辽宁省新高考研究联盟2024-2025学年高二下学期期初质量监测数学试题（含答案）

辽宁省新高考研究联盟2024-2025学年高二下学期期初质量监测数学试题本试卷满分150分考试时间120分钟第Ⅰ卷选择题（共58分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.经过两点，的直线的倾斜角为（）A. B. C. D.不存在2.已知，，点分所成的比为，则与的值分别为（）A. B.C. D.3.已知向量，，且与的夹角为，则等于（）A. B. C. D.4.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，5.设函数，且，则（）A. B. C. D.6.等差数列中，前项和为，公差，且，若，则（）A. B. C.不确定 D.7.由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（，）下支的部分，且此双曲线两条渐近线方向向下的夹角为，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.8.已知，直线：与：的交点在圆：上，则的最大值是（）A. B. C. D.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列排列组合数中，正确的是（）A. B.C. D.10.已知圆，则（）A.圆可能过原点 B.圆心在直线上C.圆与直线相切 D.圆被直线所截得的弦长为11.如图，为等腰直角三角形，斜边上的中线为线段中点，将沿折成大小为的二面角，连接，形成四面体，若是该四面体表面或内部一点，则下列说法正确的是（）A.若点为中点，则过的平面将三棱锥分成两部分的体积比为B.若直线与平面没有交点，则点的轨迹与平面的交线长度为C.若点在平面上，且满足，则点的轨迹长度为D.若点在平面上，且满足，则线段长度的取值范围是三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.若对任意正数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围为______.13.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间像球一样来回自由滚动，并且始终保持与两平面都接触（如图）．勒洛四面体是以一个正四面体的四个顶点分别为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分围成的几何体．若构成勒洛四面体ABCD的正四面体ABCD的棱长为2，在该“空心”勒洛四面体ABCD内放入一个球，则该球的球半径最大值是_______．14.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之为实一为从隅，开平方得积”如果把以上这段文字写成公式就是，共中a、b、c是△ABC的内角A，B，C的对边．若，且，2，成等差数列，则面积S的最大值为____四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的余弦值．16.设，是不共线的非零向量，且，．（1）证明：可以作为一个基底；（2）若向量，试用基底表示．17.对于函数，记，，，…，，其中.（1）若函数是一次函数，且，求的最小值；（2）若，且，求；（3）设函数（），记，，若，证明：.18.在多面体中，已知，，且，．（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．19.已知为椭圆上一点，对于上任意两点，，我们定义关于的生成点的形成过程：过作平行于的直线交于异于的一个点（若与重合，则为在处的切线；若与处切线平行，则交点为），记为，且对，记，称为关于的生成点列.（1）已知，，直接写出和的坐标；（2）若，且均在第一象限，证明：；（3）已知为上异于的一点，且在第一象限内，若关于的生成点列中至少有一点是，求出所有满足题意的点的坐标.参考答案1-8【答案】C【答案】D【答案】C【答案】B【答案】C【答案】B【答案】D【答案】A9.【答案】BCD10.【答案】AD11.【答案】BC12.【答案】13.【答案】14.【答案】15.【小问1详解】如图建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，因为是直棱柱，所以平面，因此平面的一个法向量为，所以，即，又平面，所以平面；【小问2详解】因为，，，设平面的法向量为，则，令，得，设直线与平面所成角为，则，所以.16.【小问1详解】假设，共线，所以存实数，使得，即，整理得，则，共线，这与，是不共线的非零向量矛盾，所以假设不成立，即与不共线，所以可以作为一个基底；【小问2详解】设，因为，是不共线的非零向量，所以，解得，所以．17.【小问1详解】设，，，又因为，所以，所以，所以，当时，，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为0．【小问2详解】因为，易知，所以，又．【小问3详解】因为，即无解，所以若，则，即，所以，即，所以时，无解，同理若，即，所以时，无解，综上．18.【小问1详解】如图，分别取，的中点、，连接、、，则且，因为且，所以且则四边形为平行四边形，所以且，因为，所以，所以，又因为，所以，又因为，、平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面．【小问2详解】取的中点为，的中点为，连接，，，如图所示，因为，所以，在等腰梯形中，易得，又因为，、平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，过作于点，由平面平面，平面，则平面，连接，则就是直线与平面所成的角，因为平面，所以，由，，得，，是中点，，在等腰梯形中，，所以在等腰中，腰上的高，又因为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为．19.【小问1详解】设，由，，得直线斜率，则过点且与平行的直线为，即，由对称性可知，直线与椭圆交点为，即；由，则，由题意椭圆在点处的切线方程为，过点作此切线的平行线交椭圆于点（异于点）；故，设，则过点，故设过点且与直线平行的直线方程为，设椭圆在此点处的切线方程为，联立椭圆方程，由所求交点不同于点，则得，故.故，.【小问2详解】设椭圆上任意一点，由椭圆，则可设，其中参数，下面记对应的参数.由，可知，由题意均在第一象限，则，，.由此，若在椭圆上，可设，即，若，若，则，由和差化积公式可得，化简得，则，，所以，特别地，若，，则由，则.设，其中.设，根据上述结论由，可得，即，则，若，则，.若，则，结合图形可知.有，所以若，则仍然成立.故同理可得，，则.【小问3详解】对于生成的点列，下面用数学归纳