2024-2025学年新教材高中数学第5章三角函数5.2三角函数的概念5.2.2同角三角函数的基本关系教学案新人教A版必修第一册

PAGE1-5.2.2同角三角函数的基本关系(老师独具内容)课程标准：1.理解同角三角函数的基本关系式.2.会运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明．教学重点：同角三角函数关系式的推导及应用．教学难点：同角三角函数基本关系式在解题中的逆用、变形应用及运用公式时由函数值正负号的选取而导致的角的范围的探讨.【学问导学】学问点一同角三角函数的基本关系学问点二同角三角函数的基本关系式的变形形式(1)平方关系变形sin2α＝eq\o(□,\s\up3(01))1－cos2α，cos2α＝eq\o(□,\s\up3(02))1－sin2α.(2)商的变形sinα＝eq\o(□,\s\up3(03))tanαcosα，cosα＝eq\f(sinα,tanα).【新知拓展】(1)同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“随意”一个角(在使函数有意义的前提下)．关系式成立与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1.(2)sin2α是(sinα)2的简写，不能写成sinα2.(3)约定：教材中给出的三角恒等式，除特殊注明的状况外，都是指两边都有意义状况下的恒等式．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)由于平方关系对随意角都成立，则sin2α＋cos2β＝1也成立．()(2)同角三角函数的基本关系对随意角α都成立．()(3)当角α的终边与坐标轴重合时，sin2α＋cos2α＝1也成立．()(4)在利用平方关系求sinα或cosα时，会得到正负两个值．()答案(1)×(2)×(3)√(4)×2．做一做(1)若sinα＝eq\f(4,5)，且α是其次象限角，则tanα的值等于()A．－eq\f(4,3)B.eq\f(3,4)C．±eq\f(3,4) D．±eq\f(4,3)(2)化简：eq\r(1－sin2440°)＝________.(3)已知eq\f(sinα－2cosα,3sinα＋5cosα)＝－5，则tanα＝________.答案(1)A(2)cos80°(3)－eq\f(23,16)题型一三角函数求值例1(1)已知cosα＝－eq\f(4,5)，求sinα和tanα；(2)已知tanα＝3，求eq\f(4sinα－cosα,3sinα＋5cosα)的值．[解](1)sin2α＝1－cos2α＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2，因为cosα＝－eq\f(4,5)<0，所以α是其次或第三象限角，当α是其次象限角时，sinα＝eq\f(3,5)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(3,4)；当α是第三象限角时，sinα＝－eq\f(3,5)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(3,4).(2)解法一：原式＝eq\f(4tanα－1,3tanα＋5)＝eq\f(4×3－1,3×3＋5)＝eq\f(11,14).

解法二：∵tanα＝3，∴sinα＝3cosα.代入原式可得：原式＝eq\f(4×3cosα－cosα,3×3cosα＋5cosα)＝eq\f(11cosα,14cosα)＝eq\f(11,14).解法三：∵tanα＝3>0，∴sinα＝3cosα.又sin2α＋cos2α＝1.∴sinα＝eq\f(3\r(10),10)，cosα＝eq\f(\r(10),10)，或sinα＝－eq\f(3\r(10),10)，cosα＝－eq\f(\r(10),10)，∴原式＝eq\f(11,14).[结论探究]在本例(2)中条件不变的状况下，求eq\f(3,4)sin2α＋eq\f(1,2)cos2α的值．解原式＝eq\f(\f(3,4)sin2α＋\f(1,2)cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(\f(3,4)tan2α＋\f(1,2),tan2α＋1)＝eq\f(\f(3,4)×9＋\f(1,2),9＋1)＝eq\f(29,40).金版点睛1．求三角函数值的方法(1)已知sinθ(或cosθ)求tanθ常用以下方式求解(2)已知tanθ求sinθ(或cosθ)常用以下方式求解当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)探讨．2．已知角α的正切求关于sinα，cosα的齐次式的值的方法(1)关于sinα，cosα的齐次式就是式子中的每一项都是关于sinα，cosα的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cosα的n次幂，其式子可化为关于tanα的式子，再代入求值．(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值．eq\a\vs4\al([跟踪训练1])(1)已知sinα＝eq\f(12,13)，并且α是其次象限角，求cosα和tanα；(2)已知sinα＋2cosα＝0，求2sinαcosα－cos2α的值；(3)已知eq\f(tan2α,1＋2tanα)＝eq\f(1,3)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，求eq\f(sinα＋2cosα,5cosα－sinα)的值．解(1)cos2α＝1－sin2α＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,13)))2，又α是其次象限角，所以cosα<0，cosα＝－eq\f(5,13)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(12,5).(2)由sinα＋2cosα＝0，得tanα＝－2.所以2sinαcosα－cos2α＝eq\f(2sinαcosα－cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tanα－1,tan2α＋1)＝eq\f(－4－1,4＋1)＝－1.(3)∵eq\f(tan2α,1＋2tanα)＝eq\f(1,3)，∴3tan2α－2tanα－1＝0.即(3tanα＋1)(tanα－1)＝0，∴tanα＝－eq\f(1,3)或tanα＝1.∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴tanα<0，∴tanα＝－eq\f(1,3)，∴eq\f(sinα＋2cosα,5cosα－sinα)＝eq\f(tanα＋2,5－tanα)＝eq\f(5,16).