2025年高考数学复习核心考点(新高考专用)专题1.1集合【七大题型】特训(学生版+解析)

专题1.1集合【六大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1集合中元素个数问题】 2【题型2子集的个数问题】 3【题型3与集合间的关系有关的含参问题】 3【题型4集合的交、并、补集运算】 4【题型5与集合的运算有关的含参问题】 4【题型6集合的新定义问题】 51、集合考点要求真题统计考情分析(1)集合的概念

(2)集合间的基本关系

(3)集合的基本运算2020年I卷、Ⅱ卷：第1题，5分2021年I卷、Ⅱ卷：第1题，5分2022年I卷、Ⅱ卷：第1题，5分2023年I卷：第1题，5分、Ⅱ卷：第2题，5分集合是高考数学的必考考点，高考对集合的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大.常见以一元一次、一元二次不等式的形式，结合有限集、无限集来考查集合的交、并、补集等运算，偶尔涉及集合的符号辨识，一般出现在高考的第1题，以简单题为主.【知识点1集合】1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR2．集合的基本关系(1)子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A⊆B；(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A⫋B；(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B；(4)∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本运算表示运算文字语言集合语言图形语言记法交集属于A且属于B的所有元素组成的集合{x|x∈A，且x∈B}A∩B并集属于A或属于B的元素组成的集合{x|x∈A，或x∈B}A∪B补集全集U中不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于集合U的补集{x|x∈U，x∉A}∁UA4．集合的运算性质(1)，，．(2)，，．(3)，，．【常用结论】(1)若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个．(2)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．(3)．(4),．【题型1集合中元素个数问题】【例1】（2024高一上·全国·专题练习）若集合A=x|mx2+2x+2=0中有两个元素，则实数m的取值范围为（

）A．m|m≠0 B．mC．mm<12【变式1-1】（2023·河南郑州·模拟预测）已知集合P=nn=2k−1,k∈N∗,k≤10，Q=2,3,5，则集合T=A．30 B．28 C．26 D．24【变式1-2】（2023·四川南充·模拟预测）定义集合A∗B=z∣z=xy,x∈A,y∈B，设集合A=−1,0,1，B=−1,1,3，则A∗BA．4 B．5 C．6 D．7【变式1-3】（2023·河北·模拟预测）若集合U有71个元素，S,T⊆U且各有14，28个元素，则∁S∪TS∩T的元素个数最少是（A．14 B．30 C．32 D．42【题型2子集的个数问题】【例2】（2024·宁夏·一模）已知集合A=−1,0,1，B=xx=mn,m∈A,n∈A，则集合A．4 B．7 C．8 D．15【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）已知集合1,0⊆B−1,0,1,2，则满足条件的集合B的个数为（

A．3 B．4 C．5 D．6【变式2-2】（2024·全国·模拟预测）已知集合A=−1,0,1，B=zz=x+y+1,x∈A,y∈A，则集合BA．8 B．16 C．31 D．63【变式2-3】（2024·全国·模拟预测）已知集合A=x,yx,y∈Z,且xy=4，A．3 B．4 C．8 D．16【题型3与集合间的关系有关的含参问题】【例3】（2024·全国·模拟预测）已知集合A=m+2,1,4,B=m2,1，若B⊆AA．−1 B．−2或0 C．−2 D．2【变式3-1】（2023·全国·高考真题）设集合A=0,−a，B=1,a−2,2a−2，若A⊆B，则a=（A．2 B．1 C．23 D．