2024年暑假班五年级奥数讲义

养成教化培训学校

五年级奥数精品讲义

（内部资料）

暑假班专用

讲师：赵老师

2024/7/13

奥数课堂精讲内容系列丛书

这个夏季，我陪您度过

提高成果，从这里起先

养成教化辅导学校

序言

本教辅资料于2024年秋季编写，针对于粽营镇全部对数学

感爱好的小学六年级，集各大精品讲师之长，兼容教材，学生学

习资料，教辅资料，课外驾驭的学问，特打算了一份属于六年级

的专用教辅资料。

随着国内应用数学，数学建模，数学思维开拓程度的不断加深,

奥林数学匹克（奥数）也变的日益重要。在高等教化与学前教化

日益突出的今日，您想输在人生的起跑线上吗？

养成教化教你从一个优秀的学生变为一个从数以千万同龄

人脱颖而出的尖子生！！！让您实现从奥数变更数学到学问变更

命运的大踏步跨越，能不能蜕变完全取决于您的看法。

养成教化奥数教辅资料分模块为学生展示了由易到难，由

分散到综合的阶梯式授课内容，本套教辅分精讲和学测练习两大

部分，分侧重点为学生灌输各种数学思维方法，让学生真正享受

乐学，活学，精学的过程。

对于每一位学生来说，你是自己人生的导师，对待自己，

我们要用和别人不一样的方法，或者说我们要有一套自己的学习

方式，那就是选择奥数辅导班。

老师寄语：选择养成就是选择不一样的数学，不一样的

人生！！！

注：本教材需协作暑假班课堂练习题和暑假班家庭作业共同运用

◊第1Wo

循环小数与分数

【内容概述】

循环小数与分数的互化，循环小数之间简洁的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要

利用运算定律进行简算的问题.

【典型问题】

励励级数：**

1.真分数1化为小数后，假如从小数点后第一位的数字起先连续若干个数字之和是

1992,那么。是多少？

1?.3.4.5

【分析与解】-=o.142857,-=0.285714,-=0.428571,-=0.571428,-=0.

77777

••

714285,-=0.857142.

7

因此，真分数/化为小数后，从小数点第一位起先每连续六个数字之和都是

1+4+2+8+5+7=27,

a-

又因为1992+27=73……21,27-21=6,而6=2+4,所以一=0.857142,即4=6.

7

评注：区的特殊性，循环节中数字不变，且依次不变，只是起先循环的这个数有所变

7

更.

跳励级数：**

北京市第十一届“迎春杯”数学竞赛•决赛第一题第9题

2.某学生将1.23乘以一个数。时，把1.23误看成1.23,使乘积比正确结果削减0.3.则

正确结果该是多少？

【分析与解】由题意得：1.23a-1.23«=0.3,即：0.003a=0.3,所以有：

33个3_7111

一a=—.解得。二9。，所以1.23O=1.23X90-1-——X90=——X90-111.

900109090

镌）四级数：**

3.计算：0.1+0.125+0.3+0.16,结果保留三位小数.

【分析与解】方法一：0.1+0.125+0.3+0.16

^-0.1111+0.1250+0.3333+0.1666

=0.7359

20.736

方法二：0.1+0.125-0.3+0.16

11315

=--1—I-----1--------

98990

111

=—।—

188

53

~72

=0.7361

比0.736

级数：**

4.计算:0.0i+0.12+0.23+0.34+0.78+0.89

【分析与解】方法一：0.01+0.12+0.23+0.34+0.78+0.89

112-123-234-378-789-8

二-----+------------+--------------+-------------+--------------+-------------

909090909090

11121317181

二-----+------+------+------+------+------

909090909090

_216

=2.4

方法二：0.01+0.12+0.23+0.34+0.78+0.89

=0-K).!+0.2+0.3+0.740.8+(0.01+0.02+0.03+0.04+0.08+0.09)

=2.1+0.01X(l+2+3+4+8+9)

=2.1+—X27

90

=2.1+0.3

=2.4

2.399997...

