八年级下册数学：16 直角三角形的边角关系章末九大题型总结（拔尖篇）（北师大版）（解析版）

专题L6直角三角形的边角关系章末九大题型总结（拔尖篇）

【北师大版】

♦题型梳理

【题型1构建直角三角形求锐角三角函数值】......................................................1

【题型2用等角转换法求锐角三角函数值】........................................................7

【题型3锐角三角函数与相似三角形的综合应用】.................................................13

【题型4锐角三角函数与圆的综合应用】..........................................................18

【题型5解非直角三角形】......................................................................20

【题型6巧设辅助未知数解直角三角形】.........................................................33

【题型7构造直角三角形进行线段或角的计算】...................................................42

【题型8解直角三角形与圆的综合应用】.........................................................51

【题型9构造直角三角形解决实际问题】..........................................................62

，举一反三

【题型1构建直角三角形求锐角三角函数值】

【例1】（2023春・安徽・九年级专题练习）如图，在四边形中，43=60。，zC=90%E为边BC上的点,

△为等边三角形，BE=8,CE=2,则tan4AEB的值为（）

A-vB-vc.于D.—

【答案】C

【分析】作EF于点尸，AHJ.BE于点H,解直角△BEF,得出8尸=三8/=4,证明△4EF三△EOC,得

2

出力尸=夙？=2,再求出HE=5,然后利用正切函数定义即可求解.

【详解】如图，作EF14B于点入AHJ.BE于点H,

":乙B=60。,BE=8,

:.乙BEF=90°-Z.B=30°,

：,BF=-BE=4.

2

为等边三角形，

：.AAED=60°,AE=DE,

'：LBAE++Z-AEB=180°,乙DEC+Z-AED+4AEB=180°,

：,LBAE=乙DEC,

在ZMEF与△EOC中，

(Z.EAF=乙DEC

LAFE=Z-C,

(AE=ED

AA/IFF三△EOC(AAS),

：.AF=EC=2,

：.AB=AF+BF=2+4=6,

*：LAHB=90°,匕BAH=90°一乙B=30°,

：.BH=^AB=3,AH=V3BH=3百，

：.HE=BE-BH=8-3=5,

•.,ACUAH3N/5

故选：C.

【点睛】此题考查了解直角三角形，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含30。角的直角三角形

的性质，锐角三角函数定义等知识，准确作出辅助线，构造全等三角形以及直角三角形是解题的关键.

【变式1-1](2023春•湖北襄阳•九年级统考期中)如图,在△48。中，乙4=90。,若BE=m>C,CD=mAB,

连接8C、DE交于点F,则cos4BPE的值为.

【分析】过C作CG1BC,过。作。GJLHZ),如图所示，先证明△ABCSADCG,得到BE=ma=DG,从而

判定四边形O«DG是平行四边形，进而ZT0II3G,得至1此。/咕=々C3G,在RtA/WC中，DC=Va?+d2；在

RtACDG中，GC=mVa24-b2；在RtaBCG中，BG=^BC2+CG2=7(1+ni2)(a2+b2),即可得到

>Ja2+b2_Vzn2+1

cosZ-BFE=cosZ-CBG=—=

BGV(l+ni2)(a2+b2)m2+l

【详解】解：过C作CG1BC,过。作DGJ_4),如图所示:

DGIIAB,/.BCG=90%Z-CDG=90°,

vLA=90°,

.•・4ABC+Z.ACB=90%

•••/BCG=90°,

Z.ACB+Z.DCG=90°,

•••Z.ABC=(DCG,

:心ABCs&DCG,

A3AC

DCDG

vBE=mAC,CD=mABt

设/IC==b,=ma,CD=mb,则上~=上，解得OG=ma,

mbDG

•••BE=ma=DG,

•••BEIIDG,

•••四边形8EDG是平行四边形，

•••ED||BG,

:.LBFE=乙CBG,

在。中，Z.A=90°,AC=a,AB=b,则BC=加+扭,

22

在Rt△COG中，Z-CDG=90°,BE=ma,CD=mbt则GC=mVa+b,

在Rt△BCG中，4BCG=90。，则8G=y/BC2+CG2=J(1+加)(。2+广)cos乙BFE=cos^CBG=案

强2+匕2_Vm^+1

V(14-m2)(a2+b2)m2+l'

故答案为：芸三.

【点睛】本题考查求三角函数值，涉及相似三角形判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理及余弦

函数定义，准确构造辅助线，熟练运用相似三角形判定与性质是解决问题的关键.

【变式1-2]（2023•四川成都•统考中考真题）如图,在RtAABC中,LABC=90°,CD平分乙4cB交AB于点成

过。作。EII8C交4;于点E,将AOEC沿DE折叠得到△£）",DF交AC于点G.若监=（则tam4=.