【变式3-2】（2024·四川德阳·三模）已知集合A=x|1<x<2024，B=x|x<a，若A⊆B，则实数a的取值范围是（A．(2024,+∞) B．[2024,+∞) C．【变式3-3】（2024·辽宁抚顺·三模）设集合A=1,−a,B=0,3−a,3a−8，若A⊆B，则a=A．0 B．1 C．2 D．3【题型4集合的交、并、补集运算】【例4】（2024·广东·模拟预测）已知集合A=x∈N|x>1，B=x|0<x<4，则A．x|1<x<4 B．x|x>0C．2,3 D．1,2,3【变式4-1】（2024·云南红河·二模）设集合A=0,1,2,B=3,m，若A∩B=2，则A．0,1,2,3 B．0,1,2 C．1,2,3 D．2,3【变式4-2】（2024·四川攀枝花·三模）已知全集U=x1<x<6,x∈N,A=2,3,B=A．4,5 B．2,3,4,5 C．2 D．2,4,5【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）已知集合U=Z，A=xx=2k+1,k∈Z，B=xx=4k+2,k∈Z，则A．∁UA∩B B．∁UA∪B C．【题型5与集合的运算有关的含参问题】【例5】（2024·辽宁·模拟预测）已知集合A=−1,a,a+2,B=yy=x2−2x,x∈AA．3 B．2 C．1 D．1或3【变式5-1】（2024·安徽阜阳·一模）设集合S=xx<−1或x>5，集合T=xa<x<a+8，且S∪T=RA．−∞,−3∪C．−∞,−3∪【变式5-2】（2024·吉林·模拟预测）已知集合A=xx≤a，B=xx≥2a−1，A∩B≠∅，则正实数A．(0,1] B．(0,1)C．(0,2) D．(1,2)【变式5-3】（2024·广东梅州·一模）已知集合A=xx<a，B=x−1<x<2，A∪∁A．−∞,−1 C．−1,2 D．2,+【题型6集合的新定义问题】【例6】（2024·黑龙江·二模）已知集合A=1,2，B=3,4，定义集合：A∗B=x,yx∈A,y∈B，则集合A．16 B．15 C．14 D．13【变式6-1】（2023·云南保山·二模）定义集合运算：A+B=zz=x+y,x∈A,y∈B，设A=1,2，B=1,2,3，则集合A．14 B．15 C．16 D．18【变式6-2】（2023·全国·三模）如图所示的Venn图中，A、B是非空集合，定义集合A⊗B为阴影部分表示的集合．若A=xx=2n+1,n∈N,n≤4，B=2,3,4,5,6,7，则A⊗B=A．2,4,6,1 B．2,4,6,9 C．2,3,4,5,6,7 D．1,2,4,6,9【变式6-3】（2023·全国·模拟预测）对于集合A，B，定义集合A−B=xx∈A且x∉B，已知集合U=x−3<x<7,x∈Z，E=−1,0,2,4,6，A．−2,0,1,3,4,5 B．0,1,3,4,5 C．−1,2,6 D．−2,0,1,3,4一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）已知集合A=xx=3k+1,k∈ZA．−2∈A B．2023∉AC．3k2+1∉A2．（2024·贵州贵阳·模拟预测）若集合A={x|2mx−3>0,m∈R}，其中2∈A且1∉A，则实数m的取值范围是（A．34,32 B．34,3．（2024·陕西宝鸡·一模）若集合A=x∈Rax2A．1 B．0 C．2 D．0或14．（2024·浙江·二模）已知集合M=1,2,3，N=0,1,2,3,4,7，若M⊆A⊆N，则满足集合A．4 B．6 C．7 D．85．（2024·山东聊城·一模）已知集合A={xx≤2}，B={xx−a<0}，若A⊆BA．−∞,−2 B．−∞,−2 C．6．（2024·全国·模拟预测）集合P=1,2,3,4,5,6,Q=xx=3t−1,t∈P，则A．1,3,5 B．2,4,6 C．1,4 D．2,57．（2024·天津·二模）设全集U=−1,0,1,2,3，集合A=0,1,2，B=−1,0,1，则∁A．−1,0,1,3 B．−1,0,1,2 C．0,1,2 D．0,18．（2024·安徽·二模）已知集合A=1,2,3，B=xx>a，A∩∁RA．a≥1 B．a≤1 C．a≥3 D．a≤3二、多选题9．（2024·全国·模拟预测）非空集合A具有如下性质：①若x,y∈A，则xy∈A；②若x,y∈A，则x+y∈A下列判断中，正确的有（A．−1∉A B．2022C．若x,y∈A，则xy∈A D．若x,y∈A，则x−y∈A10．（23-24高二上·山西晋中·阶段练习）已知集合A=x∣x2−3x−18=0，A．若A=B，则a=−3B．若A⊆B，则a=−3C．若B=∅，则{a∣a<−6或a>6}D．若BA，则{a∣a<−6或a≥6或a=−3}11．（2023·山东潍坊·一模）若非空集合M,N,P满足：M∩N=N,M∪P=P，则（

