湘教版数学八年级上册第2章三角形 练习2

第2章三角形

2.1三角形

第1课时三角形的有关概念及三边关系

基础题

知识点1三角形的有关概念

1.如图，图中/A的对边可以是(C)

A.AEB.ABD.BD

2.如图，图中以BD为边的三角形共有(B)

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.如图，内角中含有NB的三角形的个数共有(C)

A.1个B.2个D.4个

4.图中有儿个三角形？用符号表示这些三角形.

解：图中有8个三角形，分别为aAOD,AA0B,△ABC,ABCD,AADC.

知识点2等腰三角形与等边三角形

5.如果a+2与3为等边三角形的两边长，那么a的值为1.

6.等腰aABC的周长为20cm,底边AC=4cm,求腰长.

解：由题意知：

AB=BC,AC+AB+BC=20cm,AC=4cm,

所以AB=BC=3X(20-4)=8(cm).

知识点3三角形的三边关系

7.(岳阳中考)下列长度的三根小木棒能构成三角形的是(D)

A.2cm,3cm,5cmB.7cm,4cm,2cm

C.3cm,4cm,8cmD.3cm,3cm,4cm

8.(长沙中考)若一个三角形的两边长分别为3和7,则第三边长可能是(A)

A.6B.3C.2D.11

9.(湘西中考)一个等腰三角形一边长为4cm,另一边长为5cm,那么这个等腰三角形的周长是(C)

A.13cmB.14cm

C.13cm或14cmD.以上都不对

10.一个三角形的两边长分别是2和3,若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为8.

11.判断下列各组线段是否能组成三角形.

(1)a=2cm,b=5cm,c=8cm；

解：因为2+5V8,所以不能组成三角形.

⑵a=3cm,b=3cm,c—6cm；

解：因为3+3=6,所以不能组成三角形.

⑶a=3cm,b=4cm,c—4cm.

解：因为3+4>4,4+4>3,所以可以组成三角形.

中档题

12.已知三角形三边长分别为2,x,13,若x为正整数，则这样的三角形个数为(B)

A.2B.3C.5D.13

13.(南通中考)有3cm,6cm,8cm,9cm的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角

形的个数为(C)

A.1B.2C.3D.4

14.一个三角形的两边长分别为2厘米和9厘米，第三边的长是一个奇数，则此三角形一定是等腰三角形.(填“一

定”“可能”或“不可能”)

15.已知AABC三边a、b、c满足(a-b)“+|b-c|=0,则AABC的形状是等边三角形.

16.(1)如图1，Di是aABC的边AB上的一点，则图中共有之个三角形；

⑵如图2,D,,山是AABC的边AB上的两点，则图中共有皂个三角形;

⑶如图3,D1(Dz,…，M是aABC的边AB上的10个点，则图中共有盥个三角形.

c

图3

17.用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形，其中有一边为4cm,试求另两边的长.

解：①当4cm为底边时：

设腰长为xcm,贝！|2x+4=18.解得x=7.

此时另两边分别为7cm,7cm；

②当4cm为腰长时：

设底边长为ycm,则y+4X2=18.解得y=10.

因为4+4V10,所以不能组成三角形，舍去.

所以另两边的长为7cm,7cm.

18.已知a,b,c是三角形的三边长.

⑴化简：Ia—b—c|+|b-c-a|+|c—a-b|；

(2)在(1)的条件下，若a=5,b=4,c=3,求这个式子的值.

解：(1)因为a,b,c是三角形的三边长，

所以a—b—cVO,b—c—a<0,c—a—b<0.

所以原式=一a+b+c-b+a+c-c+a+b

=a+b+c.

(2)当a=5,b=4,c=3时，原式=5+4+3=12.

综合题

19.已知AABC的三边长分别是a,b,c.

(1)当(b+c)(b-c)+2a(b-c)=0时，试判断AABC的形状；

⑵判断式子a2-b2+c2-2ac的符号.

解:(1)由(b+c)(b—c)+2a(b—c)=0,得

(b—c)(b+c+2a)=0.

因为a,b,c为AABC的三条边长，

所以b+c+2a>0.

所以b—c=O,即b=c.

所以此三角形是等腰三角形.

(2)因为a,b,c为AABC三边的长，

所以a—c+b>0,a—c—b<0.