.9-91

评注:0.9=-=1,0.09=—

99076

励励级数：***

5.将循环小数0.027与0.179672相乘，取近似值，要求保留一百位小数,那么该近

似值的最终一位小数是多少?

【分析与解0.027X0.179672

271796721

----x----------=—x口=—=0.004856

99999999937999999999999

循环节有6位，100・6=16……4,因此第100位小数是循环节中的第4位8,第1D1位

是5.这样四舍五入后第100位为9.

㉚励级数：***

八yf八皿/r5八g16666666666

6.将卜列分数约成最简分数：-------------

66666666664

.3f161166116661166661“nt

【分析与解】找lv规律：——=-,-----=-------=-，…所以

644664466644666644

166666666661

66666666664-4

c3885°38885彳38888538888888885

评注：类似问题还有二+2x------+3x---------+4x-----------F...H------------------

29729972999729999729999999997

@@级数：*

第四届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛•初赛第］题

05x?36y59

7.将下列算式的计算结果写成带分数：

119

以Q-50.5x236x59118x59击）'59期-常5喘

【分析与解】-------------=-—

119119

跳）四级数：**

北京市第卜届“迎春杯”数学竞赛•决赛第二题第2题

448(),2193418556

8.计算：7—1----------

8333,2590935255

■八.4480.21934.18556

L分析与解】7---------------------1i-----------

83332590935255

628112590935255

=-------x--------x--------

83332193453811

3x7x3x99713x19935x641x11

=--------------------------X-----------------------X----------------------------

13x6412x11x9973x3x3x1993

7x5

2^3

二

6

线四级数：**

1111]]1

9.计算:8128+254+508+1016+2032+4064+8128

1]]

【分析与解】原式二8128+8128+4064-----1------1-----1----

20321016508254

-----1------1------1-----------1----

8128406420321016508254

111111

--------+---------+-----------F---------F------H---------

4064406420321016508254

=--------+---------+--------+-------+-------

203220321016508254

1111

-10161016508254

11I

=1-------+-------

508508254

I1

=--------1--------

254254

1

127

励励级数：**

I53219

10.计算：一x(4.85+--3.6+6.15x3-)+5.5-1.75x(1-+—)

4185L321

【分析与解】原式=J_x3.6x(4.85—1+6.15)+55—Nx*—1x2

443421

1“⑦―35+19

=—x3.6xl0+5.5-------

412

=10

镌)四级数：**

11.计算：41.2X8.1+11X9-+537X0.19

4

【分析与解】原式二412X0.81+11X9.25+0.19X(412+125)

=412X(0.81+0.19)+11X9.25+0.19X125

=412+11X8+11X1.25+19X1.25

=412+88+1.25X30

=500+37.5

=537.5

镌)四级数：**

255

12.计算：(9—+7—)+(±+/)

7979

【分析与解】原式=(竺+生)

7979

加3xg+*卜(鸿)=13

镌)四级数：**

、、但1x2x3+2x4x6+4x8x12+7x14x21

13T|•____________________________________________

1X3X5+2X6X10+4X12X20+7x21x35

IX2X3X(13+234-43+73)1x2x3_2

【分析与解】原式=

1X3X5X(13+23+43+73)1x3x55

镌)四级数：**

33

14.⑴己知等式0.知6X79+12—义口-6—+25=10.08,那么口所代表的数是多少?

510

(2)设上题答案为〃.在算式(1993.81+4)X0的O内，填入一个适当的一位自然数,

使乘积的个位数字达到最小值.问。内所填的数字是多少？

33

【分析与解】(1)设口所代表的数是“，0.126X79+12-x-6—4-25=10,08,解得:

510

%=0.03,即口所代表的数是0.03.

