微专题10 空间中的平行与垂直关系(几何法、向量法)

微专题10空间中的平行与垂直关系(几何法、向量法)高考定位1.以选择题、填空题的形式考查线线、线面、面面位置关系的判定与性质定理，对命题的真假进行判断，属基础题；2.空间中的平行、垂直关系的证明也是高考必考内容，多出现在立体几何解答题中的第(1)问.【真题体验】1.(2024·全国甲卷)设α，β为两个平面，m，n为两条直线，且α∩β＝m，下述四个命题：①若m∥n，则n∥α或n∥β②若m⊥n，则n⊥α或n⊥β③若n∥α且n∥β，则m∥n④若n与α，β所成的角相等，则m⊥n其中所有真命题的编号是()A.①③ B.②④C.①②③ D.①③④答案A解析α∩β＝m，则m⊂α，m⊂β，对于①，若m∥n，则n∥α或n∥β，①正确；对于②，若m⊥n，则可能n∥α或n与α相交，②错误；对于③，若n∥α且n∥β，则n∥m，③正确；对于④，n与m所成角可以为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))内的任意角，④错误.故选A.2.(2022·全国乙卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则()A.平面B1EF⊥平面BDD1B.平面B1EF⊥平面A1BDC.平面B1EF∥平面A1ACD.平面B1EF∥平面A1C1D答案A解析在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC⊥BD且DD1⊥平面ABCD，又EF⊂平面ABCD，所以EF⊥DD1.因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC，所以EF⊥BD.又BD∩DD1＝D，BD，DD1⊂平面BDD1，所以EF⊥平面BDD1.又EF⊂平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面BDD1，故A正确；如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，设AB＝2，则D(0，0，0)，B1(2，2，2)，E(2，1，0)，F(1，2，0)，B(2，2，0)，A1(2，0，2)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，则eq\o(EF,\s\up6(→))＝(－1，1，0)，eq\o(EB1,\s\up6(→))＝(0，1，2)，eq\o(DB,\s\up6(→))＝(2，2，0)，eq\o(DA1,\s\up6(→))＝(2，0，2)，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝(0，0，2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2，2，0)，eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝(－2，2，0).设平面B1EF的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m·\o(EF,\s\up6(→))＝－x1＋y1＝0，,m·\o(EB1,\s\up6(→))＝y1＋2z1＝0，))可取m＝(2，2，－1)，同理可得平面A1BD的一个法向量为n1＝(1，－1，－1)，平面A1AC的一个法向量为n2＝(1，1，0)，平面A1C1D的一个法向量为n3＝(1，1，－1)，则m·n1＝2－2＋1＝1≠0，所以平面B1EF与平面A1BD不垂直，故B错误；因为m与n2不平行，所以平面B1EF与平面A1AC不平行，故C错误；因为m与n3不平行，所以平面B1EF与平面A1C1D不平行，故D错误.3.(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点，则满足MN⊥OP的是()答案BC解析设正方体的棱长为2.对于A，如图(1)所示，连接AC，则MN∥AC，故∠POC(或其补角)为异面直线OP，MN所成的角.在直角三角形OPC中，OC＝eq\r(2)，CP＝1，故tan∠POC＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，故MN⊥OP不成立，故A错误；图(1)图(2)对于B，如图(2)所示，取MT的中点为Q，连接PQ，OQ，则OQ⊥MT，PQ⊥MN.