所以a2—b2+c2—2ac=(a—c)2—b2=(a—c+b)(a—c—b)<0.

第2课时三角形的高、角平分线和中线

基础题

知识点1三角形的高

L(长沙中考)如图，过的顶点A作BC边上的高，以下作法正确的是(A)

C

2.如图，AABC中，CD_LBC于C,D点在AB的延长线上,则CD是△ABC(D)

A.BC边上的高

C.AC边上的高D.以上都不对

3.如图，以AD为高的三角形有(C)

A.4个B.5个D.7个

4.画出下面三角形三边上的高.

解：如图所示.

知识点2三角形的角平分线

5.三角形的角平分线是(B)

A.射线B.线段

C.直线D.以上都有可能

6.如图所示，Z1=Z2,Z3=Z4,则下列结论正确的有(C)

①AD平分NBAF；②AF平分/BAC；③AE平分NDAF；④AF平分NDAC；⑤AE平分/BAC.

A4个B.3个C.2个D.1个

7.如图，在AABC中，BD是NABC的角平分线，已知NABC=80°,则NDBC=40°.

8.如图，在aABC中，BE平分/ABC,DE〃BC,ZABE=35°,则NDEB=①二，ZADE=70°.

知识点3三角形的中线和重心

9.三角形的重心是三角形的(D)

A.三条角平分线的交点

B.一条边的中线与另一边的高的交点

C.三条高线的交点

D.三条中线的交点

10.如图，已知BD是AABC的中线，AB=5,BC=3,Z\ABD和△BCD的周长的差是(A)

A.2B.3C.6D.不能确定

11.如图，D是BC的中点，E是AC的中点,若SAADB=1,求△ABC的面积.

解：因为E是AC的中点,

所以AE=EC.

所以SACOE—SiADE—1.

所以SAADC=2.

又因为D为BC的中点，

所以SAABC2SAADC4.

中档题

12.如图，AABC的角平分线AD,中线BE交于点0,则下列结论：①A0是aABE的角平分线；②B0是AABD的中线,

其中(C)

A.①②都正确B.①②都不正确

C.①正确，②不正确D.①不正确，②正确

13.下列说法中，错误的是(C)

A.三角形三条角平分线都在三角形的内部

B.三角形三条中线都在三角形的内部

C.三角形三条高都在三角形的内部

D.三角形三条高至少有一条在三角形的内部

14.已知AD是AABC的一条高，ZBAD=70°,ZCAD=20°,则NBAC的度数为(D)

A.50°B.60°C.90°D.50°或90°

15.如图，在AABC中，AC=6,BC=8,AD_LBC于D,AD=5,BE_LAC于E,求BE的长.

解：因为SAAK=|AC-BE,SAABC=|BC-AD,

所以AC•BE=BC•AD.

4020

所以BE=»=

16.如图，AD为aABC的中线，BE为AABD的角平分线.

(1)ZABE=16°,求NABD的度数;

⑵在aBED中作BD边上的高；

(3)若aABC的面积为60,BD=5,则点A到BC边的距离为多少？

解：(1)因为BE为4ABD的角平分线，ZABE=16°,

所以NAB1)=2/ABE=32°.

⑵如图所示，EF即是ABED中BD边上的高.

(3)因为AD为△ABC的中线，BD=5,

所以BC=10.

设点A到BC的距离为h,则SAABC=33C•h.

rriMi2SAABC2X60

所以h=F-=12.

10

答：点A到BC边的距离为12.

综合题

17.如图所示，在△ABC中，已知点D,E,F分别为边BC,AD,CE的中点，且%血=4cnA求阴影部分的面积S用

影.

解：因为D是边BC的中点,

所以SAABD=SA

因为E是AD的中点，

所以SABDE=]SZSABD=1cm",

SACDE=^SAACO=1cm~.

所以S/kBEC=SABDE+SACDE=2CH1".

又因为F是CE的中点，

2

所以S阴影=]SABEC=1cm.