(2)设O内所填的数字是y,(1993.81+0.03)Xy=1993.84Xy,有当y为8时

1993.84Xy=1993.84

X8=15050.94,所以。内所填的数字是8.

镌)四级数：**

15.求下述算式计算结果的整数部分：(,+,+,+,+'+」-)乂385

23571113

【分析与解】JMjt=(ix385+-x385+-x385+-x385+—x385+—x385

2357II13

-192.5+128.3+77+55+35+29.6

=517.4

所以原式的整数部分是517.

笔记粘贴处：

【内容概述】

各种具有和差倍分关系的综合应用题，重点是包含分数的问题.基本的解题方法是将已

知条件用恰当形式写M或变形，并结合起来进行比较而求出相关的量，其中要留意单位“1”

的恰当选取.

【典型问题】

励四级数：**

1.有甲、乙两个数，假如把甲数的小数点向左移两位，就是乙数的!，那么甲数是乙数的

8

多少倍？

【分析与解】甲数的小数点向左移动两位，则甲数缩小到原来的设这时的甲

100

数为“1”，则乙数为1X8=8,那么原来的甲数=1X100=100,则甲数是乙数的100+8=12.5

倍.

㈱嫡级数总***迪—”

第一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛•复赛第10题

2.有三堆棋子，每堆棋子数一样多，开且都只有黑、臼两色棋子.已知第一堆里的黑子和

其次堆里的白子一样多，第三堆里的黑子占全部黑子的2.假如把这三堆棋子集中在一起，

5

那么白子占全部棋子的几分之几？

【分析与解】如下表所示：

第一堆黑子、厂子

AX

第二堆黑子白子

第三堆黑子白子

设全部黑子为“为份，则第三堆里的黑子为“为份，那么剩下的黑子占5-2二“3”份,

而第一堆里的黑子和其次堆里的白子一样多，将第一堆黑子和其次堆白子调换，则其次堆全

部为黑子.

所以其次堆棋子总数为“3”份，三堆棋子总数为3X3="9”份，其中黑子占“5”份，

4

则白子占剩下的9-5="4”份,那么白子占全部棋子的4+9二一

9

线四级数：**

3.甲、乙两厂共同完成一批机床的生产任务，已知甲厂比乙厂少生产8台机床，并且甲厂

12

的生产量是乙厂的一，那么甲、乙两厂一共生产了机床多少台？

13

19

【分析与解】因为甲厂生产的是乙厂的土，也就是甲厂为12份，乙厂为13份，那

13

么甲厂比乙厂少1份=8台.总共=8X（12+13）=200台.

@（g）级数：**

19<M年全国小学数学奥林匹克•初春B卷第6题

4.足球赛门票15元一张，降价后观众增加了一半，收入增加了五分之一，那么一张门票降

价多少元？

【分析与解】设原来人数为“1”，则现在有1+0.5=1.5.

原来收入为IX15=13降价后收人为15义（1+1）二】8元，那么降价后门票为184-1.5=12

5

元，则一张门票降价1572=3元.

级数：**

北京市第十届“迎春杯’'数学竟赛•决赛第一题第1。题

3

5.李刚给军属王奶奶运蜂窝煤，第一次运了全部的三，其次次运了50块.这时，已运来

8

的恰好是没运来的?•何还有多少块蜂窝煤没有运来？

【分析与解】已经运来的是没有运来的2,则运来的是5份，没有运来的是7份，

5537

也就是运来的占总数的一.则共有50+（—--）=1200块，还剩下1200X—=700块.

1212812

嫄励级数4**7二

第一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛•复赛第7题

6.有两条纸带，一条长21厘米，一条长13厘米，把两条纸带都剪下同样长的一段以后，

Q

发觉短纸带剩下的长度是长纸带剩下的长度的一.问剪下的一段长多少厘米？

13

【分析与解】方法一：起先时，两条纸带的长度差为21—13=8厘米.

因为两条纸带都剪去同样长度，所以两条纸带前后的长度差不变.