【答案】于

【分析】过点G作GM1于M,证明aOGE〜ACG。，得出DG2=GEXGC,根据AD||GM,得器号=器

设GE=3,/G=7,EM=3n,则DM=7n,则EC=DE=lOn,在Rt^DGM中，GM2=DG2-DM2,在

RtAGME中，GM?=GE2一EM?,则DG?-DM?=GE2一EM?,解方程求得n=三，则EM=?,GE=3,

44

勾股定理求得GM,根据正切的定义，即可求解.

【详解】解：如图所示，过点G作GMJ.OE于M,

〈CD平分44cB交A8于点。，DEWBC

Azi=42/2=Z3

"1=Z3

：,ED=EC

•・•折叠,

=44,

Azi=Z.4,

又,：U)GE=Z.CGD

**•ADGECGD

•••—DG=-G-E

CGDC

：.DG2=GExGC

•・ZBC=90°,DEWBC,则AD1DE,

：.AD\\GM

•••一AG=器zMGE="

GEME

.•.A一G=-7=D-M-

GE3ME

设GE=3,AG=7,EM=3n,则DM=7"，则EC=OE=10m

*：DG2=GExGC

：.DG2=3x(3+lOn)=9+30n

在RtAOGM中，GM2=DG2-DM2

在RtAGME中，GM2=GE2-EM2

：,DG2-DM2=GE2-EM2

即9+30n-(In)2=32-(3n)2

解得：n=^

4

:.EM=-,GE=3

4

则GM=ylGE2-ME2=J32-=乎

tanA=tanz.EGM=空=告=—

MG3V77

4

故答案为：子.

【点睛】本题考查了求正切，折叠的性质，勾股定理，平•行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，熟

练掌握以上知识是解题的美键.

【变式1-3]（2023春•江苏常州•九年级校考期末）如图，在△力8c中，AB=AC=5fBC=4,AD是BC边

上的高,将△48C绕点C旋转到aEFC（点E、F分别与点A、8对应），点〃落在线段40上，连接4E,则

COSZ.EAF=.

A

E

D

［答案］乌萨

【分析】过点E作EG1力。于点G,结合旋转的性质可求8SN/CD=是=：,进而可证A/ICE是等边三角形,

可求出力。=或1-2百，即可求解.

【详解】解：如图，过点£作EG于点G,

•••将△/18C绕点C旋转，点4落在线段/10上的点尸处，

CF=BC=4,CE=EF=AB=5,乙ACB=乙ECF,AC=EC,

:.Z.FCD+Z.ACF=Z.ACE+Z.ACF,

•••Z.FCD=Z.ACE；

vAB=AC,力。是8C边上的高，

CD=^BC=2,

2

•••cosZ-FCD=7C7F=~4=2

:.Z.FCD=60°,

:.DF=CF・sinzFCD=4Xy=2痘,

:.Z.ACE=Z.FCD=60°,

AC=EC,

••.△ACE是等边三角形，

AE=EF=5,

.••在Rt△力CD中

AD=y/AC2—CD2=V52-22=V2T»

•••AF=AD-DF=VH-2V3,

v/IF=EF,EGLAD,

1ALV21-2V3

•••AG=-AF=---------,

22

VII273r—L

，〜口AG—Z—Vn-2>/3

:，COSZ.EAF=—=——i-=---------.

AE510

故答案为：注了.

【点睛】本题考杳了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形“三线合一”，等边三角形的判定及性质，特殊角的

三角函数等，掌握相关性质及定理，构建直角三角形是解题的关键.

【题型2用等角转换法求锐角三角函数值】

【例2】（2023秋•江苏常州•九年级统考期木）已知点产在△A3C内，连接PA、PB、PC,在△PHB、△PBC.

△PAC中，如果存在一个三角形与AABC相似，那么就称点尸为A4BC的自相似点，如图，在直角△4BC中,

Z.ACB=90°,AC=12,BC=5,如果点P为直角△ABC的自相似点，那么tanzACP=.

A

【答案吗

【分析】先找到RtZi/8C的内相似点，再根据三角函数的定义计算tan乙4cp即可.

【详解】解：・・"HC8=90。，AC=12,BC=5,

：.LCAB<MBA,

故可在2CB4内作NCBP=NC48,

又1•点P为公ABC的自相似点,

・•・过点C作C尸,尸儿并延长CP交48于点Q,

A

则/BPCfACB,

・•・点尸为aABC的自相似点,

：.LBCP=Z.CBA,

：.LACP=LBAC,

scq

，tan乙4cp=

tanz.BAC=—AC=—12

故答案为:*

【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，利用条件先确定出P点的位置是解题的关键.