由正方体SBCN－MADT可得SM⊥平面MADT，而OQ⊂平面MADT，故SM⊥OQ，又SM∩MT＝M，SM，MT⊂平面SNTM，故OQ⊥平面SNTM，又MN⊂平面SNTM，所以OQ⊥MN，又OQ∩PQ＝Q，OQ，PQ⊂平面OPQ，所以MN⊥平面OPQ，又OP⊂平面OPQ，故MN⊥OP，故B正确；对于C，如图(3)，连接BD，则BD∥MN，由B的判断可得OP⊥BD，故OP⊥MN，故C正确；图(3)图(4)对于D，如图(4)，取AD的中点Q，AB的中点K，连接AC，PQ，OQ，PK，OK，则AC∥MN.因为DP＝PC，故PQ∥AC，故PQ∥MN，所以∠QPO(或其补角)为异面直线PO，MN所成的角，因为正方体的棱长为2，故PQ＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2)，OQ＝eq\r(AO2＋AQ2)＝eq\r(1＋2)＝eq\r(3)，PO＝eq\r(PK2＋OK2)＝eq\r(4＋1)＝eq\r(5)，QO2<PQ2＋OP2，故∠QPO不是直角，故PO，MN不垂直，故D错误.故选BC.4.(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝1，点P满足eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))＋μeq\o(BB1,\s\up6(→))，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则()A.当λ＝1时，△AB1P的周长为定值B.当μ＝1时，三棱锥P－A1BC的体积为定值C.当λ＝eq\f(1,2)时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BPD.当μ＝eq\f(1,2)时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P答案BD解析eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))＋μeq\o(BB1,\s\up6(→))(0≤λ≤1，0≤μ≤1).图1对于选项A，当λ＝1时，点P在棱CC1上运动，如图1所示，此时△AB1P的周长为AB1＋AP＋PB1＝eq\r(2)＋eq\r(1＋μ2)＋eq\r(1＋（1－μ）2)＝eq\r(2)＋eq\r(1＋μ2)＋eq\r(2－2μ＋μ2)，不是定值，A错误；对于选项B，当μ＝1时，点P在棱B1C1上运动，如图2所示，图2则VP－A1BC＝VA1－PBC＝eq\f(1,3)S△PBC×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),6)S△PBC＝eq\f(\r(3),6)×eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(\r(3),12)，为定值，故B正确；图3对于选项C，取BC的中点D，B1C1的中点D1，连接DD1，A1B，则当λ＝eq\f(1,2)时，点P在线段DD1上运动，如图3所示.假设A1P⊥BP，则A1P2＋BP2＝A1B2，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)＋(1－μ)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋μ2＝2，解得μ＝0或μ＝1，所以点P与点D或D1重合时，A1P⊥BP，故C错误；法一由多选题特征，排除A，C，故选BD.法二对于选项D，易知四边形ABB1A1为正方形，所以A1B⊥AB1.设AB1与A1B交于点K，连接PK，要使A1B⊥平面AB1P，需A1B⊥KP，所以点P只能是棱CC1的中点，故选项D正确.综上，选BD.法三对于选项D，分别取BB1，CC1的中点E，F，连接EF，则当μ＝eq\f(1,2)时，点P在线段EF上运动，以点C为原点建立如图4所示的空间直角坐标系C－xyz，则B1(0，1，1)，B(0，1，0)，A1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，1))，图4Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1－λ，\f(1,2)))，所以eq\o(A1B,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)，－1))，eq\o(B1P,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－λ，－\f(1,2))).若A1B⊥平面AB1P，则A1B⊥B1P，所以－eq\f(λ,2)＋eq\f(1,2)＝0，解得λ＝1，所以只存在一个点P，使得A1B⊥平面AB1P，此时点P与F重合，故D正确.综上，选BD.