微专题8 空间几何体的表面积和体积

【五年高考真题分布(2020－2024)】

微专题8空间几何体的表面积和体积高考定位空间几何体的表面积和体积是高考考查的重点内容，常以选择题、填空题为主，要求考生要有较强的空间想象能力和计算能力，难度为中低档.【真题体验】1.(2024·新高考Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为eq\r(3)，则圆锥的体积为()A.2eq\r(3)π B.3eq\r(3)πC.6eq\r(3)π D.9eq\r(3)π答案B解析设圆柱和圆锥的底面半径均为r，因为它们的高均为eq\r(3)，且侧面积相等，所以2πr×eq\r(3)＝πreq\r(（\r(3)）2＋r2)，得r2＝9，所以圆锥的体积V＝eq\f(1,3)πr2×eq\r(3)＝3eq\r(3)π，故选B.2.(2023·全国甲卷)在三棱锥P－ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，PC＝eq\r(6)，则该棱锥的体积为()A.1 B.eq\r(3)C.2 D.3答案A解析如图，取AB的中点D，连接PD，CD，因为△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，所以PD⊥AB，CD⊥AB，所以PD＝CD＝eq\r(3)，又PC＝eq\r(6)，所以PD2＋CD2＝PC2，所以PD⊥CD，又AB∩CD＝D，AB，CD⊂平面ABC，所以PD⊥平面ABC，所以VP－ABC＝eq\f(1,3)·S△ABC·PD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×eq\r(3)×eq\r(3)＝1，故选A.3.(2024·天津卷)一个五面体ABC－DEF.已知AD∥BE∥CF，且两两之间距离为1，AD＝1，BE＝2，CF＝3，则该五面体的体积为()A.eq\f(\r(3),6) B.eq\f(3\r(3),4)＋eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(3\r(3),4)－eq\f(1,2)答案C解析因为AD，BE，CF两两平行，且两两之间距离为1，则该五面体可以看作底面边长为1的正三棱柱的一部分，然后分成一个侧棱长为1的三棱柱和一个底面为梯形的四棱锥，如图，其中三棱柱的体积等于棱长均为1的直三棱柱的体积，四棱锥的高为eq\f(\r(3),2)，底面是上底为1、下底为2、高为1的梯形，故该五面体的体积V＝eq\f(1,2)×1×eq\f(\r(3),2)×1＋eq\f(1,3)×eq\f(3,2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2)，故选C.4.(2024·全国甲卷)已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1，下底面半径均为r2，圆台的母线长分别为2(r2－r1)，3(r2－r1)，则圆台甲与乙的体积之比为________.答案eq\f(\r(6),4)解析两圆台的上、下底面积对应相等，则两圆台的体积之比为高之比，根据母线与半径的关系可得甲与乙的体积之比为eq\f(\r(4（r2－r1）2－（r2－r1）2),\r(9（r2－r1）2－（r2－r1）2))＝eq\f(\r(3),\r(8))＝eq\f(\r(6),4).【热点突破】热点一空间几何体的侧面积、表面积例1(1)(2024·新乡二模)设圆台的上、下底面的半径之比为1∶2，侧面积为18π，且上底面半径为质数，则该圆台的母线长为()A.2 B.3C.5 D.6(2)(2024·河南部分学校模拟)如图1所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一.图2是小明为自家设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为4dm和2dm，正六棱台与正六棱柱的高分别为1dm和6dm，则该花灯的表面积为()A.(108＋30eq\r(3))dm2 B.(72＋30eq\r(3))dm2C.(64＋24eq\r(3))dm2 D.(48＋24eq\r(3))dm2答案(1)B(2)A解析(1)设圆台上底面的半径为r，下底面半径为R，母线为l，则R＝2r.如图，O1，O分别为圆台上、下底面的圆心，AB为一条母线，连接O1O，O1A，OB，过点A作AD⊥OB于点D，则四边形OO1AD为矩形，得OD＝O1A＝r，所以BD＝OB－OD＝R－r＝r，在Rt△ABD中，r<l，圆台的侧面积为S＝πl(r＋R)，所以l＝eq\f(S,π（r＋R）)＝eq\f(S,3πr)＝eq\f(18π,3πr)＝eq\f(6,r)，又r为质数，所以r＝2或3.当r＝2时，l＝3，则r<l，符合题意；当r＝3时，l＝2，则r>l，不符合题意.所以圆台的母线长为3.(2)因为正六棱台的上、下两个底面的边长分别为4dm和2dm，正六棱台的高为1dm.