）A．P⊆M B．M∩P=MC．N∪P=P D．M∩三、填空题12．（2024·辽宁丹东·一模）若x2−80为完全平方数，则正整数x的取值组成的集合为13．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知集合A=−1,2,4，B=2,m2．若B⊆A，则实数14．（2024·全国·模拟预测）已知集合M=−2,−1,0,1，N=x|a−3<x<1，若M∩N中有2个元素，则实数a的取值范围是四、解答题15．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合A=x∈Rax(1)若集合A中有且仅有一个元素，求实数a组成的集合B.(2)若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围.16．（23-24高一上·广东佛山·期末）设集合A=(1)若a=12，试判断集合A与(2)若BA，求a的值组成的集合C．17．（23-24高一下·四川成都·开学考试）已知集合A=xm<x<2m+1，B={x|x≤−3(1)当m=4时，求A∩∁(2)若A⊆∁RB18．（23-24高一上·广东湛江·期末）已知集合A=xx−2x+3≤0，B=xa−1<x<a+1，定义两个集合(1)当a=1时，求A−B与B−A；(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数a的取值范围．19．（23-24高一上·北京密云·期末）对于正整数集合A=a1,a2,⋯,an（(1)判断集合1,2,3,4,5是否是“和谐集”，并说明理由；(2)求证：若集合A是“和谐集”.则集合A中元素个数为奇数；(3)若集合A是“和谐集”，求集合A中元素个数的最小值.专题1.1集合【六大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1集合中元素个数问题】 2【题型2子集的个数问题】 4【题型3与集合间的关系有关的含参问题】 5【题型4集合的交、并、补集运算】 6【题型5与集合的运算有关的含参问题】 7【题型6集合的新定义问题】 81、集合考点要求真题统计考情分析(1)集合的概念

(2)集合间的基本关系

(3)集合的基本运算2020年I卷、Ⅱ卷：第1题，5分2021年I卷、Ⅱ卷：第1题，5分2022年I卷、Ⅱ卷：第1题，5分2023年I卷：第1题，5分、Ⅱ卷：第2题，5分集合是高考数学的必考考点，高考对集合的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大.常见以一元一次、一元二次不等式的形式，结合有限集、无限集来考查集合的交、并、补集等运算，偶尔涉及集合的符号辨识，一般出现在高考的第1题，以简单题为主.【知识点1集合】1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR2．集合的基本关系(1)子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A⊆B；(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A⫋B；(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B；(4)∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本运算表示运算文字语言集合语言图形语言记法交集属于A且属于B的所有元素组成的集合{x|x∈A，且x∈B}A∩B并集属于A或属于B的元素组成的集合{x|x∈A，或x∈B}A∪B补集全集U中不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于集合U的补集{x|x∈U，x∉A}∁UA4．集合的运算性质(1)，，．(2)，，．(3)，，．【常用结论】(1)若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个．