7.6用锐角三角函数解决问题苏科版初中数学九年级下册同步练习【含试卷答案】

7.6用锐角三角函数解决问题苏科版初中数学九年级下册同步练习第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为183m的地面上，若测角仪的高度是1.5m.测得教学楼的顶部A处的仰角为30°.则教学楼的高度是(

)

A.55.5m B.54m C.19.5m D.18m2.如图，小明在P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°，PB=30m，∠PHB=∠AFB=90°，若斜面AB坡度为1：3，则斜坡AB的长是(

)A.10m

B.20m

C.30m

D.40m3.马颊大桥是馆聊高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB=a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为

(

)

A.asinα+asinβ B.acosα+a4.如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，AD垂直地面，垂足为点D，BC⊥AD，垂足为点C.设∠ABC=α，下列关系式正确的是(

)A.sinα=ABBC B.sinα=BCAB C.5.如图，某建筑物的顶部有一块宣传牌CD，小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°，已知斜坡AB的坡角为30°，AB=10米，AE=15米，则宣传牌CD的高度是(

)A.20−103

B.20+53

C.6.图①是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形OABC.若AB=BC=1，∠AOB=α，则tan∠BOC的值为．(

)

A.sinα B.cosα C.tanα D.17.某斜坡的坡度x=1：33，则该斜坡的坡角为(

)A.75° B.60° C.45° D.30°8.如图，一架梯子AB斜靠在墙上，测得梯子底端B到墙角C的距离为m米，梯子与地面所夹的锐角为α，则梯子AB长(

)A.m⋅sinα米

B.m⋅cosα米

C.msin9.斜坡长为100m，它的垂直高度为60m，则坡度i等于(

)A.35 B.45 C.4310.如图，日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷盘垂直的晷针投射到晷盘上的影子来测定时间．淄博市某学校内A处有一个日晷模型，晷盘与赤道面平行，平面示意图如下，A处的纬度为北纬36°48′(地球球心为O，A处的纬度是指OA与赤道面所成角)，则晷针与底座所成角为(

)

A.36°48ˈ B.53°12ˈ C.53°52ˈ D.90°11.小包同学想要测量学校旗杆的高度，如图，小包同学测得旗杆AB的影子长BC=6m，通过上网搜索资料得知此时此处的太阳高度角α=56°，则旗杆AB的高度是(参考数据：sin56°=0.83，cos56°=0.56，tan56°=1.48)(

)A.3.66m

B.4.98m

C.6.88m

D.8.88m12.小明去爬山，在山脚A看山顶D的仰角∠CAD=30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米到达B处，此时小明看山顶的仰角∠DBF=60°，则山高CD为米．(

)A.600−2505

B.6003−250

第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共12分）13.如图，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点O反射后照射到B点，若入射角为α，反射角为β(反射角等于入射角)，AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，且AC=3，BD=6，CD=12，则OD的值为______．14.如图，准备在宽24米的迎宾大道AB路边安装路灯，设计要求：路灯的灯臂CD长4米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，灯柱BC与大道路面AB垂直，此时O恰好为AB中点．

(1)∠DOB的度数为______°.

(2)现在由于道路两边都要装路灯，要求OB=14AB，且灯臂CD缩短为1米，其它的位置关系不变.则现在路灯的灯柱BC高度应该比原设计高度缩短了______米15.数学活动小组欲测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，DC⊥AM于点E，在A处测得大树底端C的仰角∠CAE=15°，沿水平地面前进30米到达B处，测得大树顶端D的仰角∠DBE=53°，测得山坡坡角∠CBM=30°(图中各点均在同一平面内).则这棵大树CD的高度为______.(结果取整数，参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43，16.如图，上午8时，一条船从海岛A出发，以16nmile/ℎ的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从海岛A，B处望灯塔C，分别测得∠BAC=38°，∠NBC=76°，则海岛B与灯塔C之间的距离是______nmile．

三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题8分)

2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA=1m，AB=5m，BC=2m，∠ABC=143°.机械臂端点C到工作台的距离CD=6m．

(1)求A、C两点之间的距离；

(2)求OD长．

(结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，5≈2.24)

18.(本小题8分)

如图，某学习小组在教学楼AB的顶部观测信号塔CD底部的俯角为30°，观测信号塔顶部的仰角为45°.已知教学楼AB的高度为20m，求信号塔的高度(计算结果保留根号)．

19.(本小题8分)

如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A在B的正西方向，AB=2km，从观测站A测得船C在北偏东45°的方向，从观测站B测得船C在北偏西30°的方向．求船C离观测站A的距离．

20.(本小题8分)

宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，车轮半径为32cm，∠BCD=64°，BC=60cm，坐垫E与点B的距离BE为15cm．

(1)求坐垫E到地面的距离；

(2)根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为80cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E′，求EE′的长．

(结果精确到0.1cm，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05)

21.(本小题8分)

跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目．如图，运动员通过助滑道后在点A处腾空，在空中沿抛物线飞行，直至落在着陆坡BC上的点P处．腾空点A到地面OB的距离OA为70m，坡高OC为60m，着陆坡BC的坡度(即tanα)为3：4.以O为原点，OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知这段抛物线经过点(4,75)，(8,78)．

(1)求这段抛物线表示的二次函数表达式；

(2)在空中飞行过程中，求运动员到坡面BC竖直方向上的最大距离；

(3)落点P与坡顶C之间的距离为______m.