设剪后短纸带长度为“8”份，长纸带即为“13”份，那么它们的差为13-8=5份,则每

份为8+5=1.6（厘米）.

所以，剪后短纸带长为1.6X8=12.8（厘米）,于是剪去13-12.8=0.2（厘米）.

方法二：设剪下X厘米，

]3—丫W

则二^二—,交叉相乘得：13X（13-x）=8X（21-X）,解得x=0.2,

21-x13

即剪下的一段长（）.2厘米.

的包）级数：**

北京市第十二届“迎春杯”数学竞赛•决蹇第二楚第2隽

7.为挖通300米长的隧道，甲、乙两个施工队分别从隧道两端同时相对施工.第一天甲、

乙两队各掘进了10米，从其次天起，甲队每天的工作效率总是前一天的2倍，乙队每天的

工作效率总是前一天的倍.那么，两队挖通这条隧道须要多少天？

2

【分析与解】如下表所示：

天数

工作鼠1234二

甲10204080ieo

乙101522.533.7550.625

当天工作量203562.5113.75210.625

已完成工作量2055117.5231.25441.375

说明在第五天没有全天干活，则第四天干完以后剩下：300-231.25=68.75米，

那么共用时间为4+68.754-210.625:43天.

337

8.有一块菜地和一块麦地.菜地的一半和麦地的三分之一放在一起是13公顷.麦地的一半

和菜地的三分之一放在一起是12公顷.那么菜地是多少公顷？

【分析与解】如下表所示：

菜地■!"麦地！

=>13公顷

23

菜地3麦地2=78公顷

菜地2麦地3=>72公顷

菜地-麦地5=>12公顷

3

即5倍菜地公顷数+5倍麦地公顷数二78+72=150,所以菜地与麦地共有150+5=30（公顷）.

而菜地减去爰地，为78-72=6（公顷），所以菜地有（30+6）+2=18（公顷）.

镌）四级数：**加

北京市第九届“迎春杯”数学竞赛•决赛第三题第1题

3

9.春风小学原支配栽种杨树、柳树和槐树共1500棵.植树起先后，当栽种了杨树总数的二

5

和30棵柳树以后，又临时运来15棵槐树，这时剩下的3种树的棵数恰好相等.问原支配要

栽植这三种树各多少棵？

【分析与解】将杨树分为5份，以这样的一份为一个单位，则：

杨树=5份；柳树=2份+30棵：槐树=2份-15棵，

则一份为（1500-30+15）4-（2+2+5）=165棵，

有:杨树=5XI65=825棵;柳树=165X2+30=360棵;槐树=165X275=315棵.

㉚励级数：**

北京市第十五届“迎春杯”数学竞赛决赛•第二题第2题

10.师徒二人共同加工170个零件，师傅加工零件个数的，比徒弟加工零件个数的_1还多

34

10个.那么，徒弟一共加工了多少个零件？

【分析与解】我们用“师”表示师傅加工的零件人数，“徒”表示徒弟加工的零件个

数，有：

-“师”--“徒”=10,4“师”一3“徒”二120,而4“师”+4“徒”=170X4=680.

34

那么有7“徒”=680-120=560,“徒”=80,徒弟一共加工了80个零件.

皴侬）级数：***

1992年全国小学数学奥林匹克•初春B卷第8题

11.一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量的

2

倍.上午去甲工地的人数是去乙工地人数的3倍，下午这批工人中有工的人去甲工地，其

12

他人到乙工地.到傍晚时，甲工地的工作已做完，乙工电的工作还需4名工人再做1天.那

么这批工人共有多少名？

【分析与解】设甲工地的工作量为“1.5”，则乙工地的工作量为“1”.

甲乙

3_31_1

上午

1+3-41+3-4

717-5

下午

五1212

372

于是甲工地一成天平均用了这批工人的勺+三）+2=£,乙工地一成天平均用了这批

2I

工人的i-±=A.