(2)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．(3)．(4),．【题型1集合中元素个数问题】【例1】（2024高一上·全国·专题练习）若集合A=x|mx2+2x+2=0中有两个元素，则实数A．m|m≠0 B．mC．mm<12【解题思路】根据给定条件，利用一元二次方程及根的判别式列式求解即得.【解答过程】依题意，方程mx2+2x+2=0有两个不等的实根，则m≠0且Δ=2所以实数m的取值范围为m<12且故选：C.【变式1-1】（2023·河南郑州·模拟预测）已知集合P=nn=2k−1,k∈N∗,k≤10，Q=2,3,5，则集合T=A．30 B．28 C．26 D．24【解题思路】根据题意得到P=1,3,5,7,9,11,13,15,17,19，再结合T=【解答过程】P=nn=2k−1,k∈N∗,k≤10=因为T=xy当x∈P,y=2时，xy为偶数，共有10个元素.当x∈P,y=3时，xy为奇数，此时xy=3,9,15,21,27,33,39,45,51,57，共有10个元素.当x∈P,y=5时，xy为奇数，此时xy=5,15,25,35,45,55,65,75,85,95，有重复数字15,45，去掉，共有8个元素.综上T=xyx∈P,y∈Q中元素的个数为故选：B.【变式1-2】（2023·四川南充·模拟预测）定义集合A∗B=z∣z=xy,x∈A,y∈B，设集合A=−1,0,1，B=−1,1,3，则A∗BA．4 B．5 C．6 D．7【解题思路】根据集合的新定义求得A∗B，从而确定正确答案.【解答过程】因为A=−1,0,1，B=所以A∗B=−3,−1,0,1,3故A∗B中元素的个数为5.故选：B.【变式1-3】（2023·河北·模拟预测）若集合U有71个元素，S,T⊆U且各有14，28个元素，则∁S∪TS∩T的元素个数最少是（A．14 B．30 C．32 D．42【解题思路】根据集合中的元素以及交并补运算的性质即可求解.【解答过程】设S∩T=M,M中有x个元素，则0≤x≤14,x∈N所以S∪T中的元素个数为14+28−x=42−x，因此∁S∪TS∩T中的元素个数为S∪T中的元素减去S∩T中的元素个数，即为由于0≤x≤14,x∈N，所以42−2x∈14,42，故当故选：A.【题型2子集的个数问题】【例2】（2024·宁夏·一模）已知集合A=−1,0,1，B=xx=mn,m∈A,n∈A，则集合A．4 B．7 C．8 D．15【解题思路】先求出集合B，再求真子集个数即可.【解答过程】由题意得B=x故集合B的真子集个数为23故选：B.【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）已知集合1,0⊆B−1,0,1,2，则满足条件的集合B的个数为（

A．3 B．4 C．5 D．6【解题思路】根据包含关系确定B中的元素后可得正确的选项．【解答过程】由1,0⊆B可得1∈B且0∈B，根据B为−1,0,1,2可得B=1,0或B=1,0,−1或B=1,0,2故选：A.【变式2-2】（2024·全国·模拟预测）已知集合A=−1,0,1，B=zz=x+y+1,x∈A,y∈A，则集合BA．8 B．16 C．31 D．63【解题思路】根据题意，利用列举法求化简集合B，从而求得集合B的真子集个数.【解答过程】依题意，得z=−1−1+1=−1；z=−1+0+1=0；z=−1+1+1=1；z=0−1+1=0；z=0+0+1=1；z=0+1+1=2；z=1−1+1=1；z=1+0+1=2；z=1+1+1=3，故B=−1,0,1,2,3其真子集的个数为：25故选：C.【变式2-3】（2024·全国·模拟预测）已知集合A=x,yx,y∈Z,且xy=4，A．3 B．4 C．8 D．16【解题思路】根据集合的描述法确定集合A中的元素，根据交集的概念可得A∩B，从而根据其元素个数得子集个数.【解答过程】因为A=x,yx,y∈ZB=x,y所以A∩B=1,4,2,2,−2,−2故选：D．【题型3与集合间的关系有关的含参问题】【例3】（2024·全国·模拟预测）已知集合A=m+2,1,4,B=m2,1，若B⊆AA．−1 B．−2或0 C．−2 D．2【解题思路】根据子集关系结合集合中元素的互异性求解出m的值.【解答过程】根据集合中元素的互异性，可得m2≠1,m+2≠1,m+2≠4，所以根据B⊆A，可得m2∈A，则m2=4或故选：C．【变式3-1】（2023·全国·高考真题）设集合A=0,−a，B=1,a−2,2a−2，若A⊆B，则a=（A．