1,A2,...,A9,B1,B2,...的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？也可能这样思考：由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任意一个组成一个号码，而且它们互不相同，因此共有6×9=54种不同的号码.知新探究

完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有

N＝m×n种不同的方法.

你能说一说这个问题的特征吗？

上述问题要完成的一件事情仍然是“给一个座位编号”，其中最重要的特征是“和”字的出现：一个座位编号由一个英文字母和一个阿拉伯数字构成.因此得到一个座位号要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这两个步骤，每一个英文字母与不同的数字组成的号码是互不相同的.一般地，有如下分步乘法计数原理：

无论第1步采用哪种方法，与之对应的第2步都有相同的方法数.

知新探究【例2】某班有男生30名、女生24名，现要从中选出男生和女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？

解：任选男生和女生各1人，可以分两个步骤完成：分析:要完成的一件事是“选男生和女生各1名”，可以分两个步骤：第1步，选男生；

第2步，选女生.第1步，从30名男生中选出1人，有30种不同选法；第1步30第2步24第2步，从24名男生中选出1人，有24种不同选法.根据分步乘法计数原理，共有不同选法的种数为N=30×24=720.

新知探究分步乘法计数原理的推广：

完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……,做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有

N=m1×m2×…×mn.种不同的方法.

如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？

如果完成一件事有n个步骤，做每一步都有若干种不同的方法，那么应当如何计数呢？N=m1×m2×m3.分步乘法计数原理使用前提：各步中每种方法不能独立完成这件事.新知探究两个原理的区别与联系：分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点不同点注意点用来计算“完成一件事”的不同方法种数分类完成，类类相加分步完成，步步相乘各类中每种方法都能独立完成这件事每步依次完成才算完成这件事（各步中每种方法不能独立完成这件事）类类独立，不重不漏步步依存，步骤完整新知探究⑴从书架上任取1本书，有三类方案：第2类方案是从第2层取1本文艺书，有3种方法；解：第1类方案是从第1层取1本计算机书，有4种取法；根据分类加法计数原理，不同取法种数为【例3】书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.

⑴从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？

⑵从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同的取法？分析:⑴要完成的一件事是“从书架上取1本书”，可以分从第1层、第2层和第3层中取三类方案；第3类方案是从第3层取1本体育书，有2种方法.N=4+3+2=9.

新知探究⑵从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，可以分三个步骤完成：第2步，从第2层取1本文艺书，有3种方法；解：第1步，从第1层取1本计算机书，有4种方法；根据分步乘法计数原理，不同取法种数为【例3】书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.

⑴从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？

⑵从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同的取法？分析:⑵要完成的一件事是“从书架第1层、第2层、第3层中各取1本书”，可以分三个步骤完成.第3步，从第3层取1本体育书，有2种方法.N=4×3×2=24.

初试身手⑴要选出1人来完成的这项工作，有2种方法：第2种，从另4个人中选1人，有4种选法.解：第1种，从前5个人中选1人，有5种选法；根据分步乘法计数原理，不同的配法种数为⑴一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是________；⑵现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为(

)

A．7 B．12 C．64 D．81第1步，从3条不同颜色的长裤中取一条，有3种方法；N=3×4=12.

根据分类加法计数原理，不同选法种数为N=5+4=9.

9⑵要完成“取一条长裤