2024秋高中数学第一章集合与函数概念1.2.1函数的概念练习含解析新人教A版必修1

PAGEPAGE11.2.1函数的概念A级基础巩固一、选择题1．下列式子中不能表示函数y＝f(x)的是()A．x＝y2 B．y＝x＋1C．x＋y＝0 D．y＝x2解析：依据函数的定义推断，由于A中对于一个确定的x，有2个y与它对应，所以不符合函数的定义要求．答案：A2．集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数是()A．f：x→y＝eq\f(1,2)x B．f：x→y＝eq\f(1,3)xC．f：x→y＝eq\f(2,3)x D．f：x→y＝eq\r(x)解析：对选项C，当x＝4时，y＝eq\f(8,3)＞2不合题意．答案：C3．已知函数y＝f(x)的定义域为[－1，5]，则在同一坐标系中，函数f(x)的图象与直线x＝1的交点个数为()A．0 B．1C．2 D．0或1解析：因为1在定义域[－1，5]上，所以f(1)存在且唯一．答案：B4．下列四组函数中相等的是()A．f(x)＝x，g(x)＝(eq\r(x))2B．f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2C．f(x)＝eq\r(x2)，g(x)＝|x|D．f(x)＝0，g(x)＝eq\r(x－1)＋eq\r(1－x)解析：A项，因为f(x)＝x(x∈R)与g(x)＝(eq\r(x))2(x≥0)两个函数的定义域不一样，所以两个函数不相等；B项，因为f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2两个函数的对应关系不一样，所以两个函数不相等；易知C正确；D项，f(x)＝0，g(x)＝eq\r(x－1)＋eq\r(1－x)两个函数的定义域不一样，所以两个函数不相等．答案：C5．A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，图中能表示以A为定义域，B为值域的函数的是()解析：A、C、D的值域都不是[1，2]．答案：B二、填空题6．若[0，3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是________．解析：依据区间表示数集的方法原则可知，3a－1>0，解得a>eq\f(1,3)，所以a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞)).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞))7．设函数f(x)＝eq\f(4,1－x)，若f(a)＝2，则实数a＝________．解析：由f(a)＝2，得eq\f(4,1－a)＝2，解得a＝－1.答案：－18．函数y＝eq\f(（x＋1）0,\r(|x|－x))的定义域是________．解析：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1≠0，,|x|－x>0))⇒x<0且x≠－1，即函数的定义域为{x|x<0，且x≠－1}．答案：{x|x<0，且x≠－1}三、解答题9．(1)函数f(x)的定义域为[2，3]，求函数f(x－1)的定义域；(2)函数f(x－1)的定义域为[2，3]，求函数f(x)的定义域．解：(1)函数f(x)的定义域为[2，3]，则函数f(x－1)中，2≤x－1≤3，解得3≤x≤4，即函数f(x－1)的定义域为[3，4]．(2)函数f(x－1)的定义域为[2，3]，即2≤x≤3，则1≤x－1≤2，所以函数f(x)的定义域为[1，2]．10．求下列函数的值域．(1)y＝eq\r(x)－1；(2)y＝x2－2x＋3，x∈[0，3)；(3)y＝eq\f(2x＋1,x－3)；(4)y＝2x－eq\r(x－1).解：(1)因为eq\r(x)≥0，所以eq\r(x)－1≥－1.图①所以y＝eq\r(x)－1的值域为[－1，＋∞)．(2)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如图①)，可得函数的值域为[2，6)．(3)y＝eq\f(2x＋1,x－3)＝eq\f(2（x－3）＋7,x－3)＝2＋eq\f(7,x－3)，明显eq\f(7,x－3)≠0，所以y≠2.故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．图②(4)设t＝eq\r(x－1)，则t≥0且x＝t2＋1，所以y＝2(t2＋1)－t＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,4)))eq\s\up12(2)＋eq\f(15,8)，由t≥0，再结合函数的图象(如图②)，可得原函数的值域为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,8)，＋∞)).B级实力提升1．若函数y＝f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)＝eq\f(f（2x）,x－1)的定义域是()A．[0，1] B．[0，1)C．[0，1)∪(1，4] D．(0，1)解析：因为f(x)的定义域为[0，2]，所以对g(x)，0≤2x≤2，且x≠1，故x∈[0，1)．答案：B2．函数y＝x＋eq\r(2x＋1)的值域为________．解析：令t＝eq\r(2x＋1)，则t≥0，且x＝eq\f(t2－1,2)，故y＝eq\f(t2－1,2)＋t＝eq\f(1,2)(t＋1)2－1，t∈[0，＋∞)．画出t∈[0，＋∞)时，函数y＝eq\f(1,2)(t＋1)2－1的图象，如图实线部分所示，由图象知y≥－eq\f(1,2)，所以所求值域为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)).答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))3．已知函数f(x)＝eq\f(1＋x2,1－x2).(1)求f(x)的定义域．(2)若f(a)＝2，求a的值．(3)求证：feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝－f(x)．(1)解：要使函数f(x)＝eq\f(1＋x2,1－x2)有意义，只需1－x2≠0，解得x≠±1，所以函数的定义域为{x|x≠±1}．(2)解：因为f(x)＝eq\f(1＋x2,1－x2)，且f(a)＝2，所以f(a)＝eq\f(1＋a2,1－a2)＝2，即a2＝eq\f(1,3)，解得a＝±eq\f(\r(3),3).(3)证明：由已知得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))\s\up12(2),1－\b\lc\(\rc\)(