33

这批工人的土2完成了“1.5”的工作量,那么［1的这批工人完成1.54-2="0.75”的工

33

作量，于是乙工地还剩下1-0.75="0.25”的工作量，这“0.25”的工作量须要4人工作1

天.

而甲、乙工地的工作量为1.5+1=2.5,那么需2.5+0.25X4=40人工作1天.

所以原来这批工人共有40-4=36人.

再⑥级数：**=

北京市第三届“迎春杯”数学竞赛•预赛填空题第5题

12.有一个分数，假如分子加1,这个分数就等于1；假如分母加b这个分数就等于」.问

23

原来的分数是多少？

1

【分析与解】假如分子加1,则分数为上，设这时的分数为：—x,则原来的分数为

22x

r—1r-1|

—,分母加1后为：-----二一，交叉相乘得：3（x-l）=2x+l,解得工=4,则原分数为

2x2x+l3

3

8,

虢）。级数：**

第五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛•初赛第12题

13.图2-1是某市的园林规划图，其中草地占正方形的,，竹林占圆形的9,正方形和圆

47

形的公共部分是水池.已知竹林的面积比草地的面积大450平方米.问水池的面积是多少平

方米？

图2-1

【分析与解】因为水池是正方形的,，是圆的!，则正方形是水池的4倍，圆是水

47

池的7倍，相差7-4=3倍，差450平方米，则水池二450・3=150平方米.

①魅级数：**

1995年全国小学数学奥林匹克•决赛民族赛Q题

14.唐僧师徒四人吃了很多馒头，唐僧和猪八戒共吃了总数的唐僧和沙僧共吃了总数

2

的!，唐僧和孙悟空共吃了总数的那么唐僧吃了总数的几分之几？

34

【分析与解】唐+猪」、唐+沙」、唐+孙」.（两边同时加减）唐+猪+唐+沙+唐+

234

孙=2唐+（唐+猪+沙+孙）=2唐+1='+—+1=1.则：2唐=-!-,唐=」-.

234121224

唐僧吃了总数的」

24

皴赋）级数：***

1g97年全国小学数学奥林匹克•初赛B卷第11题

15.小李和小张同时起先制作同一种零件，每人每分钟能制作1个零件，但小李每制作3

个零件要休息1分钟，小张每制作4个零件要休息1.5分钟.现在他们要共同完成制作300

个零件的任务，须要多少分钟？

【分析与解】方法一：先估算出大致所需时间，然后再进行调整.

因为小李、小张的工作效率大致相等，那么完成时小李完成300+2=150个零件左右；

小李完成150个零件须要150+3X4=20（）分钟；

在200分钟左右，198分钟是5.5的整数倍，此时乙生产198・5.5X4=144个零件，并

且刚休息完，所以在2分钟后，即200分钟时完成144+2=146个零件；

那么在200分钟时，小李、小张共生产150+146=296个零件，还剩下4个零件未完成，

所以再需2分钟，小李生产2个零件，小张生产2个零件，正好完成.

所以共需202分钟才能完成.

方法二：把休息时间包括进去，小李每4分钟做3个，小张每5.5分钟做4个.

则在44分钟内小李做了：44+4X3=33个，小张做了：44+5.5X4=32个，他们一共做

了：33+32=65个.

3004-65=4……40,也就是他们共同做了4个44分钟即：44X4=176分钟后,还剩下40

个零件没有做完.

而22=4+4+4+4+4+2=5.5X4,所以22分钟内小李做了:3+3+3+3+3+2=17个，小张做了：

4X2=16个，那么还剩下：40-17-16=7个，4分钟内小李做3个，小张做4个，共做4+3=7

个，即这40个零件还须要26分钟.

所以共用时间：44X4+26=202分钟.

