4.2.2+整式的加法与减法-合并同类项教学设计-2024-2025学年人教版（2024）七年级数学上册

4.2.2整式的加法与减法——合并同类项教学内容分析新教材七年级上学期的教学内容分为：有理数；有理数的运算；代数式；整式的加减；一元一次方程；几何图形初步六部分。通过前两章，同学们把运算从正数运算扩充到了有理数运算，通过第三章的内容认识了代数式的概念，为第四章整式的加减做了充分的准备。而新教材的变动，突出了有理数、有理数运算、代数式、整式运算的重要性。这四章内容的学习使学生完成了从小学数学到初中数学体系的转变，实现了从数的运算到式的运算,再从式的运算到方程的运算和树立几何基本认知的过渡。本节是初中数学七年级上学期第四章第二节的内容，安排在学生学完了有理数的运算之后,接着学习合并同类项，因为在合并同类项过程中系数的合并要用到有理数的运算方法,同时合并同类项也为后续章节进一步学习整式的加减奠定了基础，因此这一节在内容上起着承上启下的作用。同时，合并同类项是数学学习中接触到的第一种代数恒等变换，也是最基本的代数恒等变换，它今后是学习整式的乘除、因式分解、分式、根式运算、方程及函数等知识的重要基础，因此，其重要性不言而喻。合并同类项是把多项式中同类项合并成一项，经过合并同类项，多项式的项数会减少，这样多项式就得到了化简.同类项的概念是判断同类项的依据，“所含字母相同，相同字母的指数也相同”是同类项的本质特征.合并同类项的依据是数的运算律“分配律”，“合并”是指同类项的系数相加，把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变.学情分析在学习本节课之前，学生已经学习了有理数的运算及代数式的相关内容，也已掌握了整式的相关概念。整式作为代数式的一种，进行运算在同学们的认知中是一种突破，是由数到式运算的跃迁，同学们可能理解起来有一定的困难。为了尽可能的减轻同学们的学习困难，构架学习的最近发展区，在教学中要充分类比数的运算慢慢迁移到式的运算中来，认识到合并同类项的合理性.核心素养目标1.理解多项式中同类项的概念，会识别同类项.2.理解并掌握合并同类项的法则.3.能在合并同类项的基础上进行化简、求值运算.教学重难点1.会根据“所含字母相同，相同字母的指数也相同”的标准判断同类项，并说出判断依据，会举例说明同类项，会在一个多项式中找到同类项.2.能准确合并同类项，并说出合并的方法，能通过合并同类项进行多项式的化简。3.学生需要在化简含有字母的式子时，体会：由于整式中的字母表示数，字母可以像数一样参与运算，算式与含有字母的式子有相同的结构，可以对比数的运算，运用分配律合并同类项教学过程教师活动学生活动环节一：创设情境，引入新知【回顾旧知】什么是整式、单项式、多项式？【情境引入】数能进行加减运算，整式中的每个字母都表示数，这样，整式与数一样，也可以进行加减运算.我们来看本章引言中的问题（2）.汽车从香港口岸到西人工岛包含两段路程，一段为香港口岸到东人工岛，另一段为海隧道.如果汽车通过海底隧道需要a`h，那么从香港口岸到东人工岛所需时间是1.25ah，香港口岸到西人工岛的全长（单位：km）是72a＋96×1.25a，即72a＋120a.如何计算72a＋120a呢？下面我们类比数的运算，讨论整式72a，120a的加法运算.活动意图说明：引入实际问题，使学生感受含有字母的式子的运算是实际需要.理解化简72a+120a的方法是运用有理数的运算律“分配律”，这里明确指出“类比数的运算”，教学中要注意落实，使学生体会“数式通性”环节二：类比探究，学习新知探究点1同类项整式的运算是建立在数的运算基础上的，对于有理数的运算是怎样做的呢？整式的运算与有理数的运算有什么联系？问题1（教材P98探究（1））运用运算律计算：72×2＋120×2＝（72＋120）×2＝192×2＝384；72×（－2）＋120×（－2）＝（72＋120）×（－2）＝192×（－2）＝－384.可以用分配律简便计算，计算过程及结果如上.教师追问：式子72a+120a与问题1中的两个算式有什么联系？