22.(本小题8分)

如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB，其旁边有一个坡面CQ，坡角∠QCN=30°.在阳光下，小明观察到AB在地面上的影长为120cm，在坡面上的影长为180cm.同一时刻，小明测得直立于地面长60cm的木杆的影长为90cm(其影子完全落在地面上).求立柱AB的高度．

23.(本小题8分)

无人机在实际生活中的应用越来越广泛.如图所示，某人利用无人机测量大楼的高度BC，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点80米，点A处的俯角为60°，楼顶C点处的俯角为30°，已知点A与大楼的距离AB为70米(点A，B，C，P在同一平面内)，求大楼的高度BC(结果保留根号)．24.(本小题8分)

为测量建筑物DE的高度，小明从建筑物AB的A处测得E处的仰角为37°，C处的俯角为22°，从C处测得E处的仰角为58°.已知B，C，D在同一直线上，AB高为6.8m.求建筑物DE的高度．

(参考数据：tan37°≈34，tan22°≈225.(本小题8分)

小淇同学在学习了“平面镜反射原理”后，用一个小平面镜PQ做实验．他先将平面镜放在平面上，如图，用一束与平面成30°角的光线照射平面镜上的A处，使光影正好落在对面墙面上一幅画的底边C点．他不改变光线的角度，原地将平面镜转动了7.5°角，即∠PAP′=7.5°，使光影落在C点正上方的D点，测得CD=10cm.求平面镜放置点与墙面的距离AB.(参考数据：3≈1.73)

答案和解析1.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了解直角三角形，仰角的定义．注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．根据锐角三角函数和直角三角形的性质解答即可．

【解答】

解：过D作DE⊥AB，则四边形BCDE为矩形，

∵在D处测得教学楼顶端A的仰角为30°，

∴∠ADE=30°，

∵BC=DE=183m，

∴AE=DE⋅tan30°=18m，

∴AB=AE+BE=AE+CD=18+1.5=19.5m，2.【答案】C

【解析】解：∵斜面坡度为1：3，

∴tan∠ABF=AFBF=13=33，

∴∠ABF=30°，

∵在P处进行观测，测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°，

∴∠HPB=30°，∠APB=45°，

∴∠HBP=60°，

∴∠PBA=90°，∠BAP=45°，

∴∠APB=∠BAP，

∴AB=PB=30m，

故选：C．

根据三角函数的定义得到∠ABF=30°，根据已知条件得到∠HPB=30°，∠APB=45°，求得∠HBP=60°，进一步求得∠PBA=90°，3.【答案】C

【解析】【分析】本题考查了解直角三角形−仰角俯角问题有关知识，在Rt△ABD和Rt△ABC中，由三角函数得出BC=atanα，BD=atanβ，得出CD=BC+BD=atanα+atanβ即可．【解答】