2 B．1 C．23 D．【解题思路】根据包含关系分a−2=0和2a−2=0两种情况讨论，运算求解即可.【解答过程】因为A⊆B，则有：若a−2=0，解得a=2，此时A=0,−2，B=若2a−2=0，解得a=1，此时A=0,−1，B=综上所述：a=1.故选：B.【变式3-2】（2024·四川德阳·三模）已知集合A=x|1<x<2024，B=x|x<a，若A⊆B，则实数a的取值范围是（A．(2024,+∞) B．[2024,+∞) C．【解题思路】根据给定条件，利用集合的包含关系求解即得.【解答过程】集合A=x|1<x<2024，B=x|x<a，又A⊆B，则所以实数a的取值范围是[2024,+∞故选：B.【变式3-3】（2024·辽宁抚顺·三模）设集合A=1,−a,B=0,3−a,3a−8，若A⊆B，则a=A．0 B．1 C．2 D．3【解题思路】根据题意，得到−a=0或−a=3a−8，求得a的值，结合集合的包含关系，即可求解.【解答过程】由集合A=1,−a因为A⊆B，所以−a=0或−a=3a−8，解得a=0或a=2，当a=0时，A=1,0当a=2时，A=1,−2故选：C．【题型4集合的交、并、补集运算】【例4】（2024·广东·模拟预测）已知集合A=x∈N|x>1，B=x|0<x<4，则A．x|1<x<4 B．x|x>0C．2,3 D．1,2,3【解题思路】利用集合的交集运算求解.【解答过程】解：因为集合A=x∈N|x>1所以A∩B=2,3，故选：C.【变式4-1】（2024·云南红河·二模）设集合A=0,1,2,B=3,m，若A∩B=2，则A．0,1,2,3 B．0,1,2 C．1,2,3 D．2,3【解题思路】根据集合的运算性质进行判断即可.【解答过程】由A∩B=2得m=2所以B= 2 ， 3 故选：A.【变式4-2】（2024·四川攀枝花·三模）已知全集U=x1<x<6,x∈N,A=2,3,B=A．4,5 B．2,3,4,5 C．2 D．2,4,5【解题思路】由并集和补集的定义求解即可.【解答过程】因为U=x故∁UA=4,5，所以∁UA故选：D.【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）已知集合U=Z，A=xx=2k+1,k∈Z，B=xx=4k+2,k∈Z，则A．∁UA∩B B．∁UA∪B C．【解题思路】分析集合A可知A={xx=4k+1或【解答过程】对于集合A=x当k=2t，t∈Z时，x=4t+1；当k=2t+1，t∈Z时，x=4t+3，所以A∪B={xx=4k+1或4k+2或故∁U故选：B．【题型5与集合的运算有关的含参问题】【例5】（2024·辽宁·模拟预测）已知集合A=−1,a,a+2,B=yy=x2−2x,x∈AA．3 B．2 C．1 D．1或3【解题思路】由题意可求出B中可能的元素，讨论a的取值，验证是否符合题意，即可得答案.【解答过程】由题意知：对于集合B，当x=−1时，y=x2−2x=3；当x=a当x=a+2时，y=(又A∪B=A，故A∪B=A，则B⊆A，若a=3，则a2−2a=3,a不满足B⊆A；若a+2=3,∴a=1，此时A=−1,1,3,B=3,−1故a=1，故选：C.【变式5-1】（2024·安徽阜阳·一模）设集合S=xx<−1或x>5，集合T=xa<x<a+8，且S∪T=RA．−∞,−3∪C．−∞,−3∪【解题思路】根据并集的定义列出不等式，进而可得出答案.【解答过程】因为S=xx<−1或x>5，T=x所以a<−1a+8>5，解得−3<a<−1即实数a的取值范围为−3,−1.故选：B．【变式5-2】（2024·吉林·模拟预测）已知集合A=xx≤a，B=xx≥2a−1，A∩B≠∅，则正实数A．(0,1] B．(0,1)C．(0,2) D．(1,2)【解题思路】由题意得2a−1≤a，求解即可【解答过程】因为A∩B≠∅，所以2a−1≤a，解得a≤1，又a是正实数，所以则正实数a的取值范围为0<a≤1，故选：A.【变式5-3】（2024·广东梅州·一模）已知集合A=xx<a，B=x−1<x<2，A∪∁A．−∞,−1 C．−1,2 D．2,+【解题思路】求出∁R【解答过程】∁RB=xx≤−1或x≥2，故a≥2，则a的取值范围为2,+∞故选：D.【题型6集合的新定义问题】【例6】（2024·黑龙江·二模）已知集合A=1,2，B=3,4，定义集合：A∗B=x,yx∈A,y∈B，则集合A．16 B．15 C．14 D．13【解题思路】先确定集合A∗B有四个元素，则可得其非空子集的个数.