【热点突破】热点一空间线面位置关系的判定例1(1)(多选)(2024·深圳二模)已知m，n是异面直线，m⊂α，n⊂β，那么()A.当m⊥β，或n⊥α时，α⊥βB.当m∥β，且n∥α时，α∥βC.当α⊥β时，m⊥β，或n⊥αD.当α，β不平行时，m与β不平行，且n与α不平行(2)(多选)(2024·黄山模拟)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，点E，F，G分别为棱BC，CC1，CD的中点，下列结论正确的有()A.AE与D1F共面 B.平面AB1D1∥平面GFEC.AE⊥EF D.BF∥平面AB1D1答案(1)AB(2)AB解析(1)当m⊥β，m⊂α时，α⊥β；当n⊥α，n⊂β时，α⊥β，故A正确；当m∥β，n∥α时，又m，n为异面直线，所以α∥β，故B正确；当α⊥β时，由m⊂α，得m∥β或m与β相交；当α⊥β时，由n⊂β，得n∥α或n与α相交，故C错误；当α，β不平行时，可能m∥β或m与β相交，n∥α或n与α相交，故D错误.(2)如图所示，对于A，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G分别为棱BC，CC1，CD的中点，连接BC1，所以EF∥BC1，而BC1∥AD1，所以EF∥AD1，所以AE与D1F共面，A正确；对于B，因为BB1∥DD1且BB1＝DD1，所以，四边形BB1D1D为平行四边形，则BD∥B1D1，又因为E，G分别为BC，CD的中点，则EG∥BD，所以EG∥B1D1，又由A选项分析知EF∥AD1，因为EF∩EG＝E，EF，EG⊂平面EFG，B1D1∩AD1＝D1，B1D1，AD1⊂平面AB1D1，所以平面EFG∥平面AB1D1，B正确；对于C，因为EF∥AD1且EF≠AD1，即四边形AD1FE为等腰梯形，故AE，EF不垂直，C错误；对于D，由B选项的分析，平面EFG∥平面AB1D1，而BF∩平面EFG＝F，所以BF与平面AB1D1不平行，D错误.规律方法判断空间线、面位置关系的常用方法(1)根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理逐项判断；(2)利用直线的方向向量、平面的法向量判断；(3)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线、面的位置关系，并结合有关定理进行判断.训练1(1)(2024·天津卷)若m，n为两条直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是()A.若m∥α，n∥α，则m⊥n B.若m∥α，n∥α，则m∥nC.若m∥α，n⊥α，则m⊥n D.若m∥α，n⊥α，则m与n相交(2)(2024·武汉质检)已知四棱锥P－ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，E为PC中点，则()A.BE∥平面PAD B.PD⊥平面ABCDC.平面PAB⊥平面PAD D.DE＝EB答案(1)C(2)C解析(1)对于A，B，若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交或异面，故A，B错误；对于C，D，若m∥α，n⊥α，则m⊥n，且m与n可能相交，也可能异面，故C正确，D错误.(2)易知BC∥平面PAD，因为BE∩BC＝B，且两条直线都在平面PBC内，所以BE不可能平行平面PAD，故A错误；举反例，如图，PH垂直平面ABCD时，由于PD∩PH＝P，所以PD不垂直于平面ABCD，故B错误；因为平面PAD⊥平面ABCD且平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD，因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD，故C正确；没有任何条件可以证明DE＝EB，故D错误；故选C.热点二几何法证明平行、垂直例2如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点.求证：(1)PE⊥BC；(2)平面PAB⊥平面PCD；(3)EF∥平面PCD.证明(1)因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD，所以PE⊥BC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD.又因为PA⊥PD，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以PD⊥平面PAB.又PD⊂平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.