2024-2025学年人教版九年级上册数学期末测试综合练习题

第1页（共22页）九年级上册数学期末测试综合练习题考试范围：九年级上册数学；考试时间：100分钟；总分：120分学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．下列说法中，正确的是（）A．“打开电视，正在播放电视剧”是必然事件 B．“若a，b互为相反数，则a+b＝0”这一事件是随机事件 C．“抛掷一枚普通的正方体骰子，掷得的数是7”，这一事件是不可能事件 D．“泉州明天降雨的概率是60%”，意思是泉州明天有60%的时间在降雨2．如图，教室里的水平地面有一个倒地的灰斗，BC与地面的夹角为55°，∠C＝26°，小明同学将它扶起（将灰斗绕点C逆时针旋转）后平放在地面上，AB的对应线段为A′B′，在这一过程当中，灰斗柄AB绕点C旋转了（）A．99° B．89° C．74° D．64°3．关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≤94 B．k≥94 C．k＜94 4．某单位决定从A，B，C，D四名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者参加某项活动，抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同的不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张卡片，记下名字．按照抽签规则，A，B两名志愿者同时被抽中的概率为（）A．19 B．16 C．13 5．若关于x的函数y＝x2+bx+3与x轴有两个不同的交点，则b的值不可能是（）A．4 B．﹣3 C．5 D．﹣66．若关于x的一元二次方程x2﹣（a2﹣3a﹣10）x+a＝0的两根互为相反数，则两根之积是（）A．﹣2 B．5 C．﹣2或5 D．2或﹣57．如图，矩形ABCD的外接圆O与水平地面相切于点A，已知圆O的半径为4，且BC=2AB．若在没有滑动的情况下，将圆O向右滚动，使得O点向右移动了50π，则此时与地面相切的弧为（）A．AB B．BC C．CD D．DA8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为4，连接OB，OC，OA，若∠CAO＝40°，∠ACB＝70°，则阴影部分的面积是（）A．43π B．83π C．163π D9．已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2+4ax+3（a是常数，a≠0）上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线x＝﹣2；②点（0，3）在抛物线上；③若x1＞x2＞﹣2，则y1＞y2；④若y1＝y2，则x1+x2＝﹣2，其中，正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，点C是圆上不与A，B重合的点，CD平分∠ACB，交⊙O于D，AE平分∠CAB，交CD于E．有以下说法：①点D是定点；②AC•BC的最大值为50；③D为△ABE的外心；④CA+CB的最大值为102其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．已知函数y＝（m2﹣3m）xm2-2m-1的图象是抛物线，则m＝12．某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个，设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为．13．如图，⊙O与正六边形ABCDEF的边CD，EF分别相切于点C，F．若AB＝2，则⊙O的半径长为．14．如图，在矩形ABCD中，点P在BC边上，连接PA，将PA绕点P顺时针旋转90°得到PA′，连接CA′，若AD＝9，AB＝5，CA′＝22，则BP＝．（13题图）（14题图）（15题图）15．如图，已知点M（a，b），b＜0为抛物线y＝x2﹣2x﹣3上的动点，点N是以点M为圆心，1为半径的圆上的动点，点A（1，0），则线段AN的最小值为．三．解答题（共8小题，满分75分）16．（8分）解方程：（1）x2﹣2x＝4；（2）（x+3）2＝2x+6．17．（9分）已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2＝0．（1）求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（2）设x2+mx+m﹣2＝0的两个实数根为x1，x2，若y=x12+x22+4x18．（9分）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在小正方形的格点上．（1）将△ABC向下平移3个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；（2）将△ABC绕点C顺时针旋转90度得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；（3）在（2）的运动过程中请计算出△ABC扫过的面积．19．（9分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB＝60°，AD经过圆心O交⊙O于点E，连接BD，∠ADB＝30°．（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝43，求图中阴影部分的面积．