所以正六棱台的斜高为eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4×\f(\r(3),2)－2×\f(\r(3),2)))\s\up12(2))＝2dm，所以该花灯的表面积为eq\f(1,2)×(4＋2)×2×6＋6×2×6＋eq\f(\r(3),4)×42×6＋eq\f(\r(3),4)×22×6＝108＋30eq\r(3)(dm2).故选A.易错提醒1.旋转体的表面积问题应注意其侧面展开图的应用.2.多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积注意衔接部分的处理.训练1(1)“李白斗酒诗百篇，长安市上酒家眠”，本诗句中的“斗”的本义是指盛酒的器具，后又作为计量粮食的工具，某数学兴趣小组利用相关材料制作了一个如图所示的正四棱台来模拟“斗”，用它研究“斗”的相关几何性质，已知该四棱台的上、下底的边长分别是2、4，高为1，则该四棱台的表面积为()A.12eq\r(2) B.32C.20＋12eq\r(2) D.20＋12eq\r(3)(2)(2024·佛山二模)某圆锥高为eq\r(3)，母线与底面所成的角为eq\f(π,3)，则该圆锥的表面积为()A.3π B.4πC.5π D.6π答案(1)C(2)A解析(1)根据题意可知，该四棱台的侧面都是上底边长为2，下底边长为4的等腰梯形，所以侧面的斜高为h′＝eq\r(1＋1)＝eq\r(2)，则一个侧面的面积为(2＋4)×eq\r(2)×eq\f(1,2)＝3eq\r(2)，上下底底面面积分别为2×2＝4，4×4＝16，所以该四棱台的表面积为4＋16＋3eq\r(2)×4＝20＋12eq\r(2).(2)由圆锥高为eq\r(3)，母线与底面所成的角为eq\f(π,3)，得圆锥底面圆半径r＝eq\f(\r(3),tan\f(π,3))＝1，母线l＝eq\r(12＋（\r(3)）2)＝2，所以圆锥的表面积S＝πr2＋πrl＝3π.热点二空间几何体的体积考向1直接利用公式求体积例2(1)(2024·北京东城区模拟)《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法.某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的黏土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆的直径为20cm，高为20cm.首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为2cm的黏土，然后，沿圆桶母线方向将黏土层分割成四等份(如图)，等黏土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同学制作四片瓦，全年级共500人，需要准备的黏土量(不计损耗)与下列哪个数字最接近.(参考数据：π≈3.14)()A.0.8m3 B.1.4m3C.1.8m3 D.2.2m3(2)(2024·西安二模)在正四棱台A1B1C1D1－ABCD中，AB＝2A1B1，且三棱锥B1－ABC的体积为6，则该正四棱台的体积为()A.14 B.21C.24 D.36答案(1)B(2)B解析(1)由条件可得四片瓦的体积V＝π×122×20－π×102×20＝880π(cm3)，所以500名学生，每人制作4片瓦共需黏土的体积为500×880π＝440000π(cm3)，又π≈3.14，所以共需黏土的体积约为1.3816m3，故选B.(2)设正四棱台的高为h(h>0)，AB＝2A1B1＝2a，则VB1－ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(2a)2×h＝eq\f(2,3)a2h＝6，所以a2h＝9，所以该正四棱台的体积为eq\f(1,3)h(a2＋a×2a＋4a2)＝eq\f(7,3)a2h＝21.考向2割补法求体积例3如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________.答案eq\f(\r(2),3)解析过AD作与底面ABCD垂直的平面交EF于点G，过BC作与底面ABCD垂直的平面交EF于点H，则多面体ABCDEF被分为三棱锥E－ADG，三棱柱ADG－BCH，三棱锥F－HBC三部分.依题意，三棱锥E－ADG的高EG＝eq\f(1,2)，直三棱柱AGD－BHC的高AB＝1，则AG＝eq\r(AE2－EG2)＝eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(3),2).取AD的中点M，并连接MG，则MG＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(2),2)，∴S△AGD＝eq\f(1,2)×1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),4)，∴V多面体＝VE－ADG＋VF－BCH＋VADG－BCH＝2VE－ADG＋VADG－BCH＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×eq\f(1,2)×2＋eq\f(\r(2),4)×1＝eq\f(\r(2),3).