笔记粘贴处：

第三讲“牛吃草”问题（略讲内容）

有这样的问题.如：牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6

周，或供23头牛吃9周.那么它可供21头牛吃几周？这类问题称为“牛

吃草”问题。

解答这类问题，困难在于草的总量在变，它每天，每周都在匀称他生

长，时间愈长，草的总量越多.草的总量是由两部分组成的：①某个时间

期限前草场上原有的草量；②这个时间期限后草场每天（周）生长而新增

的草量.因此，必需设法找出这两个量来。

下面就用开头的题目为例进行分析.

从上面的线段图可以看出23头牛9周的总草量比27头牛6周的总草

量多，多出部分相当于3周新生长的草量.为了求出一周新生长的草量，

就要进行转化.27头牛6周吃草量相当于27X6=162头牛一周吃草量（或

一头牛吃162周）.23头牛9周吃草量相当于23X9=207头牛一周吃草量

（或一头牛吃207周）.这样一来可以认为每周新生长的草量相当于

（207-162）4-（9-6）=15头牛一周的吃苴量。

须要解决的其次个问题是牧场上原有草量是多少？用27头牛6周的

总吃草量减去6周新生长的草量（即15X6=90头牛吃一周的草量）即为

牧场原有草量。

所以牧场上原有草量为27X6-15X6=72头牛一周的吃草量（或者为

23X9-15X9=72）。

牧场上的草21头牛几周才能吃完呢？解决这个问题相当于把21头牛

分成两部分.一部分看成专吃牧场上原有的草.另一部分看成专吃新生长

的草.但是新生的草只能维持15头牛的吃草量，且始终可保持平衡（前面

已分析过每周新生的草恰够15头牛吃一周）.故分出15头牛吃新生长的

草，另一部分21-15=6（头）牛去吃原有的草.所以牧场上的草够吃72・

6=12（周），也就是这个牧场上的草够21头牛吃12周.问题得解。

例2一只船发觉漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.假如10人

淘水，3小时淘完；如5人淘水8小时淘完.假如要求2小时淘完，要支

配多少人淘水？

分析与解答这类问题，都有它共同的特点，即总水量随漏水的延长而增

加.所以总水量是个变量.而单位时间内漏进船的水的增长量是不变的.船

内原有的水量（即发觉船漏水时船内已有的水量）也是不变的量.对于这

个问题我们换一个角度进行分析。

假如设每个人每小时的淘水量为“1人单位”.则船内原有水量与3

小时内漏水总量之和等于每人每小时淘水量X时间X人数，即1X3X10

=30.