解：在Rt△ABD和Rt△ABC中，AB=a，tanα=BCAB，tanβ=BDAB，

∴BC=atanα，BD=atanβ，

∴CD=BC+BD=atanα+atanβ；

故选C．4.【答案】D

【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=α，由锐角三角函数的定义可知，

sinα=sin∠ABC=ACAB，

故选：D．5.【答案】A

【解析】解：过B作BF⊥AE，交EA的延长线于F，作BG⊥DE于G．

在Rt△ABF中，∠BAF=30°，AB=10米，

∴BF=12AB=5(米)，AF=3BF=53(米)．

∴BG=AF+AE=(53+15)(米)，

在Rt△BGC中，∠CBG=45°，

∴△BGC是等腰直角三角形，

∴CG=BG=(53+15)(米)，

在Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=15米，

∴DE=3AE=153(米)，

∴CD=CG+GE−DE=53+15+5−153=(20−103)(米)，

即宣传牌CD的高度是(20−103)米，

故选：A．

过B作BF⊥AE，交6.【答案】A

【解析】解：∵AB=BC=1，

在Rt△OAB中，sinα=ABOB，

∴OB=1sinα，

在Rt△OBC中，tan∠BOC=BCOB=11sinα=sinα．

故选：A．7.【答案】B

【解析】解：∵tanα=1：33=3，

∴坡角=60°．

故选：B．

坡度=8.【答案】D

【解析】解：∵AC⊥BC，

∴∠ACB=90°，

在Rt△ABC中cosα=BCAB，

∴AB=BCcosα=mcosα(米)，故D正确．9.【答案】D

【解析】解：由勾股定理得：

坡面的水平宽度为：1002−602=80，

∴坡度i=6080=34．

故选：D10.【答案】A

【解析】【分析】依据晷盘垂直于晷针，底座与AO垂直，即可得到晷针与底座所成角等于∠AOB的大小．【解答】解：如图所示，设晷针与底座交于点C，∵AF⊥CE，∴∠C+∠CAF=90°，又∵AF

//

BO，AO⊥CD，∴∠CAF+∠CAO+∠AOB=180°，即∠CAF+∠AOB=90°，∴∠ACE=∠AOB=36°48′，故选：A．【点评】本题主要考查了平行线的性质以及圆的切线的性质，解决问题的关键是掌握切线的性质以及平行线的性质．11.【答案】D

【解析】解：∵∠ABC=90°，∠C=α=56°，BC=6m，

∴AB=BC×tan56°=6×1.48=8.88m，故D正确，

故选：D．

根据正切函数定义求出AB的高度即可．

本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，准确计算．12.【答案】B

【解析】解：∵BE：AE=5：12，

52+122=13，

∴BE：AE：AB=5：12：13，

∵AB=1300米，

∴AE=1200米，

BE=500米，

设EC=x米，

∵∠DBF=60°，

∴DF=3x米．

又∵∠DAC=30°，

∴AC=3CD．

即：1200+x=3(500+3x)，

解得x=600−2503，

∴DF=13.【答案】8

【解析】解：如图，由题意得：OP⊥CD，

∵AC⊥CD，

∴AC//OP，

∴∠A=α，

同理可得：∠B=β，

∵α=β，

∴∠A=∠B，

在△AOC和△BOD中，

∵∠A=∠B，∠ACO=∠BDO=90°，

∴△AOC∽△BOD，

∴COOD=ACBD，

∵AC=3，BD=6，CD=12，OD=CD−OC，

∴CO12−OC=36，

解得OC=4，

经检验，OC=4是所列分式方程的解，

则DO=CD−OC=12−4=8，

故答案为：8．

如图(见解析)，先根据平行线的判定与性质可得∠A=α，∠B=β，从而可得∠A=∠B，再根据相似三角形的判定证出14.【答案】60

(6【解析】解：(1)∵OD⊥DC，BC⊥AB，

∴∠ODC=∠ABC=90°，

∵∠DCB=120°，

∴∠DOB=360°−∠ODC−∠DCB−∠ABC=60°，

故答案为：60．

(2)如图，延长OD，BC交于点E，

在Rt△OBE中，∠E=90°−∠EOB=90°−60°=30°，

当DC=4米时，点O为AB的中点，

∴OB=12AB=12×24=12(米)，

∴OE=2OB=24，

∴BE=OE2−OB2=242−122=123(米)，

在Rt△DCE中，∠EDC=90°，CE=2DC=2×4=8(米)，

∴BC=BE−CE=(123−8)米，

当DC=1米时，在Rt△DCE中，∠EDC=90°，

∴CE=2DC=2×1=2(米)，

∵AB=24米，OB=14AB，

∴OB=14×24=6(米)，

∴OE=2OB=2×6=12(米)，

∴BE=OE2−OB2=12215.【答案】20米

【解析】解：由题意得∠CAE=15°，AB=30米，

∵∠CBE是△ABC的一个外角，

∴∠ACB=∠CBE−∠CAE=15°，

∴∠ACB=∠CAE=15°，

∴AB=BC=30，

在Rt△CBE中，∠CBE=30°，BC=30(米)，

∴CE=12BC=15(米)，

∴BE=3CE=153(米)，

在Rt△DEB中，∠DBE=53°，

∴DE=BE⋅tan53°≈153×43=203(米)，

∴DC=DE−CE=203−15=20×1.73−15≈20(米)，

∴这棵大树CD的高度约为20米．

故答案为：2016.【答案】32

【解析】解：由题意得：AB=16×2=32(海里)，

∵∠NBC=76°，∠NAC=38°，

∴∠ACB=∠NBC−∠NAC=38°，

∴∠ACB=∠NAC，

∴AB=BC=32(海里)，

∴从海岛B到灯塔C的距离为32海里．

故答案为：32．

根据三角形的外角的性质，得∠ACB=∠NBC−∠NAC=38°，那么∠ACB=∠NAC，故AB=BC．

此题考查了方向角和等腰三角形的性质与判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．17.【答案】解：(1)如图，过点A作AE⊥CB，垂足为E，