你是如何理解化简式子72a+120a的方法的？问题2（教材P98探究（2））根据问题1中的方法完成下面的运算，并说明其中的道理：72a＋120a＝（72＋120）a＝192a.运算过程及结果如上，道理如下：教师引导学生归纳：（1）算式72×2+120×2与72×(-2)+120×(-2)和式子72a+120a具有相同的结构，由于字母a代表的是一个因（乘）数，因此根据分配律应有72a+120a=(72+120)a=192a；（2）由于整式中的字母表示数，因此可以类比数的运算，运用数的运算法则和运算律进行整式的运算学生活动学生尝试回答，根据分配律可得72×2+120×2=（72+120）×2=192×2=38472×(-2)+120×(-2)=（72+120）×（-2）=192×（-2）=−384学生尝试解释，教师根据学生的回答情况进行引导.【教学建议】（1）可以给学生说明，问题1中的两个式子，是72a＋120a，a取2和－2时的算式.（2）教学时要注意引导学生：类比数的运算进行式的算.让学生体会由数到式、由具体到一般的思想方法活动意图说明：通过用分配律进行有理数的运算，帮助学生理解用分配律化简式子72a+120a的方法，为进一步类比学习整式的运算提供方法上的借鉴.通过引导学生观察比较，发现三个算式的联系，理解由于式子72a+120a中的字母表示数，因此可以依据分配律对式子进行化简，理解整式的运算与有理数的运算具有一致性，为更一般的同类项的合并提供方法上指导，体会由"数"到"式"是由特殊到一般的思想方法，初步感受"数式通性"和类比的数学思想问题3类比式子72a+120a的运算，化简下列式子：（1）72a－120a＝（72－120）a＝－48a；（2）3m2＋2m2＝（3＋2）m2＝5m2；（3）3xy2－4xy2＝（3－4）xy2＝－xy2.教师此环节应该关注：学生在计算72a−120a时，是否能注意到分配律的使用，正确区分运算符号和性质符号；学生是否能正确理解运用分配律化简式子时“系数相加，字母连同它的指数不变”的道理.学生活动学生先尝试独立解答，然后学生代表发言.活动意图：引入同类项的概念，进一步引导学生类比前面关于式子72a+120a的化简，有特殊到一般，讨论更一般的同类项（多项式中的项的次数高于1，字母不止一个等）的合并，进一步理解分配律的运用，体会“数式通性”和类比的数学思想.通过几组不同形式的同类项，感受不同类型式子的组成，突出同类项的特点，为归纳同类项的概念和合并同类项法则做好铺垫问题4在问题3中，每一组算式中的两项，它们含有的字母有什么特点？（1）上述各多项式的项有什么共同特点？（2）化简上述多项式，你能从中得出什么规律？概念引入：像72a与－120a，3m2与2m2，3xy2与－4xy2这样，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项.几个常数项也是同类项.【教学建议】教师应关注：学生是否理解判断同类项的两条标准：一是含有相同的字母；二是相同字母的指数也相同；教师还应关注：学生能否理解合并同类项的要点，一是“字母连同它的指数不变”，既包含字母，也包含字母的指数不变，二是“系数相加”。学生活动学生先独立思考，然后小组讨论，小组代表发言.教师巡视，指导学生归纳和表达.在讨论交流的基础上，教师引导学生归纳同类项的定义、合并同类项的定义和法则活动意图说明：在观察、比较中，发现各多项式的共同特征，分析运算特点，归纳出同类项、合并同类项的定义及合并同类项的法则【对应训练】判断每一组是不是同类项，不是则为前者配一个同类项.（1）2x2y与－3x2y；是（3）－3pq与3pq；是（2）2abc与3ab；不是，3abc（4）－4m2n与5mn2.不是，5m2n探究点2合并同类项问题1观察探究点1中问题3中的三组式子，它们的系数在运算中有什么规律？你能从中得到什么启示？规律：等号左边各项的系数的和等于运算结果的系数.启示：多项式中的字母表示的是数，所以我们也可以利用交换律、结合律、分配律把多项式中的同类项进行合并.