【解答过程】根据题意，A∗B=x,y则集合A∗B的非空子集的个数是24故选：B.【变式6-1】（2023·云南保山·二模）定义集合运算：A+B=zz=x+y,x∈A,y∈B，设A=1,2，B=1,2,3，则集合A．14 B．15 C．16 D．18【解题思路】由集合的新定义计算即可.【解答过程】由题设知A+B=2,3,4,5∴所有元素之和为2+3+4+5=14，故选：A.【变式6-2】（2023·全国·三模）如图所示的Venn图中，A、B是非空集合，定义集合A⊗B为阴影部分表示的集合．若A=xx=2n+1,n∈N,n≤4，B=2,3,4,5,6,7，则A⊗B=A．2,4,6,1 B．2,4,6,9 C．2,3,4,5,6,7 D．1,2,4,6,9【解题思路】分析可知A⊗B=xx∈A∪B,x∉A∩B，求出集合A、A∪B【解答过程】由韦恩图可知，A⊗B=x因为A=xx=2n+1,n∈N,n≤4=则A∪B=1,2,3,4,5,6,7,9，A∩B=3,5,7，因此，故选：D.【变式6-3】（2023·全国·模拟预测）对于集合A，B，定义集合A−B=xx∈A且x∉B，已知集合U=x−3<x<7,x∈Z，E=−1,0,2,4,6，A．−2,0,1,3,4,5 B．0,1,3,4,5 C．−1,2,6 D．−2,0,1,3,4【解题思路】结合新定义可知E−F=−1,2,6，求得U【解答过程】结合新定义可知E−F=−1,2,6，又U=所以∁U故选：A.一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）已知集合A=xx=3k+1,k∈ZA．−2∈A B．2023∉AC．3k2+1∉A【解题思路】令3k+1分别为选项中不同值，求出k的值进行判定.【解答过程】当k=−1时，x=−2，所以−2∈A，故A正确；当k=674时，x=3×674+1=2023，所以2023∈A，故B错误；当k=1或k=0时，3k2+1=3k+1当k=−12时，x=−12×3+1=−35，所以−35∈A，故D错误.故选：A.2．（2024·贵州贵阳·模拟预测）若集合A={x|2mx−3>0,m∈R}，其中2∈A且1∉A，则实数m的取值范围是（A．34,32 B．34,【解题思路】借助元素与集合的关系计算即可得.【解答过程】由题意可得2m×2−3>02m×1−3≤0，解得3故选：A.3．（2024·陕西宝鸡·一模）若集合A=x∈Rax2A．1 B．0 C．2 D．0或1【解题思路】分类讨论，确定方程有一解时满足的条件求解.【解答过程】当a=0时，由ax2−2x+1=0当a≠0时，由ax2−2x+1=0解得a=1.综上，实数a的取值为0或1.故选：D.4．（2024·浙江·二模）已知集合M=1,2,3，N=0,1,2,3,4,7，若M⊆A⊆N，则满足集合A．4 B．6 C．7 D．8【解题思路】根据包含关系，写出所有满足条件的集合A即可得解.【解答过程】因为M⊆A⊆N，所以A可以是1,2,3,故选：D.5．（2024·山东聊城·一模）已知集合A={xx≤2}，B={xx−a<0}，若A⊆BA．−∞,−2 B．−∞,−2 C．【解题思路】计算出集合A、B后借助集合间的关系计算即可得.【解答过程】由x≤2，可得−2≤x≤2，故A={x由x−a<0，可得x<a，故B={xx<a由A⊆B，则有a>2.故选：C.6．（2024·全国·模拟预测）集合P=1,2,3,4,5,6,Q=xx=3t−1,t∈P，则A．1,3,5 B．2,4,6 C．1,4 D．2,5【解题思路】根据代入法求得集合Q，再根据集合交集的定义求得结果；【解答过程】因为P=1,2,3,4,5,6所以P∩Q=2,5故选：D．7．（2024·天津·二模）设全集U=−1,0,1,2,3，集合A=0,1,2，B=−1,0,1，则∁A．−1,0,1,3 B．−1,0,1,2 C．0,1,2 D．0,1【解题思路】先求出∁UA，再求出【解答过程】因为U=−1,0,1,2,3，所以∁所以∁UA∪B=故选：A.8．（2024·安徽·二模）已知集合A=1,2,3，B=xx>a，A∩∁RA．a≥1 B．a≤1 C．a≥3 D．a≤3【解题思路】先由A∩∁RB【解答过程】由已知A∩∁RB=A，所以A⊆∁故选:C.二、多选题9．（2024·全国·模拟预测）非空集合A具有如下性质：①若x,y∈A，则xy∈A；②若x,y∈A，则x+y∈A下列判断中，正确的有（A．−1∉A B．2022C．若x,y∈A，则xy∈A D．