第3课时三角形内角和定理

基础题

知识点1三角形的内角和等于180。

L(贵港中考)在aABC中，若NA=95°,ZB=40°,则NC的度数为(C)

A.35°B.40°C.45°D.50°

2.在AABC中，ZA=105°,ZB-ZC=15°,则NC的度数为(D)

A.35°B.60°C.45°D.30°

3.(东营中考)如图，己知AB〃CD,AD和BC相交于点0,ZA=50°,ZAOB=15°,则NC等于(B)

-B

CL)

A.20°B.25°C.35°D.45°

4.如图，在AABC中，ZA=70°,ZB=50°,CD平分/ACB.求NACD的度数.

解：因为NA=70°,/B=50°,

所以NACB=180°-70°-50°=60°.

因为CD平分NACB,

所以NACD=gNACB=gx60°=30°.

知识点2三角形按角分类

5.(泉州中考)在AABC中，5A=20°,NB=60°,则△ABC的形状是(D)

A.等边三角形B.锐角三角形

C.直角三角形D.钝角三角形

6.(滨州中考)一个三角形三个内角的度数之比为2：3:7,这个三角形一定是(D)

A.等腰三角形B.直角三角形

C.锐角三角形D.钝角三角形

7.观察如图所示的四个三角形，

其中锐角三角形是③，直角三角形是①④,钝角三角形是②.

知识点3三角形的外角

8.(衡阳中考)如图，Nl=100°,NC=70°,则NA的大小是(C)

A.10°B.20°D.80°

9.(临沂中考)如图，已知L〃:b,/A=40°,Nl=60°,则N2的度数为(D)

A.40°B.60°C.80°D.100°

10.如图，已知D是AABC边BC延长线上一点，DF交AC于点E,ZA=35°,ZACD=83°.

(1)求/B的度数；

⑵若ND=42°,求NAFE的度数.

解：(1)因为/ACD是AABC的一个外角，

所以NB=NACD-NA=83°—35°=48°.

(2)因为NAFE是△BDF的一个外角，NB=48°,/D=42°,

所以NAFE=NB+ZD=48°+42°=90°.

中档题

11.已知在aABC中，NC=/A+/B,则AABC的形状是(C)

A.等边三角形B.锐角三角形

C.直角三角形D.钝角三角形

12.关于三角形的内角，下列判断不正确的是(C)

A.至少有两个锐角

B.最多有一个直角

C.必有一个角大于60°

D.至少有一个角不小于60°

13.(湘西中考)一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如图所示的图形，其中NC=90°,/B=45°,

ZE=30°,则NBFD的度数是(A)

BDC

A.15°B.25°C.30°D.10°

14.（抚州中考）如图，a〃b,Nl+N2=75°,则N3+N4=1O5°.

15.如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是NBAC的平分线，若NB=40°,NC=62°.求NDAE的度数.

解：因为NB=40°,ZC=62°,

所以NBAC=180°-ZB-ZC=180°-40°-62°=78°.

因为AE平分NBAC,

所以NBAE=g/BAC=39°.

所以NAED=NB+NBAE=40°+39°=79°.

因为AD_LBC,

所以NDAE=90°-ZAED=90°-79°=11°,

BPZDAE为11°.

16.如图，AABC中，N1=NA,/2=NC,ZABC=ZC,求/ADB的度数.

2

B

解：设Nl=x,贝U/A=x.

因为Nl=/A,

所以/A=x,/2=/l+/A=2x.

因为N2=/C,ZABC=ZC,

所以NABC=/C=2x.

所以x+2x+2x=180°.

解得x=36。.

所以N2=2x=72°.

所以NADB=180°-72°=108°.

17.如图1,在RtZ\ABC中，ZACB=90°,D是AB上一点，且NACD=NB.

(1)求证：CD1AB；

⑵如图2,若NBAC的平分线分别交BC,CD于点E,F,求证：ZAEC=ZCFE.

证明：(1)因为/ACB=NACD+/BCD=90°，ZB-ZACD,

所以NB+NBCD=90°.

又因为/CDB+/B+NBCD=180°,

所以NCDB=90°.

所以CD1AB.

(2)在4ACE中，ZAEC+ZCAE=90°,

在aAFD中，/FAD+NAFD=90°,

因为AE平分/BAC,

所以/CAE=NFAD.

所以NAEC=NAFD.

又因为NCFE=/AFD,

所以NAEC=/CFE.

