2025届高考数学二轮复习限时练四理

PAGE1-限时练(四)(限时：40分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设A＝{x|y＝eq\r(3－x)}，B{x|4x－x2＞0}，则A∩B＝()A．{x|x≤0} B．{x|0＜x≤3}C．{x|x≤4} D．{x|x∈R}解析：因为A＝{x|y＝eq\r(3－x)}＝{x|3－x≥0}＝{x|x≤3}，B＝{x|4x－x2＞0}＝{x|x2－4x＜0}＝{x|0＜x＜4}，所以A∩B＝{x|0＜x≤3}．答案：B2．已知i为虚数单位，复数z满意(1－i)z＝2i，则下列关于复数z说法正确的是()A．z＝－1－i B．|z|＝2C．z·eq\o(z,\s\up14(－))＝2 D．z2＝2解析：由条件知z＝eq\f(2i,1－i)＝eq\f(2i·（1＋i）,2)＝－1＋i，A错误；|z|＝eq\r(2)，B错误；z·eq\o(z,\s\up14(－))＝(－1＋i)·(－1－i)＝2，C正确；z2＝(－1＋i)2＝－2i≠2，D错误．答案：C3．设a＝20.9，b＝3eq\s\up14(\f(2,3))，c＝logeq\s\do9(\f(1,2))3，则a，b，c的大小为()A．b＞c＞a B．a＞c＞bC．b＞a＞c D．a＞b＞c解析：0＜a＝20.9＜2，c＝logeq\s\do9(\f(1,2))3＝－log23＜0，又b3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\s\up14(\f(2,3))))eq\s\up12(3)＝9＞8，则b＞2.故b＞a＞c.答案：C4．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120°，点D为BC边上一点，且eq\o(BD,\s\up14(→))＝2eq\o(DC,\s\up14(→))，则eq\o(AB,\s\up14(→))·eq\o(AD,\s\up14(→))＝()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C．1 D．2解析：以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示．则A(0，0)，B(3，0)，C(－1，eq\r(3))，因为eq\o(BD,\s\up14(→))＝2eq\o(DC,\s\up14(→))，所以eq\o(BD,\s\up14(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up14(→))＝eq\f(2,3)(－4，eq\r(3))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,3)，\f(2\r(3),3))).则Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2\r(3),3)))，所以eq\o(AD,\s\up14(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2\r(3),3)))，eq\o(AB,\s\up14(→))＝(3，0)．所以eq\o(AB,\s\up14(→))·eq\o(AD,\s\up14(→))＝3×eq\f(1,3)＋0×eq\f(2\r(3),3)＝1.答案：C5．(2024·湖南师大联考)下面四个推理，不属于演绎推理的是()A．因为函数y＝sinx(x∈R)的值域为[－1，1]，所以y＝sin(2x－1)(x∈R)的值域也是[－1，1]B．昆虫都是6条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6条腿C．在平面中，随意三条不同的直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c.在空间几何中，该结论仍旧如此D．假如一个人在墙上写字的位置与他的视线平行，那么，墙上字迹离地的高度大约是他的身高，凶手在墙上写字的位置与他的视线平行，福尔摩斯量得墙壁上的字迹距地面六尺多，于是，他得出了凶手身高六尺多的结论解析：C中的推理属于合情推理中的类比推理，A，B，D中的推理都是演绎推理．答案：C6．(2024·浙江卷)若a＞0，b＞0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：因为a＞0，b＞0，若a＋b≤4，所以2eq\r(ab)≤a＋b≤4，所以ab≤4，此时充分性成立．当a＞0，b＞0，ab≤4时，令a＝4，b＝1，则a＋b＝5＞4，这与a＋b≤4冲突，因此必要性不成立．综上所述，当a＞0，b＞0时，“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．答案：A7．中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”．其意是：现有一匹马行走的速度渐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里．若该匹马按此规律接着行走7天，则它这14天内所走的总路程为()A.eq\f(175,32)里 B．1050里C.eq\f(22575,32)里 D．2100里解析：由题意，该匹马每日所行路程构成等比数列{an}，其中首项为a1，公比q＝eq\f(1,2)，S7＝700，则700＝eq\f(a1\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(7))),1－\f(1,2))，解得a1＝eq\f(350×128,127)，那么S14＝eq\f(a1\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(14))),1－\f(1,2))＝eq\f(22575,32).答案：C8．(2024·全国卷Ⅰ)下图是求eq\f(1,2＋\f(1,2＋\f(1,2)))的程序框图，图中空白框中应填入()A．A＝eq\f(1,2＋A)B．A＝2＋eq\f(1,A)C．A＝eq\f(1,1＋2A)D．A＝1＋eq\f(1,2A)解析：对于选项A，A＝eq\f(1,2＋A).当k＝1时，A＝eq\f(1,2＋\f(1,2))，当k＝2时，A＝eq\f(1,2＋\f(1,2＋\f(1,2)))，故A正确．阅历证选项B，C，D均不符合题意．答案：A9．已知函数f(x)＝eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,2)))－cosωx(0＜ω＜3)的图象过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))，若要得到一个偶函数图象，则需将函数f(x)的图象()A．