考向3等体积法求体积例4(2024·成都诊断)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，∠PBA＝∠PBC，PD⊥AD，Q为正方形ABCD内一动点(不含边界)，且满足QA⊥QP，若PD＝2，则三棱锥Q－PBC的体积的最小值为()A.3 B.eq\f(8,3)C.eq\f(4,3) D.2答案B解析如图，因为∠PBA＝∠PBC，AB＝CB，PB＝PB，所以△PAB≌△PCB，所以PA＝PC，又AD＝CD，PD＝PD，所以△PAD≌△PCD，所以∠PDC＝∠PDA，因为PD⊥AD，所以PD⊥CD.又AD∩CD＝D，AD，CD⊂平面ABCD，所以PD⊥平面ABCD.连接QD，因为AQ⊂平面ABCD，所以PD⊥AQ，又QA⊥QP，QP∩PD＝P，QP，PD⊂平面PDQ，所以AQ⊥平面PDQ，又QD⊂平面PDQ，所以AQ⊥QD，故点Q在以AD为直径的半圆上(不包含A，D两点).又VQ－PBC＝VP－QBC＝eq\f(1,3)S△QBC·PD，所以当S△QBC最小，即点Q到BC的距离最小，即点Q是半圆弧eq\o(AD,\s\up8(︵))的中点时，三棱锥Q－PBC的体积最小，故三棱锥Q－PBC的体积的最小值为eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×4×2×2＝eq\f(8,3).故选B.规律方法1.规则的几何体可以直接利用相应的公式求解，这就需要熟记柱体、锥体的体积公式；2.不规则的几何体往往可以通过“间接法”——割补法求得，即把不规则的几何体通过“割补”手段，转化为规则几何体体积的和或差.训练2(1)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，P，Q是棱DD1的两个三等分点，则三棱锥Q－PBC的体积为()A.eq\f(8,3) B.eq\f(32,9)C.eq\f(16,9) D.eq\f(16,3)(2)紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等.其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位：cm)，现在向这个空石瓢壶中加入91πcm3的矿泉水后，问石瓢壶内水深为________cm.()A.2.8 B.2.9C.3 D.3.1答案(1)B(2)C解析(1)如图所示.VQ－PBC＝VB－PQC＝eq\f(1,3)S△PQC·BC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(4,3)×4×4＝eq\f(32,9).(2)由题知矿泉水的体积为91πcm3，将圆台的中轴面拿出，补全为一个三角形，如图所示.加入矿泉水后，记石瓢壶内水深为h，水平面半径为r，由图可知△ABC∽△AFG，所以有eq\f(AB,AF)＝eq\f(BC,FG)，即eq\f(AB,AB＋6)＝eq\f(2,3)，解得AB＝12.由△ABC∽△ADE，得eq\f(AB,AD)＝eq\f(BC,DE)，即eq\f(12,18－h)＝eq\f(4,r)，解得h＝18－3r，故加入矿泉水后圆台的体积为V＝eq\f(1,3)π(18－3r)(62＋6r＋r2)＝91π，解得r＝eq\r(3,125)＝5，所以h＝18－3r＝3.【精准强化练】一、单选题1.(2024·淄博模拟)某圆锥的侧面积为16π，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径长为()A.2 B.4C.2eq\r(2) D.4eq\r(2)答案C解析设圆锥的母线长为l，底面半径为r，即侧面展开图的半径为l，侧面展开图的弧长为πl.又圆锥的底面周长为2πr，所以2πr＝πl，即圆锥的母线长l＝2r，所以圆锥的侧面积为πrl＝2πr2＝16π，解得r＝2eq\r(2).2.(2024·广州调研)正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，侧棱长为eq\r(11)，则其体积为()A.28 B.eq\f(28,3)C.32 D.24答案A解析如图所示，在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，OO1是该四棱台的高(O1，O分别为上、下底面的中心)，连接OB，O1B1，过点B1作B1E⊥OB，垂足为E.显然OB＝eq\f(1,2)eq\r(42＋42)＝2eq\r(2)，O1B1＝eq\f(1,2)eq\r(22＋22)＝eq\r(2)，所以该正四棱台的高OO1＝B1E＝eq\r(11－（2\r(2)－\r(2)）2)＝3，则该正四棱台的体积V＝eq\f(1,3)×(22＋2×4＋42)×3＝28.