综合题

18.如图，在折纸活动中，小明制作了一张AABC的纸片，点D,E分别在边AB,AC上，将AABC沿着DE折叠压平,

A与A'重合，若NEAD=75°,求/1+/2的度数.

解：连接AA',由图可知:

Z1=ZEAAZ+ZEA,A,

Z2=ZDAAZ+NDA'A,

所以N1+N2=NEAA'+/EA'A+ZDAA*+/DA'A=ZEAD+ZEA,D.

因为NEAD=75°,ZEA/D=75°,

所以/l+/2=150°.

小专题（五）与三角形有关的角度计算

----教材P49T7的运用及拓展

教材母题：（教材P49T7）如图，在AABC中，ZA=40°,NABC与NACB的平分线相交于点P,求NBPC的度数.

【思路点拨】在4ABC和aBCP中，分别利用三角形内角和得到三个内角和的两个关系式，再根据角平分线的定

义把NABC、NACB分别转化为2NCBP、2NBCP,再联立两式求解即可.

【解答】在AABC中，ZABC+ZACB+ZA=180°.

因为BP平分/ABC,CP平分NACB,

所以NABC=2/CBP,ZACB-2ZBCP.

所以2NCBP+2NBCP+NA=180°.

所以NCBP+NBCP+gNA=90°.①

在aBCP中，NCBP+/BCP+/P=180°.②

②-①，得NP-)A=90。.

所以/P=g/A+90°.

因为NA=40°,

所以NP=TX40°+90°=110°.

【方法归纳】三角形的两个内角平分线交于一点，所形成的夹角的度数等于90°加上第三个角度数的一半.如图,

在aABC中，NABC与NACB的角平分线相交于点0,则NB0C=90°+1zA.

A

A

BC

1.(绵阳中考)如图,在Z^ABC中,NB、NC的平分线BE、CD相交于点F,ZABC=42°,NA=60°,贝!]NBFC=(C)

A

.

BC

A.118°B.119°C.120°D.121°

2.如图,在△ABC中,ZBDC=U.0°,点D是NABC和NACB平分线的交点，则NA=40°.

A

拓展类型1一个内角平分线与一个外角平分线的夹角

【例11如图，在AABC中，NA=a,E为BC延长线上一点，ZABC与NACE的平分线相交于点D,求/D的度数.

【解答】在△ABC中，ZACE=ZABC+ZA.

因为BD平分/ABC,CD平分/ACE,

所以NABC=2NDBC,ZACE=2ZDCE.

所以2/DCE=2NDBC+/A.

所以NDCE=NDBC+；NA.①

在ABCD中，NDCE=NDBC+ND.②

②一①，得ND=g/A.

因为NA=a,

所以ND=2a.

【方法归纳】三角形的一个内角平分线与一个内角的外角平分线交于一点，所形成的夹角度数等于第三个角度数

的一半.如图，在AABC中，BD、CD分别平分/ABC、ZACE,则NBDC=g/A.

》变式训练K

3.如图，NACD是aABC的外角，NABC的平分线与/ACD的平分线交于点A”NABD的平分线与NA£D的平分线交

于点Az,若NA=60°,则NA?的度数为15°.

拓展类型2两个外角平分线的夹角

【例2】如图，在aABC中，/B=a,三角形的外角NDAC和/ACF的平分线交于点E,求/AEC的度数.

/）

A

E

【解答】在△ABC中，ZACF=ZABC+ZBAC,

因为AE平分/DAC,CE平分/ACF,

所以NDAC=2NEAC,ZACF=2ZACE.

因为NDAC=/ACB+/B,

ZACF=ZBAC+ZB,

所以2NEAC=/ACB+/B,①

2NACE=/BAC+/B.②

①+②，得2NEAC+2ZACE=ZACB+ZB+ZBAC+ZB.

因为NACB+/B+NBAC=180°,

所以2/EAC+2NACE=180°+ZB.

所以NEAC+ZACE=90°+1zB.

因为NEAC+ZACE+ZE=180°,

所以180°-ZE=90°+1zB.

所以NE=90°-1zB.

因为NB=a,

所以NE=90°-1a.

【方法归纳】三角形的两个外角平分线交于一点，所形成的夹角度数等于90°减去第三个角度数的一半.如图,

在AABC中，BD、CD分别是aABC外角NEBC、/FCB的平分线，则/BDC=90°-1zA.