【变式2-11（2023春・吉林长春•九年级校考期中）如图，在矩形ABC。中，连结4C,延长BC到点E,使CE=AC,

过点E作力C的平行线与40的延长线交于点儿

⑴求证：四边形ACEF是菱形:

（2）连结力a若tan乙4cB=/，则tan44EF的值为

8

【答案】（1）见解析

【分析】（1）根据进行的性质得出4FIICE,进而得出四边形ACEF是平行四边形.根据邻边相等的平行四

边形是菱形，即可得证；

（2）根据tan乙/1CB=受，在RtaHCB中，设48=15k,则BC=8k,根据菱形的性质得出4C=EC=17k,

8

^AEF=^AEB,进而根据正切的定义，即可求解.

【详解】（1）证明；•.•在矩形/13CD中，ADWBC,HP/1F||CE,

又;EF||AC,

.••四边形ACEF是平行四边形.

又•；CE=AC,

••・四边形4CE/是菱形.

（2）解：如图所示，

连接CF交与点。，

•・•四边形4C"是菱形,

/.ZE1FC

Vtanz/lCfi=竺，

8

在RtA/lCB中，设48=15”,贝ijBC=8k,

则/IC=>JAB2+BC2=17k,

•••四边形/CE尸是菱形，

：.AC=EC=V7k,Z.AEF=/.AEB,

Atanz/IEF=tanz/IES=—=上二=

BE17k+8k5

【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，求正切，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键.

【变式2-2］（2023秋•上海黄浦•九年级统考期末）如图，平面上七个点A、B、C、。、E、F、G,图中所有

的连线长均相等，则cosN84F=.

'D

【答案】3

【分析】连接AC、AQ,过点。作Z)M_LAC垂足为过点A作AN_LCO于点N.由各边都相等，得△A8G、

△4E产、△C8G和△OE/都是等边三角形，四边形A8CG、四边形AEQ尸是菱形，若设A8的长为x,根据

等边三角形、菱形的性质，计算出AO的长岳，ZBAC=ZEAD=30°,可证明NB4尸=/C4D；易得

△CMQS/XCNA,从而示求得CM的长，进而求得AM的长，在直角△AMD中，由余弦的定义即可求出

cosNC'A。从而求得结果.

【详解】解：连接AC、AD,过点。作。M_LAC,垂足为M,过点A作AMLCO于点N,如图.

设AE的长为x,则AB=AG=BG=CG=CB=AF=AE=EF=x

:.区ABG、△AEF.△CBG。石尸都是等边三角形

四边形ABCG,四边形AEDF是菱形

：,ZI3AC=ZEAD=30°

：.AC=AD=2xcosZBACxAB=2>>YX=y/3x

•・•ZCAD=/BAE-NBAC-/EAD=ZBAE-600,ZBAF=ZBAE-ZEAF=NBAE-60°

：,^BAF=ZCAD

•・・OM_LAC,ANLCD,/CAN=NCDM

:.'CMDSRCNA

,CMCD

••加=就

*：AC=AD,AN±CD

：,CN=-CD=-x

22

/.CM=CD^N=xx4-(V3x)=­x

4C26

：.AM=AC-CM=y[3x--x=—x

66

在/?/△AMD中，cos/CAD=—=-

AD6

：.cosZBAF=-.

6

故答案为J.

6

【点睛】本题考行了等边二角形的性质和判定、菱形的性质和判定、相似三角形的判定与性质、锐角二角函

数.把求NBA七的余弦转化为求NCAQ的余弦是解决本题的关键.

【变式2-3](2()23春・山东荷泽•九年级统考期中)如图，在即48CD中，对角线力C、BD交于点0.点、M是BC边

的中点，连接AM、0M,作CFIIAM.已知0C平分48C",0B平分/AOM,若BD=3四,则sinzB/M的值

为___

BMC

【答案】当

【分析】过点E作EH于H,由角平分线的定义和平行线的性质证明=再由等腰三角形的性质

证明N40M=90。，由题意证明。例为△48C的中位线，得到。Mil48,OM=^AB,则有4840=90。，进

而推出力8=AO=^-OB=-,利用勾股定理得至1MM=y/OM2+OA2=—,证明△力BEMOE,得到变=

224ME

券=器=2,求出4E="M=三,8E=；08=VL再推出BH=EH=匹BE=1,得到力”=：,利用

OMOE32322

sinz.fi/lM=sinx/ME则问题可解.

【详解】解：如图所示，过点E作EH14B于，，

AD

TOC平分乙BCF,

:・M)CF=乙OCB,

VCFIIAM,

=匕4CF,

：.LMAC=4MCA,

：.MA=MC,

•・•四边形zWCD是平行四边形，对角线为C、BD交于点0,

：

,0B=-2BD=—2,0A=0C

：.0MLAC,即Z4OM=90。，

:08平分NAUM,

：.AAOB=45°,

•・”为此的中点，

，0M为△A3c的中位线，

：.0M||AB,OM=-AB.

