微积分 (集合与函数)学习课件

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培根3一、学科介绍及对数学的再认识1.特点：高度的抽象性；广泛的应用性.2.研究对象：变量和函数.3.基本方法：极限方法.4二、话说微积分(Calculus)1.数学的三大分支分析(MathematicalAnalysis)代数(Algebra)几何(Geometry)工科数学基础微积分，常微分方程：连续变量几何与代数：离散变量概率论与数理统计：随机变量数学建模，数值计算，上机：实验基础52.对微积分作出巨大贡献的科学家第一阶段(十七世纪中叶)牛顿(Newton英国人,1642-1727)莱不尼兹(Leibniz德国人,1646-1716)阿基米德(古西腊数学家)—最早有微积分的基本思想.给出微积分基本定理---有了比较完整的微积分思想.6第二阶段(十九世纪中叶)

柯西(Cauchy,1789-1857)

黎曼(Riemann)(德)

维尔斯特拉斯(Weierstrass)第三阶段(二十世纪初)格拉斯曼(Grassman)嘉当(E.Cartan)

庞加莱(Poincare,法国人)

7三、教学目的(学好微积分的重要性)1.一般说，数学基础坚实，今后无论做什么工作成功的机会都会大；

2.我们生活在变化的世界中。微积分既是描述变化的科学语言,也提供了研究变化的方法。微积分的发明是人类智慧的伟大成就。近350年来,微积分应用的范围不断扩大。现在除了传统的在物理学、工程科学的应用中起到关键作用外,特别在化学、生物学、医学、经济学、心理学和社会科学中起到了越来越大的作用。83.同学们的后继课程中大量运用微积分的思想、基本概念和具体方法，以及线性代数和概率统计，甚至更深的数学和计算方法，例如，微分方程ˎ最优化ˎ变分法和Fourier分析等等。因此，你不愿意学也得学，否则毕不了业!4.更重要的是今后工作中能否取得好成绩，往往取决于你有没有数学地思考和分析问题的能力，特别是用数学建模的思想和方法来观察ˎ分析和处理问题的能力，努力学好微积分你将获得或体会到这种能力的重要性；95.为考研作准备.高等数学(82分)线性代数(34分)随机数学(34分)考研数学150分(数学+外语+政治+专业课)10四、基本内容和成绩给定1.内容一元微积分多元微积分级数常微分方程-----本学期学习-----下学期学习微积分微积分向量代数与空间解析几何线性代数高等数学解析几何与线性代数113.参考书：2.课时上学期16×6=96下学期16×5=806学分5学分4.本学期总评成绩:平均40%(3次月考各占10%，作业+考勤占10%)期末考试60%答疑时间确定后再通知.《微积分》、《高等数学》辅导书都行125.教材的处理：微积分对开普勒问题的应用部分内容，不讲,供有兴趣的同学自学.13五、学习方法和要求(2)学习过程：理解——练习——综合——再练习1.学会学习(1)听课过程：预习——听课——复习

(3)看书过程：先将书读厚（加进自己的理解）；

再将书读薄（对知识概括总结）学数学最好的方式是做数学.聪明在于学习,天才在于积累.学而优则用,学而优则创.华罗庚142.要求每人准备一个笔记本，两个练习本,练习本上写上班级,姓名,学号,每周一交作业,每班的科代表收齐后交给助教.3.科代表电话号码.

学习方法：Learningmathematicsisdoingmathematics.要把脑、手、嘴和耳都调动起来。勤思考、多动手，多做题，学会和老师ˎ同学交流讨论(倾听、提问、切磋).154.取消学生考核资格规定任课老师有权对该门课程中学习不认真、不办理任何手续不到课堂听课、不按要求完成实践教学环节的学生取消该门课程考核资格.被取消考核资格的学生，该课程成绩记为零分，同时失去对该课程任课教师评价的资格.

