2023届高考数学特训营微专题二-构造新数列

第六单元微专题二构造新数列2023届1《高考特训营》·数学

构造法1一阶线性递推1．形如an＋1＝pan＋q，p≠0，其中a1＝a型．(1)若p＝1，则数列{an}为等差数列；(2)若q＝0，则数列{an}为等比数列；(3)若p≠1且q≠0，则数列{an}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．

典例1

(1)在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3，求{an}的通项公式．解：∵an＋1＝2an＋3，∴an＋1＋3＝2(an＋3)，又a1＋3＝4，∴数列{an＋3}是首项为4，公比q＝2的等比数列，∴an＋3＝4·2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－3.(2)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1－2Sn＝1，n∈N*，则通项公式an＝________．答案：2n－1(n∈N*)解析：因为Sn＋1－2Sn＝1，所以Sn＋1＝2Sn＋1.因为a1＝S1＝1，S1＋1＝2，所以{Sn＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．所以Sn＋1＝2n，Sn＝2n－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，a1＝1也满足此式，故an＝2n－1(n∈N*)．

构造法2二阶线性递推(形如an＋1＝pan＋qan－1，其中a1＝a，a2＝b型)可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{an}．典例3

(1)在数列{an}中，a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an，则an＝_______．答案：2n－1解析：an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，∵a2－a1＝2，∴{an－an－1}为首项为2，公比也为2的等比数列，an－an－1＝2n－1(n>1)，显然当n＝1时满足上式，∴an＝2n－1.(2)已知在数列{an}中，a1＝5，a2＝2，an＝2an－1＋3an－2(n≥3)，求这个数列的通项公式．解：∵an＝2an－1＋3an－2，∴an＋an－1＝3(an－1＋an－2)，又a1＋a2＝7，{an＋an－1}形成首项为7，公比为3的等比数列，则an＋an－1＝7×3n－2，

①又an－3an－1＝－(an－1－3an－2)，a2－3a1＝－13，{an－3an－1}形成首项为－13，公比为－1的等比数列，则an－3an－1＝(－13)×(－1)n－2，

②①×3＋②得，4an＝7×3n－1＋13×(－1)n－1，

D

2．在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3n，求{an}的通项公式．解：方法一，∵an＋1＝2an＋3n，∴an＋1＋λ·3n＋1＝2(an＋λ·3n)，即an＋1＝2an－λ·3n，∴λ＝－1，即an＋1－3n＋1＝2(an－3n)，又a1－3＝－2，∴{an－3n}是首项为－2，公比q＝2的等比数列，∴an－3n＝－2·2n－1＝－2n，∴an＝3n－2n.

则c1＋c2＋…＋cn＝2×30＋3×31＋4×32＋…＋(n＋1)×3n－1，设T＝2×30＋3×31＋4×32＋…＋(n＋1)×3n－1，

①则3T＝2×3＋3×32＋…＋n×3n－1＋(n＋1)×3n，

②答案：(5，7)∴bn＝2n(n－λ)，∴bn＋1－bn＝2(n＋1)(n＋1－λ)－2n(n－λ)＝4n＋2－2λ.∵b3为数列{bn}中唯一最小项，∴b1＞b2＞b3＜b4＜b5＜…，∴当n＝1时，b2－b1＝6－2λ＜0