变式训练

4.（常德中考）如图，在AABC中，NB=40°,三角形的外角/DAC和/ACF的平分线交于点E,则/AEC=70°.

拓展类型3角平分线与高线的夹角

【例3】在AABC中，ZB>ZC,NBAC的平分线交BC于点D,AELBC于点E,设/B=x,/C=y.试用x、y表

示/EAD,并说明理由.

A

【解答】因为/B=x,ZC=y,

所以NBAC=180°-x-y.

因为NBAC的平分线交BC于点D,

所以2NBAD=N2DAC=180°-X-y.

所以/BAD=g(80°-x-y).

在RtZiABE中，ZBAE=180°-90°-x=90°-x,

x-V

所以NEAD=/BAD-/BAE=1(180°-x-y)-(90°-x)=丁\

【方法归纳】三角形同一顶点的高线与角平分线的夹角度数等于另外两个角度数之差的一半.如图，在△ABC中,

AD_LBC于D,AE平分NBAC,则NEAD=g（NB—NC）（其中NB>NC）.

变式训练

5.如图，ZXABC中，AE平分NBAC,ZB=40°,ZC=70°,F为射线AE上一点（不与E点重合），且FDLBC.

(1)若点F与点A重合，如图1,求NEFD的度数；

(2)若点F在线段AE上(不与点A重合)，如图2,求/EFD的度数；

⑶若点F在aABC外部，如图3,此时/EFD的度数会变化吗？是多少？

解：(1)因为NB=40°,NC=70°,FD1BC,

所以NBAC=70°,ZCAD=20°.

因为AE平分NBAC,

所以NCAE=g/BAC=35°.

所以NEFD=NCAE-NCAD=35°-20°=15°.

⑵因为NEAC=35°,NC=70°,

所以NAEC=180°-70°-35°=75°.

所以NEFD=180°-90°-75。=15。.

(3)因为NDEF=NAEC=75°,

所以NEFD=180°-75°-90。=15。.

2.2命题与证明

第1课时定义与命题

基础题

知识点1定义

L下列描述不属于定义的是(B)

A.两边相等的三角形叫作等腰三角形

B.等边三角形是特殊的等腰三角形

C.不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形叫作三角形

D.含有未知数的等式叫作方程

2.说出单项式的定义.

解：由数或字母的积组成的式子叫作单项式.

知识点2命题

3.下列语句中，属于命题的是(C)

A.直线AB和CD垂直吗

B.过线段AB的中点C画AB的垂线

C.同旁内角不互补，两直线不平行

D.连接A,B两点

4.如果两条直线相交，那么它们只有一个交点.这个命题的条件是两条直线相交,结论是它们只有一个交点.

5.将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并分别指出命题的条件和结论：

(1)锐角小于90。；

(2)末位数是5的整数能被5整除.

解：(1)如果一个角是锐角，那么这个角小于90°.

条件是“一个角是锐角”，结论是“这个角小于90°”.

(2)如果一个整数的末位数是5,那么它能被5整除.

条件是“一个整数的末位数是5”，结论是“它能被5整除”.

知识点3互逆命题

6.已知命题：如果a=b,那么|a|=|b；则该命题的逆命题是(B)

A.如果a=b,那么|a|=|b|

B.如果果|=|b|,那么a=b

C.如果aWb,那么|a|W|b|

D.如果果|六|b|,那么a#b

7.“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是两直线平行，同旁内角互补.

中档题

8.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是(D)

A.垂直

B.两条直线互相平行

C.同一条直线

D.两条直线垂直于同一条直线

9.请用“如果……,那么……”的形式写一个命题：答案不唯一，如：如果两个角是直角，那么这两个角相等.

10.判断下列语句是否是命题.如果是，请写出它的条件和结论.

(1)同旁内角互补；

(2)画一个60°的角.

解：(D是命题.条件是：两个角是同旁内角.结论是：这两个角互补.

(2)不是判断一件事情的语句，所以不是命题.

11.把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并写出它的逆命题.

(1)不相等的角不是对顶角；

(2)两直线平行，同位角相等；

(3)等边三角形是等腰三角形.

解：(1)如果两个角不相等，那么它们不是对顶角.

逆命题：不是对顶角的两个角不相等.