20．（9分）3月14日是国际数学日．某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：A．数字猜谜；B．数独；C．魔方；D．24点游戏；E．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示．根据上述信息，解决下列问题．（1）本次调查总人数为，并补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；（2）若该校有3000名学生，请估计该校参加魔方游戏的学生人数；（3）该校从C类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．21．（10分）某食品经销商购进一种食品若干千克，成本价为每千克30元，物价部门规定其销售单价不得低于成本价，且不得高于成本价的2倍．经市场调研发现，日销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若该经销商要想每天获得600元的销售利润，销售单价应定为多少元？（3）在销售过程中，当销售单价为多少元时，该经销商每天获得的利润最大？最大利润是多少元？22．（10分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为平面内的一点．（1）如图1，当点D在边BC上时，BD＝4，且∠BAD＝30°，求AD的长；（2）如图2，当点D在△ABC的外部，且满足∠BDC＝∠ADC+45°，求证：BD=2（3）如图3，AB＝6，当D，E分别为AB，AC的中点时，把△DAE绕点A顺时针旋转，设旋转角为α（0＜α＜180°），直线BD与CE的交点为P，连接PA，直接写出旋转中△PAB面积的最大值．23．（11分）如图，抛物线y=-3x2+bx+c交x轴于点A（﹣1，0）和B，交y轴于点C（0，33），顶点为（1）求抛物线的表达式；（2）若点E在第一象限内对称轴右侧的抛物线上，四边形ODEB的面积为73，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，若点F是对称轴上一点，点H是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点G，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是菱形，且∠EFG＝60°，如果存在，请直接写出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．

参考答案一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．解：A、“打开电视，正在播放电视剧”是随机事件，本选项说法错误，不符合题意；B、“若a，b互为相反数，则a+b＝0”这一事件是必然事件，本选项说法错误，不符合题意；C、“抛掷一枚普通的正方体骰子，掷得的数是7”，这一事件是不可能事件，说法正确，符合题意；D、“泉州明天降雨的概率是60%”，意思是泉州明天降雨的可能性是60%，本选项说法错误，不符合题意；选：C．2．解：∵BC与地面的夹角为55°，∠C＝26°，∴∠BCB'＝180°﹣∠ACB﹣∠C＝180°﹣55°﹣26°＝99°，即旋转角为99°，∴灰斗柄AB绕点C转动的角度为99°．选：A．3．解：根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4k≥0，解得k≤9选：A．4．解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中则A，B两名志愿者被选中的结果有2种，∴A，B两名志愿者被选中的概率为212选：B．5．解：∵关于x的函数y＝x2+bx+3与x轴有两个不同的交点，∴b2﹣4×3＞0，∴b2＞12，∴四个选项中只有B选项中的数不满足b2＞12，选：B．6．解：设x1，x2是一元二次方程x2﹣（a2﹣3a﹣10）x+a＝0的两根，∴x1+x2＝a2﹣3a﹣10，x1•x2＝a，又∵关于x的一元二次方程x2﹣（a2﹣3a﹣10）x+a＝0的两根互为相反数，∴a2﹣3a﹣10＝0，解得a＝﹣2或a＝5．∵两根互为相反数，∴x1•x2＝a＜0，∴两根之积是﹣2，选：A．7．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，∴∠D所对的弧是半圆，∵BC=2AB∴AB所对的圆心角是13×180°＝设⊙O在地面上滚动过的弧所对的圆心角为n°，∵圆心O向前移动的距离等于⊙O在地面上滚动过的弧长，∴nπ×4180=50∴n＝2250，∵2250360=6（周）……90（度），且60°＜90°＜∴此时与地面相切的弧为BC，选：B．8．解：∵OA＝OC，∠CAO＝40°，∴∠CAO＝∠ACO＝40°，∴∠AOC＝180°﹣∠40°﹣40°＝100°，∵∠ACB＝70°，∴∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠BOC＝360°﹣100°﹣140°＝120°，∴阴影部分的面积是120⋅π×42选：C．9．解：∵抛物线y＝ax2+4ax+3的对称轴为直线x=-4a∴①正确；当x＝0时，y＝3，则点（0，3）在抛物线上，∴②正确；当a＞0时，x1＞x2＞﹣2，则y1＞y2；当a＜0时，x1＞x2＞﹣2，则y1＜y2；∴③错误；当y1＝y2，则x1+x2＝﹣4，∴④错误；正确的有2个，选：B．