(3)如图，取PC的中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG∥BC，FG＝eq\f(1,2)BC.因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DE∥BC，DE＝eq\f(1,2)BC，所以DE∥FG，DE＝FG，所以四边形DEFG为平行四边形.所以EF∥DG.又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD.规律方法平行关系及垂直关系的转化训练2(2024·成都诊断)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，BA＝eq\r(2)，AA1＝2，D是棱AC的中点，E在棱BB1上，且AE⊥A1C.(1)证明：BD∥平面AEC1；(2)若四棱锥C1－AEB1A1的体积等于1，判断平面AEC1与平面ACC1A1是否垂直，并说明理由.(1)证明在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，则AA1⊥BC，又BC⊥AB，且AB∩AA1＝A，AB，AA1⊂平面ABE，于是BC⊥平面ABE，而AE⊂平面ABE，则BC⊥AE，又AE⊥A1C，A1C∩BC＝C，A1C，BC⊂平面A1BC，因此AE⊥平面A1BC，而A1B⊂平面A1BC，则AE⊥A1B，在矩形ABB1A1中，由AB＝eq\r(2)，AA1＝2，可得eq\f(AB,BE)＝tan∠AEB＝tan∠ABA1＝eq\f(AA1,AB)，得BE＝1＝eq\f(1,2)BB1，即E为棱BB1的中点，设A1B∩AE＝F，连接A1D交AC1于G，连接FG，显然eq\f(A1G,GD)＝eq\f(A1C1,AD)＝2＝eq\f(AA1,BE)＝eq\f(A1F,FB)，在△A1BD中，BD∥FG，而FG⊂平面AEC1，BD⊄平面AEC1，所以BD∥平面AEC1.(2)解平面AEC1与平面ACC1A1垂直，理由如下：设B1C1＝x，由(1)知，B1C1⊥平面ABB1A1，则四棱锥C1－AEB1A1的体积为eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(2＋1)×eq\r(2)x＝1，解得x＝eq\r(2)，即有AB＝BC＝eq\r(2)，因此EA＝EC1＝EA1＝EC，设A1C∩AC1＝O，连接EO，显然O是A1C，AC1的中点，于是EO⊥AC1，EO⊥A1C，且A1C，AC1⊂平面ACC1A1，则EO⊥平面ACC1A1，又EO⊂平面AEC1，所以平面AEC1⊥平面ACC1A1.热点三向量法证明平行、垂直例3如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2eq\r(5)，AA1＝eq\r(7)，BB1＝2eq\r(7)，点E和F分别为BC和A1C的中点.用向量法证明：(1)EF∥平面A1B1BA；(2)平面AEA1⊥平面BCB1.证明(1)由AB＝AC，E为BC的中点，则AE⊥BC，而AA1⊥平面ABC，AA1∥BB1，过E作平行于BB1的垂线为z轴，EC，EA所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为AB＝3，BE＝eq\r(5)，所以AE＝2，所以E(0，0，0)，C(eq\r(5)，0，0)，A(0，2，0)，B(－eq\r(5)，0，0)，B1(－eq\r(5)，0，2eq\r(7))，A1(0，2，eq\r(7))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，1，\f(\r(7),2))).所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，1，\f(\r(7),2)))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－eq\r(5)，－2，0)，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝(0，0，eq\r(7)).设平面A1B1BA的法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up6(→))＝－\r(5)x－2y＝0，,n·\o(AA1,\s\up6(→))＝\r(7)z＝0，))令x＝－2，则可得平面A1B1BA的一个法向量为n＝(－2，eq\r(5)，0)，而eq\o(EF,\s\up6(→))·n＝eq\f(\r(5),2)×(－2)＋1×eq\r(5)＋eq\f(\r(7),2)×0＝0，所以eq\o(EF,\s\up6(→))⊥n，又EF⊄平面A1B1BA，所以EF∥平面A1B1BA.