船内原有水量与8小时漏水量之和为1X5X8=40。

每小时的漏水量等于8小时与3小时总水量之差+时间差，即（40-30）

+（8-3）=2（即每小时漏进水量为2个单位，相当于每小时2人的淘水

量）。

船内原有的水量等于10人3小时淘出的总水量-3小时漏进水量.3

小时漏进水量相当于3X2=6人1小时淘水量.所以船内原有水量为30-（2

X3）=24o

假如这些水（24个单位）要2小时淘完，则需24+2=12（人），但

与此同时,每小时的漏进水量又要支配2人淘出，因此共需12+2=14（人）。

从以上这两个例题看出，不管从哪一个角度来分析问题，都必需求出

原有的量及单位时间内增加的量，这两个量是不变的量.有了这两个量，

问题就简洁解决了。

例312头牛28天可以吃完10公亩牧场上全部牧草，21头牛63天可以

吃完30公亩牧场上全部牧草.多少头牛126天可以吃完72公亩牧场上全

部牧草（每公亩牧场上原有草量相等，且每公亩牧场上每天生长草量相

等）？

分析解题的关键在于求出一公亩一天新生长的草量可供几头牛吃一天，

一公亩原有的草量可供几头牛吃一天。

12头牛28天吃完10公亩牧场上的牧草.相当于一公亩原来的牧草加

上28天新生长的草可供33.6头牛吃一天（12X28+10=33.6）。

21头牛63天吃完30公亩牧场上的牧草，相当于一公亩原有的苴加

±63夭新生长的草可供44.1头牛吃一天：63X21+30=44.1）。

一公亩一天新生长的牧草可供0.3头牛吃一天，即

（44.1-33.6）-T-（63-28）=0.3（头）。

一公亩原有的牧草可供25.2头牛吃一天，即

33.6-0.3X28=25.2（头）°

72公亩原有牧草可供14.4头牛吃126天.即

72X25.2=126-14.4（头）。

72公亩每天新生长的草量可供21.6头牛吃一天.即

72X0.3=21.6（头）o

所以72公亩牧场上的牧草共可以供36（=14.4+21.6）头牛吃126

天.问题得解。

解.：一公亩一天新生长草量可供多少头牛吃一天？

（63X214-30-12X284-10）+（63-28）=0.3（头）。

一公亩原有牧草可供多少头牛吃一天？

12X284-10-0.3X28=25.2（头）。

72公亩的牧草可供多少头牛吃126天？

72X25.24-126+72X0.3=36（头）。

答：72公亩的牧草可供36头牛吃126天。

例4一块草地，每天生长的速度相同.现在这片牧草可供16头牛吃2。天,

或者供80只羊吃12天.假如一头牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草

量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？

分析由于1头牛每天的吃草量等于4只羊每天的吃草量，故60只羊每天

的吃草量和15头牛每天吃草量相等，80只羊每天吃草量与20头牛每天

吃草量相等。

解：60只兰每天吃草量相当多少头牛每天的吃草量？

604-4=15（头）o

草地原有草量与20天新生长草量可供多少头牛吃一天？

16X20=320（头）。

80只羊12天的吃草量供多少头牛吃一天？

（804-4）X12=240（头）。

每天新生长的草够多少头牛吃一天？

（320-240）+（20-12）=10（头）。

原有草量够多少头牛吃一天?

320-（20X10）=120（头）。

原有草量可供10头牛与60只羊吃几天？

1204-（604-4+10-10）=8（天）。

答：这块草场可供10头牛和60只羊吃8天。

例5一水库原有存水量确定，河水每天匀称入库.5台抽水机连续20天可

抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干.若要求6天抽干，须要多少台

同样的抽水机？

解：水库原有的水与20天流入水可供多少台抽水机抽1天？20X

5=100（台）。

水库原有的水与15天流入的水可供多少台抽水机抽1天？6X15=90

（台）。

每天流入的水可供多少台抽水机抽1大？

（100-90）+（20-15）=2（台）。

原有的水匕供多少台抽水机抽1天？

100-20X2=60（台）。

若6天抽完，共需抽水机多少台？

604-6+2=12（台）o

答：若6天抽完，共需12台抽水机。

例6有三片草场，每亩原有草量相同，草的生长速度也

设第三片草场（24亩）可供x头牛18周吃完，则由每头牛每周吃草

量可列出方程为：

x=36

答：第三片草场可供36头牛18周食用。

这道题列方程时引入a、b两个协助未知数.在解方程时不确定要求出

其数值，在本题中只需求出它们的比例关系即可。

笔记粘贴处:

◊第4讲。

数的整除

【内容概述】

能被2,3,4,5,8,9,11整除的数的数字特征，以及与此相关的整数的组成与补填问题，

乘积末尾零的个数的计算.

L整数a除以整数b(bHO),所得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除(也

可以说b能整除a),记作b|a.如:15+5=3,所以15能被5整除(5能整除15),记作5I

15.反之，则称为不能整除，用“才”表示，如7115.

假如整数a能被整数b(b^O)整除，则称a是b的倍数,b是a的约数.如15是5的倍数，

5是15的约数.

特殊的，留意O+b=O(bWO),所以说零能被任何非零整数整除，零也是任何非零整数的

倍数.

还有0+1=0,所以说1能整除任何整数，1是任何整数的约数.