(2)如果两直线平行，那么同位角相等.

逆命题：同位角相等，两直线平行.

(3)如果一个三角形是等边三角形，那么它也是等腰三角形.

逆命题：等腰三角形也是等边三角形.

第2课时真命题、假命题与定理

基础题

知识点1真命题与假命题

L下列命题中，是真命题的是(D)

A.内错角相等

B.一个角的余角不等于其自身

C.同旁内角互补

D.过已知直线外一点能作且只能作一条直线与已知直线平行

2.下列命题中，是真命题的是(D)

A.若a•b>0,则a>0,b>0

B.若a•b<0,则a<0,b<0

C.若a•b=0,则a=0且b=0

D.若a•b=0,则a=0或b=0

3.下列命题中，假命题是(D)

A.两点之间，线段最短

B.角的平分线是一条射线

C.直角三角形的中线的交点在三角形内部

I).所有三角形的高都在三角形的内部

4.“互补的两个角一定都是锐角”这个命题是假命题.(填“真”或“假”)

5.判断下列命题是真命题还是假命题，并说明理由.

(1)相等的角是对顶角；

(2)两个负数的差一定是负数；

(3)若Nl+Z2=90°,Z3+Z2=90°,则N1=N3.

解：(1)假命题.理由如下：

相等的角不一定是对顶角，如两直线平行，内错角相等.

(2)假命题.理由如下：

两个负数的差也可以为0或正数.

⑶真命题.理由如下：

因为同角的余角相等.

知识点2举反例

6.对于命题“如果Nl+N2=90°,那么N1=N2"，能说明它是一个假命题的反例是(B)

A./1=45°,/2=45°B./1=70°,/2=20°

C.Zl=30°,Z2=40°D.Zl=50°,Z2=50°

7.请给出命题：“如果两个数的积是正数，那么这两个数一定都是正数”的一个反例：如一2X(—1)=2,但一2与

一1都是负数.

8.写出下列命题是假命题的反例.

(1)大于锐角的角是钝角；

(2)如果一个实数有算术平方根，那么它的算术平方根是整数；

(3)如果AC=BC,那么点C是线段AB的中点.

解：(1)反例：90°的角大于锐角，但不是钝角.

(2)反例：5有算术平方根，但算术平方根不是整数.

(3)反例：如果AC=BC,而点A、B、C三点不在同一直线上，那么点C就不是AB的中点.

知识点3基本事实与定理

9.”两点确定一条直线”是(B)

A.定义B.基本事实

C.定理D.假命题

10.下列说法正确的是(A)

A.每个命题都有逆命题

B.每个定理都有逆定理

C.真命题的逆命题是真命题

D.真命题的逆命题是假命题

11.下列叙述错误的是(D)

A.基本事实都是真命题

B.命题不一定是真命题

C.定理一定是真命题

D.推论不一定是真命题

12.定理“对顶角相等”的逆命题不是定理(填“是”或“不是”).

中档题

13.下列命题中，是基本事实的是(D)

A.在同一平面内，没有公共点的两条直线叫作平行线

B.垂线段最短

C.平行于同一直线的两条直线平行

D.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

14.有下列四个命题：①如果a是有理数，那么a是整数；②两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；③和为

180°的两个角互为补角；④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.其中是假命题的个数有(B)

A.1个B.2个

C.3个D.4个

15.(厦门中考)已知命题A：”任何偶数都是8的整数倍”.在下列选项中，可以作为“命题A是假命题”的反例的是

(D)

A.2kB.15C.241).42

16.定理“内错角相等，两直线平行”的逆定理是两直线平行，内错角相等.

17.判断下列命题是真命题，还是假命题；如果是假命题，举一个反例.

(1)^a2>b2,则a>b；

(2)同位角相等，两直线平行；

(3)一个角的余角小于这个角.

解：(1)是假命题.

例如a=—3,b=0,9>0,即a?〉!？,

但是一3c0,即a<b.

(2)是真命题.

(3)是假命题.

例如/a=20°,则/a的余角为70°,显然70°>20°,即Na的余角大于/a.

18.写出下列命题的逆命题，并判断它们的真假.

⑴若a』!?'则a=b；

(2)若Na+/B=180°,则/a与N0至少有一个是钝角.