(2)因为EC⊥平面AEA1，则eq\o(EC,\s\up6(→))＝(eq\r(5)，0，0)为平面AEA1的一个法向量.又EA⊥平面BCB1，则eq\o(EA,\s\up6(→))＝(0，2，0)为平面BCB1的一个法向量.因为eq\o(EC,\s\up6(→))·eq\o(EA,\s\up6(→))＝0，故eq\o(EC,\s\up6(→))⊥eq\o(EA,\s\up6(→))，故平面AEA1⊥平面BCB1.易错提醒用向量法证明空间中的位置关系时注意以下两点：(1)根据题设条件建立合适的空间直角坐标系；(2)正确写出相关点及向量的坐标.训练3如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点.用向量法证明：(1)平面A1BD∥平面B1CD1；(2)MN⊥平面A1BD.证明(1)如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A1(2，0，2)，B(2，2，0)，B1(2，2，2)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，D1(0，0，2)，故eq\o(DA1,\s\up6(→))＝(2，0，2)，eq\o(DB,\s\up6(→))＝(2，2，0)，eq\o(B1C,\s\up6(→))＝(－2，0，－2)，eq\o(B1D1,\s\up6(→))＝(－2，－2，0)，设平面A1BD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(DA1,\s\up6(→))·n1＝0，,\o(DB,\s\up6(→))·n1＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x1＋2z1＝0，,2x1＋2y1＝0，))令x1＝1，则可得平面A1BD的一个法向量为n1＝(1，－1，－1).设平面B1CD1的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(B1C,\s\up6(→))·n2＝0，,\o(B1D1,\s\up6(→))·n2＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x2－2z2＝0，,－2x2－2y2＝0，))令x2＝1，则可得平面B1CD1的一个法向量为n2＝(1，－1，－1)，所以n1＝n2，即n1∥n2，故平面A1BD∥平面B1CD1.(2)由M，N是线段AB，B1C中点，则M(2，1，0)，N(1，2，1)，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝(－1，1，1)，则eq\o(MN,\s\up6(→))∥n1，所以MN⊥平面A1BD.【精准强化练】一、单选题1.(2024·烟台模拟)设a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列说法正确的是()A.若a∥α，b∥α，则a∥bB.若a，b与α所成的角相等，则a∥bC.若α⊥β，a∥α，b∥β，则a⊥bD.若α⊥β，a⊥α，b⊥β，则a⊥b答案D解析对于A，平行于同一平面的两条直线可能平行，也可能异面，故A错误；对于B，a，b与α所成的角相等，则a，b可能异面，可能相交，也可能平行，故B错误；对于C，α⊥β，a∥α，b∥β，则a，b可能垂直，但也可能平行或者相交或者异面，故C错误；对于D，α⊥β，a⊥α，b⊥β，则a⊥b，D正确，故选D.2.下面四个命题中的真命题是()p1：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行；p2：两个平面垂直，如果有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与其中一个平面垂直；p3：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行；p4：一条直线与一个平面内的一条直线平行，则这条直线就与这个平面平行.A.p1与p2 B.p2与p3C.p3与p4 D.p1与p3答案D解析对于p1，利用面面平行的性质定理可知p1为真命题；对于p2，当这条直线不在这两个平面内时可知p2为假命题；对于p3，利用线面平行的性质定理可知p3为真命题；对于p4，这条直线可能在这个平面内，故p4为假命题.故选D.3.