16§1.1集合与函数一、集合二、函数的概念三、函数的一些重要属性四、函数的运算五、初等函数第1章函数171.集合:具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.分为：有限集，无限集.集合的表示：列举法，描述法.一、集合用大写字母表示集合，用小写字母表示元素例18e.g.规定空集为任何集合的子集.集合间的关系:数集分类：Z----整数集Q----有理数集R----实数集N----自然数集不含任何元素的集合称为空集.19例如，集合的运算：202.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.称为开区间,称为闭区间,21称为半开区间,称为半开区间,有限区间无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.223.邻域:234.常量与变量:

在某过程中数值保持不变的量称为常量,注意常量与变量是相对“过程”而言的.通常用字母a,b,c等表示常量,而数值变化的量称为变量.用字母x,y,t等表示变量.24因变量自变量数集D叫做这个函数的定义域f的定义域也可记为Df.二、函数的概念如果对于每个数1.定义:设x和y是两个变量,D是一个给定的数集

变量y按照一定法则f总有唯一确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作

25自变量因变量对应法则f2.函数的两要素:定义域与对应法则.约定:

定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.26例求下列函数的定义域:解定义域是定义域是3.函数的图形:图形为平面上的一条曲线27284.分段函数：在定义域的不同部分上要用不同的式子来表示的函数，称为分段函数.29

10

符号函数几个特殊的分段函数举例1-1xyo3020

取整函数

y=[x][x]表示不超过的最大整数12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线31有理数点无理数点•1xyo30

狄利克雷函数3240

取最值函数yxoyxo取最大值函数取最小值函数331.函数的有界性:三、函数的一些重要属性34M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX35例f(x)在(0,1)上无界f(x)在(1,

)上有界f(x)在(0,

)上无界例有界，无界.36练习A.有上界无下界B.

有下界无上界C.有界,且解C[解题提示]将函数取绝对值,然后用不等式放缩法.37六个常见的有界函数382.函数的单调性:xyo39xyo403.函数的奇偶性:偶函数yxox-x41奇函数yxox-x42证作则偶奇43(1)不要把奇偶函数当作两个完全相反的(2)奇偶性是对对称区间而言的,否则无从谈奇偶函数的运算性质:(1)奇(偶)函数的代数和仍为奇(偶)函数;(2)偶数个奇(偶)函数之积为偶函数;

奇数个奇函数的积为奇函数.(3)一奇一偶的乘积为奇函数.注概念.奇、偶.444.函数的周期性:（一般指最小正周期）.周期为

周期为注:周期函数不一定存在最小正周期.例如,常值函数45例解46471.反函数：四、函数的运算如果不同的x对应不同的值，则函数f在其定义域D和f(D)之间建立了一个一一对应的关系.称为函数y=f(x)的反函数,习惯上y=f(x)的反函数记为注意(1)y=f(x)的图形与其反函数

x=f-1(y)的图形y=f(x)的图形与其反函数

y=f-1(x)的图形关于直线对称.重合;

yx48(2)只有一一对应的函数才有反函数.如函数定义域为值域为但对都有两个和与之对应,x不是y的函数,不存在反函数.49如其反函数为指数函数定义域为值域为写成并称为对数函数.求反函数的步骤求函数的反函数

y=f-1(x).(1)把x从方程y=f(x)中解出;(2)把刚才所得的表达式中的x与y对换,即得所定义域为5051反函数性质反函数移项公式52定义:3.复合函数：53注意:(1)不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;(2)复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.复合函数是有序的.54(3)

反过来,一个复杂的函数根据需要也可以分解为若干简单函数的复合.

复合函数的分解(复合函数拆成几个简单函数),

由函数的最外层运算一层层剥到最里边,切不可漏层.如剥皮法55由以上两式可推测:由数学归纳法可证明上式成立.例设求解56例解故57例解设则故例解58综上所述5960例解有界函数,偶函数,周期函数(无最小正周期)不是单调函数,61例解求函数的定义域.6210幂函数五、初等函数1.五类基本初等函数6320指数函数特别6430对数函数特别65正弦函数定义域为值域为40三角函数66余弦函数定义域为值域为67正切函数余切函数定义域值域定义域值域68三角函数常用公式6970定义域值域

主值反正弦函数50反三角函数71定义域值域

主值反余弦函数72

主值定义域值域反正切函数反余切函数

主值定义域值域

幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.73?742.初等函数

由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.如都是初等函数.注一般分段函数不叫初等函数,不是用一个式子表达出来的.因为它75想一想

可看作分段函数,是否又可看作是初等函数?答:故又可看作是初等函数.是!由于76奇函数.偶函数.1)双曲函数

叠加法3.双曲函数与反双曲函数双曲正弦双曲余弦77奇函数,有界函数,双曲正切78双曲函数常用公式792)反双曲函数奇函数,可得

反双曲正弦的反函数,单调增加.80反双曲余弦单调增加.81奇函数,反双曲正切单调增加.82小结复合函数,初等函数.函数函数的几种特性反函数,有界性,单调性,奇偶性