解：(1)逆命题是：若2=12,则a'=b3.是真命题.

(2)逆命题是：若/a与NB至少有一个是钝角，那么/a+/B=180。.是假命题.

19.(1)如图，若N1=N2,则AB〃CD,试判断命题的真假；

(2)若上述命题为真命题，请说明理由，若上述命题为假命题，请你再添加一条件，使该命题成为真命题，并说明

理由.

解：(1)是假命题.

(2)可添加条件:BE〃FD.

因为BE〃FD,

所以/EBI)=/FDN.

又因为N1=N2,

所以NEBD—Nl=NFDN-/2,

即ZABD=ZCDN.

所以AB〃CD.

综合题

20.如图，在四边形ABCD中，给出下列条件：①AB〃CD；②AD〃BC；®ZA=ZC；④NB=ND.以其中两个作条件,

一个作为结论，组成一个命题.请写出三个真命题，再选择其中的一个说明理由.

解：命题1：条件①②，结论③.命题2：条件①③，结论②.命题3：条件②③，结论①.

选择命题1：条件①②，结论③.理由：因为AB〃CD,所以NB+/C=180°.因为AD〃BC,所以NA+/B=180°.

所以NA=NC.

第3课时命题的证明

基础题

知识点1证明

1.如图，下列条件能证明AD〃BC的是（D）

A.NA=NCB.NB=ND

C.ZB=ZCD.ZA+ZB=180°

2.如图所示，已知：AB1BC,DC±BC,Z1=Z2,求证：BE〃CF.

现有下列步骤：①・・・N2=N1；②...NABC=NBCD=90°；③.,.BE〃CF；®VAB±BC,DC±BC；⑤'NEBC=NFCB.

那么能体现证明顺序的是（C）

A.①②③④⑤B.③④⑤②①

C.④②①⑤③D.⑤②③①④

3.填写下列证明过程中的推理根据:

已知：如图所示，AC,BD相交于0,DF平分/CD0与AC相交于F,BE平分NAB0与AC相交于E,ZA=ZC.

求证：Z1=Z2.

证明：：/A=/C（已知）,

AB〃CD（内错角相等，两直线平行）.

/./AB（）=ZCD0（两直线平行，内错角相等）.

又,••Nl=3NCD0,N2=g/AB0（角平分线定义）,

；.N1=N2（等式的性质）.

4.求证：两条平行线被第三条直线所截得的内错角的角平分线互相平行.

已知：如图，AB〃CD,EF交AB于E,交CD于F,EM平分NBEF,FN平分/EFC.

求证：EM〃FN.

证明：：AB〃CD（已知），

.♦.NBEF=NEFC（两直线平行，内错角相等）.

；EM平分NBEF,FN平分NEFC（已知），

ZMEF=|ZBEF,ZNFE=|zEFC（角平分线定义）.

NMEF=ZNFE（等式的性质）.

...EM〃FN（内错角相等，两直线平行）.

知识点2反证法

5.用反证法证明命题”一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中（A）

A.有两个角是直角

B.有两个角是钝角

C.有两个角是锐角

D.一"t'角是钝角，一个角是直角

6.用反证法证明：两条直线被第三条直线所截.如果同旁内角不互补，那么这两条直线不平行.

已知：如图，直线L,12被L所截，N1+N2W180。.

求证：L与b不平行.

证明：假设L〃设

则/1+N2=180°（两直线平行，同旁内角互补），

这与/1+/2W180。矛盾,故假设不成立.

所以L与L不平行.

中档题

7.如图，直线a,b被直线c所截，下列说法正确的是（D）

A.当/1=N2时，一定有a〃b

B.当a〃b时，一定有N1=N2

C.当a〃b时，一定有Nl+N2=90°

D.当Nl+N2=180°时，一定有a〃b

8.如图，要得到AB〃CD,只需要添加一个条件，这个条件可以是答案不唯一，如N2=N4.（填一个你认为正确的条

件即可）

二70

9.用反证法证明命题：”三角形的内角中至少有一个不大于60。“时，应假设为三个内角都不大于60°.

10.（六盘水中考）（1）三角形内角和等于180°；

（2）请证明以上命题.

解：已知：如图所示的AABC.

求证：ZA+ZB+ZACB=180°.