10．解：①∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∴AD=∵AB是⊙O的直径，∴D是半圆的中点，即点D是定点；①正确；②∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2＝102＝100，∵AC＞0，BC＞0，∴AC2+BC2≥2AC•BC，∴2AC•BC≤100，∴AC•BC≤50，∴AC•BC的最大值为50；②正确；③∵AD=∴AD＝BD，∵CD平分∠ACB，AE平分∠CAB，∴∠ACD＝∠BCD＝∠BAD，∠CAE＝∠BAE，∵∠AED＝∠ACD+∠CAE，∠DAE＝∠BAD+∠BAE，∴∠AED＝∠DAE，∴AD＝ED＝BD，∴D为△ABE的外心，③正确；④∵（AC+BC）2＝AC2+2AC•BC+BC2＝AB2+2AC•BC≤100+100，∴AC+BC≤102，即CA+CB的最大值为102，④正确；选：D．二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．解：由函数y＝（m2﹣3m）xmm2解得m＝﹣1．答案为：﹣1．12．解：根据题意，得1501（1+x）2＝1815，答案为：1501（1+x）2＝1815．13．解：连接CF，OC，OF，过D作DG⊥CF于G，过E作EH⊥CF于H，∴EH∥DG，∵EF，CD是⊙O的切线，∴∠OFE＝∠OCD＝90°，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠FED＝∠CDE＝120°，∴∠COF＝120°，∵OC＝OF，∴∠OCF＝∠OFC＝30°，∴∠EFH＝∠DCG＝60°，∵∠EHF＝∠DGC＝90°，CD＝EF，∴△CDG≌△FEH（AAS），∴FH＝CG，EH＝DG，∴四边形EHGD是矩形，∴HG＝DE＝2，∵EF＝CD＝2，∠DCG＝∠EFH＝∠OFE﹣∠OFH＝60°，∴FH＝CG=12EF＝∴CF＝4，过O作OM⊥CF于M，∴CM=12CF＝∴OC=4∴⊙O的半径长为43答案为：4314．解：过A′点作A′H⊥BC于H点，如图，∵四边形ABCD为矩形，∴BC＝AD＝9，∠B＝90°，∵将PA绕点P顺时针旋转90°得到PA′，∴PA＝PA′，∵∠PAB+∠APB＝90°，∠APB+∠A′PH＝90°，∴∠PAB＝∠A′PH，在△ABP和△PHA′中，∠B=∴△ABP≌△PHA′（AAS），∴PB＝A′H，PH＝AB＝5，设PB＝x，则A′H＝x，CH＝9﹣x﹣5＝4﹣x，在Rt△A′CH中，x2+（4﹣x）2＝（22）2，解得x1＝x2＝2，即BP的长为2．答案为：2．15解：连接AM、MN如图所示：∵点M（a，b），在抛物线y＝x2﹣2x﹣3上，∴b＝a2﹣2a﹣3，∴b+3＝a2﹣2a，∵在△AMN中AN+MN≥AM，又∵点A（1，0），∴AM2＝（a﹣1）2+b2，∴AM2＝a2﹣2a+1+b2＝b2+b+4＝（b+12）2∵b＜0，∴（b+12）2≥∴AM≥15∴当A，N，M三点一线，且AM=152时，∵点N是以点M为圆心，1为半径的圆上的动点，∴MN＝1，∴AN=152答案为：152-三．解答题（共8小题，满分75分）16．（8分）解方程：（1）x2﹣2x＝4；（2）（x+3）2＝2x+6．解：（1）x2﹣2x＝4，配方得：x2﹣2x+1＝4+1，∴（x﹣1）2＝5，∴x-∴x1（2）（x+3）2＝2x+6，∴（x+3）2﹣2（x+3）＝0，∴（x+3）（x+3﹣2）＝0，∴（x+3）（x+1）＝0，∴x+3＝0或x+1＝0，∴x1＝﹣3，x2＝﹣1．17．（9分）已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2＝0．（1）求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（2）设x2+mx+m﹣2＝0的两个实数根为x1，x2，若y=x12+x22+4x（1）证明：∵Δ＝m2﹣4（m﹣2）＝（m﹣2）2+4，又∵无论m取任何实数，（m﹣2）2≥0，∴（m﹣2）2+4＞0，∴Δ＞0，∴无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵x2+mx+m﹣2＝0的两个实数根为x1、x2，∴x1+x2＝﹣m，x1x2＝m﹣2，∴y==(＝（﹣m）2+2（m﹣2）＝m2+2m﹣4，∴y与m的函数关系式为：y＝m2+2m﹣4．18．（9分）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在小正方形的格点上．（1）将△ABC向下平移3个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；（2）将△ABC绕点C顺时针旋转90度得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；（3）在（2）的运动过程中请计算出△ABC扫过的面积．解：（1）△A1B1C1如图所示；（2）△A2B2C2如图所示；（3）S△ABC∵AC=1∴S扇形∴在（2）的运动过程中△ABC扫过的面积=S19．（9分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB＝60°，AD经过圆心O交⊙O于点E，连接BD，∠ADB＝30°．（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝43，求图中阴影部分的面积．