在Rt△ABE中，AB=5，∠ABE=37°，

∵sin∠ABE=AEAB，cos∠ABE=BEAB，

∴AE5=0.60，BE5=0.80，

∴AE=3，BE=4，

∴CE=6，

在Rt△ACE中，由勾股定理AC=32+62=35≈6.7．

故A，C两点之间距离为6.7m．

(2)过点A作AF⊥CD，垂足为F【解析】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理等知识；正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．

(1)过点A作AE⊥CB，垂足为E，在Rt△ABE中，由AB=5，∠ABE=37°，可求AE和BE，即可得出AC的长；

(2)过点A作AF⊥CD，垂足为F，在Rt△ACF中，由勾股定理可求出AF，即OD的长．18.【答案】解：如图，过点A作AE⊥CD，垂足为E，

由题意得：AB=DE=20m，

在Rt△ADE中，∠EAD=30°，

∴AE=DEtan30∘=2033=203(m)，

在Rt△AEC中，∠CAE=45°，【解析】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

过点A作AE⊥CD，垂足为E，根据题意可得AB=DE=20m，先在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，然后在Rt△AEC中，利用锐角三角函数的定义求出CE的长，最后根据CD=CE+DE即可得解．19.【答案】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，

则∠CAD=∠ACD=45°，

∴AD=CD，

设AD=xkm，则AC=2xkm，

∴BD=AB−AD=(2−x)km，

由题意知∠CBD=60°，

在Rt△BCD中，

∵tan∠CBD=CDBD，

∴x2−x=3，解得x=3−3．

经检验，x=3−【解析】本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．

如图，过点C作CD⊥AB于点D，从而把斜三角形转化为两个直角三角形，然后在两个直角三角形中利用直角三角形的边角关系列出方程求解即可．20.【答案】解：(1)如图1，过点E作EM⊥CD于点M，

由题意知∠BCM=64°，EC=BC+BE=60+15=75cm，

∴EM=EC·sin∠BCM=75×sin64°≈67.5m，

则单车坐垫E到地面的高度为67.5+32≈99.5cm；

(2)如图2所示，过点E′作E′H⊥CD于点H，

由题意知E′H=80×0.8=64cm，

则E′C=E【解析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数进行解答．

(1)作EM⊥CD于点M，由EM=EC·sin∠BCM=75×sin64°可得答案；

(2)作E′H⊥CD于点H，先根据E′C=21.【答案】解：(1)∵OA为70m，

∴A(0,70)，

设二次函数表达式为y=ax2+bx+c，

把(0,70)，(4,75)，(8,78)代入得c=7016a+4b+c=7564a+8b+c=78，解得a=−116b=32c=70，

所以二次函数的表达式为y=−116x2+32x+70；

(2)如图，作MN/​/y轴分别交抛物线和BC于M、N两点，

∵坡高OC为60m，着陆坡BC的坡度(即tanα)为3：4，

∴OB=80m，即B(80,0)，

设线段BC的关系式为y=kx+n，则n=6080k+n=0，解得：k=−34n=60,

所以线段BC的关系式为y=−34x+60，

设M(a,−116a2【解析】【分析】

本题考查二次函数的实际应用，根据抛物线上的点求出二次函数的关系式是解题关键．

(1)设二次函数表达式为y=ax2+bx+c，把(0,70)(4,75)(8,78)代入可得关系式；

(2)作MN/​/y轴分别交抛物线和BC于M、N两点，先求出BC的关系式，再分别表示出M、N的纵坐标，计算纵坐标的差可得答案；

(3)计算抛物线和线段BC的交点P的坐标，再利用勾股定理可得答案．

【解答】

(1)(2)见答案；

(3)如图，

由题意得−116x2+32x+70=−34x+60，

解得x1=40，x2=−4(舍去)，即P(40,30)，

∴PD=4022.【答案】解：延长AD交BN于点E，过点D作DF⊥BN于点F，

在Rt△CDF中，∠CFD=90°，∠DCF=30°，

则DF=12CD=90cm，CF=CD⋅cos∠DCF=180×32=903cm，

由题意得：DFEF=6090，即90EF=6090，解得：EF=135，

又【解析】本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题、平行投影的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．

延长AD交BN于点E，过点D作DF⊥BN于点F，根据直角三角形的性质求出DF，根据余弦的定义求出CF，根据题意求出EF，再根据题意列出比例式，计算即可．23.【答案】解：如图所示：

过P作PH⊥AB于H，过C作CG⊥PH于G，而CB⊥AB，

则四边形CGHB是矩形，

∴GH=BC，BH=CG，