2

：.LBA0=180°-乙力0M=90°,

：.LABO=45°=NAOB,

：,AB=AO=—OB=-,

22

13

：.0M=〃B=。

24

：.AM=70M2+。。2=鸣

4

*：OM||AB.

:.LABEMOE,

.AEABBE\

"

••薪OM-OF-'

：.AE='^AM=—,BE=1OB=VL

323

♦：EH1AB,

:.乙BEH=45°=乙EBH,

：.BH=EH=—BE=1,

2

：,AH=1,

sinz.BAM=sinz.HAE=—=—,

AE5

故答案为：学

【点睛】本题主要考查了锐角三角函数，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，三角形中位线

定理，相似三角形的性质与判定等等，利用相似三角的性质构造比例式，得到线段之间数量关系是解题的

关键.

【题型3锐角三角函数与相似三角形的综合应用】

【例3】（2023春•九年级课时练习）如图，四边形HBCD为矩形，点E为边AB一点，将A/IDE沿DE折叠，点

/落在矩形/BCD内的点尸处，连接8尸，JIBE=EF,，夕EF的正弦值为总，则g的值为（）

【答案】A

【分析】过点/作FP上AB于点P,根据折叠的性质及BE=EF,可得NAED=NEBF,从而可得^ADE^APFB,

由，8EF的正弦值为彳,设EF=25a,则PF=24小由勾股定理求得PE=7a,从而可得BP,则由相似可得若=黑,

25ADPF

再由折叠的性质可得点七是A3的中点，从而可求得结果.

【详解】如图，过点/作FPJ_A8于点P

由折叠的性质可得：AE=EF,ZAED=ZFED

,：BE=EF

：.BE=AE=EF,ZEFB=ZEBF

V^BEF+2ZAED=ZBEF+2ZEBF=\S0°

：.NAED=/EBF

•・•四边形ABC。为矩形，PFLAB

：.ZA=ZFPZ?=90°

.•・'ADEs4PFB

.AEBP

♦•布=而

•・•在RtzxPEF中，sin48EF=U=芸

，设*25。,则。产二24〃

由勾股定理求得PE=VFF2-PF2=7a

：・BP=BE—PE=18a

.,.—AE=—BP=18a=-3

ADPF24a4

•,•AB2AE-一3

ADAD2

•AD2

••

AB3

故选:A.

【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，锐角三角函数，勾股定理，等腰

三角形的性质等知识，关键是由正弦值出发设石尸与尸尸的长，难点是证明反

【变式3-1]（2023•福建•模拟预测）如图,在矩形48CD中,18=4,AD=2,点M、N分别在边48、4。上

（不与端点重合），且。MlCN于点尸.若乙1PO=135。，则cos乙MNP=.

【答案】q

【分析】根据题意得出4N,P,M四点共圆，结合题意得出△4NM是等腰直角三角形，设4M=4V=Q,证明

△4M。〜AONC得出Q=彳勾股定理得出MN,0M,证明△DPN〜△ZX4M得出NP,进而根据余弦的定义即

可求解.

【详解】解：•.•四边形ABC。是矩形，DMLCN

：.LMAN=乙MPN=90°,

・・・4N,P,M四点共圆,

*：LAPD=135。,

・••乙ANM=LAPM=180°-^APD=45°,

•••△4NM是等腰直角三角形，

设4M=AN=a,

\^ADM=90-乙DNP=乙DCN,/-MAD=乙NDC=90°,

：,LAMD〜ADNC

AM_AD

''~DN=~DC

・a2

..---=-

2-a4

解得：Q=|,

=AN=-,ND=则MN=yflAM=-V2,

333

・'DM=yjAM2+AD2=J(g)+2?=

又,：乙DPN=Z-DAM=90°,AADM=乙PDN

：.ADPNDAM

,NPND

''AM~DM

故答案为：

【点睛】本题考查了90。角所对的弦是直径，相似三角形的性质与判定，求余弦，证明△/MDs^DNC,△

DPN八D4M是解题的关键.

【变式3-2］（2023春・浙江杭州•九年级专题练习）如图，在RtMBC中，zC=90°,cosfi=将△4BC绕

顶点C旋转得到△4B'C',且使得夕恰好落在AB边上，AB'与AC交于点D,则詈的值为（）

II/r

A9

H

27广3「9

AA.—DB・—C.—D・—

5201020

【答案】B

【分析】如图(见解析)，设8c=3a(a>0),先根据余弦三角函数得出BE的长，再根据等腰三角形的三

线合一可得88'的长，从而可得4出的长，然后根据旋转的性质可得AC=40,乙4=乙4',最后根据相似三

角形的判定与性质可得曹=螺，由此即可得出答案.

