2024年全国中学生数学联赛B卷试题含答案（二试）

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联合竞赛加试试题(B卷)一.(本题满分40分)给定正整数a.求函数f(x)=min{|x|,|axl}的最大值.(|x|表示实数x到与它最近整数的距离；min{s,t}表示实数s,t中较小的数.)二.(本题满分40分)如图，在凸四边形ABCD中，AC平分∠BAD,且w₁与过点C,D,E的圆w₂交于C及另一点T.证明：点T在直线AC上.(答题时请将图画在答卷纸上)三.(本题满分50分)给定素数p,p=2(mod3).求同时满足下面两个条件的三元有序数组(a,b,c)的数目：(2)三个数a(b+1),b(c+1),c(a+1)除以p所得的余数相同.四.(本题满分50分)给定正整数n.在一个2×n的方格表上，由一些方格构成的集合S称为“连通的”,如果对S中任意两个不同的小方格A,B,存在整数I≥2及S中1个方格A=C,C₂,…,C,=B,满足C₁与C有公共边(i=1,2,…,1-1).求具有下述性质的最大整数K:若将该方格表的每个小方格任意染为黑色或白色，总存在一个连通的集合S,使得S中的黑格个数与白格个数之差的绝对值不小于K.2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联合竞赛N.由于AC平分∠BAD,且AC²=AB·AD,则△ABC∽△ACD,于是∠PEB=∠CDP=∠ACB,则三.(本题满分50分)给定素数p,p=2(mod3).求同时满足下面两个条件的三元有序数组(a,b,c)(2)三个数a(b+1),b(c+1),c(a+1)除以p所得的余数相同。【答案】2p-2【解析】当a,b,c其中之一为0时，不妨设a=0.此时0=b(c+1)=c(modp)=b=c=0(modp),考虑a,b,c都不为0的情况.a(b+1)=b(c+1)=c(a+1)(modp)=pla(b+1)-b(c+1)=b(a-c)+(a-b)①同理p|c(b-a)+(b-c)②,pla由①得b-a=b(a-c)(modp),代入②,有c-b=c(b-a)=bc(a-c)(modp),上式代入③,得a-c=a(c-b)=abc(a-c)(modp),于是pl(abc-D)(a-c).情况一：若p|a-c,由a,ce{0,1,2,…,p-1}知a=c,则b-a=b(a-c)=0a=b=c,此时(a,b,c)=情况二：若p|abc-1,则(a,b,c)可被表示为(x¹,y,xy⁴)(x,ye{0,1,2,….p-1}).x¹y+x¹=y+x=xy¹+y'(modp)=y²+ymx²+xmxy(x+y(modp),则pl(x²+x)-y²+y)=(x-y)(x+y+1).(i)p|x-y,则x²+x=xy(x+y)=x²2x(modp)=x(x-1)(2x+1)=0(modp),而ptx,故p|x-1或p|2x+1.当p|2x+1时，,此时c=xy¹=1),故a=p-2,则(a,b,c)=(p-2,,1)为(ii)p|x+y+1,则a¹+b=-1(modp)=1+ab=-a(modp),此时对于每一此时有p-2组解.综上，共有p-2+p=2p-2组解其中x¹表示x的数论倒数.即x-x¹=l(modp).四.(本题满分50分)给定正整数n.在一个2×n的方格表上，由一些方格构成的集合S称为“连通的”,如果对S中任意两个不同的小方格A,B,存在整数/≥2及S中/个方格A=C₁,C₂,,C=B,满足C,与C有公共边(I=1,2,…,1-1).设有a个黑格，b个白格，不妨设a≥b,取黑格较多由对称性，记黑格较多(相等则任取即可)的一行为第1行，另一行为第2行.记S集合为：第1行所(1)任选两个格子AB如果都在第1行，则取该两个格子以及其中间的所有格子，从左至右依次记为(2)任选两个格子，如果存在格子在第2行，由于第1行所有格子均是S中的元素，则选择第2行格子相邻的第1行格子，这样就转化为(1)的情况.由(1)(2)可以说明S是连通的。如图1,对所有格进行黑白相间染色.从图1中自左至右依次截取2×2图形，我们考察黑色格子与白色格子数量之差.若差值为2,则黑色格子为2,白色格子为0,此时选择