若x,y∈A，则x−y∈A【解题思路】根据元素与集合的关系进行分析，从而确定正确答案.【解答过程】对于A，假设−1∈A，则令x=y=−1，则xy令x=−1,y=1，则x+y=0∈A，令x=1,y=0，不存在xy，即y≠0∴−1∉A，故A对；对于B，由题，1∈A，则1+1=2∈A,2+1=3∈A,⋯,2022∈A,2023∈A,∴20222023对于C，∵1∈A，x∈A，∴1∵y∈A,1对于D，∵1∈A，2∈A，若x=1,y=2，则x−y=−1∉A，故D错误．故选：ABC．10．（23-24高二上·山西晋中·阶段练习）已知集合A=x∣x2−3x−18=0，A．若A=B，则a=−3B．若A⊆B，则a=−3C．若B=∅，则{a∣a<−6或a>6}D．若BA，则{a∣a<−6或a≥6或a=−3}【解题思路】解一元二次方程求得集合A，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念即可逐一判断．【解答过程】依题意可得A=x对于A，若A=B，则a=−3a2−27=−18对于B，若A⊆B，则9−3a+a2−27=0对于C，当B=∅时，则Δ=a2−4a对于D，当a=−3时，A=B，故D错误．故选：ABC．11．（2023·山东潍坊·一模）若非空集合M,N,P满足：M∩N=N,M∪P=P，则（

）A．P⊆M B．M∩P=MC．N∪P=P D．M∩【解题思路】根据题意可得：N⊆M,M⊆P，然后根据集合的包含关系即可求解.【解答过程】由M∩N=N可得：N⊆M，由M∪P=P，可得M⊆P，则推不出P⊆M，故选项A错误；由M⊆P可得M∩P=M，故选项B正确；因为N⊆M且M⊆P，所以N⊆P，则N∪P=P，故选项C正确；由N⊆M可得：M∩∁pN故选：BC.三、填空题12．（2024·辽宁丹东·一模）若x2−80为完全平方数，则正整数x的取值组成的集合为9,12,21【解题思路】由题意设x2−80=y2≥0,y∈Z，进一步得x−y【解答过程】由题意设x2−80=y注意到x−y+x+y=2x是偶数，所以x−y（否则若x−y和x+y中，有一个是奇数，有一个是偶数，则它们的和是奇数，这与x−y+注意到x−yx+y=80是偶数，所以x−y与考虑80的分解方式，满足题意的数组x−y,x+y只可能是2,40,所以x的取值可能是8+102故答案为：9,12,21.13．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知集合A=−1,2,4，B=2,m2．若B⊆A，则实数m的取值集合为【解题思路】根据B⊆A，得到集合B的元素都是集合A的元素，即可求得m的值.【解答过程】由题意B⊆A，所以m2=−1或m2=4，则所以实数m的取值集合为−2,2.故答案为：−2,2.14．（2024·全国·模拟预测）已知集合M=−2,−1,0,1，N=x|a−3<x<1，若M∩N中有2个元素，则实数a的取值范围是1,2【解题思路】根据交集的运算及集合中的元素的个数，列不等式求解即可.【解答过程】因为M=−2,−1,0,1，N=x|a−3<x<1，若所以M∩N=−1,0，所以−2≤a−3<−1，解得1≤a<2则实数a的取值范围是1,2.故答案为：1,2.四、解答题15．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合A=x∈Rax(1)若集合A中有且仅有一个元素，求实数a组成的集合B.(2)若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围.【解题思路】（1）分类讨论当a=0、a≠0时方程根的个数，即可求解；（2）由（1）可得a=0或a=1，再讨论当A=∅时的情况即可.【解答过程】（1）若a=0，方程化为2x+1=0，此时方程有且仅有一个根x=−1若a≠0，则当且仅当方程的判别式Δ=4−4a=0，即a=1方程有两个相等的实根x1=x∴所求集合B=0,1（2）集合A中至多有一个元素包括有两种情况，①A中有且仅有一个元素，由（1）可知此时a=0或a=1，②A中一个元素也没有，即A=∅，此时a≠0，且Δ=4−4a<0，解得a>1综合①②知a的取值范围为{aa≥1或16．（23-24高一上·广东佛山·期末）设集合A=(1)若a=12，试判断集合A与(2)若BA，求a的值组成的集合C．【解题思路】（1）当a=12时求出集合A与（2）求出集合B，注意对a=0与a≠0分类讨论，根据B⊊A，列方程求解．【解答过程】（1）A=当a=1