【详解】如图，过点C作CE_LZ18于点E

•:在Rt△4BC中，乙C=90。，cosB=吟=；

AB5

二可设8C=3a(a>0),则力B=5a,AC=>JAB2-BC2=4a

•・.△8C8'是等腰三角形

•••BB'=2BE(等腰三角形的三线合一)

由旋转的性质可知，D'C=DC=3a,A'C=AC=4a,=乙4'

在孔△孔£■中，cos8=裂，即翌=：

BC3a5

解得BE=£

,18a

BB'=2BE=

J

,,18a7a

AB'=AB-BB,=5a--=—

在小血和“CD中，｛4高：/DC

：.2AB'D〜"CD

7a

B'DAB'_7

"7F==4a=20

故选：B.

【点睛】本题考查了余弦三角函数、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、旋转的性质等知识点,

通过作辅助线，运用余弦三角函数求出BE的氏是解题关键.

【变式3-3］（2023•全国•九年级专题练习）如图，在△A8c中，乙48c=9（）。，tanN84cAQ=2,BD=

4,连接C。，则C。长的最大值是（）

A.2x/5+-B.2V5+1C.2V5+-D.2V5+2

42

【答案】B

【分析】过点/H、ND4P=NBAC,过点。作AO_L。尸交AP于点尸，分别求出PD,PC,在△户0c中，利用

二角形的二边关系即可求出CDK的最大值.

【详解】解：如图，过点A作/DAP=N84C,过点D作AD_LQP交AP于点P,

,:ZABC=90°,tan^BAC=

2

Z.tanzD/lP=tanz.fi/lC=

2

.•.一DP=1

AD2

\MD=2,

：.DP=\t

*：ZDAP=ZBAC,ZADP=ZABC,

工XADPsAABC,

,AP_AD

AC~AB'

V^DAB=ZDAP+ZPAB,ZPAC=ZPAB+ZBAC,ZDAP=ZBAC,

：.ZDAB=ZPAC,—ACAB,

\ADBsXAPC,

,ADDB

••--=--9

APPC

'：AP=>JAD2+DP2=V22+l2=y[5,

・・.PC=3=^=2后

AD2

：.PD+PC=1+2V5,PC-PD=2\15-l,

在APOC中，•:PD+P6DC,PC-PDvDC,

/.2V5-1<CD<2V5+1,

当D,P,C三点共线时，。。最大，最大值为2遥+1,

故选:B.

【点睛】本题考杳了锐知二角函数的定义，相似二角形的判定和性质，勾股定理，二角形的二边关系，构造

相似三角形是解题的关键.

【题型4锐角三角函数与圆的综合应用】

【例4】(2023・广东惠州•校考模拟预测)如图，48是。。的直径，点石为弧4c的中点，AC.BE交干点、

过A的切线交BE的延长线于F.

(1)求证：AD=AF；

(2)若黑=[,求tan乙。力D的值.

Ar3

【答案】(I)见详解

⑵5

【分析】(1)连接4E,由48是直径，得至I叱力E8=90。，由题知/凡48=90。，经过角的等量代换得到乙4=

乙FAE,再根据等弧所对的圆周角相等得到乙5=乙。4£,^LFAE=^DAE,再证明△力EF力£。，问

题得解；

(2)连接。。、OE,根据OE=。4结合(1)所得，证明OE1AC,由黑=:得到tanM=设EF=DE=3a,

可解得。4=0E=手，在Rt△DEG中解直角三角形可得DG=羡，GE=等，由此计算得0。=詈，4G=詈,

问题得解.

【详解】(1)连接AE,

•・78是直径,

ALAEB=90°,即N4EF=90°,

•••".是切线,

:.Z.FAB=90°,

vzfi+ZF=90°=Z-F+Z.FAE,

:.Z.FAE=乙B,

又•：CE=g,

Z.CAE=乙B,

•••Z.FAE=乙DAE,

*：LFAE=/-DAE,AE=AE,Z-AEF=Z.AED=90°,

•e•AAEF=△AED,

・•・AD=AF；

(2)连接0。、OE,

v0E=OA,

乙B=Z-OEB=Z-DAE»

4)EB+^ADE=90°,即OE1AC,

v—=AB=20A,

AF3

...一A3=4

AP3

•••tanz5=

4

设＜8=4x,AF=3%,

利用勾股定理可得:BF=5x,

CHF3--AB4

二sinzF=—=cosZ-B=—=

BF5BF5

再设EF=DE=3a,则为E=4a,AD=AF=5a,

在Rt△DEG^,DG=DE-sinZ.OEB=DE-sinzZ?=3a=GE=DE-cos乙OEB=DE■cosiB=3ax

412a

g=T'

：，AG=AD-DG=5a-^=^-,

【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形三线合一的性质，圆的切线，解直角三角形；熟悉相关的性质，

熟练地在图形中进行角的转换、解在角三角形是本题的关键.

