高等数学（慕课版）教案 教学设计-5.4 定积分的应用；5.5 反常积分

《高等数学（慕课版）》教学设计教学内容：定积分的应用完成时间：2025年2月授课信息授课内容授课时长定积分的应用2学时授课形式授课时间理论课授课对象授课地点内容分析本节课是在学习了定积分的概念与计算的基础上，介绍定积分（在几何上）的应用，它是微积分解决初等数学问题的一个生动实例，是培养学生应用高等数学知识解决问题的意识的重要体现。学情分析1、学生已有的知识与能力：(1)已掌握了定积分概念、定积分的几何意义及相关数学思想；(2)已学习了定积分的计算的各种方法。2、学生可能存在的问题及困难：(1)学生对复杂函数定积分的计算有些畏难；(2)逻辑思维能力不够强,不够严密；空间想象能力差一些。教学目标知识目标：1、理解定积分的微元法；2、了解定积分的在几何中的应用；3、了解定积分在经济学中的应用。能力目标：会用定积分求平面图形的面积、旋转体的体积素质目标：1、培养学生应用数学的意识和能力；2、进一步培养学生的逻辑思维能力、空间想象能力以及应用定积分的基本思想解决问题的能力。教学重点重点1、微元法；2、定积分在几何中的应用。确立依据“微元法”思想是积分学中重要的思想方法，在实际生活中有非常广泛的应用；合理有效地利用微元法思想可以使原本复杂的问题变得简单易行；而平面图形的面积求解问题是微元法最常见的应用。突出重点的策略明确教学目标；针对学生的认知规律，采取适当的教学方法和手段，由浅入深、循序渐进的方式，突出重点内容的教学环节、安排适当的练习等。教学难点难点平面图形面积计算中积分变量的选择问题确立依据对于平面图形的面积计算，有时积分变量的选择并不唯一，而选择不同的积分变量将会导致积分算式的繁简程度的不同。考虑到学生现阶段对这类问题的训练还不够多，故确定该问题是本节课的难点。解决难点的策略基于学生的认真规律，分层次设计例题和练习，讲练结合，通过例题和练习加以练习和总结，逐步突破难点。教学方法引导探究法、讲授法、问答法、练习法、演示法教学设计课前任务→回顾复习+导入新课（7min）→讲授新课（55min）→巩固提高（25min）→归纳总结（2min）→布置作业（1min）→课后拓展课程思政设计微元法的思想是通过无限细分来逼近真实值，强调了“化整为零”的思维方式。这种思维方式可以类比到人生中的许多方面，比如面对困难和挑战时，需要化整为零，逐个突破，启发学生树立正确的方法观和人生观。教学过程课前环节教学环节课前任务教师活动学生活动设计意图课前导学熟记基本积分公式。2、复习定积分的概念和几何意义，预习新课。1、发布任务：课前两天学习通发布任务，并提醒学生接收任务；2、跟踪提醒：通过学习通观测任务完成情况，及时督促提醒，把握学生学习难点。按时完成课前任务，明确本节课个人学习难点。1、锻炼自学能力：自主学习，掌握易点，发现难点；2、优化教学策略：依据课前任务完成情况，掌握学情，调整优化教学策略。课中环节教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图导入新课【回顾复习】基本积分公式；定积分的概念。1、听写积分公式；2、带领学生回顾定积分的概念，分析定积分的数学定义式的形成，然后尝试定义的形成过程。从而引出微元法。1、认真复习、认真默写公式。2、积极思考，再次体会定积分的核心思想。根据“建构主义理论”，任务的目标性与教学情境的创建，使学生带着任务学习，有利于激发学生的求知欲。【引入新知】1、定积分的概念与几何意义；2、牛顿-莱布尼茨公式。探究新知一、微元法1、定义2、核心思想基于定积分的定义和几何意义，通过分析简化定积分定义的形成步骤：（1）选变量；（2）求微元；（3）求积分。指出像这样处理和解决问题的方法称为微元法(元素法)。认真聆听，思考换元积分法在不定积分与定积分中的不同。教师主导，学生主体，引导探究与讲授相结合，高效讲解本节课核心新知。平面图形的面积1.直接坐标系下平面图形的面积（1）X型（2）Y型*2.极坐标系下平面图形的面积1、带领学生直观地分析X型区域下的图形面积如何求解，再从微元法的角度来求解；Y型区域同理；(1)在平面直角坐标系中求由曲线,和直线,围成图形的面积，其中函数，在区间上连续，且，求得平面图形面积为 .(2)由曲线,和直线，（）围成图形(如图所示)的面积为： ．2、极坐标系下平面图形的面积设曲线由表示，求由曲线及射线，所围图形的面积为3、通过例题引导学生学会用微元法求平面图形的面积。