问题2例题4x²+2x+7+3x-8x²-2找出多项式中的同类项并进行合并，思考下面问题：每一步运算的依据是什么？注意什么？4x2＋2x＋7＋3x－8x2－2＝4x2－8x2＋2x＋3x＋7－2（交换律）＝（4x2－8x2）＋（2x＋3x）＋（7－2）（结合律）＝（4－8）x2＋（2＋3）x＋（7－2）（分配律）＝－4x2＋5x＋5.（合并同类项）在运用交换律和结合律将多项式变形时，要注意什么问题？教师点拨：运用交换律、结合律将多项式变形时，不要漏掉各项系数的符号；不要漏项；最后的结果按照某一个字母的指数由大到小（降幂）或有效到达（升幂）排列.学生活动知识引入：合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项.合并同类项的法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变.【教学建议】（1）交换多项式中项的位置时，要提醒学生注意项的符号.（2）教师适时带着学生总结合并同类项的步骤：一找：找出同类项，当项数较多时，通常在同类项的下面画相同的标记，画标记时要连同该项前面的符号一起画；二移：运用加法交换律、结合律将多项式中的同类项结合；三合：利用合并同类项法则，合并同类项；四排：合并后的结果按某一个字母降幂（或升幂）的顺序排列.（3）合并同类项时，只能把同类项合并成一项，在问题2中，原式子化为－4x2＋5x＋5后，不再有同类项，就不能再合并了.例1（教材P99例1）合并下列各式的同类项：（1）xy2－15xy2（2）4a2＋3b2＋2ab－4a2－4b2.解：（1）xy2－15xy2＝（1－15）xy2＝45（2）4a2＋3b2＋2ab－4a2－4b2……找＝（4a2－4a2）＋（3b2－4b2）＋2ab……移＝（4－4）a2＋（3－4）b2＋2ab……合＝－b2＋2ab.……排【教学建议】4a2－4a2＝（4－4）a2＝0·a2＝0.教学时可以向学生解释0·a2＝0的原因（a表示数，对于0·a2，无论a取何有理数，0·a2都等于0）环节三：新知运用，巩固提升例2（教材P100例2）（1）求多项式2x2－5x＋x2＋4x－3x2－2的值，其中x＝12（2）求多项式3a＋abc－13c2－3a＋13c2的值，其中a＝－分析：在求多项式的值时，可以先将多项式中的同类项合并，然后再求值，这样做往往可以简化计算.解：（1）2x2－5x＋x2＋4x－3x2－2＝（2＋1－3）x2＋（－5＋4）x－2＝－x－2.当x＝12时，原式＝－12－2＝－（2）3a＋abc－13c2－3a＋13＝（3－3）a＋abc＋（－13＋13＝abc.当a＝－16，b＝2，c＝－3时，原式＝（－1学生独立完成，然后互相纠错、评价，学生代表板演，教师巡视指导设计意图：进一步巩固对合并同类项的掌握，并体会它在简化计算方面的作用。【教学建议】教学时，可让学生直接代入求值，并与例题的解答方法比较，使学生对“先化简，再求值，可以简化计算”有深刻印象.通过两种不同求值方法的对比，让学生感悟先化简再求值的优越性.环节四：学以致用例3（教材P100例3）（1）水库水位第一天连续下降了ah，平均每小时下降2cm；第二天连续上升了ah，平均每小时上升0.5cm，这两天水位总的变化情况如何？（2）某商店原有5袋大米，每袋大米为xkg.上午售出3袋，下午又购进同样包装的大米4袋.进货后这个商店有大米多少千克？解：（1）把下降的水位变化量记为负，上升的水位变化量记为正，则第一天水位的变化量是－2acm，第二天水位的变化量是0.5acm.由－2a＋0.5a＝（－2＋0.5）a＝－1.5a可知，这两天水位总的变化情况为下降了1.5a`cm.（2）把进货的数量记为正，售出的数量记为负，则上午大米质量的变化量是－3xkg，下午大米质量的变化量是4xkg.由5x－3x＋4x＝（5－3＋4）x＝6x可知，进货后这个商店有大米6xkg.【教学建议】让学生注意题中用负数表示了相反意义的量设计意图：通过合并同类项解决实际问题，强化应用意识.环节五：课后总结，自我反思环节五：