【变式4-1］（2023•湖北武汉•校考三模）如图，AB是。。的直径，PA是。。的切线，PB交00于。，点C是

弧BO上一点，PC=PA.

rai善用阳

（1）求证：PC是。。的切线；

（2）若CDIIAB,求sin/PCD的值.

【答案】（1）见解析

【分析】（1）连接OP,OC,利用全等三角形的判定与性质，切线的性质定理和判定定理解答即可；

（2）作圆的直径CE,连接OP,AC,它们交于点G,连接ED,BC,利用平行线的性质，圆周角定理和直角

三角形的性质可得4F=8F=PF：利用切线长定理和等腰三角形的性质可得OP_LAC,AG=GC-,利用平

行线分线段成比例定理可得GF=FC,则得8F=AF=3FC,利用直角三角形的边角关系定理可求sinbBC,

利用切线及圆周角定理得出/尸。。=乙FBC，则结论可求.

【详解】（1）证明：连接。P，0C,如图，

••・P4是。。的切线，

二0A1APf

LA=90°.

OA=OC

PA=PC,

OP=OP

•••△。力产三AOCPISSS).

AZ.A=Z.OCP=90°,

:.OC1CP,

0c为0。的半径，

•••PC是OO的切线：

(2)解：作圆的直径CE,连接ORAC,它们交于点G,连接ED,BC,如图,

:.AD=驼,

•••Z.BAC=jDBA,

AF=BF.

VZ.OAP=90°,

:•乙BAC+/.CAP=90°,/-DBA+^APB=90°,

£CAP=Z.APB,

：.AF=PF,

AF=BF=PF.

,：PA,PC是00的切线，

•••OP平分

vPA=PC,

:.OP1AC,AG=GC.

••・A8为。。的直径，

•••AC1BC,

OPWDC,

.GF_PF

,,FC-BF'

AGF=FC,

:.AG=GC=2FC,

AF=3FC,

:.BF=AF=3FC.

在RtZkBFC中，

sin^FBC

BF3

•••PC是oo的切线，

:.乙PCE=Z-PCD+Z-DCE=90°,

•uC—uC9

:.Z.CBD=Z.CED,

CE为直径,

:.Z.CDE=90°,

:.Z.CED+乙DCE=90°,

•••乙CED=乙PCD,

•.々PCD=Z.FBC,

•••sinz.PCD=sin乙FBC=

3

【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定与性质，切线长定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，平行线的

判定与性质，直角三角形的边角关系定理，解题的关键是连接OC,0P,添加适当的辅助线.

【变式4-2］（2023•浙江杭州•校考三模）如图1,三角形A8C内接于圆。，点。在圆。上，连接皿和CD,CD

交718于点E,Z-ADE+Z-CAB=90°

（1）求证：A8是直径；

（2）如图2,点〃在线段OC上，AC=AF,^DCF=45°

①求证：DE=DA；

②若=用含k的表达式表示cosB.

【答案】（I）证明见解析

⑵①证明见解析；（2牛

【分析】（1）先根据圆周角定理可得乙1OE=乙4班?,从而可得乙48C+乙。48=90。，再根据圆周角定理即

可得证；

（2）①先根据等腰三角形的性质可得4A/C=ZAC",根据三角形的外角性质可得〃FC=NACE+45。，再

根据圆周角定理可得4D4E=乙BCD=90°-^ACE,从而可得=ADAE,然后根据等腰三角形的判定

即可得证；

②过点4作4〃,CO于点"设"=04="（%>°）,BC=y,则4B=底，"sB二看’设cosB=卷=

Q（G<1）,My=kxa,先根据等腰三角形的判定可得BE=BC=kxa,再证出△/OH-△ABC,根据相似

三角形的性质可得OH=血，然后利用勾股定理可得一042=4“2=.2-后产，建立方程，解方程

即可得.

【详解】（1）证明：由圆周角定理得：^ADE=^ABC,

•••Z.ADE+^CAB=90%

.•・Z.ABC+Z.CAB=90°,

乙4cB=90°,

：•718是直径.

(2)证明：AC=AF,Z.DCF=45°,

:./.AFC=Z-ACF=/-ACE+4DCF=/.ACE+45°,

Z.AED=Z.CEF=180°-(DCF-Z.AFC=90°-Z-ACE,

由圆周角定理得：^DAE=乙BCD=/LACB-Z.ACE=900-/.ACE,

:.Z.AED=乙DAE,

:.DE=DA：

②如图，过点A作AH_LCD于点H,

设DE=04=x(%>0),BC=y,则4B=Ax,cosB=—=

在RtZk/BC中，BC<AB.