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A.直线AB上 B.直线BC上C.直线AC上 D.△ABC内部答案A解析由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，得AC⊥平面ABC1.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC，所以C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上.4.(2024·合肥调研)已知l，m是两条不同的直线，α为平面，m⊂α，下列说法中正确的是()A.若l与α不平行，则l与m一定是异面直线B.若l∥α，则l与m可能垂直C.若l∩α＝A，且A∉m，则l与m可能平行D.若l∩α＝A，且l与α不垂直，则l与m一定不垂直答案B解析对于A，若l与α不平行，则l与α的位置关系有：相交或直线在平面内，且m⊂α，则l与m的位置关系有：平行、相交或异面，故A错误；对于B，若l∥α，则l与m可能垂直，如图所示：l∥l′，l′⊂α，l′⊥m，可知l⊥m，故B正确；对于C，若l∩α＝A，且A∉m，m⊂α，则l与m异面，故C错误；对于D，若l∩α＝A，且l与α不垂直，则l与m可能垂直，如图，取α为平面ABCD，l＝AD1，m＝AB，符合题意，但l⊥m，故D错误.故选B.5.如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线MN∥平面ABC的是()答案D解析对于A，由正方体的性质可得MN∥AC，因为MN⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，所以直线MN∥平面ABC，故A正确；对于B，如图，作出完整的截面ADBCEF，由正方体的性质可得MN∥AD，因为MN⊄平面ABC，AD⊂平面ABC，所以直线MN∥平面ABC，故B正确；对于C，由正方体的性质可得平面ABC与正方体的右侧面平行，故MN∥平面ABC，故C正确；对于D，如图，作出完整的截面ABNMHC，可得MN在平面ABC内，不能得出平行，故D错误.6.(2024·南昌二模)在三棱锥A－BCD中，AB⊥平面BCD，AB＝eq\r(3)，BC＝BD＝CD＝2，E，F分别为AC，CD的中点，则下列结论正确的是()A.AF，BE是异面直线，AF⊥BEB.AF，BE是相交直线；AF⊥BEC.AF，BE是异面直线，AF与BE不垂直D.AF，BE是相交直线，AF与BE不垂直答案A解析显然根据异面直线判定方法：经过平面ACD外一点B与平面ACD内一点E的直线BE与平面ACD内不经过E点的直线AF是异面直线.下面证明BE与AF垂直：证明：因为AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，所以AB⊥CD，因为BC＝BD＝CD，F为CD的中点，连接BF，所以CD⊥BF，因为AB∩BF＝B，AB，BF⊂平面ABF，所以CD⊥平面ABF，因为AF⊂平面ABF，所以CD⊥AF，如图，取AF的中点Q，连接BQ，EQ，又因为EQ∥CD，所以EQ⊥AF，因为BC＝BD＝CD＝2，所以BF＝eq\f(\r(3),2)×2＝eq\r(3)＝AB，又因为Q为AF的中点，所以BQ⊥AF，因为BQ∩EQ＝Q，BQ，EQ⊂平面BEQ，所以AF⊥平面BEQ，又因为BE⊂平面BEQ，所以AF⊥BE.7.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面△A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()A.CC1与B1E是异面直线 B.AC⊥平面ABB1A1C.AE与B1C1为异面垂直 D.A1C1∥平面AB1E答案C解析对于A，∵CC1⊂平面BCC1B1，B1E⊂平面BCC1B1，∴CC1与B1E共面，A错误；对于B，若AC⊥平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1，则AC⊥AB，即△ABC为直角三角形，∴△A1B1C1为直角三角形，与已知△A1B1C1是正三角形相矛盾，B错误；对于C，∵AE∩平面BCC1B1＝E，E∉B1C1，∴AE，B1C1为异面直线，∵△ABC为正三角形，E为BC的中点，∴AE⊥BC，∵BC∥B1C1，∴AE⊥B1C1，C正确；对于D，直线AC交平面AB1E于点A，又AC∥A1C1，∴直线A1C1与平面AB1E相交，故D错误.8.(2024·北京卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA＝PB＝4，PC＝PD＝2eq\r(2)，则该棱锥的高为()A.1 B.2C.eq\r(2) D.eq\r(3)答案D解析由题意知△PAB为正三角形，因为PC2＋PD2＝CD2，所以PC⊥PD.