解：（1）直线BD与⊙O相切，理由：连接BE，∵∠ACB＝60°，∴∠AEB＝∠C＝60°，连接OB，∵OB＝OE，∴△OBE是等边三角形，∴∠BOD＝60°，∵∠ADB＝30°，∴∠OBD＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴OB⊥BD，∵OB是⊙O的半径，∴直线BD与⊙O相切；（2）∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∵AB＝43，∴sin∠AEB＝sin60°=AB∴AE＝8，∴OB＝4，∴BD=3OB＝43∴图中阴影部分的面积＝S△OBD﹣S扇形BOE=12×4×20．（9分）3月14日是国际数学日．某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：A．数字猜谜；B．数独；C．魔方；D．24点游戏；E．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示．根据上述信息，解决下列问题．（1）本次调查总人数为200，并补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；（2）若该校有3000名学生，请估计该校参加魔方游戏的学生人数；（3）该校从C类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．解：（1）20÷10%＝200（人），∴本次调查总人数为200；200﹣（40+20+60+30）＝50（人），∴喜欢24点游戏的有50人；补全条形统计图如下：答案为：200；（2）3000×60200∴该校参加魔方游戏的学生人数约为900人；（3）根据题意画树状图如下：共有12种等可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生有8种，∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率是81221．（10分）某食品经销商购进一种食品若干千克，成本价为每千克30元，物价部门规定其销售单价不得低于成本价，且不得高于成本价的2倍．经市场调研发现，日销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若该经销商要想每天获得600元的销售利润，销售单价应定为多少元？（3）在销售过程中，当销售单价为多少元时，该经销商每天获得的利润最大？最大利润是多少元？解：（1）由题意，设y＝kx+b，又∵图象过（30，80），（50，40），∴30k+b=8050k+b=40∴k=-∴y＝﹣2x+140．（2）由题意，设利润为w，则w＝（x﹣30）（﹣2x+140）＝﹣2x2+200x﹣4200，∴当w＝600时，﹣2x2+200x﹣4200＝600．∴x1＝40，x2＝60．∴在30⩽x⩽60范围内，销售单价为40元或60元．（3）由（2）得w＝﹣2x2+200x﹣4200，∴当x=-2002×(-2)=50时，利润最大，最大利润为：w＝2×502+200×50﹣∴销售单价为50元时，利润最大，最大利润为800元．22．（10分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为平面内的一点．（1）如图1，当点D在边BC上时，BD＝4，且∠BAD＝30°，求AD的长；（2）如图2，当点D在△ABC的外部，且满足∠BDC＝∠ADC+45°，求证：BD=2（3）如图3，AB＝6，当D，E分别为AB，AC的中点时，把△DAE绕点A顺时针旋转，设旋转角为α（0＜α＜180°），直线BD与CE的交点为P，连接PA，直接写出旋转中△PAB面积的最大值．（1）解：如图1，过点D作DE⊥AB于点E．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠C＝45°．∵DE⊥AB，∴∠BED＝∠AED＝90°．∵BD＝4，∠B＝45°，∴DE=BDsin45°∵∠DAE＝30°，∴AD=2DE=42（2）证明：如图2，过点A作AE⊥AD，且AE＝AD，连接DE，BE．∵AE⊥AD，∴∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠BAE＝∠DAC．又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴∠ACD＝∠ABE，∵∠ACD+∠DCB+∠ABC＝90°，∠ABE+∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠BOC＝90°．又∵AE＝AD，AE⊥AD，∴∠ADE＝45°，∴DE2＝2AD2，即DE=2∵∠BDC＝∠ADC+45°，∴∠BDC＝∠ADC+45°＝∠EDC．又∵∠DOB＝∠DOE＝90°，DO＝DO，∴△DOB≌△DOE（ASA），∴BD=DE=2（3）解：如图3，设PC与AB交于点G．∵△DAE绕点A旋转，∴AD＝AE，AB＝AC．∵∠DAE＝∠BAC＝90°∴∠DAB＝∠EAC，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴∠DBA＝∠ECA．∵∠PGB＝∠AGC，∴∠GAC＝∠BPC＝90°，∴△BPC为直角三角形，∴点P在以BC中点M为圆心，BM为半径的圆上．连接PM交AB所在直线于点N，当PM⊥AB时，点P到直线AB的距离最大．∵∠BAC＝∠BPC＝90°，∴A，P，B，C四点共圆．∵PM⊥