:，cosB=—<1,

kx

设cosB=*=a(a<1),则y=kxa,

KX

Z.CEF=Z.AED,Z.DAE=z.BCDfZ.AED=Z.DAE,

Z.CEF=Z-BCD,

•••BE=BC=y=kxa,

:.AE=AB-BE=kx(l-a),

由圆周角定理得：乙4DH二

在A初〃和中，｛/濡"%是go。，

•••△AOH-△ABC,

.=竺，即也=二，

BCABkxakx

解得DH=xa,

.'.EH=DE-DH=x(l-a>),

由勾股定理得：AD2-DH2=AH2=AE2-EH2,

x2-(xa)2=[/cx(l-a)]2-[x(l-a)]2,

整理得：k2a2+(2-2k2)Q+/c2-2=0,

解得a=1好或a=1(舍去)，

k2

则cosB=

【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的应

用、余弦等知识点，较难的是题(2)②，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键.

【变式4-3](2023•广东湛江・统考二模)如图CD是。0直径，A是。0上异于C,。的一点，点8是DC延长

线上一点，连AB、AC.AD,^BAC=^ADB.

(1)求证：直线是0。的切线：

(2)若8c=20C,求tan乙的值；

(3)在(2)的条件下，作NC4D的平分线AP交O0于P,交CC于E,连PC、PD,若4B=2几，求力EYP的

值.

【答案】(1)见解析

(2)tanN4DB=y

(3ME-AP=4yf2

【分析】(1)连接。4,由Q?是O。的直径可得“AD=90°,即4。力。+/LOAD=90°,由。力=。。得到乙。4。=

乙。。力，又乙BAC=LADB,从而4BAC+4OAC=90。，即104又。4为半径得证直线4B是。。的切线；

(2)易证△BC4〜△840得到”=些，设半径。。=。4=厂，则BC=2r,0B=3r,在Rta84。中，AB=

y/OB2-OA2=2V2r,因此在中，tan4Aoe=任=些=电；

ADBA2

(3)由4B=2&r=2乃可得r=V5,CD=20,在RsCH。中，根据喋=&AC2+AD2=CD2,求得

AD2

AC=2,AD=2\/2,根据乙G4P=4区40,LAPC=LADE,证得A。4P〜△区40,因此竺=竺，变形得到

AEAD

AE-AP=AC-AD=4^/2.

【详解】(1)证明：如图，连接04,

••.CD是。。的直径，

：.£CAD=90°,

：.WAC+AOAD=90°,

XV0/1=。0,

,,LOAD=乙ODA,

XVz^/lC=Z.ADB,

：.ABAC+/.OAC=900,

即血。=90。，

：-AB10A,

又・,・o力为半径，

・•・直线力8是。。的切线；

(2)解：'：Z.BAC=Z.ADB,48二48,

/•ABCABAD9

•ACBC

••二,

ADAB

设半径OC=0A=r,

•：BC=20C,

:・BC=2r,08=3r,

在Rt△84。中，AB=>/0B2-OA2=V(3r)2-r2=2V2r,

在Rt^CAO中，tanN/IOC=啜=萼=3=?；

ADBA2\2r2

(3)解：在(2)的条件下，AB=26=2显,

Ar=V3,

：,CD=2V3,

在RtZkQW中，—=—,AC2+AD2=CD2.

AD2

解得AC=2,AD=2V2,

:/IP平分"4。，

：.LCAP=乙£710,

又,：乙APC=Z-ADE,

:.kCAPsxEAD,

.AC_AP

**"AE~而‘

：.AEAP=AC-AD=2x272=4注.

【点睛】本题考查圆的相关知识，切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，综合

运用各个知识是解题的关键.

【题型5解非直角三角形】

【例5】（2023•天津河北•统考二模）如图，在矩形A8CD中，AB=2,BC=26，连接力C,点E在4C上，乙。"=

90°,EC^^£.DEF,AE=.

【答案】3-6

【分析】过点。作DGJL/由"Er=90。,反:平分“£7河得40%是等腰直角三角形，再根据矩形性质

和勾股定理易求对角线AC长，进而解三角形求出CG、0G即可解答.

【详解】解：过点。作OG_LAC,如图：

•:U)EF=90°,EC^^Z-DEF,

:•乙DEG=45°,

：.DG=EG,

:在矩形力BCO中，AB=2,BC=2⑰,

:.CD=2,AD=2V3,LADC=LABC=90°,

:・AC=Vz4D2+CD2=4,

Asinz/lCZ)=^7=—»cos£ACD=-7=

AC2AC2

，EG=GD=CDs\n/.ACD=2Xy=V3,

GC=CD=2x；l,

・ME=?1C-FG-GC=4-V3-1=3-V3,

故答案为：3—V5.