如图，分别取AB，CD的中点E，F，连接PE，EF，PF，则PE＝2eq\r(3)，PF＝2，EF＝4，于是PE2＋PF2＝EF2，所以PE⊥PF.过点P作PG⊥EF，垂足为G.易知CD⊥PF，CD⊥EF，EF，PF⊂平面PEF，且EF∩PF＝F，所以CD⊥平面PEF.又PG⊂平面PEF，所以CD⊥PG.又PG⊥EF，CD，EF⊂平面ABCD，CD∩EF＝F，所以PG⊥平面ABCD，所以PG为四棱锥P－ABCD的高.由eq\f(1,2)PE·PF＝eq\f(1,2)EF·PG，得PG＝eq\f(PE·PF,EF)＝eq\f(2\r(3)×2,4)＝eq\r(3).故选D.二、多选题9.(2024·昆明诊断)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，BC，CD，B1C1的中点，则下列结论正确的是()A.AF∥平面A1DEB.AG∥平面A1DEC.A1，D，E，H四点共面D.A1，D，E，C1四点共面答案AC解析如图，取A1D的中点M，连接AM，EF，ME，易知EF∥BC1，EF＝eq\f(1,2)BC1，AM∥BC1，AM＝eq\f(1,2)BC1，所以EF∥AM且EF＝AM，则四边形AFEM为平行四边形，所以AF∥ME，因为AF⊄平面A1DE，ME⊂平面A1DE，所以AF∥平面A1DE，A正确；取D1C1的中点N，连接NG，A1N，延长DE与D1C1的延长线交于点P，连接A1P，因为A1A∥NG且A1A＝NG，所以四边形A1AGN是平行四边形，可得A1N∥AG，因为A1∈平面A1DP，N∉平面A1DP，所以直线A1N与平面A1DP相交，所以AG与平面A1DE相交，故B错误；连接EH，B1C，则EH∥B1C，因为A1D∥B1C，所以EH∥A1D，则A1，D，E，H四点共面，故C正确；若A1，D，E，C1四点共面，则A1D∥C1E，显然不成立，所以D错误.故选AC.10.(2024·福州调研)在三棱柱ABC－A1B1C1中，D为BB1的中点，eq\f(\r(2),2)AA1＝AB＝BC，AA1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，则下列结论错误的是()A.平面ABC1⊥平面ACC1A1 B.平面A1BC⊥平面C1ABC.A1D∥平面ABC1 D.A1D⊥AC1答案ABC解析由题意得AB，BC，B1B两两垂直.以点B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0，0，0).设AA1＝2eq\r(2)，则AB＝BC＝2，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，D(0，0，eq\r(2))，A1(2，0，2eq\r(2))，B1(0，0，2eq\r(2))，C1(0，2，2eq\r(2))，设平面A1BC的法向量为u＝(x1，y1，z1).eq\o(BC,\s\up6(→))＝(0，2，0)，eq\o(BA1,\s\up6(→))＝(2，0，2eq\r(2))，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(u·\o(BC,\s\up6(→))＝2y1＝0，,u·\o(BA1,\s\up6(→))＝2x1＋2\r(2)z1＝0，))取x1＝eq\r(2)，可得平面A1BC的一个法向量为u＝(eq\r(2)，0，－1)，设平面ACC1A1的法向量为m＝(x2，y2，z2).eq\o(AA1,\s\up6(→))＝(0，0，2eq\r(2))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2，2，0)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m·\o(AA1,\s\up6(→))＝2\r(2)z2＝0，,m·\o(AC,\s\up6(→))＝－2x2＋2y2＝0，))取x2＝1，可得平面ACC1A1的一个法向量为m＝(1，1，0)，设平面ABC1的法向量为n＝(x3，y3，z3).eq\o(BA,\s\up6(→))＝(2，0，0)，eq\o(BC1,\s\up6(→))＝(0，2，2eq\r(2))，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(BA,\s\up6(→))＝2x3＝0，,n·\o(BC1,\s\up6(→))＝2y3＋2\r(2)z3＝0，))取y3＝eq\r(2)，则平面ABC1的一个法向量为n＝(0，eq\r(2)，－1).