题型二sinα±cosα与sinαcosα关系的应用例2已知在△ABC中，sinA＋cosA＝eq\f(1,5).(1)求sinAcosA；(2)推断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形．[解](1)∵sinA＋cosA＝eq\f(1,5)，∴两边平方，得1＋2sinAcosA＝eq\f(1,25).∴sinAcosA＝－eq\f(12,25).(2)由(1)sinAcosA＝－eq\f(12,25)<0，且0<A<π，可知cosA<0，∴A为钝角．∴△ABC是钝角三角形．金版点睛三角函数求值中常见的变形公式(1)sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们的关系是：(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα；(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα.(2)求sinα＋cosα或sinα－cosα的值，要依据α的范围留意推断它们的符号．eq\a\vs4\al([跟踪训练2])已知0<θ<π，且sinθ－cosθ＝eq\f(1,5)，求sinθ＋cosθ，tanθ的值．解∵sinθ－cosθ＝eq\f(1,5)，∴(sinθ－cosθ)2＝eq\f(1,25)，解得sinθcosθ＝eq\f(12,25).∵0<θ<π，且sinθcosθ＝eq\f(12,25)>0，∴sinθ>0，cosθ>0.∴sinθ＋cosθ＝eq\r(sinθ＋cosθ2)＝eq\r(1＋2sinθcosθ)＝eq\r(1＋\f(24,25))＝eq\f(7,5).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ－cosθ＝\f(1,5)，,sinθ＋cosθ＝\f(7,5)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＝\f(4,5)，,cosθ＝\f(3,5)，))∴tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)＝eq\f(4,3).题型三三角函数式的化简与证明例3(1)化简：eq\f(\r(1－2sin130°cos130°),sin130°＋\r(1－sin2130°))；(2)求证：eq\f(tanαsinα,tanα－sinα)＝eq\f(tanα＋sinα,tanαsinα).[解](1)原式＝eq\f(\r(sin2130°－2sin130°cos130°＋cos2130°),sin130°＋\r(cos2130°))＝eq\f(|sin130°－cos130°|,sin130°＋|cos130°|)＝eq\f(sin130°－cos130°,sin130°－cos130°)＝1.(2)证法一：∵右边＝eq\f(tan2α－sin2α,tanα－sinαtanαsinα)＝eq\f(tan2α－tan2αcos2α,tanα－sinαtanαsinα)＝eq\f(tan2α1－cos2α,tanα－sinαtanαsinα)＝eq\f(tan2αsin2α,tanα－sinαtanαsinα)＝eq\f(tanαsinα,tanα－sinα)＝左边，∴原等式成立．证法二：∵左边＝eq\f(tanαsinα,tanα－tanαcosα)＝eq\f(sinα,1－cosα)，右边＝eq\f(tanα＋tanαcosα,tanαsinα)＝eq\f(1＋cosα,sinα)＝eq\f(1－cos2α,sinα1－cosα)＝eq\f(sin2α,sinα1－cosα)＝eq\f(sinα,1－cosα)，∴左边＝右边，原等式成立．[条件探究]将本例(1)改为化简：eq\f(\r(1＋2sin130°cos130°),sin130°－\r(1－sin2130°)).解原式＝eq\f(\r(sin130°＋cos130°2),sin130°－|cos130°|)＝eq\f(sin130°＋cos130°,sin130°＋cos130°)＝1.金版点睛1.利用同角三角函数关系化简的常用方法1化切为弦，削减函数名称，便于约分化简；2对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，去掉根号，为防止出错，去掉根号后首先用肯定值符号表示，然后考虑正负；3对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以便于降幂化简.2.简洁的三角恒等式的证明思路1从一边起先，证明它等于另一边；2证明左、右两边等于同一个式子；3逐步找寻等式成立的条件，达到由繁到简.eq\a\vs4\al([跟踪训练3])化简：(1)eq\f(sinα,1－cosα)·eq\r(\f(tanα－sinα,tanα＋sinα))；(2)eq\r(1－tanθcos2θ＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,tanθ)))sin2θ).解(1)原式＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\r(\f(\f(sinα,cosα)－sinα,\f(sinα,cosα)＋sinα))＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\r(\f(1－cosα2,1－cos2α))＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\f(1－cosα,|sinα|)＝eq\f(sinα,|sinα|)，当sinα>0时，原式＝1；当sinα<0时，原式＝－1.(2)原式＝eq\r(\f(cosθ－sinθ,cosθ)·cos2θ＋\f(sinθ＋cosθ,sinθ)·sin2θ)＝eq\r(cos2θ－sinθcosθ＋sin2θ＋sinθcosθ)＝eq\r(cos2θ＋sin2θ)＝1.1．已知cosθ＝eq\f(4,5)，且eq\f(3π,2)<θ<2π，则eq\f(1,tanθ)的值为()A.eq\f(3,4) B．－eq\f(3,4)C.eq\f(4,3) D．－eq\f(4,3)答案D解析由于cosθ＝eq\f(4,5)，且eq\f(3π,2)<θ<2π.所以sinθ＝－eq\r(1－cos2θ)＝－eq\f(3,5)，所以tanθ＝－eq\f(3,4)，故eq\f(1,tanθ)＝－eq\f(4,3).2．已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ等于()A．－eq\f(4,3) B.eq\f(5,4)C．－eq\f(3,4) D.eq\f(4,5)答案D解析s