【点睛】本题主要考查了矩形性质和解三角形，解题关键是过点D作DGJ.AC构造4DEG是等腰宜角三角形,

再解三角形.

【变式5-1](2023春•九年级单元测试)在△4BC中,A8=2,AC=3,cos/AC8二净则/A8C的大小为度.

【答案】30或150

【分析】作4OJ_8C于点Q,在maACD中，先求出。。的长，进而分两种情况求解NA8C的大小即可，①

若点B在A。左侧，②若点B在1。右侧.

【详解】如图，作AOJLBC于点/),在RSACD中，

•・,心3,cosZACB=—,

3

，CD=4CcosN4cB=3、手=2於，则AD=>JAC2-CD2=J32-（2%/2）2=1,

①若点3在40左侧，

:止2、AD=\,

，NA8C=30。；

②若点8在A。右侧，则NA£D=30。，

：.^-AB'C=150°,

故答案为30或150.

【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，勾股定理，理解题意，运用数形结合思想是解题的关键.

【变式5-2］（2023春•江苏苏州•九年级苏州市景范中学校校考期末）已知：在△ABC中，AC=a,AB与BC

所在直线成45。角，AC与BC所在直线形成的夹角的余弦值为:石（即coscW而），则AC边上的中线长

DD

是.

【答案】膏谑喑a

【详解】解：分两种情况：

①^ABC为锐角三角形时，如图1.

作AABC的高AD,BE为AC边的中线.

•・,在直角4ACD中,AC=a,cosC="V5,

5

ACD4VSa,AD咯.

•・・在直角AABD中,ZABD=45°,

ABD=AD=^a,

・•・BC=BD+CD=—a.

5

在ABCE中，由余弦定理，得

BE2=BC2+EC2-2BC*EC*COSC=-a2+-a2-2x—ax-ax—=—a2

5452520

作AABC的高AD,BE为AC边的中线.

•・•在直角aACD中，AC=a,cosC=^V5,

ACD=-V5a,AD=—a.

55

•・,在直角4ABD中,ZABD=45%

ABD=AD=ya,

.,・BC=BD+CD=ga.

在ABCE中，由余弦定理，得

BE2=BC2+EC2-2BC*EC-COSC

1212c诉12V51.

=-az+-az-2x-ax-ax——=—az

5452520

ABE=^a.

io

综上可知AC边上的中线长是骞。或

【变式5-3](2023・安徽合肥・合肥市第四十五中学校考模拟预测)已知：在△A8C中，BA=BC,sin^CAB=

点E是AC的中点，尸是宜线8c上一点，连接ET,将△E/C沿着EF折叠，点。的对应点为。，连接/W.

图1图2图3

(1)如图1,若点。在线段A3上，求证：EFWADx

⑵如图2,。尸与A8交于点M,连接A",若乙D4尸=441凡求证：点M是力B的中点;

(3)如图3,点尸在CB延长线上，。尸与48交于点M,EF交AB于点N,若。£=EN=3,求MF•M/L

【答案】(1)见解析

⑵见解析

(3)WF-MA=6.25.

【分析】(1)连接CD,由折叠可知，DC1EF,DE=EC,再证明点A、。、C三点在以4c为直径的圆上，

再利用垂直同一直线的两直线平行，即可得到结论；

(2)同理推出点点A、F、C三点在以4C为直径的圆上，设/。二48/1。=%得到2EFC=40FE=a,再

证明乙=据此即可证明结论；

(3)设/C=a,利用三角形内角和定理以及折叠的性质，求得zNED=2a,推;l"NEM=zMED=a,证

明AMEN〜△8力C,求得MN=ME=2.5,再证明△4ME〜△EMF,即可求解.

【详解】(1)解：连接CD,

由折叠可知，DC工EF,DE=EC,

•・•点E是AC的中点,

：.AE=EC=DE,即点A、D、C三点在以力C为宜径的圆上,

：.^ADC=90°,即DC1力。,

：.EF\\AD；

(2)证明：由(1)知£7叩40,

・"0"=Z/1FE,

*：LDAF=Z.EAF,

：.LAFE=LEAF,

：.EF=AE=CE,

・••点A、F、。三点在以AC为直径的圆上,

：,LAFC=Z.AFB=90°,

设〃'=LBAC=a,

:•乙EFC=乙DFE=a,

:YB=乙MFB=180°-2a,

.*.90°-乙B=90°-4MFB,即NM4F=4MFA,

：.MA=MF=MB,即点M是48的中点；

（3）解：