对于A，因为m·n＝0＋eq\r(2)＋0＝eq\r(2)≠0，所以平面ABC1与平面ACC1A1不垂直，A错误.对于B，u·n＝1≠0，所以平面A1BC与平面ABC1不垂直，B错误.对于C，eq\o(A1D,\s\up6(→))＝(－2，0，－eq\r(2))，因为eq\o(A1D,\s\up6(→))·n＝eq\r(2)≠0，则A1D与平面ABC1不平行，C错误.对于D，eq\o(AC1,\s\up6(→))＝(－2，2，2eq\r(2))，因为eq\o(AC1,\s\up6(→))·eq\o(A1D,\s\up6(→))＝4－4＝0，所以AC1⊥A1D，D正确.11.(2024·赣州模拟)如图，点M为正方形ABCD的中心，N为等边△ABE的边BE的中点，平面ABE⊥平面ABCD，则()A.DN＝EM B.AB⊥EMC.MN∥平面ADE D.MN与平面ABCD所成的角为30°答案BC解析设AB＝2，对于A：取AB中点为H，连接EH，HM，则EH⊥AB；取BH中点为P，连接NP，PD，则NP∥EH，NP⊥AB，如图所示.由平面EAB⊥平面ABCD，平面EAB∩平面ABCD＝AB，EH⊂平面EAB，EH⊥AB，则EH⊥平面ABCD，又HM⊂平面ABCD，故EH⊥HM，则EM＝eq\r(EH2＋HM2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)×2))\s\up12(2)＋12)＝2；因为NP∥EH，故NP⊥平面ABCD，PD⊂平面ABCD，故NP⊥PD，则ND＝eq\r(NP2＋PD2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)EH))\s\up12(2)＋AP2＋AD2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(2)＋4)＝eq\r(7)；故EM≠ND，A错误；对于B，因为AB⊥BC，HM∥BC，故AB⊥HM，又AB⊥EH，EH∩HM＝H，EH，HM⊂平面EHM，故AB⊥平面EHM，又EM⊂平面EHM，故AB⊥EM，B正确；对于C，连接NM，ED，则M为BD中点，又N为BE中点，故MN∥ED，又ED⊂平面AED，NM⊄平面AED，故NM∥平面AED，C正确；对于D，连接MN，MP，作图如下：由A中所证可知：NP⊥平面ABCD，故∠NMP即为MN与平面ABCD所成的角；在Rt△NPM中，NP＝eq\f(1,2)EH＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)×2＝eq\f(\r(3),2)，PM＝eq\r(HP2＋HM2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋12)＝eq\f(\r(5),2)，NM＝eq\r(NP2＋PM2)＝eq\r(\f(3,4)＋\f(5,4))＝eq\r(2)；故sin∠NMP＝eq\f(NP,NM)＝eq\f(\r(6),4)，故MN与平面ABCD所成的角不为30°，D错误.故选BC.三、填空题12.已知平面α∥平面β∥平面γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和D，E，F，若AB＝6，eq\f(DE,DF)＝eq\f(2,5)，则AC＝________.答案15解析α∥β∥γ，根据面面平行的性质定理可知AD∥BE∥CF，∴eq\f(AB,BC)＝eq\f(DE,EF).由eq\f(DE,DF)＝eq\f(2,5)，得eq\f(AB,BC)＝eq\f(DE,EF)＝eq\f(2,3)，又AB＝6，∴BC＝9，∴AC＝AB＋BC＝15.13.如图为四棱锥A－DEFG的侧面展开图(点G1，G2重合为G)，其中AD＝AF，G1D＝G2F，E是线段DF的中点，请写出四棱锥A－DEFG中一对一定相互垂直的异面直线：________.(填上你认为正确的一个结论即可，不必考虑所有可能的情形)答案AE和DF(答案不唯一)解析如图所示，连接DF和GE，相交于点O，连接AO.因为DG＝FG，DE＝EF，GE＝GE，所以△GDE≌△GFE，所以∠DGO＝∠FGO，又DG＝GF，GO＝GO，所以△DGO≌△FGO，所以DO＝OF，∠GOD＝∠GOF＝eq\f(π,2)，所以DF⊥GE.因为AD＝AF，OD＝OF，所以AO⊥DF.又因为AO∩GE＝O，AO，GE⊂平面AGE，所以DF⊥平面AGE，又AE⊂平面AGE，所以DF⊥AE.14.如图，平面ABC⊥平面BCDE，四边形BCDE为矩形，BE＝2，BC＝4，△ABC的面积为2eq\r(3)，点P为线段DE上一点，当三棱锥P－ACE的体积为