向左平移eq\f(2π,3)个单位长度B．向右平移eq\f(2π,3)个单位长度C．向左平移eq\f(π,3)个单位长度D．向右平移eq\f(π,3)个单位长度解析：f(x)＝eq\r(3)sinωx－cosωx＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,6))).又点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))在函数f(x)的图象上，所以eq\f(π,3)ω－eq\f(π,6)＝kπ，则ω＝3k＋eq\f(1,2)，k∈Z.由于0＜ω＜3，所以ω＝eq\f(1,2)，则f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,6))).当将f(x)图象向右平移eq\f(2π,3)个单位，得y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,3)－\f(π,6)))的图象，即y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,2)))＝－2coseq\f(x,2)为偶函数．答案：B10．在侧棱长为a的正三棱锥OABC中，若小球P在三棱锥内部，则小球P最大的半径为()A.eq\f(3＋\r(3),6)a B.eq\f(3－\r(3),6)aC.eq\f(2－\r(3),6)a D.eq\f(2＋\r(3),6)a解析：依题意，小球P是正三棱锥OABC的内切球时，球的半径最大．设内切球的半径为r，所以OA＝OB＝OC＝a，所以AB＝AC＝BC＝eq\r(2)a，则VOABC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)a2·a＝eq\f(a3,6).又VPOAB＋VPOBC＋VPOAC＋VPABC＝3×eq\f(1,3)×eq\f(a2,2)·r＋eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)(eq\r(2)a)2r＝eq\f(3＋\r(3),6)a2r，所以eq\f(3＋\r(3),6)a2r＝eq\f(a3,6)，则r＝eq\f(a,3＋\r(3))＝eq\f(3－\r(3),6)a.答案：B11．(2024·全国卷Ⅲ)记不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≥6，,2x－y≥0))表示的平面区域为D.命题p：∃(x，y)∈D，2x＋y≥9；命题q：∀(x，y)∈D，2x＋y≤12.下面给出了四个命题①p∨q②¬p∨q③p∧¬q④¬p∧¬q这四个命题中，全部真命题的编号是()A．①③ B．①②C．②③ D．③④解析：法1：画出可行域如图中阴影部分所示．目标函数z＝2x＋y是一条平行移动的直线，且z的几何意义是直线z＝2x＋y的纵截距．明显，直线过点A(2，4)时，zmin＝2×2＋4＝8，即z＝2x＋y≥8.所以2x＋y∈[8，＋∞)．由此得命题p：∃(x，y)∈D，2x＋y≥9正确．命题q：∀(x，y)∈D，2x＋y≤12不正确．所以①③真，②④假．法2：取x＝4，y＝5，满意不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≥6，,2x－y≥0，))且满意2x＋y≥9，不满意2x＋y≤12，故p真，q假．所以①③真，②④假．答案：A12．设双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F，直线4x－3y＋20＝0过点F且与双曲线C在其次象限的交点为P，|OP|＝|OF|，其中O为原点，则双曲线C的离心率为()A．5 B.eq\r(5)C.eq\f(5,3) D.eq\f(5,4)解析：在直线4x－3y＋20＝0中，令y＝0，得x＝－5，所以c＝5，取右焦点为F′，由|OF|＝|OP|＝|OF′|，可得PF⊥PF′.由直线4x－3y＋20＝0，可得tan∠F′FP＝eq\f(4,3)，|FF′|＝10，故|PF|＝6，|PF′|＝8.所以|PF′|－|PF|＝2＝2a，所以a＝1，又因为c＝5，故双曲线C的离心率e＝eq\f(c,a)＝5.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填写在各小题的横线上．)13．若(x＋a)(1＋2x)5的绽开式中x3的系数为20，则实数a＝________．解析：由已知得Ceq\o\al(2,5)·22＋a·Ceq\o\al(3,5)·23＝20，解得a＝－eq\f(1,4).答案：－eq\f(1,4)14．已知直线ax＋by＋c－1＝0(b，c＞0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则eq\f(4,b)＋eq\f(1,c)的最小值是________．解析：依题意得，圆心坐标是(0，1)，于是有b＋c＝1，eq\f(4,b)＋eq\f(1,c)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,b)＋\f(1,c)))(b＋c)＝5＋eq\f(4c,b)＋eq\f(b,c)≥5＋2eq\r(\f(4c,b)×\f(b,c))＝9，当且仅当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＋c＝1，,\f(4c,b)＝\f(b,c)，))即b＝2c＝eq\f(2,3)时，eq\f(4,b)＋eq\f(1,c)的最小值为9.答案：915.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，当点P在线段BC1上运动，则下列推断中正确的是________(把全部正确推断的序号都填上)．①平面PB1D⊥平面ACD1；②A1P∥平面ACD1；③异面直线A1P与AD1所成角的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))；④三棱锥D1APC的体积不变．解析：在正方体中，B1D⊥平面ACD1，B1D⊂平面PB1D，所以平面PB1D⊥平面ACD1，所以①正确．连接A1B，A1C1，如图，简单证明平面A1BC1∥平面ACD1，又A1P⊂平面A1BC1，所以A1P∥平面ACD1，所以②正确．因为BC1∥AD1，所以异面直线A1P与AD1所成的角就是直线A1P与BC1所成的角，在△A1BC1中，易知所求角的范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))，所以③错误．VD1APC＝VCAD1P，因为点C到平面AD1P的距离不变，且△AD1P的面积不变，所以三棱锥D1A