A

z\/

BC

证明：过点C作CF〃AB,

VCF//AB,

AZACF=ZA,ZB+ZBCF=180°.

VZACB+ZACF=ZBCF,

.-.ZB+ZACB+ZACF=180°.

AZB+ZACB+ZA=180o,

即三角形内角和等于180°.

11.如图，点D,E,F和点A,B,C分别在同一直线上，设AF,CE交于点H,若N1=N2,NC=ND.求证：ZA=

NF.

DEb'

N

ABC

证明：；/1=/2（己知），N1=/AHC（对顶角相等），

；.N2=/AHC（等量代换）.

...DB〃EC（同位角相等，两直线平行）.

；./C=/ABD（两直线平行，同位角相等）.

又；NC=ND（已知），

.•.NAB1）=/D（等量代换）.

.•.DF〃AC（内错角相等，两直线平行）.

；./A=/F（两直线平行，内错角相等）.

12.用反证法证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.

解：已知：如图，直线AB、CD被直线EF所截，Nl+N2=180°.

-7

HA2

S/5

求证：AB/7CD.

证明：假设直线AB不平行CD,则AB与CD相交.

设AB、CD相交于点P,得到△GPIL则/l+N2+NP=180°.

显然与Nl+N2=180°相矛盾.

•••假设不成立.

；.AB〃CD.

综合题

13.已知：如图，AB〃CD,DE与BF相交于点E,试探究/3与Nl,N2之间有何等量关系？并加以证明.

解：N3与/1,N2之间的等量关系是N3=Nl+/2—180°.

证明：连接BD.

VZ3是ABDE的外角，

.,.Z3=ZDBE+ZBDE,

又：AB〃CD,

.,.ZABD+ZBDC=180°.

N3=(N1-ZABD)+(Z2-ZBDC)=/1+/2—(ZABD+ZBDC)=/I+/2-180°.

周周练(2.1〜2.2)

(时间：45分钟满分：100分)

一、选择题(每小题3分，共24分)

1.下图中三角形共有(C)

4

A.4个B.7个C.8个D.9个

2.可以把一个三角形分成面积相等的两部分的线段是(C)

A.三角形的高B.三角形的角平分线

C.三角形的中线D.无法确定

3.(河池中考)下列长度的三条线段不能组成三角形的是(A)

A.5,5,10B.4,5,6

C.4,4,4D.3,4,5

4.如图，D是AABC中AC边上的一点，E是BD上一点，则对Nl,Z2,NA之间的关系描述正确的是(A)

A

BC!

A.ZA<Z1<Z2B.Z2<Z1<ZA

C.Z1>Z2>ZAD.无法确定

5.aABC中，ZA=1zB=1zC,则此三角形是（B）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.都有可能

6.下列命题是假命题的是（D）

A.两点之间，线段最短

B.三角形的任意两边之和大于第三边

C.对顶角相等

D.若a+b>0则a>0,b>0

7.下列选项中，可以用来证明命题“若a?〉1，则a>l”是假命题的反例是（A）

A.a——2B.a=-1

C.a=lD.a=2

8.（内江中考）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的一条直角边在同

一条直线上，则N1的度数为（A）

二、填空题（每小题4分，共32分）

9.把命题”等角的余角相等”写成“如果……，那么……"的形式：如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相

笠.

10.用反证法证明“a>b”时，应先假设aWb.

11.一个三角形的两边长分别是3和8,周长是偶数，那么第三边边长是返国.

12.如图，平面上直线a,b分别经过线段OK两端点（数据如图），则a,b相交所成的锐角是30°.

13.（龙岩中考）如图，AB〃CD,BC与AI）相交于点M,N是射线CD上的一点.若NB=65°,NMDN=135°,则NAMB

=70°.

14.三角形中一个内角a是另一个内角B的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中a称为“特征角”，如

果一个“特征三角形”的“特征角”为110°,那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为15°.

15.（济南中考）如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD=2BD,BE=CE,设aADF的面积为Si,4CEF的面积

为若S"BC=6,则SI-SZ=L

16.（大庆中考）如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图形②，再连接图②中间小三角形三边

中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为4n—3.

①②③

三、解答题（共44分）

17.（10分）如图，在aABC中，BE平分NABC,AD