【例5.21】-【例5.24】认真聆听，积极思考，在教师的引导下学会求解平面图形的面积。三、体积1.旋转体的体积（1）绕X轴旋转（2）绕Y轴旋转*2.平行截面面积为已知的立体的体积1、介绍旋转体的定义由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体，这条直线称为旋转轴.2、讲解如何用微元法求解旋转体的体积(1)由连续曲线,直,及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的旋转体体积为.(2)由连续曲线,直线,及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的旋转体体积为．3、讲解如何用微元法求解平行截面面积为已知的立体的体积设该立体在过点,且垂直于轴的两个平行平面之间，并设过任意一点的截面面积为，这里是连续函数，该立体体积为.4、通过例题引导学生练习求解体积【例5.25】-【例5.27】认真聆听，调动空间想象能力，积极思考教师的问题和新知识的讲授。四、经济问题1.已知变化率求总量问题可利用定积分计算.设总产量的变化率为,则由到时间内生产的总产量为.2.讲解例题【例5.28】认真聆听，积极思考教师的问题和新知识的讲授。巩固提高1、平面图形的面积计算2、旋转体的体积求解【练习1】【练习2】1、引导学生对所学新知进行巩固练习，已达到真正内化的效果；2、留一定时间给学生做习题练习，并讲评学生的做题情况。认真聆听教师对例题的讲解；独立完成练习题，并积极回答，并做好总结整理。分层次设置练习，循序渐进地使学生及时巩固所学。课堂小结本节课重点、要点内容总结：微元法，定积分在几何中的应用（计算公式）。和学生一起回顾与强调本节课重点知识，强化学生学习效果。认真总结，从整体上把握本节课。诊断、强化课堂学习效果。课后环节教学环节教学活动教师活动学生活动设计意图拓展任务【书面作业】课后习题1、2、5题【预习】反常积分1、发布任务2、指导协助了解情况并给予指导。接受任务，查阅课本与资料，认真完成。延拓本次课内容，承接下节课新知；既巩固所学，又起到预习作用。教学评价（1）评价构成课程坚持强化过程性评价、探索增值性评价的评价改革要求，着眼于学生长期发展需要的满足，将终结性评价与过程性评价相结合，侧重过程性评价。（2）评价要素过程性评价主要依托学习通平台，完成课前、课中和课后全过程学习轨迹记录和评价。主要包括：课前任务完成、课堂学习活动、课后任务完成情况等要素。（3）评价标准在评价学生时注重“三个结合”：学习过程与学习结果结合、理论知识与实践能力结合、课程学习成绩与学生日常行为素质表现结合教学反思微元法是数学中的一种很重要的思想方法，与前面所学的定积分的概念和几何意义有着密切的关系，一定要先让学生们理解这种方法，然后再进入定积分的应用。可以再挖掘一些定积分在学生所学专业中的应用案例，加强数学与专业的联系。板书设计5.4定积分的应用（主板）微元法1、选变量2、求微元3、算积分平面图形的面积直角坐标系下平面图面图形的面积2、极坐标系下平面图形的面积体积1、旋转体的体积2、截面面积已知的立体体积四、定积分在经济学中的应用（副板）例题+重点步骤《高等数学（慕课版）》教学设计教学内容：反常积分完成时间：2025年2月授课信息授课内容授课时长反常积分1学时授课形式授课时间理论课授课对象授课地点内容分析反常积分是对定积分的推广，是积分学中处理特殊积分情形的重要工具，能解决无限区间或无界函数的积分问题。反常积分的学习，可解决后续概率统计里连续型随机变量在无限区间概率等问题。学情分析1、学生已有的知识与能力：(1)系统学习了定积分的概念、性质及计算方法，对积分的基本思想有了一定的理解；(2)具备了一定的逻辑思维能力和运算能力，能够进行一些基本的数学推导和计算。2、学生可能存在的问题及困难：(1)反常积分涉及到极限的概念和运算，对学生的极限运算能力和抽象思维能力提出了更高要求，部分学生在处理复杂极限问题时可能会遇到困难，需要在教学中强化训练；(2)内容有一定难度，部分基础薄弱的学生可能会产生畏难情绪，需要关注并及时给予鼓励和指导。教学目标知识目标：1、理解无穷限反常积分和无界函数反常积分的定义；2、明确反常积分的敛散性；能力目标：会计算反常积分素质目标：培养学生善于洞察研究对象本质的能力，掌握数学知识间的逻辑结构，形成恰当的推理并作出正确的猜想；2、通过积分的运算，训练学生的逻辑思维能力，培养学生严谨的学习态度.