故选A.3.(2024·合肥调研)已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，侧面展开图是半个圆环，则圆台的侧面积为()A.6π B.16πC.26π D.32π答案B解析圆台的上底面圆半径r′＝1，下底面圆半径r＝3，设圆台的母线长为l，扇环所在的小圆的半径为x，依题意有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2π×3＝π（l＋x），,2π×1＝πx，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,l＝4，))所以圆台的侧面积S＝π(r′＋r)l＝π(1＋3)×4＝16π.4.(2024·信阳二模)已知一个圆柱底面半径为2，高为3，上底面的同心圆半径为1，以这个圆面为上底面，圆柱下底面为下底面的圆台被挖去，剩余的几何体表面积等于()A.(9＋3eq\r(10))π B.(14＋3eq\r(10))πC.(5＋2eq\r(10))π D.(15＋3eq\r(10))π答案D解析剩余几何体表面积等于圆环的面积加上圆台的侧面积再加上圆柱的侧面积，由题意r＝1，R＝2，h＝3，所以圆环的面积为S1＝π(R2－r2)＝3π，圆台母线l＝eq\r(（R－r）2＋h2)＝eq\r(1＋9)＝eq\r(10)，所以圆台侧面积为S2＝πl(R＋r)＝3eq\r(10)π，圆柱侧面积为S3＝2πRh＝12π，所以剩余的几何体表面积等于S1＋S2＋S3＝(15＋3eq\r(10))π.5.(2024·苏州调研)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的动点且EF＝1，则三棱锥A－BEF的体积为()A.eq\f(\r(2),4) B.eq\f(\r(2),6)C.eq\f(\r(2),12) D.无法确定答案C解析如图所示，连接AC与BD交于点O，因为BB1⊥平面ABCD，AO⊂平面ABCD，所以AO⊥BB1，又AO⊥BD，BD∩BB1＝B，BD，BB1⊂平面BDD1B1，因此AO⊥平面BDD1B1.VA－BEF＝eq\f(1,3)·S△BEF·AO＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),12).6.(2024·宜宾二模)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点E，F分别为棱PA和PB中点，则四棱锥P－CDEF和四棱锥P－ABCD的体积之比为()A.eq\f(2,5) B.eq\f(3,7)C.eq\f(3,8) D.eq\f(4,9)答案C解析连接AC，CE，由题意可知VD－PCE＝eq\f(1,2)VD－PAC＝eq\f(1,4)VP－ABCD，VF－PCE＝eq\f(1,4)VB－PAC＝eq\f(1,8)VP－ABCD，则VP－CDEF＝VD－PCE＋VF－PCE＝eq\f(1,4)VP－ABCD＋eq\f(1,8)VP－ABCD＝eq\f(3,8)VP－ABCD，所以eq\f(VP－CDEF,VP－ABCD)＝eq\f(3,8).7.(2024·南昌模拟)木桶效应，也可称为短板效应，是说一只水桶能装多少水取决于它最短的那块木板.如果一只桶的木板中有一块不齐或者某块木材有破洞，这只桶就无法盛满水，此时我们可以倾斜水桶，设法让桶装水更多.如图，棱长为2的正方体容器，在顶点C1和棱AA1的中点M处各有一个小洞(小洞面积忽略不计)，为了保持平衡，以BD为轴转动正方体，则用此容器装水，最多能装水的体积V＝()A.4 B.eq\f(16,3)C.6 D.eq\f(20,3)答案C解析棱长为2的正方体的体积为23＝8，在BB1，DD1上分别取P，Q，使得B1P＝D1Q＝eq\f(1,2)，又M为棱AA1的中点，故由勾股定理得C1P＝MQ＝MP＝C1Q＝eq\r(4＋\f(1,4))＝eq\f(\r(17),2)，故四边形PMQC1为菱形，故P，M，Q，C1四点共面，取BB1，CC1，DD1的中点T，R，X，连接MT，TR，RX，XM，则平面PMQC1将长方体MTRX－A1B1C1D1的体积平分，故以BD为轴转动正方体，用此容器装水，则最多能装入的体积为长方体MTRX－ABCD的体积加上长方体MTRX－A1B1C1D1的体积的一半，故最多能装水的体积V＝eq\f(3,4)VABCD－A1B1C1D1＝eq\f(3,4)×8＝6.8.在三棱锥A－BCD中，AC⊥平面BCD，BD⊥CD.若AB＝3，BD＝1，则该三棱锥体积的最大值为()A.2 B.eq\f(4,3)C.1 D.eq\f(2,3)答案D解析因为AC⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，所以AC⊥BD，又BD⊥CD，AC∩CD＝C，AC，CD⊂平面ACD，所以BD⊥平面ACD，因为AD⊂平面ACD，所以BD⊥AD.