因为整除均在整数范围内考察，所以以下所指之数不特加说明均指整数.

2.整除的性质：

性质1.假如c|a,c|b,那么c|(a±b).

假如a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被C整除.

性质2.假如be|a,那么b|a,cIa.

假如b与c的积能整除a,那么b与c都能整除a.

性质3.假如bIa,c|a,且b、c互质，那么beIa.

假如b、c都能整除，且b和c互质，那么b与c的积能整除a.

性质4.假如cIb,bIa,那么cIa.

假如c能整除b,b能整除a,那么c能整除a.

3.一些质数整除的数字特征(约数只有1和它本身的数，称为质数)：

(1)能被2整除的数，其末位数字只能是0,2,4,6,8：

(2)能被3整除的数，其各位的数字和能被3整除；

(3)能被5整除的数，其末位数字只能是0,5：

(4)能被7整除的数，其末三位与前面隔开，末三位与前面隔出数的差(大减小)能被7

整除(即qponmcba能被7整除，7Icba-qponm或7Iqponm-cba)；

(5)能被11整除的数，其木三位与前面隔开，木三位与前面隔出数的差(大减小)能被

11整除（即qponmcba能被11整除11Icba-qponm或11Iqponmcba）或者,

其奇数位数字之和偶数位数字之和所得的差能被11整除;

qponmcba表示这是一个多位数，而不是q与p、。、c、b、a等数的乘积，下同.

4.对于合数，先把合数分解质因数，再一个一个的考察.这样就化归为质数整除问题，对

于分解质因数，详见《质数、合数与分解质因数》.

5.对于一些特殊的合数的推断方法.

能被4整除的数，末两位数能被4整除；

能被8整除的数，末三位数能被8整除；

能被25整除的数，末两位数能被25整除；

能被125整除的数，末三位能被125整除；

能被9整除的数，其数字和确定是9的倍数.

范例1在公元9世纪，有个印度数学家一一花拉子米写有一本《花拉子米算术》，他

们计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于胆怯以前的计算过程丢失而常常检

验加法运算是否正确.所以后来人把这种算法称为“土盘算法”.

如：1234+1898+18922+678967+178902=889923.他们看1234的数字和为，10除以9余

1,1898的数字和除以9余8,18922的数字和除以9余4,678967的数字和除以9余7,178902

的数字和除以9余0,余数的和除以9余2；而等式的右边889923除以9的余数为3.所以

上面的加法算式确定是错误的.

为什么呢？

6.若干个数相乘，求其末尾有多少个连续的0,只要把这个乘积中的因数2与5的个数分

别找出来，其中较少的因数个数就是积的末尾连续的0的个数.

范例2试求1981X1982X1983X1984X1985X-X2024这25个数相乘，积的末尾有多少

个连续的“0”？

【分析与解】其中1985,199(),1995,2000,2024含有因数5分别有1,1,1,3,

1个，所以共有1+1+1+3+1=7个因数5；

其中1982,1984,1986,1988,1990,1992,1994,1996,1998,2000,2024,2024含有

因数2,分别有1,6,1,2,1,3,1,2,1,4,1,2个,所以共有1+6+1+2+1+3+1+2+1+4+1+2=25

个因数2.

其中因数5较少，含有7个，所以题中25个数的乘积末尾连续的0的个数为7.

评注：多数状况下，若干个连续的数相乘，需求其末尾连续0的个数.因为因数2的个数远多于因数5的

个数，所以只考虑因数5的个数即可.

7.还有一种很重要的方法：试除法.如【典型问题】1、2、3、5、6等类问题都可以运用试

除法.

假如一个数能同时被多个整数整除，那么确定能被这些数的最小公倍数整除，而求多个

数的最小公倍数，则可以采纳如下两种方法：

①短除法

求两个或以上数的最小公倍数，可以运用短除法.

范例3试求120、180、300的最小公倍数.

【分析与解】

301120180300

2|4610

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