教学重难点教学重点：无穷限反常积分和无界函数反常积分的定义，反常积分的敛散性教学难点：反常积分的计算教学方法引导探究法、讲授法、问答法、练习法、演示法教学设计课前任务→回顾复习+导入新课（7min）→讲授新课（25min）→巩固提高（10min）→归纳总结（2min）→布置作业（1min）→课后拓展课程思政设计反常积分将定积分从有限区间、有界函数拓展到无穷区间和无界函数，体现了数学概念从特殊到一般、从有限到无限的辩证发展过程。引导学生思考这一过程，培养学生的辩证思维能力，让学生明白事物是不断发展变化的，在学习和生活中要用发展的眼光看待问题。教学过程课前环节教学环节课前任务教师活动学生活动设计意图课前导学复习定积分概念。复习牛顿-莱布尼兹公式及定积分计算的换元积分法、分部积分法。3、预习反常积分。1、发布任务：课前两天学习通发布任务，并提醒学生接收任务；2、跟踪提醒：通过学习通观测任务完成情况，及时督促提醒，把握学生学习难点。按时完成课前任务，明确本节课个人学习难点。1、锻炼自学能力：自主学习，掌握易点，发现难点；2、优化教学策略：依据课前任务完成情况，掌握学情，调整优化教学策略。课中环节教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图导入新课【回顾复习】定积分概念；牛顿-莱布尼茨公式。带领学生回顾复习定积分概念、性质及计算方法，指出定积分的积分区间是有限的，被积函数是有界的，从而引出反常积分。认真复习、认真思考。根据“建构主义理论”，任务的目标性与教学情境的创建，使学生带着任务学习，有利于激发学生的求知欲。【引入新知】问题思考：计算由曲线与轴、轴所围成的“开口曲边梯形”的面积.通过课前的思考题导入新课，让学生意识到对于一些题目，利用定积分并不能解决时，思考新的解决方案。积极思考，体会前面所学过的计算工具的局限性，意识到引入反常积分的必要性。探究新知一、无穷限的反常积分1、定义2、计算1、无穷限的反常积分(三种情形)；定义5.2设函数在区间上连续，任取，如果极限存在，则称该极限值为函数在无穷区间上的反常积分，记作，此时,也称反常积分收敛；若上述极限不存在，则称反常积分发散．与此类似，定义另外两种情况。2、通过例题引导学生学会用无穷限反常积分的定义计算反常积分。【例5.29】-【例5.30】积极思考，在教师的引导下学会计算无穷限反常积分。教师主导，学生主体，引导探究与讲授相结合，高效讲解本节课核心新知。无界函数的反常积分1、定义2、计算1、无界函数的反常积分(三种情形)；定义5.3设函数在区间上连续，且，如果极限存在，则称此极限为函数在区间上的反常积分，记作，这此时称反常积分收敛；如果上述极限不存在，称反常积分发散．与此类似，定义另外两种情况。2、通过例题引导学生学会用无界函数反常积分的定义计算反常积分。【例5.31】-【例5.32】认真聆听，思考无穷限反常积分的计算过程。巩固提高1、无穷限反常积分2、无界函数的反常积分【练习1】、【练习2】1、引导学生对所学的计算方法进行巩固练习，已达到真正内化的效果；2、留一定时间给学生做习题练习，并讲评学生的做题情况。认真聆听教师对例题的讲解；独立完成练习题，并积极回答，并做好总结整理。分层次设置练习，循序渐进地使学生及时巩固所学。课堂小结本节课重点、要点内容总结：反常积分的定义与计算和学生一起回顾与强调本节课重点知识，强化学生学习效果。认真总结，从整体上把握本节课。诊断、强化课堂学习效果。课后环节教学环节教学活动教师活动学生活动设计意图拓展任务【书面作业】课后习题5.5：1题1、发布任务2、指导协助了解情况并给予指导。接受任务，查阅课本与资料，认真完成。延拓本次课内容，承接下节课新知；既巩固所学，又起到预习作用。教学评价（1）评价构成课程坚持强化过程性评价、探索增值性评价的评价改革要求，着眼于学生长期发展需要的满足，将终结性评价与过程性评价相结合，侧重过程性评价。（2）评价要素过程性评价主要依托学习通平台，完成课前、课中和课后全过程学习轨迹记录和评价。主要包括：课前任务完成、课堂学习活动、课后任务完成情况等要素。（3）评价标准在评价学生时注重“三个结合”：学习过程与学习结果结合、理论知识与实践能力结合、课程学习成绩与学生日常行为素质表现结合教学反思在内容讲解时，对反常积分概念从定积分的拓展阐释较为清晰，通过对比有限区间定积