在Rt△ABD中，AB＝3，BD＝1，则AD＝eq\r(AB2－BD2)＝2eq\r(2)，因为AC⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，所以AC⊥CD.在Rt△ACD中，不妨设AC＝a，CD＝b(a>0，b>0)，由AC2＋CD2＝AD2得a2＋b2＝8，所以S△ACD＝eq\f(1,2)AC·CD＝eq\f(1,2)ab＝eq\f(1,4)×2ab≤eq\f(1,4)(a2＋b2)＝2，当且仅当a＝b且a2＋b2＝8，即a＝b＝2时，等号成立，所以VA－BCD＝VB－ACD＝eq\f(1,3)S△ACD·BD≤eq\f(1,3)×2×1＝eq\f(2,3)，所以该三棱锥体积的最大值为eq\f(2,3).二、多选题9.(2024·邯郸模拟)“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同.有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到如图，正八面体E－ABCD－F的棱长为3，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体()A.共有18个顶点 B.共有36条棱C.表面积为6＋8eq\r(3) D.体积为8eq\r(2)答案BD解析由图可知该多面体有24个顶点，36条棱，故A错误，B正确；该多面体的棱长为1，且表面由6个正方形和8个正六边形组成，故该多面体的表面积为6×1＋8×6×eq\f(1,2)×1×1×sin60°＝6＋12eq\r(3)，故C错误；正八面体E－ABCD－F可分为两个全等的正四面体，其棱长为3，过E作EO⊥平面ABCD于O，连接AO，如图.因为EO⊥平面ABCD，且OA⊂平面ABCD，所以OE⊥OA，正方形ABCD中，由边长为3，则对角线长为3eq\r(2)，则OA＝eq\f(3\r(2),2)，在Rt△AOE中，EO＝eq\r(AE2－AO2)＝eq\f(3\r(2),2)，则EF＝2OE＝3eq\r(2)，正八面体E－ABCD－F的体积为eq\f(1,3)×32×3eq\r(2)＝9eq\r(2)，切割掉6个棱长均为1的正四棱锥，减少的体积为6×eq\f(1,3)×12×eq\f(\r(2),2)＝eq\r(2)，所以该阿基米德多面体的体积为9eq\r(2)－eq\r(2)＝8eq\r(2)，故D正确.10.(2023·新高考Ⅱ卷)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P－AC－O为45°，则()A.该圆锥的体积为π B.该圆锥的侧面积为4eq\r(3)πC.AC＝2eq\r(2) D.△PAC的面积为eq\r(3)答案AC解析在△PAB中，由余弦定理得AB＝2eq\r(3)，如图，连接PO，易知圆锥的高h＝PO＝1，底面圆的半径r＝AO＝BO＝eq\r(3).对于A，该圆锥的体积V＝eq\f(1,3)πr2h＝π，故A正确；对于B，该圆锥的侧面积S侧＝πr·PA＝2eq\r(3)π，故B错误；对于C，取AC的中点H，连接PH，OH.因为OA＝OC，所以OH⊥AC，同理可得PH⊥AC，则二面角P－AC－O的平面角为∠PHO＝45°，所以OH＝PO＝1，AH＝CH＝eq\r(AO2－OH2)＝eq\r(2)，所以AC＝2eq\r(2)，故C正确；对于D，PH＝eq\r(2)OH＝eq\r(2)，S△PAC＝eq\f(1,2)·AC·PH＝2，故D错误.11.已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为r上＝1，r下＝2，母线AB长为2，点E为AB的中点，则()A.圆台的体积为eq\f(7\r(3),3)πB.圆台的侧面积为12πC.圆台母线AB与底面所成角为60°D.在圆台的侧面上，从点C到点E的最短路径长为4答案AC解析对于A，圆台的高为eq\r(3)，则圆台的体积V＝eq\f(1,3)π×(12＋1×2＋22)×eq\r(3)＝eq\f(7\r(3)π,3)，故A正确；对于B，由题意，圆台的侧面展开图为半圆环，其面积为S＝eq\f(1,2)×2π×2×4－eq\f(1,2)×2π×1×2＝6π，故B错误；对于C，过A作AF∥O1O2交底面于F，由O1O2⊥底面，所以∠ABF即为母线AB与底面所成角.在等腰梯形ABCD中，AB＝2，BF＝2－1＝1，所以cos∠ABF＝eq\f(BF,AB)＝eq\f(1,2).因为∠ABF为锐角，所以∠ABF＝60°.故C正确；对于D，如图所示，在圆台的侧面上，从C到E的最短路径的长度为CE.由题意可得，FB＝FC＝4，AB＝2.由E为AB中点，所以FE＝3，所以CE＝eq\r(CF2＋FE2)＝eq\r(42＋32)＝5，故D错误.三、填空题12.(2024·福州调研)在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥BC，AC1＝2AA1＝4，则该三棱柱的体积的最大值为________.答案6解